Ακτινοβολία Hawking Πιέρρος Ντελής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΣΕΜΦΕ July 3, 2013 1 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 1/29
Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Στον Χωρόχρονο Ακτινοβολία Hawking Εκπομπή Σωματιδίων Από Μελανές Οπές 2 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 2/29
Ειδική θεωρία της Σχετικότητα Χωρόχρονος Minkowski Λίγα λόγια Στοιχειώδες Μήκος Επίπεδου Χωρόχρονου ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 Μετρική η µν = Μετασχηματισμοί Lorentz ( t ( γ γ β x y z = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c 0 0 γcβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ( t x y z Μετασχηματισμός Poincare x µ x ν = Λ ν µx µ + α ν Κώνος Φωτός 3 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 3/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Αρχές Ισοδυναμίας Ασθενής Αρχή Ισοδυναμίας m αδρανειακή = m βαρυτική Αρχή Ισοδυναμίας Einstein (Νόμοι της Φύσης Τοπικά (Νόμοι της Ειδικής Σχετικότητας Ισχυρή Αρχή Ισοδυναμίας Το αποτέλεσμα ενός τοπικού πειράματος(βαρυτικό ή όχι σε ένα freely falling εργαστήριο είναι ανεξάρτητο της ταχύτητας και της θέσης του εργαστηρίου στον χωρόχρονο 4 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 4/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & Einstein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε για το βαρυτικό πεδίο: Εξίσωση Newton 2 Φ(r = 4πGρ m (r Η σχετικιστική εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι: Πεδιακή Εξίσωση Einstein R µν 1 2 Rg µν = 8πG c 4 T µν Η λύσης της περιγράφει την γεωμετρία του χωρόχρονου: Γενικευμένη Μετρική Χωρόχρονου (Πεδίο Einstein ds 2 = g µν(xdx µ dx ν 5 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 5/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Καμπυλότητα Τανυστής Riemann μετράει καμπυλότητα τανυστών: Μεταθέτης παράλληλης μετατόπισης διανύσματος [ µ, ν]v κ = R ρ κµνv ρ Αποδυκνύεται ότι ο τανυστής Riemann έχει την μορφή: Τανυστής Riemann και σύμβολα Christoffel R ρ σµν = µγ ρ νσ νγρ µσ + Γρ µλ Γλ νσ Γρ νλ Γλ µσ Γ λ µν = 1 2 gρλ ( µ g ρν + ν g ρµ ρ g µν Ποσότητες που εκφράζουν καμπυλότητα: Τανυστης Καμπυλότητας & Βαθμωτό Ricci R µν = R ρ µρν & R = g µν R µν 6 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 6/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης Einstein στο Κενό Εξίσωση Einstein Κενού R µν = 0 που έχει λύση για στατικό σφαιρικά συμμετρικό Χωρόχρονο Λύση Schwarzschild ds 2 = ( 1 R S r ( dt 2 + 1 R S r 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 7 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 7/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Schwarzschild Μελανές οπές Μελανές Οπές Περιοχές του Χωρόχρονου όπου ότι σωματίδιο περάσει στην περιοχή αυτή δεν επανέρχεται στον υπόλοιπο Χωρόχρονο Μετρικές Eddington-Finkelstein ds 2 = ds 2 = ( ( 1 R S r 1 R S r Συνθήκη Φωτοειδών Ακτίνων dv 2 + 2dvdr + r 2 dω 2 du 2 2dudr + r 2 dω 2 { dv dr = ( 2 1 2GM r Μετασχηματισμοί συντεταγμένων Αποφυγή ιδιομορφίας r = R S Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein v = t + r u = t r r = r + R S ln 0, (κινούμενες ακτινικά προς το κέντρο 1, ( προς τα έξω r > 2GM προς τα μέσα r < 2GM ( r 1 R S 8 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 8/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Schwarzschild Μελανές οπές Μελανές Οπές Περιοχές του Χωρόχρονου όπου ότι σωμάτιο περάσει στην περιοχή αυτή δεν επανέρχεται στον υπόλοιπο Χωρόχρονο Μετρικές Eddington-Finkelstein ds 2 = ds 2 = ( ( 1 R S r 1 R S r dv 2 + 2dvdr + r 2 dω 2 du 2 2dudr + r 2 dω 2 Συνθήκη Φωτοειδών Ακτίνων { dv dr = ( 2 1 2GM r 0, (κινούμενες ακτινικά προς το κέντρο 1, ( προς τα έξω r > 2GM προς τα μέσα r < 2GM 9 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 9/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Schwarzschild Μελανές Οπές Maximally Extended Schwarzschild Metric Συντεταγμένες Kruskal-Szekeres ( r 1/2 ( T = 1 e r/2r S t sinh R S 2R S ( r 1/2 ( R = 1 e r/2r S t cosh R S 2R S Μετρική Kruskal-Szekeres ds 2 = 4R3 S r e r/r S ( dt 2 + dr 2 + r 2 dω 2 10 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 10/29
Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Schwarzschild Μελανές οπές-διάγραμμα Penrose Κατάλληλος Μετασχηματισμός Διάγραμμα Kruskal Διάγραμμα Penrose i + = Μελλοντικό Χρονοειδές Άπειρο ( T P = π 4, R P = π 4 i 0 = Χωροειδές Άπειρο ( T P = 0, R P = π 2 i = Παρελθοντικό Χρονοειδές Άπειρο ( T P = π 4, R P = π 4 I + = Μελλοντικό φωτοειδές Άπειρο ( 0 < T P < π π 4, 4 < R P < π 2 I = Παρελθοντικό φωτοειδές Άπειρο ( π 4 < T P < 0, π 4 < R P < π 2 11 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 11/29
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Εξίσωση κίνησης Βαθμωτού Πεδίου σε Minkowski χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( m 2 φ = 0, = g µν µ ν Η εξίσωση αυτή λύνεται από: Πεδίο ανεπτυγμένο σε Επίπεδα Κύματα ˆφ(t, x = ] d n 1 k [â k f k (t, x + â k f k (t, x f k (x µ e ikµ xµ = [(2π n 1 2ω(k] 1/2 Μεταθετικές Σχέσεις Τελεστών [â k, â k ] = 0 [â k, â k ] = 0 [â k, â k ] = δ(n 1 (k k Η ορθοκανονικότητα των επιπέδων κυμάτων θεμελειώνεται από: Εσωτερικό Γινόμενο φ 1, φ 2 = i Σ (φ 1 µ φ 2 φ 2 µφ 1 n µ γd n 1 x 12 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 12/29
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε καμπυλωμένο Χωρόχρονο Εξίσωση κίνησης Βαθμωτού Πεδίου σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( m 2 ξrφ = 0, = g µν µ ν Πεδίο ανεπτυγμένο σε Modes ˆφ(t, x = ] d n 1 k [â k f k (t, x + â k f k (t, x Μεταθετικές Σχέσεις Πεδίου [â k, â k ] = 0 [â k, â k ] = 0 Η ορθοκανονικότητα των modes θεμελειώνεται από: Εσωτερικό Γινόμενο φ 1, φ 2 = i Σ (φ 1 µ φ 2 φ 2 µφ 1 n µ γd n 1 x [â k, â k ] = δ(n 1 (k k 13 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 13/29
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμός Bogoliubov ΓΘΣ = Τοπική Θεωρία Μετασχηματισμός Poincare Δεν είναι συμμετρία της ΓΘΣ Ελευθερία επιλογή βάσης Βαθμωτό Πεδίο ˆφ = j ( â j f j + â j f j = Αναπτύσουμε την μια βάση στην άλλη: Μετασχηματισμός Bogoliubov ( f i = α ij g j + β ij g j j ( g i = α j ij fj με βijf j H ορθοκανονικότητα των modes μας δίνει: Συνθήκη Συντελεστών Bogoliubov k j (ˆbj g j + ˆb j g j ( α j k α jk β j k β jk = δ jj α ij = f i, g j β ij = f i, g j 14 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 14/29
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Χώρος Fock Kαστάση κενού f-mode â j 0 f = 0 j Διεγερμένες Καταστάσεις f-mode n j = 1 n j! Τελεστής Αρίθμισης f-mode ˆn fj = â j âj ( â j nj 0 f όπου: Κατάσταση Κενού f-mode 0 f = 0, 0, 0, 0, Kαστάση κενού g-mode ˆbj 0 g = 0 j Διεγερμένες Καταστάσεις g-mode n j = 1 nj (ˆb j 0 g n j! Τελεστής Αρίθμισης βάσης g-mode ˆn gj = ˆb jˆb j 15 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 15/29
Κβαντική Θεωρία Πεδίου Παραγωγή g-σωματιδίων από το f-κενό Παρατηρητής που χρησιμοποιεί g-mode παρατηρεί κατάσταση 0 f Παρατήρηση Αριθμού σωματιδίων στην i-κατάσταση 0 f ˆn gi 0 f = 0 f ˆb i ˆb i 0 f = 0 f ( (α jiâ j + β jiâ j α ki â k + β kiâ 0 k f = j β ji β ki 0 f â j â k 0 f k = = jk jk j β ji β ki 0 f (â j âk + δ jk 0 f β jiβ ji = β ji 2 Σχόλιο Για μή μηδενικό συντελεστή β ji έχουμε παραγωγή σωματιδίων j 16 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 16/29
Ακτινοβολία Hawking Διάγραμα Penrose Βαρυτικής Κατάρευσης Στον I (v : f ωlm e iωv Στον I + (u + : g ωlm e iωu v =σταθερή ingoing ray u =σταθερή out-going ray u = g(v & v = g 1 (u = G(u 17 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 17/29
Ακτινοβολία Hawking Μοντέλο Ακτινοβολίας Άμαζο Πεδίο g µν µ ν φ = 0 Φωτεινή ακτίνα f ωlm Y lm(θ, φ r 4πω { e iωv, στον I e iωg(u, στον I + { g ωlm Y lm(θ, φ e iωu r 4πω, στον I + e iωg(v, στον I 18 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 18/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Εσωτερική Μετρική Εξωτερική Μετρική ( ds 2 ext = ds 2 int = dt 2 + dr 2 + r 2 dω 2 1 R S r ( dt 2 + 1 R S r & V = T + r U = T r 1 dr 2 + r 2 dω 2 & v = t + r u = t r 19 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 19/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Η ιστορία της ακτίνας: r = R(t Ιδια Εσωτερική Γεωμετρία ( dr 2 1 = dt ( R 2GM R ( dt 2 ( R 2GM dt R 1 ( dr dt 2 20 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 20/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Συνθήκες: 1 Η σχέση μεταξύ των v και V για εισερχόμενες ακτίνες 2 Η σχέση μεταξύ των V και U στο κέντρο του κέλυφους 3 Η σχέση μεταξύ των U και u για εξερχόμενες ακτίνες 21 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 21/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Φωτοειδής Ακτίνα μπένει στο κέλυφος σε R 1 > R S (1 R S =σταθερό & dr R 1 dt =σταθερό dt dt =σταθερό t T r r κοντά στην γειτονιά του R 1 Συνθήκη 1 V = T + r = W t + Zr V (v = av + b Κέντρο κέλυφους r = 0 Συνθήκη 2 V = T + r U = T r } U(V = V 22 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 22/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Η ακτίνα εξέρχεται από το κέλυφος κοντά στο r = R S στο T 0 Κοντά στο T T 0, R(T = R S + A(T 0 T Από Συνθήκη Γεωμετρίας ( dt Επίσης Εξωτερικά dt 2 ( R 2 S (T 0 T t R T0 T 2 S ln B ( ( r r RS A(T0 T R S ln R S ln R S R S ( u = t r T0 T 2R S ln B & T T 0 B e 2R u S Εσωτερικά U = T r = T R(T (1 + AT R S AT 0 (1 + AT 23 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 23/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Συνθήκη 1 V (v = av + b Συνθήκη 2 U(V = V Μοντέλο λεπτού Φλοιού Φάση 1 v = g(u = v 0 Ke u 2R S Μοντέλο λεπτού Φλοιού Φάση 2 ( v v0 u = G(v = 2R S ln K Συνθήκη 3 U K e u 2R S 24 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 24/29
Ακτινοβολία Hawking Λεπτό Κέλυφος Γενίκευση Πολλών Φλοιών Γραμμική αναλογία συντεταγμένων για όλους τους εσωτερικούς Φλοιούς εκτός λογαρυθμικής αναλογίας τελευταίας εξαγωγής ακτίνας Συνθήκη 1 V (v = av + b Φάσεις Μοντέλο λεπτού Φλοιού Συνθήκη 2 U(V = V ( g(u = v 0 Ke 2R u v v0 S & G(v = 2RS ln K Συνθήκη 3 U K e u 2R S 25 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 25/29
Ακτινοβολία Hawking Υπολογισμός Συντελεστών Bogoliubov Εξερχόμενα modes Ανάππτυξη Fourier Συντελεστές Bogoliubov { e 2R S iω ln[(v 0 v/k], v < v g ωlm 0 0, v > v 0 g ωlm = + α ω ωlm = 1 2π ω β ω ωlm = 1 ω 2π ω 0 dω ( α ω ωlm f ω lm β ω ωlm f ω lm v0 ω dve iω v e 2R S iω ln[(v 0 v/k] v0 dve iω v e 2R S iω ln[(v 0 v/k] 26 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 26/29
Ακτινοβολία Hawking Υπολογισμός Συντελεστών Bogoliubov Αλλάγή μεταβλητής v = v 0 v ω α ω ωlm = 1 2π ω eiωv 0 β ω ωlm = 1 ω 2π ω eiωv 0 Θεώρημα Cauchy Υπολογισμός Ολοκληρώματος + 0 C + 0 + 0 dv e iω v e 2R S iω ln[v /K] dv e iω v e 2R S iω ln[v /K] dv e iω v e 2R S iω ln[v /K] = 0 dv e iω v e 2R S iω ln[v /K] = lim ɛ 0 + 0 = e 2πR S ω + 0 dv e iω v e 2R S iω ln[ v /K iɛ] dv e iω v e 2R S iω ln[v /K] 27 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 27/29
Ακτινοβολία Hawking Υπολογισμός Συντελεστών Bogoliubov Αναλογία Συντελεστών Bogoliubov α ω ωlm = e 2πR S ω β ω ωlm Επομένως η συνθήκη των συντελεστών Bogoliubov γίνεται: Συνθήκη Ορθοκανονικότητας Συντελεστών Bogoliubov Μέσος Αριθμός σωματιδίων ω ( α ω ωlm 2 β ω ωlm 2 = ω ( e 4πR S ω 1 β 2 1 ω ωlm = e 4πR S ω 1 ω β ω ωlm 2 = 1 28 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 28/29
Ακτινοβολία Hawking Υπολογισμός Συντελεστών Bogoliubov Αναλογία Συντελεστών Bogoliubov α ω ωlm = e 2πR S ω β ω ωlm Επομένως η συνθήκη των συντελεστών Bogoliubov γίνεται: Συνθήκη Ορθοκανονικότητας Συντελεστών Bogoliubov Μέσος Αριθμός σωματιδίων ω ( α ω ωlm 2 β ω ωlm 2 = 0 f ˆn g 0 f = ω ( e 4πR S ω 1 β 2 1 ω ωlm = e 4πR S ω 1 ω β ω ωlm 2 = 1 28 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 28/29
Ακτινοβολία Hawking Υπολογισμός Συντελεστών Bogoliubov Αναλογία Συντελεστών Bogoliubov α ω ωlm = e 2πR S ω β ω ωlm Επομένως η συνθήκη των συντελεστών Bogoliubov γίνεται: Συνθήκη Ορθοκανονικότητας Συντελεστών Bogoliubov Μέσος Αριθμός σωματιδίων Θερμοκρασία Hawking ω ( α ω ωlm 2 β ω ωlm 2 = 0 f ˆn g 0 f = c 3 T H = 8πGMk B ω ( e 4πR S ω 1 β 2 1 ω ωlm = e 4πR S ω 1 ω β ω ωlm 2 = 1 28 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 28/29
Ακτινοβολία Hawking Υπολογισμός Συντελεστών Bogoliubov Αναλογία Συντελεστών Bogoliubov α ω ωlm = e 2πR S ω β ω ωlm Επομένως η συνθήκη των συντελεστών Bogoliubov γίνεται: Συνθήκη Ορθοκανονικότητας Συντελεστών Bogoliubov Μέσος Αριθμός σωματιδίων Θερμοκρασία Hawking ω ( α ω ωlm 2 β ω ωlm 2 = 0 f ˆn g 0 f = T H = ( c 3 8πGMk B ω ( e 4πR S ω 1 β 2 1 ω ωlm = e 4πR S ω 1 ω 1227 1023 kg M(kg K β ω ωlm 2 = 1 28 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 28/29
Τέλος Ευχαριστώ για την προσοχή σας! 29 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 29/29
Τέλος Ευχαριστώ για την προσοχή σας! 29 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 29/29