Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3. Ελεγξιμότητα Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Η Έννοια της Ελεγξιμότητας Βασικό Ερώτηµα: Μπορούµε, ένα συγκεκριµένο δυναµικό σύστηµα - ασκόντας κατάλληλα σήµατα εισόδου - να το οδηγήσουµε σε οιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης, ξεκινώντας από οιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης και εντός πεπερασµένου χρόνου? Το ερώτηµα ΔΕΝ ασχολείται ούτε µε τη µορφή της τροχιάς απο την αρχή στο τέλος, ούτε µε το χρόνο εκτέλεσης της τροχιάς! Αναφέρεται απλά στην ύπαρξη σηµάτων οδήγησης απο οιαδήποτε αρχή σε οιοδήποτε προορισµό εντός πεπερασµένου χρόνου! Αυτό το ερώτηµα αφορά ένα σηµαντικό προαπαιτούµενο για τη σχεδίαση συστηµάτων ελέγχου... Το ερώτηµα βεβαίως ορίζεται γενικά για κάθε δυναµικό σύστηµα αλλά εδώ θα αντιµετωπισθεί µόνο για τα ΓΧΑΣ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Ορισμός & Συνθήκη Ελεγξιμότητας Για το ΓΧΑΣ : η κατάσταση x 0 R n είναι ελέγξιµη προς την αρχή των αξόνων (controllable to the origin) αν για δεδοµένη αρχική στιγµή t 0, υπάρχει ένα τελικός χρόνος t f > t 0 και µία κατά τµήµατα συνεχής συνάρτηση εισόδου u( ) ορισµένη επί του [t f, t 0 ], έτσι ώστε για την τελική κατάσταση x(t f ) να ισχύει To ΓΧΑΣ είναι ελέγξιµο (controllable) αν κάθε κατάσταση x 0 R n είναι «ελέγξιµη προς την αρχή των αξόνων». Για ένα ΓΧΑΣ πώς µπορεί όµως να πιστοποιηθεί ότι είναι ελέγξιµο? Ας ορίσουµε πρώτα τον πίνακα ελεγξιµότητας (controllability matrix): P = 0 Τι διαστάσεις έχει? όπου b i i=1,, m είναι οι στήλες του πίνακα Β. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Ορισμός & Συνθήκη Ελεγξιμότητας To ΓΧΑΣ είναι ελέγξιµο αν και µόνο αν (, ) rank P = rank P A B = n Στη γενική περίπτωση: P R n (n m). Άρα αρκεί n από τις n m στήλες να είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Αν έχουµε µόνο µία είσοδο στο σύστηµα, τότε ο Β έχει µόνο µία στήλη (m=1) οπότε P R n n (τετράγωνικος), και αρκεί να ελεγχθεί αν ο P είναι µη-ιδιόµορφος. (Πως το ελέγχουµε αυτό?) Σχετικός µε πολλά ζητήµατα που άπτονται της ελέγξιµότητας είναι ο πίνακας Controllability Grammian για τον οποίο ισχύουν: ( ) ( ) T n n W. t : τετραγωνικός - συµµετρικός 0, tf = W t0, tf! T x. W( t, ) 0 : θετικά ηµι-ορισµένος 0 tf x Πότε ένας πίνακας ειναι θετικά (ημι- )- ορισμένος? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 1 Εποµένως το σύστηµα δεν είναι πλήρως ελέγξιµο. Έστω σύστηµα που προκύπτει απο διαφορετική θεώριση της κατάστασης: Δηλαδή προκύπτει από το µετασχηµατισµό οµοιότητας: P = 0 Δηλαδή: Που δείχνει ότι το z! 2 δεν εξαρτάται ούτε από την είσοδο ούτε από άλλη ελέγξιµη κατάσταση, οπότε η δεν είναι ελέγξιµη. z 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 2 Εποµένως:...και για την ελεγξιµότητα... µη ελέγξιµο! Όµως η ορίζουσα του υποπίνακα είναι µη µη-µηδενική και η τάξη του P είναι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σταθεροποίηση 8

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 3 Παρατηρούµε ότι: Ο πίνακας ελεγξιµότητας P είναι ανεξάρτητος των συντελεστών b i του πίνακα εξόδου. Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιµότητας είναι P = -1 άρα το σύστηµα είναι ελέγξιµο. Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιµότητας είναι ανεξάρτητη των συντελεστών a i του πίνακα δυναµικής Α. Εποµένως: Η δοµή του παραπάνω συστήµατος συνεπάγεται την ελεγξιµότητα ανεξαρτήτως των συντελεστών a i και b i. (Περαιτέρω συζήτηση θα ακολουθήσει...) Οι ιδιότητες του δυαδικού (θα εξηγηθεί ό όρος) σχετίζονται µε την παρατηρησιµότητα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 4 Επιλέγοντας τις παραπάνω στήλες (και µόνο) βρίσκουµε ότι το σύστηµα είναι ελέγξιµο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 5 Επιλέγοντας τις παραπάνω στήλες, διαπιστώνεται η ελεγξιµότητα. Αυτή την φορά, υπάρχουν πολλοί συνδυασµοί επιλογών... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Το ΓΧΑΣ υπο το µετασχηµατισµό οµοιότητας µετατρέπεται (δηλ. εµφανίζεται «υπό άλλη οπτική γωνία») στο όπου. Υπενθυµίζουµε ότι εξ ορισµού: η κατάσταση x 0 R n είναι ελέγξιµη προς την αρχή των αξόνων (controllable to the origin) αν για δεδοµένη αρχική στιγµή t 0, υπάρχει ένα τελικός χρόνος t f > t 0 και µία κατά τµήµατα συνεχής συνάρτηση εισόδου u( ) ορισµένη επί του [t f, t 0 ], έτσι ώστε για την τελική κατάσταση x(t f ) να ισχύει Εφαρµόζοντας τον ορισµό για το µετασχηµατισµένο σύστηµα 0 0 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Αυτό το συµπέρασµα δείχνει ότι: αν η κατάσταση x 0 του αρχικού ΓΧΑΣ 1 είναι «ελέγξιµη προς την αρχή των αξόνων», τότε και η z0 = T x0 του µετασχηµατισµένου ΓΧΑΣ είναι: «ελέγξιµη προς την αρχή των αξόνων», υπό το ίδιο χρονικό διάστηµα [t f, t 0 ], και µε χρήση του ιδίου σήµατος εισόδου u( ). Συντεταγμένων Ισχύει και το αντίστροφο. Τα δύο προηγούµενα συµπεράσµατα οδηγουν στο ότι : Το µετασχηµατισµένο σύστηµα είναι ελέγξιµο αν και µονο αν το αρχικό σύστηµα είναι ελέγξιµο. Συµπέρασµα: Η ελεγξιµότητα είναι αµετάβλητη ως προς τους µετασχηµατισµούς οµοιότητας, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

Αν Τότε Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Θεωρήσουµε τον πίνακα ελεγξιµότητας του µετασχηµατισµένου συστήµατος, και Χρησιµοποιήσουµε την (εύκολα αποδεικνυόµενη) σχέση: Οπότε (δεδοµένου ότι ο Τ -1 είναι τετραγωνικός & µηιδιόµορφος) Για την Controllability Grammian ισχύει: T 1 όπου T T T = T = T ( ) ( ) 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση Για τη Διαγώνια Κανονική Μορφή η εξέταση της ελεγξιµότητας µέσω του πίνακα ελεγξιµότητας προαπαιτεί τη εύρεση όρων του τύπου: Εποµένως: Ως γνωστόν ο Vandermonde πίνακας είναι µη-διόµορφος όταν και µόνο όταν οι ιδιοτιµές λ i (του πίνακα Α) είναι διακριτές. Κατά συνέπεια, η (µη) ελεγξιµότητα της Διαγώνιας Κανονικής Μορφής πιστοποιείται µε την θεώριση των b i : εφόσον κανένα b i δεν είναι (κάποιο, είναι) µηδενικό το σύστηµα (δεν) είναι ελέγξιµο. Άρα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ελεγξιµότητα ενός διαγωνοποιήσιµου ΓΧΑΣ είναι: οι ιδιοτιµές του Α που εµφανίζονται επί της διαγωνίου του A DCF να είναι διακριτές και κανένα στοιχείου του B DCF να µην είναι µηδενικό. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Ελέγξιμες Υλοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω ότι τα 2 SISO ΓΧΑΣ είναι n-διάστατες ελέγξιµες υλοποιήσεις της ίδιας ΣΜ. = ( ) = ( )! x ( t) = T x ( t) n n Λήµµα: Αν P P A, B, P P A, B τότε 1 1 1 1 2 2 2 2 όπου T = P P 1 1 2 1 2 Κανονική Μορφή τύπου- Ελεγκτή ή Μεταβλητών Φάσης (Controller or Phase Variable Canonical Form - CCF) Αυτη η µορφή µας απασχόλησε και στο παρελθόν όπου προσέγγισθηκε άµεσα από θεώρηση της Σ.Μ Σε αυτή τη φάση θα κατανοήσουµε τίς ιδιότητες της δοµής της που οδηγούν και στην σχετική ονοµατολογία. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Θεωρούµε την δοµή της υλοποίησης CCF: όπου Αυτή η υλοποίηση, όπως φάνηκε και σε προηγούµενο παράδειγµα, είναι εκ κατασκευής ελέγξιµη. Λήµµα : ο Πίνακας Ελεγξιµότητας της CCF είναι συµµετρικός: Αυτό το αποτέλεσµα θα χρησιµοποιηθεί παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Με βάση το πρόσφατο Λήµµα, από µία ελέγξιµη υλοποίηση της ΣΜ µε κατάσταση xt ( ) και πίνακα ελεγξιµότητας P (προηγ. σελ.) µπορούµε να λάβουµε την CCF µορφή µε χρήση του µετασχηµατισµού 1 ( ) = ( ) = xt T x t T PP CCF CCF CCF CCF Από τα επαναληπτικά µαθήµατα Γραµ. Αλγ. υπενθυµίζουµε και εφαρµόζουµε για τον την ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: A CCF n n Ο πίνακας A CCF! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν έχει n διακριτές ιδιοτιµές. Αντιστρόφως, αν η CCF (εγγενώς ελέγξιµη) µπορεί να µετατραπεί στην DCF τότε αυτή είναι ελέγξιµη και όπως αποδείχθηκε νωρίτερα (που?) η πρέπει να έχει διακριτές ιδιοτιµές. Προφανώς οι ιδιοτιµές δεν είναι ζήτηµα επιλογής αλλά απορέουν από τη ΣΜ (από την οποία ξεκινήσαµε). Εποµένως: Η CCF µπορεί να µετατραπεί στην DCF όταν και µόνο όταν η έχει διακριτές ιδιοτιµές. Ο σχετικός µετασχηµα- -τισµός είναι ο ανάστροφος Vandermode πίνακας (µη-ιδιόµορφος). A CCF A CCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Παράδειγµα: 3 2 ΧΠ: si A = s + 2s + 4s + 8 Ιδιοτιµές: +2i, -2i, -2 Το σύστηµα είναι ελέγξιµο οπότε έχει νόηµα ο µετασχηµατισµός: Δεδοµένου ότι οι ιδιοτιµές των A και A ταυτίζονται CCF οπότε 1 1 1 1 1 1 TDCF = λ1 λ2 λ 3 2i 2i 2 = 2 2 2 λ1 λ2 λ 3 4 4 4 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Μη- Ελέγξιμες Εξισώσεις Κατάστασης Αν για ένα ΓΧΑΣ ισχύει : τότε υπάρχει µετασχηµατισµός έτσι ώστε το µετασχηµατισµένο σύστηµα να είναι της µορφής µε το ζεύγος να ορίζει ένα q-διάστατο ελέγξιµο σύστηµα. Κατάλληλος µετασχηµατισµός είναι ο όπου οι στήλες είναι από τον πίνακα ελεγξιµότητας P και οι υπόλοιπες,, επιλέγονται ώστε όλες οι στήλες του Τ να συνιστούν βάση στον R n. Τα ανωτέρω θα χρησιµοποιηθούν και στη ανάλυση των «µηπαρατηρήσιµων εξισώσεων κατάστασης», παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

Μη- Ελέγξιμες Εξισώσεις Κατάστασης : Παράδειγμα Το ΓΧΑΣ ΔΕΝ είναι πλήρως ελέγξιµο, δηλ. ο πίνακας ελεγξιµότητάς του έχει τάξη 2. Επιλέγοντας τις 2 πρώτες στήλες του (γραµµικά ανεξάρτητες) και παραθέτοντας το «3 ο διάνυσµα της κανονικής βασης», λαµβάνουµε τον πίνακας µετασχηµατισµού... Αυτός οδηγεί στο µετασχηµατισµένο σύστηµα Προφανώς, το σύστηµα είναι ελέγξιµο. Αυτό το σύστηµα θα µας απασχολήσει και στο κεφ. της παρατηρησιµότητας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σταθεροποίηση 22

4. Παρατηρησιμότητα Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Η Έννοια της Παρατηρησιμότητας Έστω το ΓΧΑΣ Γενικά x!, y!, u! όπου n p m p n, m n «Εσωτερική Ποσότητα» του Δυναμικού Συστήματος, οδηγούμενο από το σήμα εισόδου & οδηγεί το σήμα εξόδου Αυτοί οι µαθηµατικοί περιορισµοί σχετίζονται µε την πρακτική δυσκολία του να µετρήσουµε (και επενεργήσουµε σε) κάθε µεταβλητή κατάστασης Μπορούµε εύκολα να µετρούµε µόνο την είσοδο & έξοδο. Θέλουµε όµως: µε βάση αυτές τις µετρήσεις, να µπορούµε να «εκτιµούµε» την κατάσταση, πράγµα που, όπως θα φανεί παρακάτω, είναι απαραίτητο στο έλεγχο. Εκτίµηση της κατάστασης είναι (µόνο µαθηµατικά) δυνατή αν γνωρίζουµε (αποκλειστικά) την είσοδο αλλά και την αρχική κατάσταση. Αυτό σχετίζεται µε την ιδιότητα της παρατηρησιµότητας (observability), δηλαδή: την δυνατότητα εκτίµησης της αρχικής κατάστασης µε βάση τις «ιστορικές» παρατηρήσεις των εισόδων & εξόδων. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

Εστω το n-διάστατο ΓΧΑΣ: Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας ( ) ( ) Έστω ότι µπορούµε να µετρήσουµε και καταγράψουµε τα ut, yt για ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα t t. 0, f Πρόθεσή µας, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, είναι ή εύρεση του x 0 γιατί αυτό θα µας επιτρέψει να υπολογίσουµε όλη την εξέλιξη της κατάστασης, βάσει της Εύκολα βλέπουµε ότι Δηλαδή η γνώση των y(t), u(t) µπορείς να µας επιτρέψει την εύρεση της «απόκρισης αρχικής κατάστασης», δηλαδή την απόκριση µηδενικής εισόδου. Μπορούµε δηλαδή, χωρίς απώλεια της γενικότητας, να θεωρήσουµε ut ( ) 0 t t0 και ως σύστηµα το. Οπότε, σε αυτή τη περίπτωση, At ( t ) ( ) 0 yt = Ce x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25 0

Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Η κατάσταση x 0 R n είναι µη-παρατηρήσιµη (unobservable) αν η απόκριση µηδενικής εισόδου του συστήµατος µε αρχική κατάσταση x(t 0 )= x 0 είναι y(t) 0 At για όλα τα t t 0. ( t0 ) 0 = y( t) = Ce x t t 0 0 Σηµ-1: Το 0 R n είναι προφανώς µία µη-παρατηρήσιµη κατάσταση (x(t 0 )=0 y(t) 0) Σηµ-2: Μία µη-µηδενική, µη-παρατηρήσιµη κατάσταση είναι µη-διακριτή από το 0 R n C CA 2 Q= Q( A, C) = CA! rank Q( A, C) = n n 1 CA Στη γενική περίπτωση: Q R (n p) n. Άρα αρκεί n από τις n p γραµµές να είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Αν έχουµε µόνο µία έξοδο από το σύστηµα, τότε ο C έχει µόνο µία στήλη και p =1 οπότε Q R n n (τετράγωνικος), και αρκεί να ελεγχθεί αν ο Q είναι µη-ιδιόµορφος (µη- µηδενική ορίζουσα). Το ΓΧΑΣ είναι παρατηρήσιµο (observable) αν το x 0 =0 R n είναι η µοναδική µη-παρατηρήσιµη κατάσταση. Ορίζουµε τον πίνακα παρατηρησιµότητας (observability matrix): Ένα ΓΧΑΣ είναι παρατηρήσιµο αν και µόνο άν Οι µη-παρατηρήσιµες καταστασεις x 0 του ΓΧΑΣ βρίσκονται στο null space του Q. Δηλαδή ισχύει: Q x 0 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Σχετικός µε πολλά ζητήµατα που άπτονται της παρατηρησιµότητας είναι ο πίνακας Observability Grammian για τον οποίο ισχύουν: ( ) ( ) T n n M. t : τετραγωνικός - συµµετρικός 0, tf = M t0, tf! T. x M( t, 0 t ) 0 f x : θετικά ηµι-ορισµένος. rank Q A, C = n M t, t 0 t > t ( ) ( f ) 0 f 0 Πως µπορούµε να βρούµε το x(t 0 )= x 0 αν ξέρουµε την ιστορία των σηµάτων y(t), u(t) t [t 0,t f ]? Ισχύει ότι: x = όπου: 0 Απόδειξη: Δεδοµένου ότι (από προηγουµένως) = = x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 1... οπότε......και... Τo σύστηµα ΔΕΝ είναι παρατηρήσιµο γιατί Q = 0, rankq= 1, nullityq= 1 Κάνοντας το µετασχηµατισµό οµοιότητας: Παίρνουµε το σύστηµα : Παρατηρούµε (από την εξίσωση εξόδου) η έξοδος y(t) είναι ανεξάρτητη από την z 1 (t), εξαρτάται µόνο από την z 2 (t) η όποία είναι και αυτή ανεξάρτητη (όπως φαίνεται από τις εξισώσεις κατάστασης) από την z 1 (t) Η απόκριση µηδενικής εισόδου είναι που δείχνει ότι δεν µπορεί να ευρεθεί η z 1 (0). Από την Q x 0 = 0 παρατηρούµε ότι η είναι µία µη παρατηρήσιµη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 2 Εποµένως 0 1 1 3 0 rank Q = 2, nullity Q = 1 Κάθε µη-µηδενική λύση της Q x 0 = 0 θα είναι µη-µηδενική, µηπαρατηρήσιµη κατάσταση. Μία τέτοια λύση που µπορεί να ληφθεί από την., µε. τον άνω τριγωνικό πίνακα, είναι x 0 = [ 2 3 1] T. Τα βαθµωτά πολλαπλάσια της, είναι µη-µηδενικές & µη-παρατηρήσιµες καταστάσεις. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Παρατηρητές 29

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 3 Αυτό το ΓΧΑΣ είναι µία. υλοποίηση της ΣΜ Ο πίνακας παρατηρησιµότητας Παρατηρήσεις: Ο πίνακας Q είναι ανεξάρτητος από τον αριθµητή της ΣΜ Είναι Q = 1, εποµένως η υλοποίηση είναι πάντα παρατηρήσιµη ανεξάρτητα από τον παρονοµάστή. Αύτό, όπως θα αποδειχθεί, ισχύει για κάθε n. Ο πίνακας παρατηρησιµότητας Q της εν λόγω υλοποίησης είναι ίδιος µε τον πίνακα ελεγξιµότητας P της παρακάτω υλοποίησης (την έχουµε εξετάσει στο παρελθόν) της ΣΜ. Πως σχετίζονται αυτά τα δύο (2) συστήµατα? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 4 1 2 3 4 6 rank Q = 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 5 rank Q = 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

Δυαδικότητα (Duality) : Ελεγξιμότητα & Παρατηρησιμότητα dual ΣΜ: ΣΜ- SISO: T = + H (????? s) = G( s) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 H s C si A B D ( ) = G( s) H????? s G s = B????? si A C + D T T T T Ελεγξιµότητα: Παρατηρησιµότητα: T T P( A, B ) P( A, C ) T T Q( A, C ) Q( A, B ) Κάθε ένα απο τα συστήµατα είναι: Ελέγξιµο, αν και µόνο αν το δυαδικό του είναι Παρατηρήσιµο: Παρατηρήσιµο, αν και µόνο αν το δυαδικό του είναι Ελέγξιµο: (, ) = T ( T, T ) P A B Q A B (, ) = T ( T, T ) Q A C P A C Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Το ΓΧΑΣ υπο το µετασχηµατισµό οµοιότητας µετατρέπεται (δηλ. εµφανίζεται «υπό άλλη οπτική γωνία») στο... όπου. Προφανώς Αν η x 0 είναι µη παρατηρήσιµη κατάσταση τότε t t 0 οπότε από την προηγούµενη σχέση προκύπτει ότι η z 0 είναι µη παρατηρήσιµη. Ισχύει και το αντίστροφο. Τα δύο προηγούµενα συµπεράσµατα οδηγουν στο : Το µετασχηµατισµένο σύστηµα είναι παρατηρήσιµο αν και µονο αν το αρχικό σύστηµα είναι παρατηρήσιµο. Συµπέρασµα: Η παρατηρησιµότητα είναι αµετάβλητη ως προς τους µετασχηµατισµούς οµοιότητας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

Δεδοµένου ότι Τότε Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων, και (εύκολα αποδεικνυόµενη) CAˆ k = CA k T Οπότε (δεδοµένου ότι ο Τ είναι τετραγωνικός & µηιδιόµορφος) Για την Observability Grammian ισχύει: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Παρατηρήσιμες Υλοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω ότι τα 2 SISO ΓΧΑΣ είναι n-διάστατες παρατηρήσιµες υλοποιήσεις της ίδιας ΣΜ. ( ) ( ) ( ) ( ) n n Λήµµα: Αν Q τότε 1 = Q1 A1, C1, Q2 = Q2 A2, C2! x t = T x t όπου 1 2 T = Q Q 1 1 2 Κανονική Μορφή τύπου- Παρατηρητή (Observer Canonical Form - OCF) Ξεκινάµε από τη θεώρηση της Σ.Μ που µας απασχόλησε για την µελέτη του CCF αλλά και πρόσφατα (σε παράδειγµα). Ας θεωρήσουµε τη δοµή OCF : θα κατανοήσουµε τίς ιδιότητες της που οδηγούν και στην σχετική ονοµατολογία... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Η OCF είναι το ΓΧΑΣ Εποµένως η OCF είναι δυαδική της CCF και, επειδή είναι SISO, θα έχουν τις ίδιες συναρτήσεις µεταφοράς (σύµφωνα µε τα περί δυαδικότητας...). Επειδή όµως η CCF είναι υλοποίηση της H(s), το ίδιο θα ισχύει και για την OCF. Παροµοίως, η εξ ορισµού ελεγξιµότητα της CCF εξασφαλίζει (σύµφωνα µε τα περί δυαδικότητας...) την παρατηρησιµότητα της OCF: T Δυαδικότητα QOCF = P CCF QOCF PCCF Συµµετρικότητα του P CCF T = PCCF = PCCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

Εποµένως Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Με βάση το πρόσφατο Λήµµα, από µία ελέγξιµη υλοποίηση της ΣΜ µε κατάσταση x(t) και πίνακα παρατηρησιµότητας Q µπορούµε να λάβουµε την OCF µορφή µε χρήση του µετασχηµατισµού ( ) ( ) 1 1 = = = ( ) 1 xt T x t T Q Q Q Q OCF OCF OCF OCF OCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Παράδειγµα: ΧΠ: 3 2 Ιδιοτιµές: +2i, -2i, -2 si A = s + 2s + 4s + 8 ( ) 1 T = Q Q = Q Q 1 1 OCF OCF OCF Το σύστηµα είναι παρατηρήσιµο οπότε έχει νόηµα ο µετασχηµατισµός: Δεδοµένου ότι βρήκαµε σε παρελθόν παράδειγµα ότι Είναι φανερό ότι η OCF µορφή είναι δυαδική της CCF. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

Q DCF Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση k 1 k k 0 λ! 0 k k k DCF DCF 1 2! n 1λ1 2λ2! nλn Για τη DCF η 2 [ ] εξέταση της " " # " k παρατηρησιµότητας 0 0 0 λn µέσω του σχετικού πίνακα προαπαιτεί τη εύρεση όρων του τύπου: Εποµένως: C A = c c c = c c c n T n c1 c2! cn c1 c1λ1! c1λ 1 c1 0! 0 1 λ1! λ1 n n 1λ1 2λ2! nλ n 2 2λ2! 2λ2 0 2! 0 1 λ2! λ2 Ως γνωστόν ο Vandermonde πίνακας είναι µη-διόµορφος εφόσον οι ιδιοτιµές λ i (του πίνακα Α) είναι διακριτές. Κατά συνέπεια, η (µη) παρατηρησιµότητα της Διαγώνιας Κανονικής Μορφής πιστοποιείται µε την θεώριση των c i : εφόσον κανένα c i δεν είναι (κάποιο, είναι) µηδενικό το σύστηµα (δεν) είναι παρατηρήσιµο. Άρα: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την παρατηρησιµότητα ενός διαγωνοποιήσιµου ΓΧΑΣ είναι: οι ιδιοτιµές του Α που εµφανίζονται επί της διαγωνίου του A DCF να είναι διακριτές και λ 0! 0 n 1 λ1! λ 1 c1 0! 0 n c c c c c c c = = = 1 λ2! λ2 0 c2! 0 = " " # " " " # " " " # " " " # " " " # " " " # " n n n n n c1λ1 c2λ2! cnλn cn cnλn cnλ n! n 0 0 0 cn 1 λn! λn 1 λn! λn 0 0 0 cn T T να µήν υπάρχει µηδενικό στοιχείο του C DCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

Μη- Παρατηρήσιμες Εξισώσεις Κατάστασης ( ) T Αν για ένα ΓΧΑΣ ισχύει : rank C T A T C T A n C T! = q < n τότε υπάρχει µετασχηµατισµός έτσι ώστε το µετασχηµατισµένο σύστηµα να είναι της µορφής T µε το ζεύγος να ορίζει ένα q-διάστατο ελέγξιµο σύστηµα. Απόδειξη: Από τη δυαδικότητα (, ) T ( T, T T T Q A C = P A C ) και (, ) Με χρήση προηγούµενων αποτελεσµάτων, διαγωνοποιούµε το δυαδικό rank P A C = q < n όπου ελέγξιµο ( q-διάστατο). Παίρνουµε τις ανάστροφες σχέσεις:. και κάνουµε τις αντιστοιχίσεις: Η δυαδικότητα µας οδηγεί στο ότι,από το οποίο καταλήγουµε στο ζητούµενο αποτέλεσµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

Εστω το ΓΧΑΣ Το δυαδικό του ευρέθη µη πλήρως ελέγξιµο, γιατί ο πίνακας ελεγξιµότητας του δυαδικού έχει τάξη 2. Επιλέξαµε τις 2 πρώτες στήλες (γραµµικά ανεξάρτητες) του πίνακα ελεγξιµότητας και προσθέτοντας το «3 ο διάνυσµα της κανονικής βασης», πήραµε τον πίνακα µετασχηµατισµού... Αυτός οδηγεί στο µετασχηµατισµό Που δίνει Μη- Παρατηρήσιμες Εξισώσεις Κατάστασης : Παράδειγμα Αυτό υποδεικνύει ότι το σύστηµα έχει µία µη-παρατηρήσιµη κατάσταση επειδή το ζεύγος είναι παρατηρήσιµο. -3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Παρατηρητές 42

5. Ευστάθεια Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

Εισαγωγή στην Ευστάθεια Η Ευστάθεια (Stability) θα προσεγγισθεί από 2 «κατευθύνσεις» : Εσωτερικα (Internal Stability): Αναλύεται η συµπεροφορά της «απόκρισης µηδενικής εισόδου» Εξωτερικά (External /input-output Stability): Εξετάζεται αν η «απόκριση µηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγµένη στη περίπτωση που το σύστηµα διεγείρεται από φραγµένο σήµα εισόδου (Bounded Input Bounded Output Stability - BIBO). Οι 2 παραπάνω προσεγγίσεις θα συσχετισθούν. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

Εσωτερική Ευστάθεια Είναι ενδιαφέρον να εξετάσουµε την εσωτερική ευστάθεια θεωρόντας µιά πιο γενική κατηγορία από τα ΓΧΑΣ, δηλαδή ένα n-διάστατο, µη-γραµµικό, χρονικά αµετάβλητο σύστηµα n Ένα σηµείο x! " είναι σηµείο ισορροπίας (equilibrium point) του συστήµατος αν ισχύει f x! = Παράδειγµα: θεώρούµε το εκκρεµές που διέπεται από Δ.Ε. της µορφής και το οποίο µετασχηµατίζεται σε x2 x! 2 = 0 ± κ π f ( x) = x= κ Αυτό σηµαίνει ότι τα Σηµεία Ισορροπίας (ΣΙ) : (µαθηµατικά) είναι άπειρα, τον αριθµό, έχουν όλα µηδενική γωνιακή ταχύτητα, και ( ) 0 ksin x! 1 sin x1 = 0 0 "! ευρίσκονται στο κατώτερο και ανώτερο σηµεία της τροχιάς. Από φυσικής απόψεως, υπάρχουν 2 ΣΙ: ένα στο κατώτερο και ένα στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

Εσωτερική Ευστάθεια Η ύπαρξη πολλών (για ένα µηγραµµικό σύστηµα), αποµονωµένων ή µη, ΣΙ µας οδηγεί στην θεώρηση της ευστάθειας γύρω από κάθε ΣΙ. Εποµένως, αναφερόµαστε στην ευστάθεια γύρω από συγκεκριµένο ΣΙ και όχι σε αυτή ενός συστήµατος Στο διπλανό σχήµα, αν θεωρήσουµε ως κατάσταση µόνο την θέση (και όχι και την ταχύτητα) και την ύπαρξη τριβών, τότε οι περιπτώσεις: a. Πρόκειται περί ασταθούς (unstable) ΣΙ. Η παραµικρή διαταραχή θα το οδηγήσει µακράν του ΣΙ. b. Πρόκειται περί ευσταθούς (stable) ΣΙ. Η όποια φραγµένη διαταραχή το οδηγεί σε θέση φραγµένη, σε σχέση µε το ΣΙ. c. Πρόκειται περί ασυµπτωτικά ευσταθούς (asymptotically stable) ΣΙ. Η όποια φραγµένη διαταραχή το οδηγεί εν τέλει στο ΣΙ. (αν δεν υπάρχει τριβή?) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

Τύποι Ευστάθειας Με κατάλληλη µεταφορά αξόνων, µπορούµε γενικά να θέσουµεοιοδήποτε ΣΙ στην αρχή των αξόνων και να αναφερόµαστε σε ΣΙ x! = 0. Το Σηµείο Ισορροπίας x! = 0 του συστήµατος xt! = f xt x0 = x είναι: Ευσταθές (Stable) αν ε > 0 δ = δ( ε) x < δ x( t) < ε t 0 Ασταθές (Unstable) αν δεν είναι ευσταθές. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ασυµπτωτικά Ευσταθές (Asymptotically Stable) ε 0 δ δ ε, T T ε, δ x δ αν xt < ε t 0 xt < δ t T. δηλαδή αν είναι ευσταθές και lim xt = 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) > = = < Συνολικά Ασυµπτωτικά Ευσταθές (Globally Asymptotically Stable) αν ε, M > 0 T = T(. ε, M) x δηλαδη είναι ευσταθές και 0 < M x( t) < ε t T lim xt ( ) = 0 t γιά κάθε αρχική κατάσταση (όχι δηλ. µόνο για τις αρχικές καταστάσεις εντός της περιοχής δ). t Εκθετικά Ευσταθές (Exponentially Stable) αν δκλ,, > 0 x0 < δ x( t) < κ e λ x0 t 0 Συνολικά Εκθετικά Ευσταθές (Globally Exponentially Stable) t αν κλ, > 0 xt < κ e λ. x t 0 γιά κάθε αρχική τιµή x0. ( ) 0 t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

Τύποι Ευστάθειας Ευσταθές (Stable) Ασταθές (Unstable) Ασυµπτωτικά Ευσταθές (Asymptotically Stable) Συνολικά Ασυµπτωτικά Ευσταθές (Globally Asymptotically Stable) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

Τύποι Ευστάθειας : ΓΧΑΣ Αν θελήσουµε να εξειδικεύσουµε τους προηγούµενους ορισµούς για το ΓΧΑΣ το προφανές ΣΙ είναι και οι αντίστοιχοι ορισµού γίνονται : Ευσταθές αν ( ) γ ( ) γ > 0 xt < x x0 = x, t 0 0 0 Ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. (Συνολικά) Ασυµπτωτικά Ευσταθές αν ( ) ( ) ( ) µ > 0 T = T µ > 0 x t < µ x x 0 = x, t T 0 0 (Συνολικά) Εκθετικά Ευσταθές αν t ( ) ( ) κλ, > 0 xt < κ e λ x x0 = x, t 0 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

Τύποι Ευστάθειας : ΓΧΑΣ Παρατηρούµε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) xt! = Axt xt = x xt = e x At 0 0 ( ) At Προφανώς αν x0 = ei x t = e At (δηλ. η i-th στήλη τού πίνακα e ). i Γι αυτή, την i-th στήλη, από τούς ορισµούς : της ευστάθειας, συνάγεται το «φραγµένον» της της ασυµπτωτικής ευστάθειας, συναγεται ότι τείνει στο µηδενικό διάνυσµα. Εποµένως, για να είναι το ΣΙ : Ευσταθές: τότε κάθε στοιχείο της i-th στήλης θα πρέπει να είναι φραγµένο Ασυµπτωτικά Ευσταθές: τότε κάθε στοιχείο της i-th στήλης θα πρέπει να τείνει ασυµπτωτικά στο µηδεν. Τα ανωτέρω ισχύουν i και εποµένως για κάθε στοιχείο του. At e Εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

Ανάλυση της Ευστάθειας ΓΧΑΣ Ως γνωστόν Α R n n Τ R n 1, Τ 0 J = T A Tόπου ο J είναι blockδιαγώνιος µε κάθε block να είναι της µορφής : Κάθε τέτοιο block σχετίζεται µε µία ιδιοτιµή λ. 1 At J t 1. A= T J T e = T e T Jt Αν ο J είναι block-διαγώνιος ο e είναι block-διαγώνιος µε blocks µορφής: Ενα Jordan block που σχετίζεται µε µία ιδιοτιµή λ είναι βαθµωτό (µονοδιάστατο) όταν και µόνο όταν οι σχετικές γεωµετρικές και αλγεβρικές πολλαπλότητες της ιδιοτιµές είναι ίσες. Σε αυτή τη περίπτωση: ( ) Jk ( λ) t λ t Jk λ = λ, e = e Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

Ευστάθεια ΓΧΑΣ Το Σ.Ι. του είναι: Ευσταθές: αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του Α έχουν µη θετικό πραγµατικό τµήµα και γιά κάθε φανταστική ιδιοτιµή η γεωµετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα (όρα µαθηµατικό παράρτηµα) είναι ίσες. (Συνολικά) Ασυµπτωτικά Ευσταθές : αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του Α έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Στο διπλανό σχήµα, οι ιδιοτιµές : «1» : έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα και αντιστοιχούν σε ασυµπτωτικά ευσταθές σύστηµα «2» : είναι µη επαναλαµβανόµενες, επόµένως η γεωµετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα τους είναι ίσες (=1) και αντιστοιχούν σε ευσταθές σύστηµα «3» : έχουν θετικό πραγµατικό τµήµα και αντιστοιχούν σε ασταθές σύστηµα Στις περιπτώσεις που θέλουµε να αντιδιαστείλουµε την Ασυµπτωτική Ευστάθεια από την Ευστάθεια αναφερόµαστε στη δεύτερη ως «οριακή ευστάθεια» (marginal stability). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια Βασική Ιδέα: σύνδεση των εννοιών ευστάθειας µε την ενέργεια... Έστω σύστηµα του οποίου η συνολική ενέργεια ορίζεται ως συνάρτηση της κατάστασής του Αν Τότε Αν Τότε Το ΣΙ αντιστοιχεί σε (τοπικό) ελάχιστο της συνάρτησης ενέργειας, και Η ενέργεια δεν αυξάνει κατά την εξέλιξη οιασδήποτε πορείας που αρχίζει στην γειτονιά του ΣΙ Η πορεία παραµένει κοντά στο ΣΙ, δηλ. έχουµε ευσταθές ΣΙ. Το σύστηµα απορροφά ενέργεια κατά την εξέλιξη οιασδήποτε πορείας που αρχίζει στην γειτονιά του ΣΙ, και εποµένως η ενέργεια συγκλίνει σε τοπικό ελάχιστο έχουµε ασυµπτωτικά ευσταθές ΣΙ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα Στο παρελθόν είδαµε τη ΔΕ που περιγράφει το φυσικο φαινόµενο Προφανώς η θεώρηση : f (t) = 0 οδηγεί την αρχική ΔΕ στην µορφή Συνολική Ενέργεια Δυναμική Ενέργεια - Ελατήριο Κινητική Ενέργεια - Μάζα (, ) > 0 [ ] [ 0 0 ], (, ) = 0 [ ] = [!! ] = [ 0 0] T T T T T E x x x x E x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Η εξέλιξη της ενέργειας κατά µία τροχιά του συστήµατος είναι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα de dt = c x 2 2 Αν c= 0 de dt = 0 E= const. που σηµαίνει ότι έχουµε συνεχή εναλλαγή µεταξύ κινητικής & δυναµικής ενέργειας. Εποµένως Υπενθυµίζουµε ότι για το ΓΧΑΣ το προφανές ΣΙ. είναι Ευσταθές αν γ > 0 xt < γ x x0 = x, t 0 ( ) ( ) 0 0 Παράµετροι: m = 1 kg, k = 10 N/m, c = 0 x 0 = [1 2] T λ 1,2 = ± j 3.16 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα de dt = c x 2 2 ( ) 2 Αν c > 0 τότε, επειδή de dt = c x2 t, x2 ( t ) = 0 x! ( t) = x ( t) = 0 x ( t) = y = const. Αν καθόλη τη διάρκεια µίας τροχιάς, τότε (από την 1 η εξ. καταστ.). Επίσης (από την 2 η 1 2 1 0 εξ. Καταστ.) k x1( t) = k y0 = 0 y0 = 0 Αυτό συνεπάγεται ότι η σχετική τροχιά αντιστοιχεί στο ΣΙ: xt ( ) x! = [ 0 0] T Αν το x ( ) δεν είναι µηδενικό καθόλη τη διάρκεια µίας τροχιάς, τότε 2 t de dt < 0 E 0 t Η σύγκλιση της Ενέργειας στο µηδέν συνεπάγεται 2 min { km, } 0 ( 1( ), 2( )) µ ( 1( 0 ), 2( 0) ) max { km, } Επίσης, ισχύει T > E x t x t E x x t T που αποδεικνύει ότι το ΣΙ ασυµπτωτικά ευσταθές ( ) x! = [ ] xt 0 0 T είναι c=1 N s/m λ 1,2 = - 0.5 ± j 3.12 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα de dt = c x 2 2 ( ) 2 Αν c < 0 τότε, επειδή de dt = c x2 t, x2 ( t ) = 0 x! ( t) = x ( t) = 0 x ( t) = y = const. Αν καθόλη τη διάρκεια µίας τροχιάς, τότε (από την 1 η εξ. καταστ.). Επίσης (από την 2 η 1 2 1 0 εξ. Καταστ.) k x1( t) = k y0 = 0 y0 = 0 Αυτό συνεπάγεται ότι η σχετική τροχιά αντιστοιχεί στο ΣΙ: xt ( ) x! = [ 0 0] T Αν το x t δεν είναι µηδενικό καθόλη τη διάρκεια µίας τροχιάς, τότε de dt > 0 2 ( ) Μπορεί να αποδειχθεί ότι οιαδήποτε αρχική συνθήκη πριν της µηδενικής οδηγεί σε αποκλίνουσα τροχιά. c= - 1 N s/m λ 1,2 = + 0.5 ± j 3.12 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov Βασική Ιδέα: Θεώρηση, όπως και προηγουµένως, της εξέλιξης µιας συνάρτησης - που µοιάζει µε ενέργεια του συστήµατος - επι της τροχιάς του συστήµατος. Για το (γενικό, µη γραµµικό) σύστηµα n θεωρούµε µία συνάρτηση + ( ) :!! 0 που είναι θετικά ορισµένη σε µία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. και ( ) V C! 1 n V δηλ. παντού στο πεδίο ορισµού της είναι συνεχώς παραγωγίσιµη x! 1 x V V V V V V! V V,,, n n x x x x x xn # x x x! n 2 ( x) = V( x x " x ) V! ( x) = ( x) x! + ( x) x! + " + ( x) x! = ( x) ( x) " ( x) = ( x) x! = ( x) f ( x) 1 2 1 2 1 2 n 1 2 ρ > 0 V x ( ) = 0 x = 0,V ( x) > 0 x 0, x < ρ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov Ευθεία Μέθοδος Lyapunov: είναι µία (µόνο) ικανή συνθήκη. Το ΣΙ είναι: Ευσταθές, αν η V( x ) είναι Lyapunov, δηλ. η V! ( x) είναι αρνητικά ηµιορισµένη σε µία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. ρ > 0 V! x! Ασυµπτωτικά Ευσταθής, αν η V x είναι αρνητικά ορισµένη σε µία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. ρ > 0 V! x ( ) ( ) < 0 x < ρ ( ) 0 x < ρ Στη περίπτωση ενος ΓΧΑΣ αν υιοθετηθεί ως n T υποψήφια Lyapunov η τετραγωνική µορφή V( x) = x P x= pijxx i j, τότε η i, j= 1 γενική µορφή της χρονικής παραγώγου της γίνεται :! V x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V x = x f x = 2 x T P A x = x T P A x+ x T P A x= x T A T P x+ x T P A x= x T A T P+ P A x T T T T T x A P x= x A P x = x P A x Παράρτημα ( ) T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov : ΓΧΑΣ Βρέθηκε ότι V! ( x) = x T ( A T P + P A) x Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, για να είναι αυτή η τετραγωνική µορφή T αρνητικά ορισµένη θα πρέπει A P+ P A : αρνητικά ορισµένος. n n T Θεώρηµα: Q! : Q= Q > 0η Μητρωική Εξίσωση Lyapunov T (Lyapunov Matrix Equation -LΜΕ) A P+ P A= Q T λύση P= P. > 0, αν και µόνο αν Re λ < 0 λ σ n n Ο πίνακας P! είναι συµµετρικός. ( ) ( ) i i A έχει µία µοναδική Εποµένως θα εµπεριέχει 1+2+...+n = = n(n+1)/2 άγνωστους παράγοντες. n n Αυτοί, επειδή ο πίνακας Q! είναι συµµετρικός, θα ευρεθούν από τις 1+2+...+n = n(n+1)/2 ανεξάρτητες εξισώσεις που υπάρχουν στην LME. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

Ανάλυση Ευστάθειας ΓΧΑΣ κατά Αν τότε, έχουµε δηλαδή 2 (2+1) / 2 = = 3 αγνώστους. Αν Q = Ι, η LME είναι : T A P+ P A= Q Έχουµε δηλαδή 2 (2+1) / 2 = 3 αγνώστους, τους p 11, p 12, p 22 που ευρίσκονται από την «αναδόµιση» της LME ως: Καταλήγουµε έτσι στον Lyapunov : Παράδειγμα Το κριτήριο Sylvester δίνει ότι P > 0 γιατί Εποµένως ο Α είναι ασυµπτωτικά ευσταθής, πράγµα που πιστοποιείται από τό ότι το έχει Χ.Ε.: και ιδιοτιµές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

Εκθετική Ευστάθεια ΓΧΑΣ Παρόλο που στη γενική (µη-γραµµική) περίπτωση η εκθετική και η ασυµπτωτική ευστάθεια ΔΕΝ είναι ισοδύναµες, στη περίπτωση των ΓΧΑΣ είναι. Αυτό είναι αναµενόµενο γιατί αν ο πίνακας Α έχει ιδιοτιµές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος, αυτό αντιστοιχεί σε εκθετική σύγκλιση στο 0. T T T Αν V( x) = x P x τότε V! ( x) = x A P+ P A x και αν στην T ALME P+ P A. = Q επιλέξουµε Q = I τότε µε χρήση της ανισότητας Rayliegh-Ritz! T 1 T 1 ( ) ( ) ( )! 1 ( ( )) ( ( )) λmax ( P) λmax ( P) λmax ( P) Η ΔΕ V x = x x x P x = V x w t = V x t + V x t 0 t 0 έχει τη µοναδική λύση Μη- θετικός όρος Και κατά συνέπεια Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62

Εκθετική Ευστάθεια ΓΧΑΣ Εφαρµόζοντας και πάλι την ανισότητα Rayliegh-Ritz Επειδή P> 0 λmin ( P) > 0 T και x = x = x x 2 Διαιρώντας την ανίσωση κατά µέλη µε λ P > παίρνουµε ( ) min 0 Η Εκθετική Ευστάθεία απαιτεί t κλ ( ) κ λ ( ) Δηλαδή τι αποδείξαµε για τα ΓΧΑΣ?, > 0 xt < e x x0 = x, t 0 0 0 Ξεκινήσαµε µε την υπόθεση ότι αν ένα ΓΧΑΣ είναι Ασυµπτωτικά Ευσταθές, Τότε µε χρήση του θεωρήµατος Lyapunov και της ανισότητας Rayliegh-Ritz Καταλήξαµε στο ότι το σύστηµα θα είναι Εκθετικά Ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63

Ευστάθεια τύπου: «Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου» Μέχρι στιγµής έχουµε προσεγγίσει την «εσωτερική ευστάθεια»: Αναλύθηκε η συµπεριφορά της «απόκρισης µηδενικής εισόδου» Τώρα θα προσεγγίσουµε την «εξωτερική ευστάθεια» : Εξετάζεται αν η «απόκριση µηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγµένη όταν το σύστηµα διεγείρεται από φραγµένο σήµα εισόδου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64

Ευστάθεια τύπου: «Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου» Ευστάθεια Φραγµένη Εισόδου Φραγµένης Εξόδου (Bounded Input Bounded Output BIBO Stability): είδος εξωτερικής ευστάθειας Εξετάζεται αν η «απόκριση µηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγµένη όταν το σύστηµα διεγείρεται από φραγµένο σήµα εισόδου. Ορισµός: Το ΓΧΑΣ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν υπάρχει πεπερασµένη σταθερά η, τέτοια ώστε για κάθε είσοδο u(t) η έξοδος ικανοποιεί την Max/sup Θεώρηµα: Το ΓΧΑΣ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν και µόνο αν ο πίνακας κρουστικής απόκρισης H( t) = C e At B+ D δ ( t). ικανοποιεί την ανίσωση Νόρμες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

Παράδειγμα: Ευστάθεια Ασυμπτωτική και ΒΙΒΟ Εστω το ΓΧΑΣ : που έχει ΧΠ: Το ΓΧΑΣ δεν είναι ασυµπτωτικά ευσταθές Αυτό µπορεί να φανεί και από τον πίνακα µεταβατικής απόκρισης: Και για την ΣΜ : Η απαλοιφή των πόλων οφείλεται στο ότι το σύστημα είναι... ΒΙΒΟ Ευσταθές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 66

[ ] Παράδειγμα: Ευστάθεια Ασυμπτωτική Επειδή έγινε απαλοιφή του ασταθούς πόλου, ενώ το σύστηµα είναι εσωτερικά ασταθές εµφανίζεται να είναι BIBO-ευσταθές... Αν τότε και ΒΙΒΟ T B = 1 1 1 1 P( A, B) = 0 1 1 1 rank ( P) = 1 A = 1 0 0 1 rank ( Q) = 2 Q( A, C) = C = [ 0 1] 1 0 At x = [ ] zi ( ) zi ( ) 0 0 1 1 T y t = C x t = C e x = e Μη (πλήρως) Ελέγξιμο Παρατηρήσιμο t Επίσης αν u(t)=1 τότε 1 1 1 Yzs ( s) = H( s) = yzs ( t) = 1 e s s s+ 1 Το οποίο είναι φανερό ότι αποκλείνει, επειδή το σύστηµα είναι εσωτερικά ασταθές... Προσοχή λοιπόν στην απαλοιφή πόλων... t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 67

Σχέση Ασυμπτωτικής και ΒΙΒΟ Ευστάθειας Θεώρηµα: Για το ΓΧΑΣ : 1. Ασυµπτωτική ευστάθεια πάντοτε συνεπάγεται ΒΙΒΟ-ευστάθεια. 2. Εάν το σύστηµα είναι «ελάχιστης παράστασης» (minimal) τότε η ΒΙΒΟευστάθεια συνεπάγεται ασυµπτωτική ευστάθεια. Η έννοια του minimality σχετίζεται µε την απαλοιφή πόλων-µηδενιστών, κάτι που προκαλεί πρόβληµα ιδιαίτέρως όταν είναι ασταθείς... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 68

Παράρτημα: Θετικά Ορισμένοι Πίνακες V( x) = x P x= p xx T Η τετραγωνική µορφή ij i j είναι θετικά ορισµένη n i, j= 1 (positive definite) για κάθε x! αν και µόνο αν ο πίνακας P είναι ένας θετικά ορισµένος συµµετρικός πίνακας (συµβολίζεται P > 0). O n n T P!, P= P (συµµετρικός) είναι θετικά ορισµένος αν και µόνο αν + έχει ιδιοτιµές πραγµατικές και θετικές, δηλ. λ σ( A) λ!, ή (Κριτήριο Sylvester) ισχύει για τις υποορίζουσες > 0 > 0 > 0 > 0 n i i Παρατηρούµε ότι αν τότε Ένας πίνακας Q είναι αρνητικά ορισµένος αν και µόνο αν ο πίνακας Q είναι θετικά ορισµένος Από τη δοµή (τον ορισµό) της V( x συνάγεται ότι: V ) = 2 x T P x T Αν P= P τότε δεδοµένου ότι η τετραγωνική µορφή είναι βαθµωτή, ισχύει: ( ) T Ανισότητα Rayliegh- Ritza x A P x= x A P x = x P A x T T T T T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 69

Παράρτημα: Maximum vs Supremum Ένα διανυσµατικό «σήµα» (δηλ. συνάρτηση στο χρόνο) u(t) είναι φραγµένο άν υπάρχει πεπερασµένη, θετική σταθερά ν τέτοια ώστε ut ν t Αν υπάρχει ένα τέτοιο ανω φράγµα, το ελάχιστο άνω φράγµα (supremum) αναπαρίσταται ως Προφανώς, αν δεν υπάρχει ένα τέτοιο φράγµα, τότε Πρέπει να επισηµανθεί η σαφής διάκριση µεταξύ supremum και maximum της u(t) : Στο πεδίο ορισµού της 0, κάποια στιγµή πρέπει να πάρει ως τιµή το maximum αν υπάρχει, ενώ το supremum είναι απλά ένα όριο... ( ) 0 [ ) Παράδειγµα: Η συνάρτηση είµαι γνήσίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισµού της 0, και δεν έχει maximum. Όµως: [ ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ ΒΙΒΟ 70