1 : Θέμα o από εξέταση της 2/2/2: α) Ποια η γενική μορή δηλ ανεξαρτήτως συστήματος συντεταγμένων) του μαγνητικού πεδίου B που δημιουργεί μαγνητικό δίπολο ροπής m σε σημείο P τέτοιο ώστε το διάνυσμα από το δίπολο ως το P να είναι r; Αναέρετε τον τύπο χωρίς απόδειξη) β) Μαγνητικό δίπολο m 1 1 ŷ είναι στερεωμένο στο κέντρο συστήματος O Ενα άλλο μαγνητικό δίπολο m 2 2ˆ είναι ελεύθερο να κινείται πάνω σε περιέρεια κύκλου r 2 + 2 = R, = βλέπε σχήμα), χωρίς να αλλάζει η διπολική του ροπή O m 1 R 8ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι m 2 : Θέμα 3 o από εξέταση της 17/9/21: Ο ρευματοόρος βρόχος του σχήματος αποτελείται από ένα ημικύκλιο εμβαδού E, ένα ορθογώνιο εμβαδού επίσης E και διαρρέεται από ρεύμα α) Ποια η διπολική ροπή m του βρόχου; Σε σημεία r = ˆ + ŷ + ẑ που βρίσκονται πολύ μακρυά από το βρόχο r E) να βρεθούν: β) το διανυσματικό δυναμικό A και γ) το μαγνητικό πεδίο B β 1 ) Ποια η ενέργεια αλληλεπίδρασης των δύο διπόλων U = m 2 B 1 ) σαν συνάρτηση της γωνίας ; Σε ποιες θέσεις η ενέργεια γίνεται μέγιστη και σε ποιες ελάχιστη; β 2 ) Ποια η δύναμη που ασκείται στο m 2 σε τυχούσα γωνία ; Ποια τα σημεία ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας; 2 : Θέμα 1 o από εξέταση της 22/9/25: Μικρή σαίρα μάζας m g και ακτίνας α είναι ομογενώς μαγνητισμένη με μαγνήτιση M Η σαίρα αήνεται σε χώρο με βαρυτικό πεδίο g = gẑ και μαγνητικό πεδίο B = k 1/2ˆ, όπου g και k θετικές σταθερές α) Ποια η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης της σαίρας με το μαγνητικό πεδίο αν η σαίρα βρίσκεται στη θέση και η γωνία μεταξύ M και ˆ είναι θ; β) Σε ποιο ύψος και με ποιο προσανατολισμό της M θα ισορροπήσει η σαίρα; Μπορείτε να θεωρήσετε τη σαίρα σημειακό δίπολο α ) 3 : Θέμα 3 o από εξέταση της 18/9/29: Επίπεδος μεταλλικός δακτύλιος ακτίνων α, β α < β) έχει ως άξονα τον άξονα και κέντρο την αρχή των αξόνων Ο δακτύλιος διαρρέεται από επιανειακή πυκνότητα ρεύματος K = K ˆ, K = σταθερά α) Βρείτε τη μαγνητική ροπή του δακτυλίου m συναρτήσει της ολικής έντασης ρεύματος και των ακτίνων α, β β) Ποιο το διανυσματικό δυναμικό A r) σε μεγάλες αποστάσεις από το δακτύλιο r β); 5 : Θέμα 2 o από εξέταση της 19/6/212: Ραβδόμορος μαγνήτης ροπής m με m κατακόρυη διεύθυνση κρατείται σταθερός Στην κατακόρυη που περνά από το μαγνήτη και σε απόσταση r κάτω από αυτόν, αήνουμε ρευματοόρο δακτύλιο ακτίνας R που διαρρέεται από ρεύμα, όπως στο σχήμα Αν το r είναι πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις τόσο του μαγνήτη όσο και του δακτυλίου, βρείτε τη δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μαγνήτη δακτυλίου Σε ποια απόσταση r ισορροπεί ο δακτύλιος αν το βάρος του είναι m g g; 6 : Θέμα o από εξέταση της 2/3/215: Δακτύλιος εσωτερικής ακτίνας R 1 και εξωτερικής R 2 είναι ορτισμένος με σταθερή επιανειακή πυκνότητα σ Ο δακτύλιος περιστρέεται γύρω από τον άξονά του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω Τι μαγνητικό πεδίο δημιουργεί σε μεγάλες αποστάσεις σε σχέση με τις διαστάσεις του; 7 : Θέμα o από εξέταση της 22/5/213: Δακτύλιος ακτίνας R διαρρέεται από ρεύμα Το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί πάνω στον άξονά του, σε απόσταση από το κέντρο του, έχει τη µ R 2 διεύθυνση του άξονα και μέτρο B = 2 2 + R 2 ) 3/2 Πάνω στον άξονα του δακτυλίου μπορεί να κινείται μαγνητικό δίπολο με ροπή m παράλληλη στον άξονα Ποια η δύναμη που ασκείται στο δίπολο; Σε ποια απόσταση είναι μέγιστη και ποια η μέγιστη τιμή της; Νεκτάριος Βλαχάκης, 15/11/215
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Καρτεσιανές,, ) Κυλινδρικές ϖ,, ) Σαιρικές r, θ, ) = ϖ cos = r sin θ cos = ϖ sin = r sin θ sin = = r cos θ v v ˆ + v ŷ + v ẑ v ϖ ˆϖ + v ˆ + v ẑ v rˆr + v θ ˆθ + v ˆ ˆ + ŷ + ẑ ϖ ˆϖ + 1 ϖ ˆ + ẑ r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 r sin θ ˆ v v + v + v 1 ϖv ϖ ) ϖ ϖ + 1 v ϖ + v ) 1 r 2 v r r 2 + 1 v θ sin θ) + 1 r r sin θ θ r sin θ v v ) 1 v ˆ+ v v v ) ϖ v ) [ 1 v sin θ) ˆϖ+ θ ˆr+ vϖ ŷ+ v v ) v ) r sin[ θ θ 1 1 v r ˆ+ [ ϖ 1 ϖv ) ẑ ϖ ϖ r sin θ rv ] ) ˆθ+ [ r ϖ 1 rvθ ) ẑ r ˆ r r θ 2 2 2 + 2 2 + 2 1 2 ϖ ) + 1 2 ϖ ϖ ϖ ϖ 2 2 + 2 1 2 r 2 r 2 ) 1 + r r r 2 sin θ ) + sin θ θ θ d l dˆ + dŷ + dẑ dϖ ˆϖ + ϖd ˆ + dẑ drˆr + rdθˆθ + r sin θd ˆ d a ddˆ + ddŷ + ddẑ ϖdd ˆϖ + dϖd ˆ + ϖdϖdẑ r 2 sin θdθdˆr + r sin θdrdˆθ + rdrdθ ˆ dτ ddd ϖdϖdd r 2 sin θdrdθd v 1 2 r 2 sin 2 θ 2 Νεκτάριος Βλαχάκης, 15/11/215
ΛΥΣΕΙΣ: 1 : α) B = µ µ m 1 m [ 2 [3 m ˆr) ˆr m] ή πr3 sin 3 15 cos 2 ) ˆ+ B = µ [ 3 m r) r r 2 m ] πr cos 2 + 5 cos 2 1 sin 2 ) ŷ ] πr 5 β 1 ) U = m 2 B µ 1 = m 2 πr [3 m 3 1 ˆr) ˆr m 1 ] = Η προβολή της τελευταίας πάνω στο ˆ = sin ˆ + µ πr [3 m cos ŷ δίνει F 3 1 ˆr) m 2 ˆr) m 1 m 2 ] το ίδιο προκύπτει και από U = m 1 B ˆ = 3µ m 1 m 2 cos 2 sin 2 ) πr Τα σημεία ευσταθούς ισορροπίας αντιστοιχούν σε 2 ) ελάχιστα της δυναμικής ενέργειας, δηλ είναι τα Αντικαθιστώντας m 1 ˆr 1 sin αού η γωνία μεταξύ m 1 και ˆr είναι π 2 ), m = π 2 ˆr 2 cos αού και 5π Τα σημεία ασταθούς ισορροπίας η γωνία μεταξύ m 2 και ˆr είναι ), m 1 m 2 = αού τα m 1 και m 2 είναι κάθετα) και r = R βρίσκουμε U = 3µ m 1 m 2 πr 3 sin cos Αλλιώς: Αντικαθιστούμε ˆr = cos ˆ + sin ŷ, r = Rˆr, m 1 1 ŷ και m 2 2ˆ στην U Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα 2 sin cos = sin2) γράουμε τη δυναμική ενέργεια σαν U = 3µ m 1 m 2 sin2) και βλέπουμε αμέσως πότε γίνεται ελάχιστη ή μέγιστη 8πR 3 Τα ελάχιστα αντιστοιχούν στις γωνίες με sin2) = 1 2 = π 2, 5π 2 στο διάστημα < 2π αντιστοιχούν σε μέγιστα της δυναμικής ενέργειας, δηλ είναι τα = 3π και 7π U) π/ π/2 3π/ π 5π/ 3π/2 7π/ 2π 2 < π), δηλ τις = π και 5π Τα μέγιστα αντιστοιχούν στις γωνίες με sin2) = 1 2 = 3π 2, 7π στο διάστημα < 2π 2 2 < π), δηλ τις = 3π και 7π Αν δεν σκετούμε την ταυτότητα μπορούμε να βρούμε τα ακρότατα από το μηδενισμό της du και το d είδος τους από το πρόσημο της d2 U d 2 β 2 ) Η δύναμη που ασκείται στο m 2 στη διεύθυνση της κίνησής του που είναι η ˆ των πολικών ή των κυλινδρικών συντεταγμένων) είναι χρησιμοποιώντας τον δοσμένο τύπο της κλίσης) F = U = 1 du R d ˆ = 3µ m 1 m 2 cos2) πr ˆ Στο συγκεκριμένο πρόβλημα όπου δεν υπάρχουν ρεύματα στη γειτονιά του διπόλου m 2, δηλ B 1 =, ισχύει F = m2 B ) 1 = m2 ) B1 Αντικαθιστώντας m 2 2ˆ και B 1 = µ [ ] 3 m1 r) r r 2 m πr 5 1 με r = ˆ+ŷ+ẑ, r = 2 + 2 + 2 ) 1/2, m 1 1 ŷ, δηλ B 1 = µ m 1 π 3ˆ + 2 2 2 2 ) ŷ + 3ẑ, 2 + 2 + 2 ) 5/2 = =R cos,=r sin,= βρίσκουμε F 2 B 1 F) π/ π/2 3π/ π 5π/ 3π/2 7π/ 2π Μπορούμε να βρούμε τα σημεία ισορροπίας σαν τα σημεία μηδενισμού της δύναμης και να μελετήσουμε την ευστάθειά τους διερευνώντας αν η δύναμη είναι δύναμη επαναοράς γύρω από αυτά Βλέπουμε για παράδειγμα από το διάγραμμα της F ) ότι F π/) = οπότε το σημείο = π/ είναι σημείο ισορροπίας Για γωνίες λίγο μεγαλύτερες από π/ η δύναμη είναι αρνητική αντίρροπη του ˆ), δηλ προσπαθεί να επαναέρει το δίπολο στη θέση ισορροπίας το ίδιο συμβαίνει σε γωνίες λίγο μικρότερες από π/ όπου η δύναμη είναι θετική ομόρροπη του ˆ και άρα προσπαθεί να επαναέρει το δίπολο στη θέση ισορροπίας) Ετσι συμπεραίνουμε ότι το σημείο = π/ είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας Ομοια μελετούμε τα υπόλοιπα σημεία μηδενισμού της δύναμης = 3π/ προκύπτει ασταθές σημείο ισορροπίας), = 5π/ προκύπτει ευσταθές σημείο ισορροπίας) και = 7π/ προκύπτει ασταθές σημείο ισορροπίας) Νεκτάριος Βλαχάκης, 15/11/215
2 : α) U B = m B = B Mdτ = k 1/2ˆ Mdτ Αού a το πεδίο είναι ομογενές στον όγκο της σαίρας και άρα αντικαθιστώντας επίσης ˆ M = M cos θ και dτ = πa3 3 ) η ενέργεια αλληλεπίδρασης διπόλου μαγνητικού πεδίου είναι U B = πa3 3 1/2 cos θ Το ίδιο βέβαια προκύπτει αν η σαίρα θεωρηθεί σημειακό δίπολο με ροπή m = Mdτ = M πa 3 3 β) Η ροπή N = m B θα περιστρέψει τη σαίρα ώστε η M να γίνει ομόρροπη του μαγνητικού πεδίου, δηλ να γίνει θ = θ = Η δύναμη από το μαγνητικό πεδίο θα είναι FB = U B = U B ẑ = 2πa3 cos θ ẑ, η οποία για 3 1/2 θ = γίνεται FB = 2πa3 ẑ και εξουδετερώνει 3 1/2 το βάρος F g = m g gẑ στο ύψος για το οποίο 2πa 3 2πa 3 ) 2 3 1/2 g g = 3m g g Αλλιώς: Προσθέτοντας στην U B την βαρυτική δυναμική ενέργεια m g g βρίσκουμε U g g πa 3 3 1/2 cos θ Αυτή η ολική) δυναμική ενέργεια πρέπει να ελαχιστοποιηθεί για να βρεθεί η συνθήκη ευσταθούς ισορροπίας Οι συνθήκες U θ = και U = δίνουν θ = θ = και 2πa 3 ) 2 = = Το σημείο αυτό αντιστοιχεί σε ελάχιστο της U, διότι ο επόμενος όρος 3m g g του αναπτύγματος Talor είναι θετικός, U, θ) = n+m U ) n θ θ ) m n= n θ m =,θ=θ n! m! U =,θ= + U ) + U θ = θ,θ= =,θ= + 1 2 U 2 2 ) 2 + 2 U )θ + θ 1 2 2 U θ 2 =,θ= =,θ= ) θ 2 2 g g [ 1 + + θ 2] = 2,θ= 3 : α) Κάθε δακτύλιος ακτίνας r και πάχους dr διαρρέεται από ρεύμα d = Kdl = K dr, οπότε η μαγνητική διπολική ροπή του είναι d m = πr 2 d = K πr 2 dr ẑ Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε 8ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι β την ολική διπολική ροπή m = K πr 2 dr ẑ = α K π β3 α 3 ẑ Το ολικό ρεύμα είναι = d = 3 β K dr = K β α) K = α β α, οπότε η ζητούμενη έκραση της μαγνητικής ροπής είναι m = π β 3 α 3 3 β α ẑ = π β 2 + αβ + α 2) ẑ 3 β) Σε μεγάλες αποστάσεις μένει ο διπολικός όρος A = µ m ˆr β 2 + αβ + α 2) ẑ ˆr µ 12 = µ π r 2 12 β 2 + αβ + α 2) sin θ ˆ r 2 r 2 = : α) Η μαγνητική διπολική ροπή του ημικυκλίου είναι m 1 = Eŷ και του ορθογωνίου m 2 = Eẑ, οπότε η ολική ροπή του βρόχου είναι m = Eŷ + Eẑ β) Σε μεγάλες αποστάσεις μένει ο διπολικός όρος A = µ π m ˆr r 2 και αντικαθιστώντας m = E ŷ + ẑ), r = ˆ + ŷ + ẑ, ˆr = r r, r = 2 + 2 + 2 ) και ˆ ŷ ẑ m r = E E = E [ )ˆ + ŷ ẑ], βρίσκουμε A = µ E )ˆ + ŷ ẑ π 2 + 2 + 2 ) 3/2 γ) Το μαγνητικό πεδίο σε μεγάλες αποστάσεις είναι το διπολικό πεδίο B = µ [ 3 m r) r r 2 m ] πr 5 Μετά τις αντικαταστάσεις προκύπτει µ E B = [3 + )ˆ+ 5/2 π 2 + 2 + 2 ) 2 2 + 3 2 2 )ŷ + 3 2 2 + 2 2 )ẑ] Το ίδιο προκύπτει από B = A χρησιμοποιώντας την έκραση του A που βρέθηκε στο ερώτημα β) 5 : Αού το r είναι πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις τόσο του μαγνήτη όσο και του δακτυλίου μπορούμε να αντιμετωπίζουμε τόσο το μαγνήτη όσο και το δακτύλιο σαν ιδανικά μαγνητικά δίπολα Αν θεωρήσουμε άξονα με αρχή στον μαγνήτη και ορά προς τα πάνω, είναι m ẑ Ο δακτύλιος βρίσκεται σε θέση = r και η διπολική του ροπή είναι m δ = πr 2 ẑ Αού οι διπολικές ροπές είναι ομόρροπες η δύναμη μεταξύ μαγνήτη και δακτυλίου είναι ελκτική «βόρειος» με «νότιο» πόλο είναι κοντά) Η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης του δακτυλίου με το μαγνήτη είναι U = m δ B m = µ mr 2, 2r 3 διότι το πεδίο που δημιουργεί ο μαγνήτης στη θέση του δακτυλίου είναι Bm = µ [3 m ˆr)ˆr m] = πr3 µ m ˆr = ẑ είναι το μοναδιαίο από τον μαγνήτη 2πr 3 προς το δακτύλιο) Η δυναμική ενέργεια σε σημείο < στη γειτονιά Νεκτάριος Βλαχάκης, 15/11/215
της θέσης του δακτυλίου είναι U = µ mr 2 Η 2 3 ελκτική δύναμη που ασκεί ο μαγνήτης στο δακτύλιο είναι [ U ] [ = du ] = r d ẑ = 3µ mr 2 ẑ Ο 2r = r δακτύλιος ισορροπεί όταν αυτή η δύναμη εξουδετερώνει το βάρος, δηλ σε απόσταση 3µ mr 2 2r g g 3µ mr 2 ) 1/ r = 2m g g Μπορούμε να βρούμε την ολική δυναμική ενέργεια του δακτυλίου σαν άθροισμα της U με την βαρυτική m g g, δηλ U ολ = µ mr 2 + m 2 3 g g και να βρούμε τη θέση ισορροπίας εκεί όπου η U ολ γίνεται ακρότατη Είναι du ολ d = 3µ mr 2 + m 2 g g και άρα το σημείο 3µ mr 2 ) 1/ ισορροπίας είναι το = 2m g g Η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική στη θέση ισορροπίας, οπότε η ισορροπία είναι ασταθής 6 : K = σ v = σ ω r = σωϖ ˆ, άρα κάθε δακτύλιος ακτίνας ϖ και πάχους dϖ διαρρέεται από ρεύμα d = K dϖ και έχει διπολική ροπή d m = ẑπϖ 2 d Η συνολική διπολική ροπή είναι m = ẑ πϖ 2 R2 d = ẑ πϖ 2 Kdϖ = R 1 R2 ẑπσω ϖ 3 dϖ = ẑπσω R 2 R1 R 1 Σε μεγάλες αποστάσεις έχουμε πεδίο διπόλου B µ πσωr2 R1) 2 cos θ ˆr + sin θ ˆθ) 16πr 3 7 : Η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης διπόλου δακτυλίου είναι U = m B = µ R 2 m 2 2 + R 2 ), 3/2 όπου η θέση του διπόλου Η δύναμη που ασκεί ο δακτύλιος στο δίπολο είναι F = U du = d ẑ = 3 2 µ R 2 m ẑ 2 + R 2 5/2 ) Η δύναμη είναι περιττή λόγω συμμετρίας ελκτική αν m > και απωστική αν m < ), οπότε αρκεί να μελετήσουμε την περιοχή Το μέτρο της δύναμης για θετικά είναι ) = 3 2 µ R 2 m 2 + R 2 ) 5/2 Αού μηδενίζεται σε = και = κάπου γίνεται μέγιστη Είναι d d = 3 2 µ R 2 R 2 2 m 2 + R 2 ), 7/2 θετική για < R/2 και αρνητική για > R/2 Επομένως η ) αυξάνεται από μηδέν στο κέντρο του δακτυλίου = σε R/2) = 2µ m 25 στην απόσταση = R/2 και στην συνέχεια θίνει μέχρι το 5R 2 μηδέν σε άπειρη απόσταση Νεκτάριος Βλαχάκης, 15/11/215