Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 23 / 47

Βαθμοί κορυφών Βαθμός κορυφής: d G (v) = N G (v) [Ορισμός μόνο για απλά γραφήματα] v 7 v 1 v 2 v 3 v 4 Ελάχιστος βαθμός γραφήματος: δ(g) = min {d G (v) : v V (G)} Μέγιστος βαθμός γραφήματος: (G) = max {d G (v) : v V (G)} Μέσος βαθμός γραφήματος: d(g) = v V (G) V (G) d G (v) Πυκνότητα γραφήματος: ϵ(g) = E(G) V (G) v 6 Απομονωμένη κορυφή: Kορυφή v με d G (v) = 0 Εκκρεμής κορυφή: Kορυφή v με d G (v) = 1 v 5 r-κανονικό (r-regular) γράφημα: v V (G) ισχύει d G (v) = r Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 24 / 47

Θεώρημα 21 : Για κάθε γράφημα G ισχύει: i d G (v) = 2 E(G) v V (G) ii δ(g) d(g) (G) iii ϵ(g) = d(g)/2 Απόδειξη : i Πίνακας πρόσπτωσης e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 d(v) v 1 1 1 1 3 v 2 1 1 2 v 3 1 1 1 1 1 5 v 4 1 1 2 v 5 1 1 2 v 1 d(v) 2 2 2 2 2 2 2 14 2 E(G) v 2 e 1 e 4 e 2 v 3 v 5 e 3 e 5 e 6 e 7 v 4 ii Aπό τον ορισμό των δ(g), d(g) και (G) iii Aπό τον ορισμό των ϵ(g) και d(g) Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 25 / 47

Πρόταση 22 : Κάθε γράφημα G έχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη : 'Εστω V 1 V : Σύνολο κορυφών περιττού βαθμού V 2 V : Σύνολο κορυφών άρτιου βαθμού Ισχύει ότι d G (v) + d G (v) = 2 E(G) v V 1 v V 2 d G (v) είναι άρτιος αριθμός v V 1 Πρόταση 23 : Κάθε r-κανονικό γράφημα G έχει V 1 είναι άρτιο, γιατί d G (v), v V 1 είναι περιττός r V (G) 2 ακμές } = V 1 V 2 = V Απόδειξη : E(G) = d G (v) v V (G) = 2 r V (G) 2 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 26 / 47

Ερώτηση 21: Το γράφημα G έχει ακριβώς δύο κορυφές με περιττό βαθμό, έστω τις u και v Συνδέονται οι u και v με μονοπάτι; Ερώτηση 22: Υπάρχει 3-κανονικό γράφημα G με 9 κορυφές; Ερώτηση 23: Υπάρχει 9-κανονικό γράφημα G με 13 κορυφές; Ερώτηση 24: Έστω 2 όμιλοι ποδοσφαίρου με 13 ομάδες ο καθένας Μπορούμε να οργανώσουμε ένα πρωτάθλημα έτσι ώστε κάθε ομάδα να συμμετέχει σε 9 αγώνες με ομάδες του ομίλου της και σε 4 αγώνες με ομάδες του άλλου ομίλου; Ερώτηση 25: Έστω ένα r-κανονικό διμερές γράφημα με διαμερίσεις X και Y Να δειχθεί ότι X = Y Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 27 / 47

Πρόταση 24 : Κάθε απλό γράφημα G έχει δύο κορυφές ίδιου βαθμού Απόδειξη : G απλό v V (G) : d G (v) {0, 1,, n 1} όπου n = V (G) Αλλά, το σύνολο των δυνατών βαθμών για τις κορυφές του G δεν μπορεί να περιέχει ταυτόχρονα τους βαθμούς 0 και n 1 [Η κορυφή με βαθμό n 1 είναι ενωμένη με όλες τις άλλες κορυφές, οπότε δεν υπάρχει κορυφή με βαθμό 0] Συνεπώς έχουμε n 1 το πολύ δυνατούς βαθμούς για τις n κορυφές Άρα υπάρχουν δύο κορυφές με τον ίδιο βαθμό [αρχή του περιστερεώνα] Πρόταση 25 : Σε κάθε ομάδα από 2 ή περισσότερους ανθρώπους πάντα υπάρχουν δύο άτομα με τον ίδιο αριθμό φίλων μέσα στην ομάδα Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 28 / 47

Πρόταση 26 : Έστω απλό γράφημα G για το οποίο ισχύει ότι δ(g) συνδεδεμένο V (G) 1 2 Τότε το G είναι Απόδειξη : Θα δείξουμε ότι u, v V (G) υπάρχει μονοπάτι από την u στην v Περίπτωση 1: e = (u, v) E Τότε υπάρχει μονοπάτι u v Περίπτωση 2: e = (u, v) / E V (G) 1 δ(g) Εάν N G (u) N G (v) = { 2 V (G) 1 N G (u) 2 V (G) 1 N G (v) 2 Παρατηρούμε ότι N G (u) N G (v) (1) (1) w N G (u) N G (v) e 1 = (u, w), e 2 = (w, v) Υπάρχει μονοπάτι u v N G (u) N G (v) = N G (u) + N G (v) V (G) 1 (2) Αλλά {u, v} / N G (u) N G (v) N G (u) N G (v) V (G) 2 (3) Άτοπο λόγω της (2) Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 29 / 47

Θεώρημα 27 : Κάθε γράφημα G χωρίς βρόγχους έχει διμερές υπογράφημα H G με τουλάχιστον E(G) /2 ακμές Απόδειξη [Κατασκευαστική]: Θα κατασκευάσουμε διμερές υπογράφημα H G με E(G) /2 ακμές 1 Έστω αυθαίρετη διαμέριση (X, Y ) του V (G) και H G το διμερές επαγόμενο από τα X και Y γράφημα 2 21 Εάν E(H) E(G) /2 τελειώσαμε 22 Αλλιώς, [E(H) < E(G) /2] Έστω v V (G) : d H (v) < d G (v)/2 (πάντα υπάρχει) Μετέθεσε την v στο άλλο μερίδιο Προσάρμοσε το H ώστε να είναι διμερές: αφαίρεσε τις ακμές από το H που ενώνονταν με την v πριν την μετάθεση [d H (v) ακμές] και πρόσθεσε τις ακμές που ενώνονται με την v στο G αλλά όχι στο H [>d H (v) ακμές] Πήγαινε στο 2 Ο αριθμός των ακμών του H αυξάνει μετά από κάθε μετακίνηση Ο αλγόριθμος τερματίζει Το γράφημα H είναι διμερές [από κατασκευή] E(H) E(G) /2 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 30 / 47

E(H) E(G) /2 Απόδειξη : Στο τέλος του αλγορίθμου ισχύει v V (G) : d H (v) d G (v)/2 E(H) = 1 d 2 H (v) v V (H) 1 d 2 G (v)/2 [V (H) = V (G)] v V (G) = E(G) /2 Ερώτηση 26: Δίνει πάντοτε ο αλγόριθμος το μέγιστο διμερές υπογράφημα; g f h e a d b c H 1 : {a, b, c, d}, {e, f, g, h} E(H 1 ) = 12 H 2 : {g, h, a, b}, {c, d, e, f} E(H 1 ) = 16 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 31 / 47

Θεώρημα 28 : Κάθε μη τετριμμένο γράφημα G χωρίς βρόγχους έχει διμερές υπογράφημα H G με > E(G) /2 ακμές [Τετριμμένο γράφημα: γράφημα χωρίς ακμές ή κορυφές] Απόδειξη [Επαγωγή ως προς το V (G) ]: Βάση V (G) = 2 G = H Ισχύει ΕΥ Κάθε μη τετριμμένο χωρίς βρόγχους γράφημα G με V (G) k, k 2, έχει διμερές υπογράφημα H G με > E(G) /2 ακμές ΕΒ Έστω αυθαίρετο γράφημα G με V (G) = k + 1 Έστω αυθαίρετη κορυφή v V (G) Θεωρώ το G\v [έχει k κορυφές] ΕΥ == H G\v : E(H ) > E(G\v) /2 Έστω X και Y τα μερίδια του H Προσθέτω την v στην διαμέριση όπου η v συνδέεται με τις λιγότερες ακμές Γράφημα H Προσθέτουμε στο H τουλάχιστον d G (v)/2 ακμές Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 32 / 47

E(H) E(H ) + d G (v)/2 > E(G\v) /2 + d G (v)/2 = ( E(G\v) + d G (v))/2 = E(G) /2 Ερώτηση 27: Έστω A ο πίνακας γειτνίασης ενός απλού γραφήματος G Να δειχθεί ότι η διαγώνιος του A 2 περιέχει τους βαθμούς των κορυφών του G Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 33 / 47

Θεώρημα 29 [Köning-1916]: Κάθε γράφημα G είναι επαγόμενο υπογράφημα κάποιου (G)-κανονικού γραφήματος Απόδειξη : Για κάθε γράφημα G ορίζουμε την ποσότητα: ( (G) d G (v)) v V (G) z(g) = V (G) Το z(g) αποτελεί μέτρο του πόσο απέχει το G από το να είναι (G)-κανονικό Εφαρμόζουμε επαναληπτικά την παρακάτω διαδικασία η οποία μειώνει το z(g) 1 G 1 = G G 2 Πρόσθεσε ακμές μεταξύ αντίστοιχων κορυφών (σε διαφορετικά αντίγραφα) που έχουν βαθμό < (G) = G G 1 και z(g) > z(g 1 ) 3 Εάν G 1 είναι (G)-κανονικό τελειώσαμε Αλλιώς, G = G 1 πήγαινε στο 1 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 34 / 47

Γραφική ακολουθία Έστω η ακολουθία (d 1, d 2,, d n) όπου 0 d i < n, d i N Με sorted((d 1, d 2,, d n )) συμβολίζουμε την ακολουθία που προκύπτει από την ταξινόμηση σε φθίνουσα διάταξη της (d 1, d 2,, d n ) Έστω G = (V, E) και s = (d(v 1 ), d(v 2 ),, d(v n )), v i V (G), V (G) = n η ακολουθία βαθμών του G Η ακολουθία sorted((d(v 1 ), d(v 2 ),, d(v n ))) ονομάζεται γραφική ακολουθία του G G v1 v4 v8 v10 Γραφική ακολουθία του G v3 v5 v7 v2 ( 4 3 3 2 2 2 2 1 1 0 ) v6 v9 v5 v3 v7 v4 v6 v8 v9 v1 v2 v10 Γραφική ακολουθία: Μία φθίνουσα ακολουθία s = (d 1 d 2, d n) ονομάζεται γραφική αν υπάρχει γράφημα G(V, E) και μία 1 1 και επί απεικόνιση σ : V {1, 2,, n}: d(v) = d σ(v) Το γράφημα G υλοποιεί την ακολουθία s Η ακολουθία s είναι η ακολουθία βαθμών του G Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 35 / 47

Ερώτηση 28: Υπάρχουν διμερή γραφήματα με τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών; i (3, 3, 2, 2, 2) ii (3, 2, 2, 2, 2, 1) iii (5, 2, 1, 1, 1) iv (3, 3, 2, 2) Ερώτηση 29: Να δειχθεί ότι για κάθε n 2 η ακολουθία (0, 1, 2,, n 1) δεν είναι γραφική Ερώτηση 210: Να δειχθεί ότι η ακολουθία (d 1 d 2, d n ) είναι γραφική ανν η ακολουθία sorted(n d 1 1, n d 2 1,, n d n 1) είναι γραφική Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 36 / 47

Μεταγωγή: Έστω κορυφές x, y, z, w V (G) ενός απλού γραφήματος G και (x, y), (z, w) E(G) αλλά (x, z)(y, w) / E(G) Ορίζουμε ως μεταγωγή πάνω στο σύνολο {x, y, z, w} την αντικατάσταση στο G των ακμών (x, y), (z, w) από τις (x, z)(y, w) Παράδειγμα: u v w u v w u v w (u,v)(y,x) (u,v)(y,x) x y z x y z x y z Σημείωση: Μια μεταγωγή σε ένα σύνολο 4 κορυφών ενός γραφήματος G δεν αλλάζει την ακολουθία βαθμών του G Ανηγμένη ακολουθία: Έστω η ακολουθία s = (d 1 d 2, d n ) Η ακολουθία (d 2 1, d 3 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n) ορίζεται ως η ανηγμένη ακολουθία της s Παράδειγμα: Έστω s = (4, 3, 2, 2, 2, 2, 1) Η ανηγμένη ακολουθία της s είναι η s 1 = (2, 1, 1, 1, 2, 1) Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 37 / 47

Θεώρημα 210 [Havel-Hakimi]: Μία φθίνουσα ακολουθία s = (d 1 d 2, d n ) είναι γραφική ανν η ανηγμένη ακολουθία της s είναι γραφική Απόδειξη : '' '' Έστω s 1 = (d 2 1, d 3 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n) η ανηγμένη ακολουθία της s και έστω ότι η s 1 είναι γραφική s 1 γραφική G 1 με V {(G 1 ) = {v 2, v 3,, v n } d(v i ) = d i 1 2 i d 1 + 1 d i d 1 + 2 i n Κατασκευάζω γράφημα G(V, E): V (G) = V (G 1 ) {v 1 } Ο G υλοποιεί την ακολουθία s Η ακολουθία s είναι γραφική E(G) = E(G 1 ) {(v 1, v i ) : 2 i d 1 + 1} Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 38 / 47

Παράδειγμα: v 4 G 1 v 4 v 3 v 3 v 1 v 5 v 6 v 5 v 6 v 2 v 7 v 2 v 7 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 39 / 47

'' '' s = (d 1 d 2, d n) είναι γραφική s = (d 2 1, d 3 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n) είναι γραφική s γραφική G = (V, E) με V (G) = {v 1, v 2,, v n} : d(v i ) = d i, i = 1,, n Περίπτωση 1: u V (G) : d(u) = d 1 και η u είναι γειτονική με κορυφές με βαθμούς d 2, d 3,, d d1 +1 G\u έχει ακολουθία βαθμών την s Περίπτωση 2: κορυφή u όπως στην περίπτωση 1 Έστω η κορυφή v i έχει βαθμό d(v i ) = d i, i = 1,, n Επειδή η v 1 δεν είναι γειτονική με όλες τις v 2, v 3,, v d1 +1 v j και v k με d j > d k : Λόγω του ότι d(v j ) > d(v k ) κορυφή v l : Η v 1 δεν είναι γειτονική με v j Ηv 1 είναι γειτονική με v k Η v l είναι γειτονική με v j Η v l δεν είναι γειτονική με v k Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 40 / 47

v 1 v k Μία μεταγωγή στις v 1, v k, v j, v l δίνει γράφημα G με ίδια ακολουθία βαθμών με το G ΑΛΛΑ: το άθροισμα των βαθμών των γειτόνων της v 1 στο G είναι μεγαλύτερο από το ίδιο άθροισμα στο G v 1 v j v k v l μεταγωγή Συνεχίζοντας, με τον ίδιο τρόπο, θα φτάσουμε στην περίπτωση 1 Η s είναι γραφική v j v l Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 41 / 47

Παράδειγμα: Είναι η ακολουθία (5, 4, 3, 2, 2, 1, 1) γραφική; Εάν ναι, να δοθεί γράφημα G που την υλοποιεί s 1 = (5, 4, 3, 2, 2, 1, 1) s 1 = ( 3, 2, 1, 1, 0, 1) s 2 = sorted(s 1 ) s 2 = ( 3, 2, 1, 1, 1, 0) s 2 = ( 1, 0, 0, 1, 0) s 3 = sorted(s 2 ) s 3 = ( 1, 1, 0, 0, 0) Γραφική G 3 : s 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 G 2 : s 1 3 2 1 1 1 0 3 2 1 1 0 1 G 1 : 5 4 3 2 2 1 1 s 1 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 42 / 47

Θεώρημα 211 [Erdös-Gallai]: Μία φθίνουσα ακολουθία s = (d 1 d 2, d n ), n 2, d 1 1 είναι γραφική ανν n k n i d i είναι άρτιο, και ii k : 1 k < n, d i k(k 1) + min {k, d i } i=1 i=1 i=k+1 Απόδειξη : i Προφανές V 1 V \V 1 k ii d i : v 1 v 2 v k v k+1 v n i=1 E 2 : Ακμές από το V 1 στο V \V 1 E 1 E 2 Κάθε κορυφή u του V \V 1 ενώνεται με: ( ) } Ακμές ανάμεσα Το πολύ με d u κορυφές του V 1 E 1 : 2 στις κορυφές του V 1 Το πολύ με k κορυφές του V 1 Το πολύ με min {k, d u } k(k 1) n Συνολικά: min {k, d i } i=k+1 k n d i k(k 1) + min {k, d i }, 1 k < n i=1 i=k+1 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 43 / 47

Ερώτηση 211: Να δειχθεί ότι για πολυγραφήματα ισχύει: Η φθίνουσα ακολουθία n s = (d 1 d 2, d n ), n 2, d 1 1 d i είναι άρτιο i=1 είναι γραφική Σύνολα βαθμών κορυφών: Δεδομένου γραφήματος G συμβολίζουμε με D G το σύνολο των [διακριτών] βαθμών των κορυφών του G Παράδειγμα: G : 2 2 1 3 4 3 s = (4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1) D G = {4, 3, 2, 1} 1 2 2 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 44 / 47

Θεώρημα 212 [Kapoor-Polimeni-Wall]: Για κάθε σύνολο θετικών ακεραίων S = {a 1, a 2,, a n }, n 1, με a 1 < a 2 < < a n, υπάρχει γράφημα G με σύνολο βαθμών D G = S Επιπλέον υπάρχει τέτοιο γράφημα G με V (G) = a n + 1 Απόδειξη [Κατασκευαστικά, με επαγωγή ως προς το n]: Ο βαθμός του G είναι a n + 1 Άρα, θα δείξουμε ότι υπάρχει G με V (G) = a n + 1 n = 1 Το πλήρες γράφημα K an +1 με a n + 1 κορυφές είναι το ζητούμενο Όλες οι κορυφές του έχουν βαθμό a 1 n = 2 Συμβολίζουμε με A λ το γράφημα με λ κορυφές και χωρίς ακμές A λ = ({v 1, v 2,, v λ }, ) Το γράφημα K a1 A a2 a 1 +1 [ : σύνδεση γραφημάτων]: a 1 1 K a1 a 2 a 1 + 1 βαθμός a 2 a 1 + 1 a 1 a 1 1 + a 2 a 1 + 1 βαθμός = a 2 a 1 Έχει σύνολο βαθμών {a 1, a 2 } V (G) = a 2 a 1 + 1 + a 1 = a 2 + 1 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 45 / 47

ΕΥ Για κάθε σύνολο θετικών ακεραίων S = {a 1, a 2,, a m} με a 1 < a 2 < < a m και 1 m < n, ισχύει ότι: i Υπάρχει γράφημα G με σύνολο βαθμών S ii V (G) = a m + 1 ΕB Έστω σύνολο S = {a 1, a 2,, a n, a n+1 } με a i N +, a 1 < < a n < a n+1 Από ΕΥ, γράφημα G 1 με σύνολο βαθμών {a 2 a 1, a 3 a 1,, a n a 1 } και V (G 1 ) = a n a 1 + 1 Θεωρήστε το γράφημα G = K a1 (A an+1 a n G 1 ) a 1 1 K a1 a n a 1 + 1 G 1 V (G 1) = a n a 1 + 1 βαθμοί: {a 2, a 3,, a n} βαθμός: a 1 1+ a n a 1 + 1+ a n+1 a n = a n+1 a n+1 a n A an+1 an Έχει σύνολο βαθμών {a 1, a 2,, a n, a n+1 } βαθμός a 1 V (G) = }{{} a 1 + a n+1 a n + a }{{} n a 1 + 1 = a }{{} n+1 + 1 K a1 A an+1 G an 1 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 46 / 47

Παράδειγμα: Να κατασκευαστεί γράφημα με 8 κορυφές και σύνολο βαθμών {2, 4, 6, 7} D 1 = {2, 4, 6, 7} D 2 = {d 2 d 1, d 3 d 1 } = {2, 4} G 2 V (G 2 ) = 5 G 1 a n+1 = 7 G 2 {d 2, d 3 } = {4, 6} K 2 A 3 D G1 = {2, 4, 6, 7} V (G 1 ) = 8 K 2 A an+1 an a 1 = 2 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2016 47 / 47