Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής:

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: U = k 2 x2 + y ) 2 α) όπου k θετική και σταθερή ποσότητα και x, y οι συντεταγµένες θέσε ως του υλικού σηµείου. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου το υλικό σηµείο βρίσκεται στο σηµείο Αα, 0) και έχει ταχύ τητα v 0, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιβατική του ακτί να OA, και ανήκει στο επίπεδο κίνησής του Οxy. Να βρεθεί η µορφή της τροχιάς του υλικού σηµείου. ΛΥΣΗ: Η δύναµη F που δέχεται το σωµατίδιο από το πεδίο είναι συντηρητική αφού απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας, υπολογίζεται δε µέσω της σχέσεως: F = - U = -% U $ x i + U y & j 1) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox και Oy αντιστοίχως. Εξάλ λου εάν F x, F y είναι οι αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών της F στους άξονες Ox, Oy, θα έχουµε την σχέση: F = F x i + F y j η οποία συνδυαζόµενη µε την 1) δίνει: F x F y = -U/x = -U/y $ ) F x = -kx F y = -ky 2) Εφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Ox, Oy παίρνουµε τις σχέσεις: md 2 x/ ) = F x md 2 y/ ) = F y 2) md 2 x/ ) = -kx md 2 y/ ) = -ky

d 2 x/ +k/m)x = 0 d 2 y/ +k/m)y = 0 d2 x/ + 2 x = 0 d 2 y/ + 2 y = 0$ 3) όπου 2 =k/m. Οι σχέσεις 3) αποτελούν δύο οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχονται λύσεις της µορφής: x = A 1x µt + A 2x $%t& y = A 1y µt + A 2y $%t 4) όπου Α 1x, A 1y, A 2x, A 2y σταθερές ολοκληρώσεως που θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του υλικού σηµείου. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις σχέσεις 4) παιρνουµε τις αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών της ταχύτητας v του υλικού σηµείου στούς άξονες Οx και Οy, δηλαδή θα έχουµε: v x v y = dx / dt = A 1x $t - A 2x %µt& = dy / dt = A 1y $t - A 2y %µt 5) Για t=0 οι σχέσεις 4) και 5) δίνουν: = A 2x 0 = A 2y $ και 0 = A 1x v 0 = A 1y $ Σχήµα 1 οπότε οι σχέσεις 4) γράφονται: x = $%t y = v 0 /%)&µ%t) x2 / 2 = $ 2 %t % 2 y 2 /v 2 0 =&µ 2 %t ) + ) x 2 + 2 y 2 2 2 v 0 = 1 x2 2 + y 2 v 0 2 / 2 = 1 6) Η σχέση 6) δηλώνει ότι η τροχιά που διαγράφει το υλικό σηµείο είναι έλλειψη µε κέντρο την αρχή Ο, της οποίας οι ηµιάξονες έχουν µήκη α και v 0 /ω.

Παρατήρηση: Η δύναµη F που δέχεται το υλικό σηµείο από το δυναµικό πεδίο µπορεί να πάρει την µορφή: 2) F = F x i + F y j F = -kx i - ky j F = -kx i + y j ) F = -k r 7) όπου r το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως προς την αρχή Ο. Η σχέση 7) δηλώνει ότι η F είναι ελκτική κεντρική δύναµη εκπορευόµενη από την αρχή Ο και η µορφή της µας επιτρέπει να χαρακτηρίζουµε το υλικό σηµείο ως αρµονικό ταλαντωτή δύο διαστάσεων. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 2) οι µεταλλικές ράβδοι A 1 x 1 και A 2 x 2 είναι υπεραγώγιµες και στερεωµένες σε οριζόντιο επίπεδο, έχουν απεριόριστο µήκος, ο δε πυκνωτής είναι φορτισµένος υπό τάση V 0. H µεταλλική ράβδος MN έχει µήκος α και αµελητέα ηλεκτρική αντίστα ση µπορεί δε να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος των A 1 x 1 και A 2 x 2. Tο όλο σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνη τικό πεδίο έντασης B. Tην στιγµή t=0 κλείνουµε τον διακόπτη Δ. Nα βρεθούν: i) η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα σε συνάρτηση µε τον χρόνο και ii) η ταχύτητα της ράβδου σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνονται η χω ρητικότητα C του πυκνωτή, ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του ιδα νικού πηνίου και η µάζα m της ράβδου MN. ΛΥΣΗ: i) Όταν κλείσει ο διακόπτης Δ ο πυκνωτής αρχίζει εκφορτιζόµενος διαµέσου του πηνίου και της αγώγιµης διαδροµής Α 1 ΜΝΑ 2 µε αποτέλεσµα να προκύπτει στο κύκλωµα ηλεκτρικό ρεύµα µεταβλητής έντασης, που προκαλεί επί της ράβδου δύναµη Laplace F L, η οποία την θέτει σε κίνηση. Επειδή κατά την εξέλιξη του φαινοµένου δεν υπάρχουν στο σύστηµα απώλειες ενέργειας, ο ρυθµός µεταβολής της ολικής του ενέργειας είναι κάθε στιγµή µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: d q 2 C + Li2 2 + mv2 $ 2 & % = 0 q C dq dt di dv + Li + mv dt dt = 0 1)

όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή, i η ένταση του ρεύµατος και v η ταχύτητα της ράβδου ΜΝ την στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα. Όµως το πηλίκο dq/dt αποτελεί την ένταση i, ενώ η ποσότητα mdv/dt αποτελεί την αλγεβρική τιµή της δύναµης Laplace F L, δηλαδή είναι ίση µε Βαi. Έτσι η σχέ ση 1) γράφεται: q di i + Li C dt + vbi = 0 q C + L di + vb = 0 2) dt Σχήµα 2 Παραγωγίζοντας την 2) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: 1 dq C dt + L d2 i + dv dt B = 0 i + Bi m B = 0 d 2 i dt + B2 2 2 $ m + 1 LC + % & i = 0 d2 i dt + 2 i = 0 3) 2 µε ω 2 =Β 2 α 2 /m+1/lc). Η σχέση 3) αποτελεί µια οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: i = Aµt + B$%t 4) όπου Α, Β σταθερές ολοκληρώσεως που θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Η 4) για t=0 δίνει 0=B οπότε γράφεται: i = Aµt 5) Παραγωγίζοντας την 5) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την σχέση: di/dt = A$t 6) Όµως την χρονική στιγµή t=0 η σχέση 2) δίνει: 6) V 0 + L di/dt) t=0-0 = 0 di/dt) t=0 = -V 0 /L A= -V 0 /L A= -V 0 /L

οπότε τελικώς η 5) παίρνει την µορφή: i = -V 0 /L)µt 7) H 7) δηλώνει ότι το ρεύµα που κυκλοφορεί στο σύστηµα είναι αρµονικά εναλ λασσόµενο κυλικής συχνότητας ω. ii) Εφαρµόζοντας την χρονική στιγµή t στην ράβδο τον δευτερο νόµο κινήσεως του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: m dv dt = F L = Bi 7) dv dt = - B m V 0 L µt dv = - B m V 0 L µtdt v = - BV 0 ml $ µtdt + K v = BV 0 $%t + K 8) m 2 L H σταθερά ολοκληρώσεως Κ θα προκύψει από την αρχική σύνθήκη ότι η ταχύ τητα της ράβδου την στιγµή t=0 είναι µηδενική, οπότε από την 8) προκύπτει ότι: 0 = BV 0 m 2 L + K K = - BV 0 m 2 L και η 8) παίρνει την µορφή: v = BV 0 m 2 L $%t - BV 0 m 2 L v = BV 0 m 2 L $%t - 1 ) 9) Παρατήρηση 1η: Mπορούµε να καταλήξουµε στην σχέση 3) εφαρµόζοντας την στιγµή t στο κύκλωµα τον δεύτερο νόµο του Kirchoff, οπότε προκύπτει η σχέση: V C - L di dt - Bv = 0 q C - L di dt - Bv = 0 α) όπου V C η τάση του πυκνωτή, -Ldi/dt) η αυτεπαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη στις σπείρες του πηνίου και Βαv η τιµή της επαγωγικής ηλεκτρε γερτικής δύναµης κατά µήκος της κινούµενης ράβδου ΜΝ. Aν ο θετικός οπλισ µός του πυκνωτή την χρονική στιγµή t=0 που κλείνει ο διακόπτης θεωρηθεί ως οπλισµός αναφοράς, τότε σε πρώτο στάδιο η ένταση i του ρεύµατος είναι αρνητική i<0) και επειδή απολύτως αυξάνει θα ισχύει di<0, οπότε η σχέση α) γράφεται: q C + L di dt - Bv = 0 1 dq C dt + L d2 i - B dv dt = 0

i - B F L m = 0 i B i - B m = 0 Επειδή i<0 η προηγούµενη σχέση γράφεται: i + Bi m B = 0 d2 i dt + B2 2 2 $ m + 1 LC + % & i = 0 d 2 i + 2 i = 0 µε 2 = B2 2 m + 1 LC δηλαδή επανευρίσκουµε την σχέση 3). Παρατήρηση 2η: Εάν x είναι η µετατόπιση της ράβδου ΜΝ από την αρχική της θέση κατά την χρονική στιγµή t, η σχέση 9) µπορεί να γραφεί: dx dt = BV 0 m 2 L $%t - 1 ) dx = BV 0 m 2 L $%t - 1 )dt η οποία ολοκληρούµενη δίνει: x = BV 0 m 2 L & $%t - 1 )dt + K x = BV $ 0 µt m 2 & L % - t ) + K Η σταθερά ολοκληρώσεως Κ θα προκύψει από την αρχική συνθήκη x0)=0, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει Κ =0 µε αποτέλεσµα αυτή να γράφεται: x = BV $ 0 µt m 2 & L % - t ) β) Η σχέση β) εγγυάται ότι η κίνηση της ράβδου ΜΝ δεν είναι αρµονική ταλάν τωση. P.M. fysikos