Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά και το απόστημα κανονικού εξαγώνου, να συμπληρώσετε τις ισότητες: φν =, λν =, αν =. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος. α) Σε κάθε τρίγωνο με >, διάμεσο και ύψος ισχύει : β) Ως δύναμη σημείου ως προς κύκλο (Ο,R) ορίζεται η παράσταση: ονάδες 5 - =. (,R) =Ο + R γ) Σε ορθογώνιο τρίγωνο (=9 ο ), αν είναι ύψος τότε ισχύει: =. δ) Το μήκος ενός τόξου 9 ο κύκλου ακτίνας R ισούται με: l= πr. ε) ν είναι η διάμεσος τριγώνου τότε ισχύει: ()=() ονάδες 1 ΘΕ ο ίνεται τρίγωνο με πλευρές α=5, β=7, γ=6. α) Να δείξετε ότι το είναι οξυγώνιο. ονάδες 8 β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στη γ. ονάδες 8 γ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου. ονάδες 9 ΘΕ ο ίνεται κύκλος (Ο,R) και ακτίνα του Ο. Στην προέκταση της Ο προς το παίρνουμε σημείο, τέτοιο ώστε Ο=Ο. ν είναι το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από προς τον κύκλο, να βρείτε: α) Την γωνία Ο. ονάδες 5 β) Το μήκος του τμήματος. ονάδες 6 γ) Το μήκος του τόξου. ονάδες 7 δ) Το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώνου. ονάδες 7 ΘΕ 4 ο Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο είναι τετράγωνο, πλευράς cm εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος και η τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: =1 5 ονάδες 1 β) Να υπολογίσετε το Ε. ονάδες 1 γ) Να αποδείξετε ότι: ()=5(Ε) ονάδες 5
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο 1. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το 1 ο θεώρημα των διαμέσων ονάδες 1. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο ένα παραλληλόγραμμο ένα τραπέζιο και έναν ρόμβο και για καθένα απο τα σχήματα αυτά να γράψετε έναν τύπο που να υπολογίζει το εμβαδόν του. ονάδες 5. Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης με τα στοιχεία της στήλης και της στήλης ΣΤΗΛΗ ΣΤΗΛΗ ΣΤΗΛΗ R 4 R 6 R R R R ονάδες 1 ΘΕ ο ίνεται τρίγωνο με 6, 8 και γωνία 6. ν οι διάμεσοι Ν και του τριγώνου τέμνονται στο Θ να αποδείξετε ότι i. 1 cm ονάδες 8 ii. ονάδες 8 iii. ονάδες 9 Θ Ν ΘΕ ο ίνεται ισοσκελές τραπέζιο με γωνίες, 9. ν Ζ η προβολή της στη και Ε η προβολή της στη τότε να δείξετε ότι: i. ονάδες 1 ii. ονάδες 15 Ζ Ε ΘΕ 4 ο ν,, διαδοχικά σημεία κύκλου,rώστε τότε να υπολογίσετε : 6 και i. Το τόξο και τη γωνία ονάδες 5 ii. Τις πλευρές και ονάδες 7 iii. Την όπου το μέσο της ονάδες 7 iv. Την όπου το σημείο τομής της προέκτασης της με τον κύκλο ονάδες 6 1 Ο
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να γράψετε τον ορισμό του κανονικού πολυγώνου. (ΟΝΕΣ 5). Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μια ς κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. (ΟΝΕΣ 1). Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη σωστή (Σ) ή λάθος (Λ). 1. ν σε τρίγωνο ισχύει. Το εμβαδόν τριγώνου δίνεται από τον τύπο: τότε 9 o 1. Η γωνία v και η κεντρική γωνία v ενός κανονικού πολυγώνου είναι συμπληρωματικές γωνίες. 4. Σε τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο,r ισχύει ότι: 4 R 5. ν δυο χορδές, ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει : ΘΕ ο ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο 9 o cm, 5 cm και το ύψος του. Να υπολογίσετε : με ) Την πλευρά (ΟΝΕΣ 7) ) Το ευθ. τμήμα (ΟΝΕΣ 7) ) Το ευθ. τμήμα (ΟΝΕΣ 6) ) Το ύψος (ΟΝΕΣ 5) ΘΕ ο Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 4 cm, και η μια διάσταση του είναι 1 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν του (ΟΝΕΣ 1). ν Ε σημείο της ώστε το τρίγωνο να είναι ισοσκελές, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. (ΟΝΕΣ 8) (ΟΝΕΣ 5 Χ =1)
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης. Να βρεθεί το ύψος του τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή Ε. (ΟΝΕΣ 7) ΘΕ 4 ο Σε κύκλο O,R παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα o 6, o 9 και o 1 Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R ). οι πλευρές του τετραπλεύρου (ΟΝΕΣ 7) ) Τα τμήματα ΟΕ, ΟΖ, ΟΗ, ΟΘ. (ΟΝΕΣ 6) ). Το εμβαδόν του τετραπλεύρου (ΟΝΕΣ 1) Η Ζ Ο Θ Ε ΚΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεων του επί το ύψος του. (ΟΝΕΣ 15). Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις 1. ν,, πλευρές τριγώνου τότε αν και μόνο αν 9. Η διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δυο ισοδύναμα τρίγωνα. Το εμβαδόν παραλληλογράμμου δίνεται από τον τύπο όπου, πλευρές του 4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο 9 με ύψος ισχύει (ΟΝΕΣ 1) ΘΕ ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με ==1 και γωνία 1. Να υπολογίσετε. Την πλευρά (ΟΝΕΣ 7). Τη διάμεσο (ΟΝΕΣ 8). Την προβολή της πλευράς στην πλευρά (ΟΝΕΣ 1) 1 ΘΕ Σε κύκλο,r παίρνουμε διαδοχικά τόξα 6, 9, 6 1. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R 9 9. Η περίμετρος του τετραπλεύρου (ΟΝΕΣ 1). Το εμβαδόν του τετραπλεύρου (ΟΝΕΣ 15) ΘΕ 4 1 ίνεται κύκλος,r και ακτίνα Ο. Στην προέκταση της Ο προς το παίρνουμε σημείο ώστε Ο=. ν είναι το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται απο το προς τον κύκλο να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R. Την περίμετρο του μικτόγραμμου τριγώνου. Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΚΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1. Να δειχθεί ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των καθέτων πλευρών στην υποτείνουσα. ονάδες 1. Να χαρακτηρισθούν οι παρακάτω προτάσεις Σωστές ή Λάθος α. ν α,β, γ πλευρές τριγώνου και μια διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά τότε α α +β = μ α + β. Το εμβαδόν του ρόμβου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. γ. Η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο,rισούται με λ = R δ. ν το εμβαδόν τριγώνου είναι 8. και η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου είναι τότε η περίμετρος είναι 4 ε. Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου είναι 7. ονάδες 15 ΘΕ ίνεται τρίγωνο με 46 8 και 6 1 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου. ονάδες 6. Να υπολογισθεί η διάμεσος. ονάδες 7 Να υπολογισθεί η προβολή της διαμέσου στην πλευρά ονάδες 7 4 Να υπολογισθεί το ύψος του τριγώνου ονάδες 5 ΘΕ Στο διπλανό σχήμα το Ο είναι ρόμβος. 1. Να δειχθεί ότι η ονάδες 7 R. Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του ρόμβου ονάδες 8. ν R να υπολογισθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος. ονάδες 1 Ο ΘΕ Στο διπλανό σχήμα η χορδή 6 και η. ν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την προέκταση της στο Σ 1. Να δειχθεί ότι η είναι διάμετρος του κύκλου. ονάδες 6. ν R η ακτίνα του κύκλου να δειχθεί ότι ονάδες 5 Σ. Να δειχθεί ότι R ονάδες 7 ονάδες 7 4. Να υπολογισθεί ο λόγος των εμβαδών