ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourseswordpresscom/
Βασικές έννοιες Ένα σώμα δεν κινείται πάντα με σταθερή ταχύτητα Πλέον θα μελετήσουμε την κίνηση σωμάτων τα οποία κινούνται σε ευθεία γραμμή αλλά με μεταβαλλόμενη ταχύτητα, δηλαδή την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Το μέγεθος που διατηρείται τώρα σταθερό ονομάζεται επιτάχυνση και μας δείχνει την μεταβολή της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο Συμβολίζεται με α και ισχύει u a t Όπως θα είναι πλέον κατανοητό αφού η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος το ίδιο θα ισχύει και για την επιτάχυνση, Επιταχυνόμενη Κίνηση Α Περίπτωση Κίνηση με θετική επιτάχυνση u a t Οι εξισώσεις κίνησης θα δίνονται από τις σχέσεις u u a t και x u t 1 a t, όπου u η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t Παρακάτω φαίνεται το γράφημα της μετατόπισης του σώματος συναρτήσει του χρόνου https://physicscourseswordpresscom/ 1
Από το γράφημα ταχύτητας χρόνου η κλίση μας δίνει την επιτάχυνση ενώ το εμβαδόν του τραπεζίου μας δίνει την μετατόπιση Η κλίση της ευθείας, θα μας δίνει την επιτάχυνση Το εμβαδόν θα μας δίνει την μετατόπιση του σώματος Από το γράφημα επιτάχυνσης χρόνου το εμβαδόν θα μας δίνει την μεταβολή της ταχύτητας Το εμβαδόν θα μας δίνει την μεταβολή της ταχύτητας του σώματος https://physicscourseswordpresscom/
Β Περίπτωση Κίνηση με αρνητική επιτάχυνση Η αρνητική επιτάχυνση σημαίνει πως το σώμα κινείται με μικρότερη ταχύτητα σε σχέση με κάποια προηγούμενη χρονική στιγμή, όχι ότι το σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση Οι εξισώσεις κίνησης τώρα θα είναι οι: u u at και x u t 1 at Οι γραφικές παραστάσεις θα μας δίνουν πάλι ακριβώς τις ίδιες ποσότητες απλά τώρα θα είναι οι: https://physicscourseswordpresscom/ 3
Μέγιστη μετατόπιση Χρόνος κίνησης Στην επιβραδυνόμενη κίνηση υπάρχουν δύο ακόμη μεγέθη που μας ενδιαφέρουν Συνήθως θεωρούμε πως το σώμα μεταβαίνει από κάποια κίνηση στην επιβραδυνόμενη, οπότε στην επιβραδυνόμενη θα είναι σχεδόν αδύνατο το σώμα να μην έχει αρχική ταχύτητα χρονική στιγμή Θεωρούμε λοιπόν πως το σώμα αρχικά κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και την t ξεκινάει την επιβραδυνόμενη κίνηση Η ταχύτητα του σώματος συνεχώς θα μειώνεται οπότε κάποια στιγμή θα σταματήσει να κινείται Συνήθως θα μας ζητάνε να υπολογίσουμε το μέγιστο χρόνο κίνησης και την μέγιστη μετατόπιση του σώματος Ξεκινάμε με τις δύο εξισώσεις κίνησης, οι οποίες θα είναι οι u u at και 1 x u t at Θεωρούμε την χρονική στιγμή t t 1, όπου το σώμα πλέον έχει ταχύτητα μηδέν Άρα εκείνη τη χρονική στιγμή θα ισχύει: u u at Προκειμένου να προχωρήσουμε θα 1 λύσουμε την τελευταία εξίσωση ως προς τον χρόνο t Η διαδικασία αυτή ονομάζεται απαλοιφή του χρόνου Άρα θα έχουμε: u a u at1 t1 Πλέον εισάγουμε την ποσότητα που έχουμε βρει για τον χρόνο στην εξίσωση της απομάκρυνσης, άρα θα έχουμε: x 1 ut at u u a 1 u a a x u a u a x u a Άρα ο μέγιστος χρόνος της κίνησης θα είναι u και η μέγιστη a tmax απομάκρυνση s max u a https://physicscourseswordpresscom/ 4
Μεθοδολογία Ασκήσεων i Διαβάζουμε προσεχτικά την εκφώνηση Στη συνέχεια καταγράφουμε τα δεδομένα ii Συνήθως η αρχική ταχύτητα u, είναι μηδέν Άρα θα έχουμε πλέον x 1 at και u at iii iv Αν μας δίνει τον χρόνο και την επιτάχυνση μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση και την μετατόπιση Αν μας δίνει την μετατόπιση και την ταχύτητα μπορούμε να υπολογίσουμε την τον χρόνο αρχικά και μετά την επιτάχυνση Αν μας δίνουν κάποια γραφική παράσταση τότε από το κλίση του γραφήματος x-t μπορούμε να καταλάβουμε το πρόσημο της επιτάχυνσης ή αν έχουμε να συγκρίνουμε δύο κινητά να βρούμε ποιο έχει πιο μεγάλη επιτάχυνση Από το γράφημα της ταχύτητας χρόνου το εμβαδόν θα μας δώσει την μετατόπιση ενώ η κλίση της ευθείας θα μας δώσει την τιμή της επιτάχυνσης παραπάνω Σε περίπτωση που η αρχική ταχύτητα δεν είναι μηδέν τότε απλά έχουμε να κάνουμε λίγες πράξεις Λυμένο Παράδειγμα 1 Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση a 4m / s Αν την χρονική στιγμή t ήταν ακίνητο να υπολογίσετε: i την ταχύτητα του μετά από 1 s ii την μετατόπιση του ίδιο χρονικό διάστημα Λύση Αφού το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση τότε οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του θα είναι οι: u u a t και x 1 u t a t https://physicscourseswordpresscom/ 5
Βάση της εκφώνησης γνωρίζουμε πως την χρονική στιγμή t το αυτοκίνητο έχει u, άρα οι εξισώσεις θα γίνουν: u a t και x 1 a t Τέλος γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση είναι a 4m / s και ο ζητούμενος χρόνος αντικαθιστώντας αυτές τις δύο ποσότητες στις δύο τελευταίες εξισώσεις θα έχουμε: t 1s άρα u 4m / s και x m Λυμένο Παράδειγμα Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση a m / s που το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα ίση με u 4m / s Να υπολογίσετε: Θεωρούμε ως t την χρονική στιγμή i την ταχύτητα του μετά από s ii την μετατόπιση του ίδιο χρονικό διάστημα iii την χρονική στιγμή που θα έχει ταχύτητα u 1m / s Λύση i Αφού το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση τότε οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του θα είναι οι: u u a t και x 1 u t a t Βάση της εκφώνησης γνωρίζουμε πως την χρονική στιγμή t u 4m / s, άρα οι εξισώσεις θα γίνουν: u 4 t και x t 4t Άρα μετά από s η μετατόπιση θα είναι x 1m και η ταχύτητα u 8m / s το αυτοκίνητο έχει https://physicscourseswordpresscom/ 6
ii Αν η ταχύτητα είναι 1m/ s θα ισχύει: u 1m / s 4 t t 8 t 4s 1 Εναλλαγή κινήσεων Αν έχουμε ένα κινητό που ξεκινάει για παράδειγμα να εκτελεί μία ΕΟΜΚ (με θετική επιτάχυνση) στη συνέχεια, εκτελεί ΕΟΚ, και στο τέλος κάνει ΕΟΜΚ (επιβραδυνόμενη) Σ αυτή την περίπτωση κάθε φορά που αλλάζει κίνηση στην επόμενη θα θεωρούμε ως αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που είχε την στιγμή που άλλαξε κίνηση 1 η Περίπτωση Επιταχυνόμενη-Επιβραδυνόμενη Θα θεωρήσουμε πως το σώμα ξεκινάει από την ηρεμία Επομένως αρχικά θα έχουμε 1 at x και u at Την χρονική στιγμή t 1 η ταχύτητα θα είναι u 1 και εκείνη τη στιγμή ξεκινάει η επιβράδυνση Οι εξισώσεις τώρα θα είναι u t και u u1 Την χρονική στιγμή t ξεκινάει να εκτελεί την επιβραδυνόμενη x 1 1 τότε οι εξισώσεις θα είναι οι x u 1 t at και u u1 at Σ αυτές τις περιπτώσεις το πιο συνηθισμένο ερώτημα είναι να βρεθεί ο χρόνος κίνησης και η μέγιστη μετατόπιση του σώματος https://physicscourseswordpresscom/ 7
Λυμένο Παράδειγμα 3 Ένα σώμα, αρχικά ακίνητο, κινείται με σταθερή επιτάχυνση a m / s αρχίζει και κινείται με επιτάχυνση a 4m / s Να υπολογίσετε: Την χρονική στιγμή t 4s i τη μέγιστη μετατόπιση που θα κάνει το σώμα, από τη χρονική στιγμή t μέχρι να σταματήσει να κινείται ii iii τον συνολικό χρόνο κίνησης να δώσετε τα διαγράμματα κίνησης Λύση i Αρχικά η κίνηση του σώματος θα περιγράφετε από τις εξισώσεις στιγμή t 4s θα έχουμε: x 1t και u t Την χρονική x 16m και u 8m / s Άρα το σώμα ξεκινάει την επιβράδυνση αφού έχει διανύσει 16m και με αρχική ταχύτητα u 8m / s Άρα για την επιβράδυνση θα έχουμε: x u 8 4 (SI) 8t t και t ii Όταν το σώμα σταματήσει να κινείται θα έχουμε: u 8 4t t s Άρα το σώμα σταματάει την κίνηση του μετά από s Επομένως το σώμα κινείται συνολικά για χρόνο t 6s iii Σ αυτό το χρονικό διάστημα έχει μετατοπιστεί κατά x 8t t 8 4 x 8m Άρα το συνολικό διάστημα που έχει διανύσει το σώμα είναι x 4m σε χρόνο t 6s https://physicscourseswordpresscom/ 8
Τα διαγράμματα που περιγράφουν την κίνηση είναι τα παρακάτω: https://physicscourseswordpresscom/ 9
η Περίπτωση ΕΟΚ Επιταχυνόμενη Μελετάμε την κίνηση σώματος το οποίο αρχικά κινείται με σταθερή ταχύτητα και μετά αποκτά κάποια επιτάχυνση Υπάρχει περίπτωση να συμβαίνει και το αντίθετο, δηλαδή να ξεκινάει με επιταχυνόμενη και να καταλήγει σε ευθύγραμμη ομαλή Αν η ΕΟΚ προηγείται της ΕΟΜΚ τότε το σώμα όταν ξεκινήσει να εκτελεί ΕΟΜΚ έχει ως αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που είχε στην ΕΟΚ Αντίθετα αν το σώμα εκτελεί αρχικά την ΕΟΜΚ, θα έχει ως ταχύτητα στην ΕΟΚ την ταχύτητα που είχε λόγω της ΕΟΜΚ την χρονική στιγμή που ξεκίνησε να κάνει ΕΟΚ Λυμένο Παράδειγμα 4 Ένα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα u 1 m s Την χρονική στιγμή t 4s αποκτά επιτάχυνση a 4m s Να υπολογίσετε: i την εξίσωση κίνησης του σώματος κάθε χρονική στιγμή ii να δώσετε τα γραφήματα Λύση i Το σώμα ξεκινάει και εκτελεί ΕΟΚ αφού κινείται με σταθερή ταχύτητα Άρα από τη χρονική στιγμή t έως και τη χρονική στιγμή t 4s το σώμα εκτελεί ΕΟΚ ενώ από την χρονική στιγμή t 4s και μετά εκτελεί ΕΟΜΚ (επιταχυνόμενη) με αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που είχε κατά την ΕΟΚ, δηλαδή u 1 m s Άρα οι εξισώσεις κίνησης θα είναι οι: u t 1t, t 4 s x 1 και uo t a t 1t t, t 4s u u u 1, t 4 s a t 1 4t, t s o 4 https://physicscourseswordpresscom/ 1
ii Το δύσκολο στη μελέτη αυτών των ασκήσεων είναι η χάραξη των γραφικών Πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας κάποιες παραμέτρους Αρχικά πρόβλημα έχουμε όσο αφορά τον χρόνο Όπως φαίνεται και παραπάνω η κάθε κίνηση αφορά διαφορετική χρονική περίοδο Για να μπορέσουμε όμως να πάρουμε τα σωστά αποτελέσματα θα πρέπει να κάνουμε κάποιες «τροποποιήσεις» Όσο αφορά τον χρόνο λοιπόν το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αντικαταστήσουμε τους όρους t και t με t t και t t όπου t η χρονική στιγμή που γίνεται η αλλαγή στην κίνηση Στο πρόβλημά μας θα ισχύει t 4s Δεύτερο ζήτημα που πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας είναι η μετατόπιση Μετά την αλλαγή στην κίνηση πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε αποτέλεσμα και την μετατόπιση που είχε κάνει το σώμα συνολικά καθ όλη την διάρκεια της ΕΟΚ Για να γίνει κατανοητό αυτό θα δώσουμε το παρακάτω παράδειγμα Τη χρονική στιγμή 4s, το σώμα έχει διανύσει απόσταση 4m Για το 5 ο δευτερόλεπτο κάνοντας χρήση των παραπάνω θα έχουμε: x 15 4 5 4 1m Δεν είναι όμως δυνατόν το σώμα να κινήθηκε προς τα πίσω ενώ επιταχύνει και να βρέθηκε από τα 4m στα 1m Εμείς λοιπόν μ αυτό τον τρόπο υπολογίσαμε πόσο μετακινήθηκε από την στιγμή που άλλαξε το είδος κίνησης άρα το σώμα θα βρίσκεται στη θέση x 1 4 5m Άρα η σωστή έκφραση για την εξίσωση της μετατόπισης θα είναι η: 1t, t 4 s x 41 t 4 t 4, t 4s https://physicscourseswordpresscom/ 11
Επομένως το γράφημα της μετατόπισης θα είναι το παρακάτω: Και για την ταχύτητα του σώματος θα έχουμε: https://physicscourseswordpresscom/ 1
Και για την επιτάχυνση θα έχουμε: Λυμένο Παράδειγμα 5 Ένα σώμα κινείται με επιτάχυνση a 8m s Την χρονική στιγμή t 1s το σώμα ξεκινά και κινείται με σταθερή ταχύτητα Να υπολογίσετε: i την σταθερή ταχύτητα που θα έχει το σώμα από τη χρονική στιγμή t 1s και μετά ii iii να δώσετε την εξίσωση κίνησης του σώματος κάθε χρονική στιγμή να δώσετε τα γραφήματα Να θεωρήσετε πως το σώμα ξεκινάει και κινείται από την ηρεμία Λύση i Το σώμα ξεκινάει και εκτελεί ΕΟΜΚ (επιταχυνόμενη) αφού έχει επιτάχυνση Άρα από τη χρονική στιγμή t έως και τη χρονική στιγμή t 1s το σώμα εκτελεί ΕΟΜΚ ενώ από την χρονική στιγμή t 1s και μετά εκτελεί ΕΟΚ αφού έχει σταθερή ταχύτητα https://physicscourseswordpresscom/ 13
Για τον υπολογισμό της ταχύτητας που θα έχει στην ΕΟΚ αρκεί να υπολογίσουμε την ταχύτητα που θα έχει όταν γίνει αλλαγή στο είδος κίνησης Μ αυτή την ταχύτητα θα συνεχίσει να κινείται μετά το σώμα σταθερά Άρα θα έχουμε: u a t u 8 1 u 8m s ii Για τις εξισώσεις κίνησης θα έχουμε: 1 a t x x u o 4t, x 8t t και a t 8t u u o 8 Για να ολοκληρώσουμε την απάντηση μας πρέπει να υπολογίσουμε την ποσότητα x, όπου είναι η συνολική απόσταση που έχει διανύσει το σώμα κατά την διάρκεια της ΕΟΜΚ και να κάνουμε τις απαραίτητες αλλαγές στον χρόνο όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα Άρα θα έχουμε: 1 1 x a t x 81 x 4m Επομένως θα ισχύει 4t, x και 4 8t 1 8t, t 1 u 8, t 1s iii Τα γραφήματα που θα περιγράφουν την κίνηση είναι τα παρακάτω: https://physicscourseswordpresscom/ 14
Για την μετατόπιση: Για την ταχύτητα: https://physicscourseswordpresscom/ 15
Και για την επιτάχυνση: 3 η Περίπτωση ΕΟΚ Επιβραδυνόμενη Τέλος θα μελετήσουμε την περίπτωση όπου το σώμα αρχικά εκτελεί ΕΟΚ και στη συνέχεια επιβραδυνόμενη κίνηση (ΕΟΜΚ) Λυμένο Παράδειγμα 6 Ένα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα a 1m s Na δώσετε: u 15 m s Την χρονική στιγμή t 4s αποκτά επιτάχυνση i Τις εξισώσεις κίνησης του σώματος ii iii iv Τον συνολικό χρόνο κίνησης Τη συνολική μετατόπιση τα διαγράμματα κίνησης https://physicscourseswordpresscom/ 16
Λύση i Αρχικά το σώμα εκτελεί μία ΕΟΚ και στη συνέχεια μία ΕΟΜΚ Το τι πρέπει να κάνουμε το είδαμε και παραπάνω στο παράδειγμα 4 Το μόνο που θα αλλάξει τώρα είναι το πρόσημο όπου χρειάζεται Δηλαδή θα έχουμε: x u t 15t 1 1 x uo 4 t t a t t 615t 4 t, u u u o a 15 t t 15 t 4 ii Για τον ολικό χρόνο διάρκειας της ΕΟΜΚ θυμόμαστε υπάρχει ο τύπος t max u a Άρα για το 15 πρόβλημά μας θα έχουμε: t max 15s Στον χρόνο που βρήκαμε προσθέτουμε και τον χρόνο 1 όπου το σώμα εκτελεί ΕΟΚ και θα έχουμε t ol 15 4 19s iii Για την ολική μετατόπιση θα έχουμε: s s s EOMK, άρα θα έχουμε: s EOK u t 15 4 6m u 15 s EOMK 11 5m a Άρα συνολικά θα είναι s 6 11,5 17, 5m iv Οι γραφικές παραστάσεις που δίνουν την κίνηση του σώματος φαίνονται παρακάτω: https://physicscourseswordpresscom/ 17
Για την μετατόπιση: Για την ταχύτητα: https://physicscourseswordpresscom/ 18
Για την επιτάχυνση: https://physicscourseswordpresscom/ 19