Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν επίπεδν κε ην νπνίν έρεη ζπληειεζηή ηξηβήο νιίζζεζεο κ = 0,5. Η δύλακε δίλεηαη από ηε ζρέζε = 00 0 (S.I.) όπνπ ε κεηαηόπηζε ηνπ ζώκαηνο. Αλ g = 0m/s, λα ππνινγίζεηε: α) ηε κεηαηόπηζε όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο β) ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο γ) ην κέγηζην ύςνο ζην νπνίν θηάλεη ην ζώκα δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο ε) ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο όηαλ ην ζώκα έρεη κεηαηνπηζηεί θαηά = 0,5m ζη) ην έξγν ηεο δύλακεο κέρξη ην ζώκα λα ζηακαηήζεη ζην αλώηεξν ζεκείν. ΛΥΣΗ α) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζέζεο ηνπ ζώκαηνο ηζνύηαη κε ηελ ηαρύηεηα. Επνκέλσο ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηε ζέζε γηα ηελ νπνία ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο γίλεηαη κέγηζηε. Απηό ζπκβαίλεη όηαλ ε ζπληζηακέλε ησλ δπλάκεσλ πνπ δέρεηαη ην ζώκα γίλεη κεδέλ. Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλνληαη νη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα θαη νη ζπληζηώζεο ζηνλ άμνλα θίλεζεο θαη ζηνλ θάζεην άμνλα: N w ζ y w w y ζ
Γηα ηηο ζπληζηώζεο ησλ θαη w ηζρύνπλ: w = w.εκζ = mg.εκζ => w = 4.0.0,6N => w = 4N w y = w.ζπλζ = mg.ζπλζ => w y = 4.0.0,8N => w y = 3N =.ζπλζ => = (00 0).0,8 => = 80 6 (S.I.) y =.εκζ => y = (00 0).0,6 => y = 60 (S.I.) Ιζρύνπλ επίζεο: Σ y = 0 => N y w y = 0 => N = 60 + 3 => N = 9 (S.I.) = κ.ν => Τ = 0,5(9 ) => = 46 6 (S.I.) Σ = 0 => w = 0 => 80 6 4 (46 6) = 0 => =>56 6 46 + 6 = 0 => 0 0 = 0 => = m Άξα ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζέζεο ηνπ ζώκαηνο γίλεηαη κέγηζηνο ζηε ζέζε = m. β) Γηα λα ππνινγίζνπκε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ζα εθαξκόζνπκε ΘΜΚΕ γηα ην ζώκα από = 0 κέρξη = m. Θα έρνπκε: K K o W w mu W w () Θα θηηάμνπκε ηα δηαγξάκκαηα () θαη () γηα λα βξνύκε ηα έξγα. Ιζρύεη όηη = 80 6 (S.I.) Γηα = 0 είλαη = 80N ελώ γηα = m είλαη = 64N. Τν δηάγξακκα θαίλεηαη παξαθάησ: (N) 80 64 0 (m)
80 64 W J W J 7 Ιζρύεη όηη = 46 6 (S.I.) Γηα = 0 είλαη = 46N ελώ γηα = m είλαη = 40N. Τν δηάγξακκα από ην νπνίν ζα ππνινγίζνπκε ην έξγν θαίλεηαη παξαθάησ: (N) 46 40 46 40 W J W 43J Ww w. Ww 4.J Ww 4J Από ηε ζρέζε () έρνπκε: 0 (m) 4u 7 43 4 u 5 u, 5 γ) Σην αλώηεξν ζεκείν ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο είλαη κεδέλ. Εθαξκόδνληαο ΘΜΚΕ γηα ην ζώκα από = 0 κέρξη = ζα έρνπκε: m s K K o W w 0 W w. () Θα θηηάμνπκε ηα δηαγξάκκαηα () θαη () γηα λα βξνύκε ηα αληίζηνηρα έξγα. Ιζρύεη όηη = 80 6 (S.I.) Γηα = 0 είλαη = 80N ελώ γηα = είλαη = (80 6 ) N. Τν δηάγξακκα από ην νπνίν ζα ππνινγίζνπκε ην έξγν θαίλεηαη παξαθάησ:
(N) 80 80 6 0 (m) 80 80 6 W W W 80 8 ( S. I.) 60 6 W (80 8 ) Ιζρύεη όηη = 46 6 (S.I.) Γηα = 0 είλαη = 46N ελώ γηα = είλαη = (46-6 ) N. Τν δηάγξακκα από ην νπνίν ζα ππνινγίζνπκε ην έξγν θαίλεηαη παξαθάησ: (N) 46 46 6 0 (m) 46 46 6 W W W 46 3 ( S. I.) 9 6 W (46 3 ) Από ηε ζρέζε () έρνπκε:
0 80 (5 8 4 0) 0 46 3 0( ) ή5 5 0 0 0 0 m Άξα ε κέγηζηε κεηαηόπηζε ηνπ ζώκαηνο είλαη = m. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην κέγηζην ύςνο h ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην εκίηνλν ηεο γσλίαο ζ θαη ζα ηζρύεη: h h 0,6.m h,m δ) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο ηζνύηαη κε ηελ επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο. Επνκέλσο ζην εξώηεκα απηό ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηε κέγηζηε επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο. Ιζρύεη: Σ = w => Σ = 80 6 4 (46 6) => =>m.α = 56 6 46 + 6 => 4.α = 0 0 => α =,5,5. (S.I.) Επνκέλσο ε κέγηζηε επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο (γηα = 0) είλαη ίζε κε α =,5m/s ε) Γηα ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο ηζρύνπλ: dk ( dw ) dw. d dk dk. u (0 0) u( S. I.) (3) Πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο γηα = 0,5m. Θα εθαξκόζνπκε ΘΜΚΕ από = 0 κέρξη = 0,5m θαη ζα έρνπκε: K K o W w mu W w Θα θηηάμνπκε ηα δηαγξάκκαηα () θαη () γηα λα βξνύκε ηα αληίζηνηρα έξγα. Ιζρύεη όηη = 80 6 (S.I.) Γηα = 0 είλαη = 80N ελώ γηα = 0,5m είλαη = 7N. Τν δηάγξακκα από ην νπνίν ζα ππνινγίζνπκε ην έξγν θαίλεηαη παξαθάησ:
(N) 80 7 0 0,5 (m) 80 7 W 0,5J W J W J 76.0,5 38 Ιζρύεη όηη = 46 6 (S.I.) Γηα = 0 είλαη = 46N ελώ γηα = 0,5m είλαη = 43N. Τν δηάγξακκα από ην νπνίν ζα ππνινγίζνπκε ην έξγν θαίλεηαη παξαθάησ: (N) 46 43 0 0,5 (m) 46 43 89 W 0,5J W 0,5J W, 5J Ww w. Ww 4.0,5 J Ww J Από ην ΘΜΚΕ ινηπόλ ζα έρνπκε: 4u 38,5 u 3,75 u, 37 Από ηε ζρέζε (3) έρνπκε: dk dk J dk ( 0 0) u (0 0.0,5),37 6,85 s m s J s
ζη) Θέινπκε λα ππνινγίζνπκε ην έξγν ηεο δύλακεο από = 0 κέρξη = m. Θα θηηάμνπκε ην δηάγξακκα () νπόηε ην εκβαδόλ ζα ηζνύηαη αξηζκεηηθά κε ην έξγν. Γηα = 0 είλαη = 00N ελώ γηα = m είλαη = 60Ν. Τν δηάγξακκα () θαίλεηαη παξαθάησ: (N) 00 60 00 60 W J W 60J 0 (m) Ψαξνπδάθεο Μαλώιεο, Φπζηθόο