Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ

Transcript

1 Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ Β.1 Γεληθά γηα ηελ θακππιόγξακκε θίλεζε 1. Πνηα θίλεζε ιέγεηαη θακππιόγξακκε; Κακππιόγξακκε είλαη ε θίλεζε ζηελ νπνία ε ηξνρηά είλαη θακπύιε. 2. Πώο νξίδεηαη θαη πώο ζρεδηάδεηαη ε ηαρύηεηα ζε θακππιόγξακκε θίλεζε; Η ηαρύηεηα νξίδεηαη ωο ην πειίθν ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηόμνπ πνπ δηαγξάθεη ην θηλεηό ζε απεηξνζηό ρξόλν, πξνο ην ρξόλν ds απηό:. Άξα ε ηαρύηεηα έρεη ηελ θαηεύζπλζε ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηόμνπ. ρ Έηζη, ε ηαρύηεηα ελόο πιηθνύ ζεκείνπ, είλαη πάληα εθαπηόκελε ζηελ ηξνρηά, όπωο θαίλεηαη ζην ζρήκα. 2. Πνηα είλαη ηα γεληθά ραξαθηεξηζηηθά ηεο επηηάρπλζεο ζε κηα θακππιόγξακκε θίλεζε; Σε θάζε θακππιόγξακκε θίλεζε κεηαβάιιεηαη ε θαηεύζπλζε θαη ίζωο θαη ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο ηαρύηεηαο. Έηζη, ε θακππιόγξακκε θίλεζε είλαη κηα θίλεζε κε α ε επηηάρπλζε ε νπνία γεληθά αλαιύεηαη ζε δύν Η ταχύτητα αξάνεται α ζπληζηώζεο: α κ Τελ επηηξόρην επηηάρπλζε α ε, πνπ έρεη ηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο θαη ηελ θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ, πνπ είλαη θάζεηε ζηελ ηαρύηεηα. Η ταχύτητα μειώνεται Η επηηξόρηνο επηηάρπλζε δείρλεη πόζν γξήγνξα αιιάδεη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο, ελώ ε θεληξνκόινο επηηάρπλζε δείρλεη πόζν γξήγνξα αιιάδεη ε θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο (πόζν γξήγνξα «ζηξίβεη»). α ε α α κ 1 Γιώργος Γεωργαντάς

2 3. Σε πνηεο θηλήζεηο δελ ππάξρεη θεληξνκόινο επηηάρπλζε; Σε πνηεο θηλήζεηο δελ ππάξρεη επηηξόρηνο επηηάρπλζε; Αθνύ ε θεληξνκόινο επηηάρπλζε είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο θαηεύζπλζεο ηεο ηαρύηεηαο, ζα είλαη κεδεληθή όηαλ ε θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη ζηαζεξή. Έηζη, ζηηο επζύγξακκεο θηλήζεηο δελ ππάξρεη θεληξνκόινο επηηάρπλζε:. ί 0 Αθνύ ε επηηξόρηνο επηηάρπλζε είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο ηαρύηεηαο, ζα είλαη κεδεληθή όηαλ ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο παξακέλεη ζηαζεξό. Έηζη, ζηελ επζύγξακκε νκαιή θίλεζε θαη ζηηο θακππιόγξακκεο θηλήζεηο πνπ ε ηαρύηεηα έρεη ζηαζεξό κέηξν, δελ ππάξρεη επηηξόρηνο επηηάρπλζε: OKK 0 a Θα νξίζνπκε θαιύηεξα ηελ επηηάρπλζε ζηελ θακππιόγξακκε θίλεζε ζηελ πεξίπηωζε ηεο θπθιηθήο θίλεζεο, ε νπνία παξνπζηάδεη ηδηαίηεξν ελδηαθέξνλ. a Β.2 Η θπθιηθή θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ Με πνηνπο ηξόπνπο κπνξεί λα πεξηγξαθεί κηα θπθιηθή θίλεζε; Κάζε θπθιηθή θίλεζε κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε γξακκηθά κεγέζε ή κε γωληαθά κεγέζε. Τα γξακκηθά κεγέζε είλαη απηά πνπ ζπλδένληαη κε ην κήθνο ηεο γξακκήο (ηνπ ηόμνπ πνπ δηαλύεηαη), όπωο ην ηόμν s ε γξακκηθή ηαρύηεηα π, ε γξακκηθή επηηάρπλζε α. Τα γωληαθά κεγέζε είλαη απηά πνπ ζπλδένληαη κε ηε γωλία πνπ δηαγξάθεη ε επηβαηηθή αθηίλα, όπωο ε γωλία ζ, ε γωληαθή ηαρύηεηα ω, ε γωληαθή επηηάρπλζε α γωλ. Η επιβαηική ακηίνα διέγπαψε γωνία θ Το κινηηό διένζε ηόξο s Όπωο ζα δνύκε, ηα γξακκηθά θαη ηα γωληαθά κεγέζε ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο, νπόηε νη δύν ηξόπνη πεξηγξαθήο είλαη ηζνδύλακνη. Β.2.1 Πεξηγξαθή ηεο θπθιηθήο θίλεζεο κε γξακκηθά κεγέζε 1. Τν ηόμν s Είλαη ην κήθνο ελόο ηκήκαηνο ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ θύθινπ πνπ ηαπηίδεηαη κε ηελ ηξνρηά ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ. Μνλάδα ηνπ ηόμνπ ζην SI είλαη ην 1 m. s 2 Γιώργος Γεωργαντάς

3 2. Η γξακκηθή ηαρύηεηα π a. Τη εθθξάδεη ε γξακκηθή ηαρύηεηα ζηελ θπθιηθή θίλεζε; Η γξακκηθή ηαρύηεηα είλαη ν ξπζκόο δηαγξαθήο ηωλ ηόμωλ, δειαδή έλα κέγεζνο πνπ δείρλεη πόζν γξήγνξα θαη πξνο ηα πνύ δηαγξάθνληαη ηα ηόμα. b. Πώο νξίδεηαη καζεκαηηθά ε γξακκηθή ηαρύηεηα θαη πνηα είλαη ε κνλάδα ηεο ζην SI; Η γξακκηθή ηαρύηεηα νξίδεηαη ωο ην πειίθν ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηόμνπ πνπ δηαγξάθεη ην θηλεηό ζε απεηξνζηό ρξόλν, πξνο ην ρξόλν απηό: Μνλάδα γξακκηθήο ηαρύηεηαο ζην SI είλαη ην 1 m/s. ds (1) c. Πνηα είλαη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο; Η γξακκηθή ηαρύηεηα πιηθνύ ζεκείνπ παξηζηάλεηαη κε δηάλπζκα πνπ έρεη: ρ Σεκείν εθαξκνγήο: ην πιηθό ζεκείν Καηεύζπλζε: ηελ θαηεύζπλζε ηνπ ds δειαδή είλαη δηάλπζκα πάληα εθαπηόκελν ζηελ ηξνρηά. ds ds Μέηξν: ή ds ρ ds ρ ρ 2. Η γξακκηθή επηηάρπλζε α a. Τη εθθξάδεη ε γξακκηθή επηηάρπλζε ζηελ θπθιηθή θίλεζε; Η γξακκηθή επηηάρπλζε a είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο, δειαδή δείρλεη πόζν γξήγνξα θαη κε πνην ηξόπν αιιάδεη ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο. b. Πώο νξίδεηαη καζεκαηηθά ε γξακκηθή επηηάρπλζε θαη πνηα ε κνλάδα ηεο ζην SI; (1) ή ωο ην όξην ηνπ ηόμνπ πνπ δηαγξάθεη ην θηλεηό πξνο ηνλ αληίζηνηρν ρξόλν, όηαλ ν ρξόλνο απηόο ηείλεη ζην κεδέλ s d s lim t 0 t 3 Γιώργος Γεωργαντάς

4 Η γξακκηθή επηηάρπλζε νξίδεηαη ωο ην πειίθν ηεο ζηνηρεηώδνπο κεηαβνιήο ηεο d ηαρύηεηαο ζε απεηξνζηό ρξόλν, πξνο ην ρξόλν απηό: a Μνλάδα ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο ζην SI είλαη ην 1 m/s 2. c. Πνηα είλαη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο; Η γξακκηθή επηηάρπλζε παξηζηάλεηαη κε δηάλπζκα πνπ έρεη: Σεκείν εθαξκνγήο: Καηεύζπλζε: ην πιηθό ζεκείν πάληα πξνο ην εζωηεξηθό ηεο ηξνρηάο. Μέηξν: a d d. Σε πνηεο ζπληζηώζεο αλαιύεηαη γεληθά ε γξακκηθή επηηάρπλζε θαη ηη εθθξάδεη ε θάζε ζπληζηώζα; Η γξακκηθή επηηάρπλζε αλαιύεηαη ζε δύν ζπληζηώζεο: ηελ επηηξόρην επηηάρπλζε a d d, πνπ είλαη εθαπηόκελε ζηελ ηξνρηά θαη εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο ηαρύηεηαο θαη ηελ θεληξνκόιν επηηάρπλζε a 2, πνπ έρεη θνξά πξνο ην θέληξν ηνπ θύθινπ θαη εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θαηεύζπλζεο ηεο ηαρύηεηαο. (*) (*) Η επηηξόρηνο επηηάρπλζε δείρλεη αλ θαη πωο αιιάδεη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο, δειαδή πώο αιιάδεη ην κήθνο ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο ηαρύηεηαο. Η θεληξνκόινο επηηάρπλζε δείρλεη πόζν γξήγνξα αιιάδεη ε δηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο ηαρύηεηαο. Αλ ην θηλεηό ήηαλ έλα απηνθίλεην ζε ζηξνθή, ε α ε ζα έδεηρλε πόζν γξήγνξα θαη πώο αιιάδεη ε έλδεημε ηνπ θνληέξ θαη ε α θ πόζν γξήγνξα ζηξίβεη. 4 Γιώργος Γεωργαντάς

5 e. Πνηα είλαη ε θαηεύζπλζε ηεο επηηξόρηαο επηηάρπλζεο; Η επηηξόρηα επηηάρπλζε έρεη ηελ θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο, όηαλ ε ηαρύηεηα απμάλεηαη (επηηαρπλόκελε θίλεζε) θαη αληίζεηε θαηεύζπλζε από ηελ ηαρύηεηα, όηαλ ε ηαρύηεηα κεηώλεηαη (επηβξαδπλόκελε θίλεζε). f. Πνηεο ζρέζεηο ζπλδένπλ ηε γξακκηθή επηηάρπλζε κε ηηο ζπληζηώζεο ηεο; Ιζρύεη: 2 2, (θ ε γωλία ηεο α κε ηελ π) Παξαηήξεζε: Τν κέηξν ηεο ζπλνιηθήο γξακκηθήο επηηάρπλζεο είλαη ην κέηξν ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο ηαρύηεηαο, δειαδή d, ελώ ην κέηξν ηεο επηηξόρηαο ζπληζηώζαο ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο ηαρύηεηαο, δειαδή d d a. 5 Γιώργος Γεωργαντάς

6 Η ζύλζεηε θίλεζε ζηεξενύ ζώκαηνο 1. Πόηε ιέκε όηη έλα ζηεξεό ζώκα εθηειεί ζύλζεηε θίλεζε; Να αλαθέξεηε έλα παξάδεηγκα. Σύλζεηε είλαη ε θίλεζε πνπ εθηειεί έλα ζώκα, όηαλ κεηαθηλείηαη ζην ρώξν θαη ηαπηόρξνλα αιιάδεη ν πξνζαλαηνιηζκόο ηνπ. Σύλζεηε θίλεζε εθηειεί ν ηξνρόο ελόο θηλνύκελνπ απηνθηλήηνπ: Ο ηξνρόο αιιάδεη ζέζε ζην ρώξν (αθνινπζώληαο ην απηνθίλεην ζηελ θίλεζή ηνπ) θαη ηαπηόρξνλα πεξηζηξέθεηαη γύξω από ηνλ άμνλά ηνπ. 2. Πώο κπνξνύκε λα κειεηήζνπκε νπνηαδήπνηε ζύλζεηε θίλεζε ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο; Μπνξνύκε λα κειεηήζνπκε θάζε ζύλζεηε θίλεζε, εθαξκόδνληαο ηελ αξρή ηεο επαιιειίαο ηωλ θηλήζεωλ: Κάθε ζύνθεηη κίνηζη ενόρ ζηεπεού ζώμαηορ, μποπεί να μελεηηθεί ωρ ηο αποηέλεζμα ηηρ επαλληλίαρ μιαρ μεηαθοπικήρ κίνηζηρ, με ηην ηασύηηηα ηος κένηπος μάζαρ και μιαρ ζηποθικήρ κίνηζηρ, ωρ ππορ άξονα πος διέπσεηαι από ηο κένηπο μάζαρ. Έηζη: Η κεηαθνξηθή θαη ε ζηξνθηθή θίλεζε ζπκβαίλνπλ αλεμάξηεηα ε κία από ηελ άιιε. ην απνηέιεζκα ηεο θίλεζεο είλαη ην ίδην αλ ζεωξήζνπκε όηη νη επηκέξνπο θηλήζεηο εθηεινύληαη δηαδνρηθά, κε νπνηαδήπνηε ζεηξά. ε ηαρύηεηα θάζε ζεκείνπ ηζνύηαη κε ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ηωλ ηαρπηήηωλ ηνπ ιόγω κεηαθνξηθήο θαη ιόγω ζηξνθηθήο θίλεζεο: = + ί ί λόγω μεταφορικήςκίνησης ί λόγω στροφικής κίνησης 3. Σηελ πεξίπηωζε πνπ αλαιύνπκε κηα ζύλζεηε θίλεζε ελόο ζηεξενύ ζε κεηαθνξηθή θίλεζε θαη ζηξνθηθή θίλεζε ωο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο, πνηα ζρέζε έρεη ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο κε ηηο ηαρύηεηεο ηωλ ζεκείωλ ηνπ ζηεξενύ ιόγω κεηαθνξηθήο θίλεζεο; Επεηδή ν άμνλαο πεξηζηξνθήο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο, ην θέληξν κάδαο δελ έρεη ηαρύηεηα ιόγω ζηξνθηθήο θίλεζεο (βξίζθεηαη πάλω ζηνλ άμνλα). Έηζη, ην θέληξν κάδαο έρεη ηαρύηεηα κόλν ιόγω ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο. Οη ηαρύηεηεο όκωο όιωλ ηωλ ζεκείωλ ιόγω κεηαθνξηθήο θίλεζεο είλαη ίζεο. Άξα, ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο είλαη ίζε κε ηελ ηαρύηεηα πνπ έρεη θάζε ζεκείν ιόγω ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ ζηεξενύ: CM = 1 λόγω μεταφ. κίνησης 1 Επίζεο, ην κήθνο ηεο ηξνρηάο ηνπ CM ζα είλαη ίζν κε ην κήθνο ηεο ηξνρηάο θάζε ζεκείνπ ιόγω κεηαθνξηθήο θίλεζεο (x CM =x κεηαθ ) θαη ε επηηάρπλζε ηνπ CM ζα είλαη ίζε κε ηελ επηηάρπλζε θάζε ζεκείνπ ιόγω κεηαθνξηθήο θίλεζεο (α CM =α κεηαθ ). 6 Γιώργος Γεωργαντάς

7 ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΣΚΟΥ (όηαν ο δίζκορ εθάπηεηαι ζε επίπεδη επιθάνεια) Έλαο νκνγελήο δίζθνο εθηειεί ζύλζεηε θίλεζε πάλω ζε κηα νξηδόληηα επηθάλεηα, δηαηεξώληαο ην επίπεδό ηνπ θαηαθόξπθν. 1. Σε πνηεο θηλήζεηο κπνξεί λα αλαιπζεί απηή ε θίλεζε; Όπωο θάζε ζύλζεηε θίλεζε ζηεξενύ, ε θίλεζε ηνπ δίζθνπ κπνξεί λα αλαιπζεί ζε κηα κεηαθνξηθή θίλεζε θαη κηα ζηξνθηθή θίλεζε ωο πξνο νξηδόληην άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο (CM). = + 2. Σε πνηα από ηηο επηκέξνπο θηλήζεηο νθείιεηαη ε θίλεζε ηνπ θέληξνπ κάδαο; Σύκθωλα κε ηελ αξρή ηεο επαιιειίαο είλαη: CM CM, ό. ί ύ CM, ό. ί ύ Επεηδή ν άμνλαο πεξηζηξνθήο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο, ην θέληξν κάδαο δελ ζπκκεηέρεη ζηε ζηξνθηθή θίλεζε, δειαδή είλαη, 0 CM ό ή. Αμ ηξ ζηεοεό εκηελξύζε μόμξ ζηοξθική κίμηζη ωπ ποξπ άνξμα πξρ διέοςεηαι από ηξ CM, ηξ CM θα ήηαμ ακίμηηξ, ξπόηε σ CM,λόγω της στροικής=0 Άξα,, CM CM ό κεηαθνξηθή θίλεζε ηνπ δίζθνπ., δειαδή ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ζα νθείιεηαη κόλν ζηε 3. Πνηα ζρέζε έρεη ε ηαρύηεηα ελόο ζεκείνπ ηνπ δίζθνπ ιόγω κεηαθνξηθήο θίλεζεο κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ δίζθνπ; Η πξνεγνύκελε ζρέζε γξάθεηαη:, Γλωξίδνπκε όκωο όηη όια ηα ζεκεία ιόγω κεηαθνξηθήο θίλεζεο έρνπλ ηελ ίδηα ηαρύηεηα Άξα, ε ηαρύηεηα θάζε ζεκείνπ, εμαηηίαο ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ, ζα είλαη ίζε κε ηε ζπλνιηθή ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ δίζθνπ: οποιοδήποτε σημείο λόγω μεταφορικής κίνησης = CM CM ό CM CM ηαςύηηηα ξπξιξρδήπξηε ζημείξρ λόγω ηηπ μεηαθξοικήπ κίμηζηπ ηξρ ζηεοεξύ 7 Γιώργος Γεωργαντάς

8 4. Πνηα είλαη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ; Λόγω ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ: A cm A cm cm cm cm cm x cm cm a. Όια ηα ζεκεία ηνπ δηαγξάθνπλ ηξνρηέο παξάιιειεο ζηελ επηθάλεηα κε ηελ νπνία εθάπηεηαη ν ηξνρόο. b. Όια ηα ζεκεία ηνπ, θηλνύληαη κε ηελ ίδηα γξακκηθή ηαρύηεηα, πνπ είλαη ίζε κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο: ή ί ό ή ί ύ CM c. Όια ηα ζεκεία ηνπ, ζε νξηζκέλν ρξόλν, δηαλύνπλ ηελ ίδηα απόζηαζε, πνπ είλαη ίζε κε ηελ απόζηαζε πνπ δηαλύεη ην θέληξν κάδαο: x ή ί ό ή ί d. Όια ηα ζεκεία ηνπ έρνπλ ηελ ίδηα γξακκηθή επηηάρπλζε, πνπ είλαη ίζε κε ηε γξακκηθή επηηάρπλζε ηνπ θέληξνπ κάδαο: ή ί ό ή ί ύ CM Αλ ε κεηαθνξηθή θίλεζε είλαη επηηαρπλόκελε, ε CM είλαη νκόξξνπε ηεο CM, ελώ αλ ε θίλεζε είλαη επηβξαδπλόκελε ε CM είλαη αληίξξνπε ηεο CM. ύ x CM 3. Πνηα είλαη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ; Λόγω ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ: ω cm A ωr ωr A θ ω s a. Κάζε ζεκείν ηνπ (*) εθηειεί θπθιηθή θίλεζε γύξω από άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ δίζθνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο. (*) εθηόο ηωλ ζεκείωλ ηνπ δίζθνπ πνπ αλήθνπλ ζηνλ άμνλα 8 Γιώργος Γεωργαντάς

9 b. Η επηβαηηθή αθηίλα νπνηνπδήπνηε ζεκείνπ, ζε νξηζκέλν ρξόλν, δηαγξάθεη ηελ ίδηα γωλία, πνπ είλαη ίζε κε ηε γωλία ζηξνθήο ηνπ ζηεξενύ: θ = θ πο διαγράφει ηακτίνα οποιοδήποτε σημείο λόγω της στροfικής κίνησης το στερεού στερεού c. Τν ηόμν πνπ δηαλύεη θάζε ζεκείν, ζε νξηζκέλν ρξόλν, είλαη αλάινγν κε ηελ απόζηαζή ηνπ από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο: s ό ί ό ή ί ύ d. Όια ηα ζεκεία (*) έρνπλ ηελ ίδηα γωληαθή ηαρύηεηα ω. ή ί ό ή ί ύ ύ e. Η γξακκηθή ηαρύηεηα θάζε ζεκείνπ είλαη θάζεηε ζηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ πνπ δηαγξάθεη απηό ην ζεκείν θαη έρεη κέηξν αλάινγν κε ηελ αθηίλα απηή: ό ί ό ή ί ύ f. Η γξακκηθή επηηάρπλζε θάζε ζεκείνπ (*) είλαη: a ό ί ό ή ί ύ d ί ό ή ί ύ θαη αλαιύεηαη ζε επηηξόρην επηηάρπλζε θαη θεληξνκόιν επηηάρπλζε. Η επηηξόρηνο επηηάρπλζε είλαη θάζεηε ζηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ πνπ δηαγξάθεη ην ζεκείν (εθαπηόκελε ζηελ ηξνρηά) θαη ηζνύηαη κε: a, ό ί ό ή ί ύ d ί ό ή ί ύ d ( ) a Η θεληξνκόινο επηηάρπλζε έρεη ηε δηεύζπλζε ηεο αθηίλαο θαη θνξά πξνο ην θέληξν ηνπ θύθινπ πνπ δηαγξάθεη ην ζεκείν θαη ηζνύηαη κε a, ό ί ό ή ί ύ 2 4. Πνηα είλαη ε κνξθή ηεο ηξνρηάο θαη πώο κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε ζπλνιηθή ηαρύηεηα θαη ηε ζπλνιηθή επηηάρπλζε θάζε ζεκείνπ; Λόγω ηεο ζπλνιηθήο (ζύλζεηεο) θίλεζεο ηνπ δίζθνπ: a. Τα ζεκεία ηνπ δίζθνπ εθηεινύλ κηα ηδηόκνξθε ηξνρηά πνπ ιέγεηαη θπθινεηδήο. Η κνξθή απηήο ηεο ηξνρηάο δηαθέξεη γεληθά γηα θάζε ζεκείν θαη εμαξηάηαη από ηε ζρέζε ηωλ επηκέξνπο θηλήζεωλ. (Πξνθαλώο εδώ ε ηξνρηά ηνπ CM είλαη επζύγξακκε) 9 Γιώργος Γεωργαντάς

10 b. Κάζε ζεκείν Α έρεη γξακκηθή ηαρύηεηα ίζε κε ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ηωλ επηκέξνπο ηαρπηήηωλ:,.,. ό ί ύ ό ί ύ. c. Κάζε ζεκείν Α έρεη γξακκηθή επηηάρπλζε ίζε κε ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ηωλ επηηαρύλζεωλ ιόγω ηωλ επηκέξνπο θηλήζεωλ:, ό. ί ύ, ό. ί ύ 5. Πώο θηλείηαη ην θέληξν κάδαο ηνπ δίζθνπ; Είδακε παξαπάλω όηη εθόζνλ ν άμνλαο πεξηζηξνθήο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο, ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο δελ ζπκκεηέρεη ζηε ζηξνθηθή θίλεζε. Έηζη, ε ηξνρηά ηνπ, ε ηαρύηεηά ηνπ θαη ε επηηάρπλζή ηνπ, ηαπηίδνληαη κε ηα αληίζηνηρα κεγέζε ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ: xcm x. CM. CM. Πξνζνρή: 1. Κάθε ζύνθεηη κίνηζη μποπεί να αναλςθεί ζε μια μεηαθοπική κίνηζη με ς cm και μια ζηποθική κίνηζη ωρ ππορ άξονα πος διέπσεηαι από ηο CM. Υπάξρνπλ όκωο θαη άιιεο δπλαηόηεηεο όπωο ζα δνύκε παξαθάηω, ζηηο νπνίεο πξνθαλώο ηζρύνπλ δηαθνξεηηθέο ζρέζεηο από ηηο παξαπάλω. 2. Τα παξαπάλω ηζρύνπλ ζε θάζε ζύλζεηε θίλεζε ηνπ δίζθνπ, είηε ν δίζθνο θπιίεηαη είηε νιηζζαίλεη, κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη ε θίλεζε λα αλαιύεηαη ζε κεηαθνξηθή θίλεζε θαη ζε ζηξνθηθή γύξω από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην CM. 10 Γιώργος Γεωργαντάς

11 Σπλνιηθή γξακκηθή επηηάρπλζε ελόο πιηθνύ ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηξνρνύ πνπ θπιίεηαη ρωξίο λα νιηζζαίλεη Έζηω όηη ν ηξνρόο εθηειεί επηηαρπλόκελε θίλεζε. Λόγω ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ ηξνρνύ, ην πιηθό ζεκείν έρεη γξακκηθή επηηάρπλζε α cm, πνπ εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο. Λόγω ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ηνπ ηξνρνύ, ην πιηθό ζεκείν έρεη: επηηξόρην επηηάρπλζε α ε,ζηξνθ, πνπ έρεη ηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο ηεο θπθιηθήο θίλεζεο θαη εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο ηαρύηεηαο, ζηελ θπθιηθή θίλεζε γύξω από ην CM, θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ,ζηξνθ πνπ είλαη θάζεηε ζηελ ηαρύηεηα ηεο θπθιηθήο θίλεζεο θαη εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θαηεύζπλζεο ηεο ηαρύηεηαο, ζηελ θπθιηθή θίλεζε γύξω από ην CM. Η ζπλνιηθή επηηξόρηνο επηηάρπλζε α ε,νι έρεη ηε δηεύζπλζε ηεο ζπλνιηθήο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ θαη εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο ζπλνιηθήο ηαρύηεηαο. Η ζπλνιηθή θεληξνκόινο επηηάρπλζε α θ,νι είλαη θάζεηε ζηε ζπλνιηθή ηαρύηεηα θαη εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θαηεύζπλζεο ηεο ζπλνιηθήο ηαρύηεηαο. α cm cm α κ,στπο CM α ε,στπο ωr ολ Γηα λα βξνύκε ινηπόλ ηελ επηηξόρην επηηάρπλζε ηεο ζπλνιηθήο θίλεζεο, πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηε ζπληζηακέλε όιωλ ηωλ επηηαρύλζεωλ ζηε δηεύζπλζε ηεο ζπλνιηθήο ηαρύηεηαο. Γηα λα βξνύκε ηελ θεληξνκόιν επηηάρπλζε ηεο ζπλνιηθήο θίλεζεο, πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηε ζπληζηακέλε όιωλ ηωλ επηηαρύλζεωλ ζε δηεύζπλζε θάζεηε ζηε ζπλνιηθή ηαρύηεηα. Παξαηήξεζε: Τα παξαπάλω ηζρύνπλ αλ ε κεηαθνξηθή θίλεζε ηνπ ηξνρνύ είλαη επζύγξακκε. Σηελ πεξίπηωζε πνπ είλαη θακππιόγξακκε (π.ρ θύιηζε ζην εζωηεξηθό θπιηλδξηθήο επηθάλεηαο), ε επηηάρπλζε ηωλ ζεκείωλ έρεη θαη ιόγω ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ επηηξόρηα θαη θεληξνκόιν ζπληζηώζα 11 Γιώργος Γεωργαντάς