ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε διαιρεί το α, γράφουµε β α ή α πολβ τότε α = κβ + υ, 0 υ < β (Ευκλείδεια διαίρεση) ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ i. Ο 0 δε είαι διαιρέτης καεός αριθµού ii. iii. Για κάθε α Z ισχύει ± 1 α και ± α α Ισχύει ότι β 0, για κάθε β Z iv. Α β α τότε και κβ κα, κ Z v. Α β α τότε και β κα, κ Z Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΑΙΡΕΣΗΣ i. Α α β και β α, τότε α = β ή α = β ii. Α α β και β γ, τότε και α γ iii. Α α β και α γ τότε α ( β + γ ), α ( β γ ) και α βγ iv. Α α β και α γ, τότε α κβ + λγ, κ,λ Z Ο κβ + λγ λέγεται γραµµικός συδυασµός τω β και γ. ΣΧΟΛΙΟ Τα δυατά υπόλοιπα του α µε το β > 0 είαι οι αριθµοί 0, 1,,, β-1 (πολλδ + β) = πολλδ + β (πολλδ β) = πολλδ + ( 1) β Α α περιττός τότε α περιττός Α α άρτιος τότε α άρτιος. 1
ΜΕΘΟ ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Α δ N, N, δ και δ + 1, α αποδειχθεί ότι δ = 1. Απόδειξη Ο δ κ( ) + λ( + 1), κ, λ Z Βάζουµε κατάλληλες τιµές στο κ και λ τέτοιες ώστε οι συτελεστές τω µεγιστοβάθµιω όρω µέσα στις παρεθέσεις, α γίου ατίθετοι. Άρα κ = 1, λ =. Οπότε δ + + δ Όµως δ κ( ) + λ( + 1), κ = 1, λ = άρα δ. Τότε δ, δ +1 άρα δ ( +1) δ 1 1. ιαιρετότητα α) Μέθοδος (παραγοτοποίηση) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Α θέλουµε α αποδείξουµε ότι έας ακέραιος Β (ή µία ακέραιη παράσταση Β) διαιρεί έα ακέραιο Α (ή µία ακέραια παράσταση Α), προσπαθούµε α παραγοτοποιήσουµε το Α και α εµφαιστού Α = Β Γ τότε Β Α. Σε θέµατα διαιρετότητας χρήσιµες είαι και οι εξής σχέσεις: α + β = πολ( α + β ), για περιττό α β = πολ( α ± β ), για άρτιο και περιττό ( α + β ) = α ± πολβ, για N ( α β ) = α ± πολβ, για N
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ + + 1 + 1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α = 15 + 5 + 5 διαιρείται µε το 71 για κάθε N. + + 1 + α = 15 + 5 + 5 = 15 + 5 5 + 5 5 = 15 + 15 45 + 15 5 = 15 (1 + 45 + 5) α = 15 71άρα 71 α. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός 90 Α = 5 + 5 + 5 +... + 5 διαιρείται µε το 1. 4 5 6 88 89 90 Α = (5 + 5 + 5 ) + (5 + 5 + 5 ) +... + (5 + 5 + 5 ) 4 88 = 5(1 + 5 + 5 ) + 5 (1 + 5 + 5 ) +... + 5 (1 + 5 + 5 ) 4 88 4 88 = 1 (5 + 5 +... + 5 ) = 1 κ όπου κ = 5 + 5 +... + 5 Άρα 1 Α 001. Α α, β N και α + β = 000, α αποδειχθεί ότι α + β Ο διαιρεί έα αριθµό κ Z α και µόο α, ο κ άρτιος. Θα αποδείξουµε λοιπό ότι ο α + β άρτιος. 001 Είαι: α + β = 000 (1) Η (1) δείχει ότι οι α, β είαι άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. Πραγµατικά α ο α είαι άρτιος και ο β περιττός, οπότε ο β περιττός και εποµέως α + β περιττός. Αυτό όµως είαι άτοπο διότι 001 000 είαι άρτιος. Όµοια αποκλείεται α είαι α περιττός και ο β άρτιος. Εποµέως ο α + β ως άθροισµα άρτιω ή δύο περιττώ είαι άρτιος. Άρα α + β.
α + β 4. Α α, β, Z, α αποδειχθεί ότι α και β Είαι a = κ + µ, β = λ + µε 0 µ, <. Έτσι α + β = ( κ + µ ) + ( λ + ) = 9κ + 6κµ + µ + 9λ + 6λ + = (κ + λ + κµ + λ ) + µ + και α + β µ + = κ + λ + κµ + λ + µ 0 1 0 1 µ + = 0 µ + = 1 µ + = 1 µ + = µ + = 4 µ + = 5 Πίακας διπλής εισόδου µ + = 4 µ + = 5 µ + = 8 Με τη βοήθεια του πίακα διπλής εισόδου, παρατηρούµε ότι ότα µ = = 0 µ + Z µόο Άρα a = κ και β = λ, δηλαδή α και β. Πρόταση: Α = α ( α + 1) ( α + )...[ α + ( 1)] Το γιόµεο Α, διαδοχικώ ακεραίω, διαιρείται µε το για κάθε N µε > 1. Απόδειξη Ο α έχει µία από τις µορφές a = λ, a = λ + 1, a = λ +,, a = λ + ( 1) ιακρίουµε τις περιπτώσεις Α a = λ, τότε α, οπότε Α Α a = λ + 1τότε ( α + ( 1) ), διότι α + ( 1) = (λ +1) + ( 1) = (λ +1) = πολ Α a = λ + ( 1) τότε (α +1) διότι 4
α +1 = λ + ( 1) +1 = (λ +1) = πολ Παράδειγµα Α α, β, γ, δ, ε είαι πέτε διαδοχικοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι το γιόµεό τους, διαιρείται µε το 5. Επειδή οι α, β, γ, δ, ε είαι διαδοχικοί ακέραιοι παίρου τη µορφή α, α +1, α +, α +, α + 4 Οπότε Α = α (α +1)(α + )(α + )(α + 4) Σύµφωα µε τη Ευκλείδεια διαίρεση α = 5λ, α = 5λ + 1, α = 5λ +, α = 5λ +, α = 5λ + 4 ιακρίουµε περιπτώσεις Α α = 5λ, τότε 5 α, οπότε 5 Α Α α = 5λ + 1, τότε α + 4 = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Α α = 5λ +, τότε α + = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Α α = 5λ +, τότε α + = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Α α = 5λ + 4, τότε α +1 = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Άρα ο 5 Α. 5
Έστω, α 1, α,..., α, α1, α0 ΕΚΑ ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 0,1,,...,8,9. Με το α στοιχεία του συόλου { } συµβολισµό α α 1... α1α 0 εοούµε το αριθµό α 10 + α 10 +... + α 10 + α Έτσι 1 1 1 0 α = 10 + 10 + βγ α β γ Σε πολλά θέµατα διαιρετότητας συµβαίει α δίοται τα ψηφία εός αριθµού ή κάποια σχέση αάµεσα τους, και ζητείται α αποδειχθεί ότι αυτός ο αριθµός διαιρείται µε κάποιο άλλο. Στις περιπτώσεις αυτές γράφουµε το δοσµέο αριθµό στη δεκαδική µορφή και χρησιµοποιούµε προτάσεις διαιρετότητας. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. ίεται ο αριθµός x = α βγδ µε α + γ = β + δ. Να αποδειχθεί ότι ο x διαιρείται µε το 11. Είαι x α 10 β 10 γ 10 δ = + + + ή x = 1000α + 100β + 10γ + δ ή x = 990α + 10α + 100β + 10γ + δ = 990α + 10( α + γ ) + 100β + δ = 990α + 10( β + δ ) + 100β + δ = 990α + 10β + 10δ + 100β + δ = 990α + 110β + 11δ = 11(90α + 10 β + δ ). Τα ψηφία εός αριθµού (τριψήφιου) είαι τρεις διαδοχικοί αριθµοί. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός αυτός διαιρείται µε το. Έστω α βγ ο δοσµέος µε β = α + 1, γ = α +. Έτσι α βγ = 100α + 10β + γ = 100α + 10( α + 1) + α + = (7α + 4) Άρα ο α βγ 6
β) Μαθηµατική επαγωγή Σε έα σηµατικό πλήθος ασκήσεω ζητείται α αποδειχθεί ότι έας αριθµός φ( ), ο οποίος εξαρτάται από το, διαιρείται µε κάποιο δοσµέο αριθµό α. Στα θέµατα αυτά, α δε είαι εύκολη η εφαρµογή τω ιδιοτήτω της διαιρετότητας ή παραγοτοποίησης, χρησιµοποιούµε µαθηµατική επαγωγή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αποδειχθεί ότι 1 7 + + ) ( +, N Έστω Ρ ( ) : ο 7 διαιρεί το Για = 1είαι + 1 + + Ρ(1) : 7 ( + ) 7 5 αληθής Έστω ότι ισχύει η κ+ κ + 1 Ρ( κ) : 7 ( + ) όπου κ ο αυθαίρετος φυσικός. Θα αποδείξουµε ότι ισχύει και η Ρ ( κ + 1), δηλαδή ότι κ+ + + (1) 7 κ Επειδή Οπότε + + = λ, λ Z κ+ κ + 1 κ+ κ + 1 7 7 1 κ+ = 7λ κ + (). Τότε () κ+ κ + κ + κ + + = + = (7λ ) + κ + 1 κ + = λ + = λ + = λ + = πολ κ + 1 κ + 1 κ + 1 κ + 1 14 9 14 7 7( ) ( 7) Ισχύει λοιπό η Ρ ( κ + 1), οπότε η Ρ ( ) ισχύει N Το τελευταίο ψηφίο Για τη λύση πολλώ θεµάτω στη αριθµοθεωρία, χρήσιµες είαι και οι επόµεες επισηµάσεις α) Α έας ακέραιος α τελειώει σε 0, 1, 5 ή 6, τότε ο α τελειώει επίσης σε 0, 1, 5 ή 6 ατίστοιχα, Ν π.χ ο 1999 001 τελειώει σε 1 β) Α έας αριθµός τελειώει σε 4 ή 9 τότε ο α τελειώει σε 6 ή 1 ατίστοιχα γ) Για τους ακέραιους που τελειώου σε,, 7 ή 8 ισχύει ο πίακας 7
Τελευταίο ψηφίο α 4 α 4 1 α + α 4 + α 4 + 6 4 8» 1 9 7» 7 1 7 9» 8 6 8 4 Βασική πρόταση Έστω α τυχαίος αριθµός. Α µε τ ( α ) συµβολίσουµε το τελευταίο ψηφίο του α, α αποδειχθεί ότι i. τ ( α + β ) = τ ( α) + τ ( β ) ii. τ ( α β ) = τ ( α) τ ( β ) µ µ iii. τ ( α β ) = ( τ ( α) ) ( τ ( β )) Η (ii) επαγωγικά τ ( α1 α... α ) = τ ( α1) τ ( α)... τ ( α ) Παραδείγµατα 1) Να βρεθού τα τελευταία ψηφία τω αριθµώ α) 401 α = β) 701 β = 7 401 400 4 100 α) α = = = ( ) Ο 4 100 100 ( ) = (16) τελειώει σε 6, άρα ο β = 7 = 7 7 = 7 7 701 700 4 β) ( ) 175 4 100 ( ) τελειώει σε. 4 Όµως ο ( 7 ) 175 = ( 401 ) 175 τελειώει σε 1, άρα ο β σε 7. 401 00 ) Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του γ = 14 7 401 00 401 401 00 401 701 Ο γ = 14 7 = 7 7 = 7, εποµέως το τ γ = τ τ = = 401 701 ( ) ( ) (7 ) 7 14 Και άρα είαι το 4. 8
γ) Μέθοδος (υπολοίπου) Σε µία σηµατική κατηγορία ασκήσεω ζητείται α αποδείξουµε ότι ο αριθµός φ( α) Α =, α Z, { 1} N είαι ακέραιος. Ο αριθµητής φ( α) είαι µια παράσταση που εξαρτάται από το α. Η ατιµετώπιση τέτοιω θεµάτω γίεται συήθως ως εξής: Από τη Ευκλείδεια διαίρεση έχουµε: α = λ + υ, 0 υ < ίουµε µία µία τις τιµές 0,1,,,-1 στο υ και ατικαθιστούµε το α. Μετά τη εκτέλεση πράξεω προκύπτει ότι ο Α Z. Παραδείγµατα 1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α α Α = Z για κάθε α Z. Έχουµε α α α( α 1) α( α 1)( α + 1) Α = = = Σύµφωα µε τη Ευκλείδεια διαίρεση α = λ + υ, υ = 0,1, ίουµε στο υ µία µία τις τιµές 0,1, Γιαυ = 0 : α = λ οπότε Γιαυ = 1: α = λ + 1οπότε (λ + 1)( λ)(λ + ) Α = = λ(λ + 1)(λ + ) Z Γιαυ = : α = λ + οπότε λ(λ 1)(λ + 1) Α = = λ(λ 1)(λ + 1) Z (λ + )(λ + 1)(λ + ) Α = = (λ + )(λ + 1)( λ + 1) Z Άρα ο Α Z. 9
. Α ο α είαι περιττός ακέραιος, α αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α = ( α + ) ( α + 7) Z Αφού α περιττός α = λ + 1, λ Z οπότε ( α + ) ( α + 7) (4λ + 4λ + 4) (4λ + 4λ + 8) Α = = = ( λ + λ + 1)( λ + λ + ) = Z, διότι οι αριθµοί λ + λ + 1 και διαδοχικοί ακέραιοι οπότε λ + λ + λ + λ + άρτιος. ( 1)( ) λ + λ + είαι δ) Μορφή (διαίρεση πολυωύµω διάσπαση κλάσµατος) Συχά παρουσιάζοται θέµατα στα οποία ζητείται α βρεθού οι τιµές εός f ( v) ακεραίου, ώστε έα πηλίκο κ = α είαι ακέραιος. g( v) Στις περιπτώσεις αυτές, προσπαθούµε µε κάποιο τέχασµα α κάουµε διάσπαση του κλάσµατος ή κάουµε διαίρεση πολυωύµω : f ( v) = h( v) g( v) + a, Οπότε f ( v) a = h( v) +, βρίσκουµε τις τιµές του τέτοιες ώστε g( v) a. g( v) g( v) Παραδείγµατα 1. Να βρεθού οι φυσικοί αριθµοί x, οι οποίοι επαληθεύου ταυτόχροα τις σχέσεις x 10 και ( x ) 6 Επειδή ο x 10, πρέπει ο x { 1,,5,10} αφού x N Επειδή ( ) Άρα x = 5 x 6, πρέπει ο x { 1,,,6 } x { 4,5,6,9}. 10
+ ( ) + 10. Να βρεθού οι τιµές του Z ώστε ο αριθµός α = Z + 4 Με διαίρεση έχουµε α = + +, το + > 0 N Πρέπει ο + 4 άρα { 1,,4} ( ) + = 1 + 1 = 0 αδύατη + = ( = 0 ή = 1) 4 ( ή 1) +. Άρα + = = =. Άρα { 0, 1,1, } 11
1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός i. µε το 9, για κάθε N ii. µε το 45, για κάθε N ΑΣΚΗΣΕΙΣ + 5 5 + Α = + 5 15 διαιρείται. Α έας ακέραιος, τότε Αόπου Α = ( +1)(4 +1)(5 + ).. Α α, β είαι περιττοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι 8 (α β ). 4. Α α, β Zκαι 11 ( 5a + 6 β ), α αποδειχθεί ότι 11 (6 a + 5 β ). 5. Έστω α, β Z. Α 7 (45 + α ) και 7 ( β ) τότε 7 (α + β ). 6. Α Z και δ ( + + 1) και δ + 1, α αποδειχθεί ότι δ =1 ή δ = 1. 7. Έστω ακέραιος αριθµός. Να αποδειχθεί ότι ο µοαδικός φυσικός, ο οποίος διαιρεί ταυτοχρόως τους αριθµούς + + 1και + 1είαι ο 1. 8. Α α, β Z και είαι περιττοί, δείξτε ότι η εξίσωση 0 11 x ax β + + = 0 δε έχει ακέραια ρίζα. 9. Α α, β, γ Z και 6 (α + β + γ), α αποδειχθεί ότι 6 (α + β + γ ) 10. Α 800 Α = 9 + 9 + 9 +... + 9 α αποδειχθεί ότι ο Α διαιρείται i) µε το ii) µε τους, 5 iii) µε τους 7 και 1 11. Α α Z, α αποδειχθεί ότι ο Α = α( α 1)( α 4 1) διαιρείται µε το 5. 1. Α α, β, γ διαδοχικοί ακέραιοι τότε 9 (α + β + γ ) 1
1. Α α, β, γ Z και γ (5α +17β) και γ (α + 7β) α αποδειχθεί ότι γ α και γ β. 14. Α α, β, x, i) Z, x a και x ( a + β ) ii) x β x ( a + β ), α αποδειχθεί ότι 15. Α α, β, γ, δ Z και α γ, α αποδειχθεί ότι (α γ) (αβ + γδ) (α γ) (αδ + βγ) 16. Έστω α, β περιττοί ακέραιοι. Α 7 (α + β )α αποδειχθεί ότι 7 α και 7 β. 17. Α ο α Z, α αποδειχθεί ότι ο α + 5α Α = Z 6 18. Α ο α είαι περιττός ακέραιος τότε ο Α = 4 α 1 Z 16 19. Α α, β Z και α β 001 = 1999, α αποδειχθεί ότι ο αριθµός 4 4 α + β Α = Z 16 α( α + 1)( α + ) 0. Α ο α Z α δειχθεί ότι ο Α = Z 6 1. i) Να βρεθού ακέραιοι x, y ώστε x + y = x y ii) Να βρεθού φυσικοί x, y ώστε 1 + 1 + 1 = 1 x x y y. Να αποδειχθεί ότι οι αριθµοί 401 a = και 701 β = 7 δε είαι τέλεια τετράγωα.. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο τω αριθµώ 1999 α =, 000 β = και 00 γ = 7. 1
4. Να αποδειχθεί ότι ο 100 (1991 199...1999 ) 5. είξτε ότι ο 909 (αβαβ βαβα) 6. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α = αβγδ + δγβα διαιρείται µε το 11. 7. Να αποδείξτε ότι: i) 6 10 + 4 N ii) +1 + 7 + N iii) + 5 + 1 N iv) 10 + 10 1 N v) + 1 + 7 + 8. Έας ακέραιος α διαιρούµεος µε το δίει υπόλοιπο, εώ διαιρούµεος µε το 5 δίει υπόλοιπο. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το 15. 9. Να δείξτε ότι τα παρακάτω κλάσµατα είαι αάγωγα + 1 i) κ =, + ii) N + 1 Α = + + 1, Z + + 1 iii) Β = + 1, Z 0. Α α Z, α αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α = α + α α 4 6 Z κ + 1 1. Α Α = Z α βρεθού οι τιµές του κ. 14
α 9. Α α Z, Z και 50 < α < 90, α βρεθού οι δυατές τιµές του α. 1 + + 1. Να βρεθού οι ακέραιοι ώστε ο Z 4. Να αποδειχθεί ότι για κάθε α Zείαι α( α + 1)( α + ) i) Z 6 α( α + 1)(α + 1) α + α 4α ii) Z iii) Z 6 6 5. Να αποδειχθεί ότι δε υπάρχου φυσικοί x, y, ω, t ώστε x y t ( + + ω ) = 1999 6. Να αποδειχθεί ότι δε υπάρχου φυσικοί α, β, γ διαφορετικοί µεταξύ τους β γ α τέτοιοι ώστε + = 7. Α π και υ είαι ατίστοιχα το πηλίκο και το υπόλοιπο του α µε το β 0, α αποδειχθεί ότι η διαίρεση του λα µε το λβ, λ { 1} υπόλοιπο λυ. N δίει πηλίκο π και 8. Να βρεθού όλοι οι διψήφιοι xy, ώστε xy 1xy1 κ 4 9. Να βρεθού οι τιµές του κ Z ώστε ο αριθµός α = Z κ + 5 κ + 6 40. Να βρεθού οι ακέραιοι x, y οι οποίοι επαληθεύου τη εξίσωση 1 x + y(1 x) = 1 41. Να βρεθού οι τιµές του στα παρακάτω κλάσµατα ώστε + 4 i) N, N + 5 + iii) α = N, N + 10 ii) Z µε Z + 15 iv) α = Z µε N 7 + 1 15
4. Να βρεθού ακέραιοι x, y για τους οποίους ισχύει y xy x = 0 4. Να βρεθού τα υπόλοιπα τω παρακάτω διαιρέσεω: α) 10 [7 : 51] β) 50 100 [17 + :8] γ) 40 0 [5 + 17 :8] 44. Να δείξετε ότι οι διαιρέσεις ( ) : α + β δ και ( + ) : α β δ δίου ίσα υπόλοιπα ότα γωρίζουµε ότι οι αριθµοί α και β διαιρούµεοι µε το δ δίου υπόλοιπο ίσο µε 1. 45. Α ο α είαι ακέραιος µε α πολ5, α δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαιρέσεως 4 [ α : 5] είαι 1. 4 4 46. Α καέας τω ακεραίω α, β δε είαι πολλ 5 α δείξτε ότι: α β = πολλ5 47. Α καέας από τους ακέραιους α, β, γ δε είαι πολλ α δείξετε ότι α + β + γ = πολλ 0 10 48. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαιρέσεως α : 8 α α = 9 + 17 49. Να δείξετε ότι 10 α) 11 1 = πολλ100 γ) β) 5555 5555 7 πολλ 70 70 + = 1 + = πολλ δ) + 6 + + 1 = πολλ11 50. (κριτήρια διαιρετότητας) α) Για α είαι ο πρέπει και αρκεί α είαι x a a a a v = 0 + 110 + 10 +... + 10 v, i a0 + a1 +... + a = πολλ9 v a N, a = 1,,..., v πολλ 9 i 16
β) Για α είαι ο avav 1... aa1 = πολλ11 πρέπει και αρκεί ( a + a + a +...) ( a + a + a +...) = πολλ11 0 4 1 5 51. Α α, β, γ περιττοί ακέραιοι, δείξτε ότι η εξίσωση ax + β x + γ = 0 δε έχει ρητές ρίζες. 5. Να βρεθού οι διψήφιοι φυσικοί α οι οποίοι διαιρούµεοι µε το 6 δίου πηλίκο ίσο µε το τετράγωο του υπολοίπου. 5. Έας ακέραιος α 0διαιρούµεος µε το 4 δίει πηλίκο x και υπόλοιπο x N. Να βρεθεί το α. 6x, 17