Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Transcript

1 Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ) Τι είαι το χροόγραμμα ή χροολογικό διάγραμμα ; ( μοάδες/ ερώτημα) A.α) Να αποδείξετε ότι για δύο εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ο προσθετικός όμος Ρ(ΑUB)=P(A)+P(B)-P(A B) ( μοάδες) β) Να αποδείξετε η συάρτηση φ(χ)= x δε είαι παραγωγίσιμη στο 0 (4 μοάδες) A. Να σημειώσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: ) Α φ()<φ() τότε φ είαι γήσια φθίουσα ) Το απλό εδεχόμεο έχει έα μόο αποτέλεσμα του πειράματος τύχης. ) Α φ (χ ο )=γ (χ ο ) τότε οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω φ και γ έχου κοιή εφαπτομέη στο χ ο. ) Ότα έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα σε κλάσεις ίσου πλάτους, τότε στο ιστόγραμμα συχοτήτω, κάθε ιστός έχει εμβαδό ίσο με τη συχότητα της κλάσης που ατιπροσωπεύει. ) Η διακύμαση σε μία καταομή είαι ο μέσος όρος τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω παρατηρήσεω της καταομής από τη μέση τιμή της καταομής. ( μοάδες/ ερώτημα) Θέμα B Έστω t,t,,t οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους. Θεωρούμαι τη συάρτηση : f (x) (t x) (t x)... (t x) f'(x) B. Να δείξετε ότι : S όπου S η διασπορά και x η μέση τιμή τω τιμώ της μεταβλητής Χ. (8 μοάδες) B. Α ισχύει f ''(x) 404,α βρείτε το άθροισμα : t (8 μοάδες) B. Α t 606,α δείξετε ότι η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης της f στο Α(0, f (0)) είαι : ψ S (x) x 0 (9 μοάδες) Επιμέλεια Θεμάτω και Απατήσεω: Βασίλης Αυγεριός (Μαθηματικός)

2 Θέμα Γ Έστω Ω={0,,,,4} ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης και οι πιθαότητες Ρ(λ)=αλ+β,λΩ.Δίεται ακόμη η συάρτηση : f(x) x λx 4x 0 και το εδεχόμεο : Α={ λω / η εφαπτομέη σε οποιοδήποτε σημείο της γραφικής παράστασης της f δε είαι παράλληλη στο άξοα χ χ } με Ρ(Α)= 4 Γ. Να βρείτε τα α, β. ( μοάδες) Γ. Έστω το εδεχόμεο Β={ λω / η διάμεσος τω παρατηρήσεω : 0,,λ,λ,λ+ είαι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή τους} Να βρείτε τις πιθαότητες Ρ(Β),Ρ(Α Β ) και Ρ(Α-Β) (0 μοάδες) Θέμα Δ Δίεται η συάρτηση f(x) ax β με α,β πραγματικούς αριθμούς. Δ. Να βρείτε τις τιμές τω α και β ώστε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,) α σχηματίζει με το άξοα τω χ χ γωία ο. (7 μοάδες) Δ. Για τις τιμές τω α και β που βρήκατε α μελετήσετε τη f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. (6 μοάδες) Δ. Α χ, χ, χ οι δυατές τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ α συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα: (6 μοάδες) x f f % N F F % x 7f()+ 0, x 4 x Σύολο Δ4. Τι ποσοστό τω παρατηρήσεω της μεταβλητής χ δε παίρει τη τιμή χ ; (6 μοάδες) Ευχόμαστε Επιτυχία! Επιμέλεια Θεμάτω και Απατήσεω: Βασίλης Αυγεριός (Μαθηματικός)

3 Απατήσεις Διαγωίσματος Θέμα Α Α. α) Σχολικό βιβλίο σελίδα β) Σχολικό βιβλίο σελίδα γ) Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α) Σχολικό βιβλίο σελίδα β) Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. ) Λ ) Σ ) Λ ) Σ ) Σ. Θέμα Β Β. f '(x) (t x) (t x)'... (t x) (t χ)' f '(x) (t x) ( )... (t x) ( ) f '(x) (tx) (t x)... (t x) f'(x) (t x) άρα f'(x) (t x) s (t x) άρα f'(x) S Β. f ''(x) (t x)( ) (t x)( )... (t x)( ) f ''(x) (t x) (t x)... (t x) f ''(x) (tx) (t x)... (t x) f ''(x) 404 άρα 404 (tx) (t x)... (t x) 0 (tx) (t x)... (t x) 0 tt... t x x... x 0 t... t x και αφού Επιμέλεια Θεμάτω και Απατήσεω: Βασίλης Αυγεριός (Μαθηματικός)

4 0 x x 0 x 0 x 0 t 0 t Β. Έστω ότι η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης f στο Α(0,f(0)) είαι της μορφής ψ=λχ+β τότε : λ f '(0) t t... t t Για χ=0 f (0) (t t... t t Άρα Α(0,-0) και αφού η ψ=λχ+β διέρχεται από το Α άρα 0 t.0 β άρα β=-0 Τελικά : ψ ( t )x 0 ψ S (x) x0 Αφού ισχύει ότι : S ψ S (x) x 0 S τότε x t Θέμα Γ t ( t ) S x t.// Γ. Αφού ε δε είαι παράλληλη προς χχ άρα ε λ 0 Οπότε λ ε =f (χ 0 )=χ 0 -λχ Άρα πρέπει : Δ<0 4λ -6 < 0 λ -4<0 -<λ< Άρα λ=0 ή λ= Άρα Α={0,} Επιμέλεια Θεμάτω και Απατήσεω: Βασίλης Αυγεριός (Μαθηματικός) 4

5 Ρ(0)+Ρ()=/4 α.0+β+α.+β=/4 άρα α+β=/4 () Επίσης Ρ(Ω)= Ρ(0)+Ρ()+Ρ()+Ρ()+Ρ(4)= β+α+β+α+β+α+β+4α+β= άρα β+0α= () από () και () έχω α=/0 και β=/0 0λ λλ Γ. x 4λ x Για λ=0 έχω 0,0,0,, άρα δ=0 και x απορρίπτεται 6 Για λ= έχω 0,,,, άρα δ= και x απορρίπτεται Για λ= έχω 0,,,,4 άρα δ= και x απορρίπτεται 4 Για λ= έχω 0,,,4,6 άρα δ= και x δεκτή 8 Για λ=4 έχω 0,,4,,8 άρα δ=0 και x δεκτή Β={,4} οπότε Ρ(Β)=Ρ()+Ρ(4)=α+β+4α+β=7/0+/0=/0 Ρ(Α Β )=Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(Α Β) =/4-0=/4.// Θέμα Δ Δ. Έστω ότι η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης f στο Α(,) είαι της μορφής ψ=λχ+β τότε : * λ=f ()=εφ ο =εφ(80 ο -4 ο )=-εφ4 ο = - άρα f ()=- και αφού f (χ)=αχ τότε f ()=α άρα α=- άρα α=-/ και αφού * f()= άρα α+β= άρα β=/ Δ. f (χ)=αχ άρα f (χ)=-χ f (χ)=0 άρα χ=0 άρα χ=0 Επιμέλεια Θεμάτω και Απατήσεω: Βασίλης Αυγεριός (Μαθηματικός)

6 χ 0 f (χ) + - f(χ) Άρα f γήσια αύξουσα στο (,0] και f γήσια φθίουσα στο [0, ) εώ στο χ=0 παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(0)=/ Δ. x f f % N F F % x 0,0 0 0,0 0 x 7 0, ,84 84 x 8 0,6 6 0,00 00 Σύολο 0, Διότι : =7f()+= 7( ) = και f 0, 0 Δ4. Ρ(x <x )=84/00=0,84.// Επιμέλεια Θεμάτω και Απατήσεω: Βασίλης Αυγεριός (Μαθηματικός) 6