Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................ 5 1.4 Διαμερίσεις και σχέσεις ισοδυναμίας................. 6 1.5 Θέματα για ευρύτερη μελέτη και σκέψη................ 8 1.6 Σχόλια για την μελέτη των αμέσως παραπάνω θεμάτων....... 9 2 Μάθημα 2 10 2.1 Πορεία μελέτης............................ 10 2.2 Σχόλια................................. 10 2.3 Πορεία μελέτης............................ 11 2.4 Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής................ 12 2.5..................................... 12 2.6 Ασκήσεις για λύση και συζήτηση................... 13 1

Μέρος I Εναρξη μαθήματος Βασική άλγεβρα. 421 Χειμερινό εξάμηνο 2013-14 Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά σε όλη τη διάρκεια του Χειμερινού εξαμήνου 2013-14 για τις ανάγκες του μαθήματος Βασική άλγεβρα(421), Χειμερινό εξάμηνο 2013-14. Καλούνται οι φοιτητές να επισημαίνουν λάθη και παραλείψεις. Παρακάτω θα βρείτε συγγράμματα σε ηλεκτρονική μορφή, χρήσιμα για τη μελέτη σας. Αριστερά στη σελίδα του μαθήματος επίσης θα βρείτε διάφορους συνδέσμους (links ) χρήσιμους για το μάθημα. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα σας δίνονται και άλλα συγγράμματα και σύνδεσμοι (links ) που θα φωτίζουν περισσότερα τα θέματα. Αυτονόητο είναι ότι κάθε τι που λέγεται και γράφεται πρέπει να μπαίνει σε αυστηρή κριτική και να αποδεικνύεται. Τα συγγράμματα 1. Βιβλίο 1 Μία εισαγωγή στην άλγεβρα Συγγραφείς: Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Ο. Ταλέλλη 2. Ασκήσεις και αναλυτικές λύσεις Εδώ υπάρχουν ασκήσεις και αναλυτικές λύσεις αυτών γραμμένες κατά το καλοκαίρι του 2009 από ομάδα συνεργατών. 3. Βιβλίο 2 Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash 1 1. email: eraptis@math.uoa.gr Γραφείο: 211, τηλ. 2107276347 2. Διεύθυνση Ηλεκτρονικής τάξης του μαθήματος Βασική άλγεβρα : http://eclass.uoa.gr//courses/math104/ 2

Οι παράπλευρες σελίδες συζήτησης Μπορείτε να διατυπώνετε τις απορίες σας και τις σκέψεις σας: 1. Στην Τηλεσυνεργασία, είναι ο σύνδεσμος αριστερά στη σελίδα του μαθήματος. Στη σελίδα αυτή έχετε τη δυνατότητα να γράφετε και λίγα μαθηματικά σύμβολα Τηλεδιασκέψεις Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα γίνουν πολλές βιντεοδιασκέψεις. Θα ενημερωθείτε σχετικά. Πρέπει να διαθέτετε εκτός από υπολογιστή και σύνδεση στο internet, μία web camera και ένα μικρόφωνο. 3

Μέρος II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 1 Μάθημα 1 Αρχίζουμε με τη μελέτη του συνόλου Z των ακεραίων αριθμών. 1. Στο μάθημα δεχόμαστε κατ αρχήν την ύπαρξη των ακεραίων. Αν κανείς θέλει να σκεφθεί πάνω στην αξιωματική θεμελίωση των αριθμών (του συνόλου των φυσικών N πρώτα και μετά να δεί την κατασκευή των ακεραίων ας δεί το βιβλίο: Σημειώσεις στη συνολοθεωρία. Γ.Μοσχοβάκης ) Το βιβλίο αυτό, μπορείτε να το βρείτε ηλεκτρονικά εδώ 2. Στην προσέγγισή μας εδώ θα δεχόμαστε το παρακάτω αξίωμα, το οποίο ονομάζεται και αξίωμα του ελαχίστου: Αξίωμα 1.1. Κάθε μή-κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών έχει ένα ε- λάχιστο στοιχείο 3. Από το αξίωμα ελαχίστου μπορούμε να αποδείξουμε τα θεωρήματα της Μαθηματικής επαγωγής 1.1.2, 1.1.3 και 1.1.5 από το Βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» 1.1 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε τις αποδείξεις των προτάσεων και των παραδειγμάτων της παραγράφου 1.1 από το Βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» 4

2. Από το βιβλίο Σημειώσεις στη συνολοθεωρία. Γ.Μοσχοβάκης μελετήστε τον ορισμό 2.1 και την πρόταση 2.2 σελίδα 7, που αναφέρεται στην ισοπληθικότητα συνόλων 3. Ρίξτε μιά ματιά στην ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια στη διεύθυνση εδώ 4. Δείτε εδώ την έννοια του «αλγεβρικού ακεραίου», η οποία είναι γενίκευση της γνωστής έννοιας του ακεραίου, που μελετάμε. 5. Δείτε επίσης εδώ μία σχετική έννοια του «σχεδόν ακεραίου» 1.2 Διάφορα σχόλια 1. Στη βιβλιογραφία το μηδέν δεν είναι πάντα φυσικός αριθμός. Άλλα βιβλία δέχονται ότι το μηδέν είναι φυσικός, άλλα όχι. Αυτό δεν δημιουργεί πρόβλημα στην ανάπτυξη της θεωρίας. Εμείς στο μάθημα αυτό θα θεωρούμε ότι το 0 είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός. 2. Ιστορικά η έννοια του μηδενός συνειδητοποιήθηκε αργά και οι άνθρωποι άρχιζαν την μέτρηση από το ένα. Στο μάθημα αυτό, υπενθυμίζω ότι σιωπηλά δεχόμαστε ότι το σύνολο των ακεραίων είναι εφοδιασμένο με τις πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό με τις ιδιότητες που όλοι γωρίζουμε. Είναι εύλογο βέβαια να αναρωτηθεί κανείς αν υπάρχει κάποιο ελάχιστο σύνολο αξιωμάτων θεμελίωσης των φυσικών αριθμών, από το οποίο να απορρέουν όλα τα άλλα θεωρήματα και προτάσεις. Στο μέλλον ελπίζω να ασχοληθούμε και με αυτό. 1.3 Πορεία μελέτης 1. Δείτε τι εννοούμε όταν λέμε (αʹ) ο ακέραιος αριθμός α διαιρεί τον ακέραιο αριθμό β (βʹ) ο ακέραιος αριθμός α είναι διαιρέτης του ακεραίου αριθμού β (γʹ) ο αριθμός α είναι πρώτος 2. Από τις σελίδες 17 και 18 του βιβλίου «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» μελετήστε τα θεωρήματα 1.2.1 και 1.2.2 με λεπτομέρειες, ιδιαίτερα τις αποδείξεις. 3. Δείτε ότι στην απόδειξη της πρότασης Κάθε θετικός ακέραιος διάφορος του 1 είναι γινόμενο πρώτων αριθμών χρησιμοποιούμε σε καίριο σημείο το αξίωμα του ελαχίστου 5

4. Συνδυάστε την ορολογία από τη Γραμμική άλγεβρα και διατυπώστε το 1.2.1 ως εξής: Το σύνολο των θετικών ακεραίων παράγεται από τους πρώτους! 5. Ρίξτε μια ματιά στην ιστορία για τους πρώτους από τη διεύθυνση εδώ 6. Ο Αλγόριθμος της διαίρεσης στους ακεραίους είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα των Μαθηματικών και οπωσδήποτε πρέπει να εμβαθύνετε στην απόδειξή του και στις έννοιές του. 7. Σκεφθείτε ότι δεν έχει σημασία το α > 0, αλλά ότι α 0 8. Σκεφθείτε επίσης ότι από το b, που είναι ο διαιρετέος αφαιρούμε πολλαπλάσια του α μέχρι να βρούμε ελάχιστο φυσικό 9. Κάντε με λεπτομέρειες την απόδειξη 10. Δείτε τι ονομάζουμε Διαιρετέο, διαιρέτη, υπόλοιπο 11. Μελετήστε όσο μπορείτε καλύτερα την παράγραφο 1.2 από το βιβλίο «Μία εισαγωγή στην άλγεβρα», που αναφέρεται στην διαιρετότητα 1.4 Διαμερίσεις και σχέσεις ισοδυναμίας Αρχίζουμε με την βασική έννοια της διαμέρισης ενός συνόλου. Ορισμός 1.1. Εστω Α ένα μη-κενό σύνολο. Διαμέριση του συνόλου Α είναι μία οικογένεια υποσυνόλων του A i, i I με τις παρακάτω ιδιότητες 1. A i i I 2. A i A j = εάν i j 3. i I A i = A Θα πρέπει κανείς να σταθεί πολύ στον ορισμό αυτό ξεκινώντας τη μελέτη στην Άλγεβρα. Στο σημείο αυτό δείτε το βίντεο εδώ Κάθε διαμέριση δημιουργεί μία σχέση μεταξύ των στοιχείων του Α ως εξής: Το στοιχείο χ του Α σχετίζεται με το στοιχείο ψ του Α εάν το χ και το ψ βρίσκονται σε κάποιο A i και τα δύο Θα συμβολίζουμε χ ψ Η παραπάνω σχέση έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 6

1. χ χ για κάθε στοιχείο χ του Α. Αυτό είναι άμεσο. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αυτοπαθής 2. Αν x y τότε x, y A i για κάποιο A i και άρα y, x A i, δηλαδή y x. Η ιδιότητα αυτή λέγεται συμμετρική 3. Αν x y και y z, τότε τα x, y, z A i για κάποιο κοινό A i οπότε x z. Η ιδιότητα αυτή λέγεται μεταβατική Μπορούμε εδώ να διατυπώσουμε την παρακάτω Πρόταση 1.2. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο. Κάθε διαμέριση του συνόλου Α επάγει(δημιουργεί) μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο Α Απόδειξη Άμεση από την παραπάνω συζήτηση Στην πραγματικότητα αν Α ένα μη κενό σύνολο, μία σχέση ισοδυναμίας στο Α είναι ένα μη κενό υποσύνολο R του καρτεσιανού γινομένου A A δηλαδή R A A με τις παρακάτω ιδιότητες: 1. (x, x) R για κάθε x A 2. Αν (x, y) R, τότε (y, x) R 3. Αν (x, y) R και (y, z) R, τότε (x, z) R Πολλές φορές θα συμβολίζουμε ή (x, y) R ή xry ή x y Με βάση αυτόν το γενικό ορισμό της σχέσης ισοδυναμίας στο μη κενό σύνολο Α δημιουργούμε υποσύνολα ως εξής: Αν x A, τότε [x] = {y A y x} Κάθε υποσύνολο [x] όπως παραπάνω θα το ονομάζουμε κλάση ισοδυναμίας με αντιπρόσωπο το x Πρόταση 1.3. Εστω μία σχέση ισοδυναμίας στο μη-κενό σύνολο Α 1. Κάθε κλάση ισοδυναμίας [x] περιέχει το x διότι x x. Άρα κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι μη-κενό σύνολο 2. Αν [x] [y] δύο κλάσεις ισοδυναμίας, τότε είτε [x] = [y] είτε [x] [y] = 3. x A [x] = A 7

Απόδειξη: Το σημείο 1 έχει ήδη αποδειχθεί Για το σημείο 2 τώρα. Αν [x] [y] = είναι δεκτό. Αν [x] [y], τότε υπάρχει ω [x] [y] και έτσι x ω και y ω. Τότε όμως λόγω της μεταβατικής ιδιότητας έχουμε x y και έτσι [x] = [y] Η τρίτη απαίτηση είναι άμεση, διότι κάθε x [x] και έτσι x A [x] = A Καταλήγουμε έτσι ότι το σύνολο [x] x A, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας σχηματίζει μία διαμέριση του Α Καταλήξαμε στο παρακάτω πολύ σημαντικό: Θεώρημα 1.4. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο. Υπάρχει μία 1-1 και επί σχέση D I όπου D το σύνολο των διαμερίσεων του Α και I το σύνολο των σχέσεων ισοδυναμίας. Κάθε διαμέριση απεικονίζεται σε μία σχέση ισοδυναμίας που περιγράψαμε πιο πάνω. Αντίστροφα κάθε σχέση ισοδυναμίας δημιουργεί μία διαμέριση που επίσης περιγράψαμε πιο πάνω. Η μία απεικόνιση είναι αντίστροφη της άλλης Ορισμός 1.5. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο και μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο αυτό. 1. Το σύνολο {[x], x A} δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας λέγεται σύνολο-πηλίκο και συμβολίζεται A/ 2. Η απεικόνιση A A/ με x [x] λέγεται προβολή 1.5 Θέματα για ευρύτερη μελέτη και σκέψη 1. Εστω V ένας διανυσματικός χώρος και Υ ένας υπόχωρός του. Θεωρούμε τη σχέση: x y x y Y. Εξετάστε εάν αυτή η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας στον χώρο. Αν είναι βρείτε τις κλάσεις ισοδυναμίας και περιγράψτε το σύνολο-πηλίκο. Δώστε ένα δικό σας παράδειγμα 2. Δύο σκεπτόμενα «με μαθηματικό τρόπο» όντα σε δύο διαφορετικούς πλανήτες δέχονται την αρχή της Μαθηματικής επαγωγής. Εξετάστε εάν το σύνολο των φυσικών αριθμών, που θα κατασκευάσουν και οι δύο είναι ίδιο. Τι άραγε μπορεί να σημαίνει στα Μαθηματικά η λέξη «ίδιο;» 3. Να θεωρήσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές 0,1 και 2 και ακμής μήκους 1. Θεωρούμε ότι οι ακέραιοι «τυλίγονται» στο τρίγωνο ως εξής: Το 0 ακουμπάει στο 0, το 1 στο 1 και το 2 στο 2. Μετά το 3 στο 0, το 4 στο 1, το 5 στο 2 κλπ. Σχηματίζεται έτσι μία διαμέριση των ακεραίων με τρία υποσύνολα ακεραίων, ένα υποσύνολο που ακουμπάει στο 0, ένα υποσύνολο που ακουμπάει στο 1 και το άλλο στο 2.Να αναπτύξετε τη δική σας θεωρία γύρω από αυτήν την διαμέριση 8

1.6 Σχόλια για την μελέτη των αμέσως παραπάνω θεμάτων Το πρώτο θέμα αναφέρεται σε μία σχέση ισοδυναμίας, που κατασκευάζεται με τη βοήθεια ενός υπόχωρου. Αποδείξτε τις τρείς ιδιότητες που απαιτούνται. Πάρτε για παράδειγμα τον διανυσματικό χώρο (R 3, +, ) και ως υπόχωρο Υ τον (x, y, z) x+2y +3z = 0. Ποιές θα είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας στην περίπτωση αυτή; Αποδείξτε επίσης ότι για κάθε κλάση ισοδυναμίας υπάρχει ένα γραμμικό σύστημα με τρείς αγνώστους, έτσι ώστε το σύνολο λύσεων αυτού να είναι η κλάση ισοδυναμίας Για το δεύτερο θέμα χρησιμοποιείστε την αρχή της επαγωγής Τέλος του πρώτου μαθήματος 9

2 Μάθημα 2 Τετάρτη 4 Δεκεμβρίου 2013 2.1 Πορεία μελέτης Ισοτιμίες 1. Μελετήστε την έννοια της σχέσης ισοδυναμίας από την ηλεκτρονική διεύθυνση εδώ 2. Μελετήστε την πρόταση 1.3.2 από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» 3. δείτε επίσης τη διεύθυνση εδώ 4. Μελετήστε επίσης τις προτάσεις 1.3.3, 1.3.4 και 1.3.5 5. Ορισμός 2.1. Εστω Z το σύνολο των ακεραίων αριθμών και ν ένας θετικός ακέραιος. Η σχέση α β ν α β είναι σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο των ακεραίων και λέγεται ισοτιμία 6. Φαντασθείτε ότι ο κόσμος είναι πεπερασμένος. Τότε (θα το δούμε και στα παρακάτω μαθήματα αυτό) η ισότητα ενδεχομένως θα «ήταν» η ισοτιμία. Η ισοτιμία όπως έχουμε πει συμπεριφέρεται ως ισότητα. Μην ξεχνάτε ότι και η ισότητα και η ισοτιμία είναι σχέσεις ισοδυναμίας. 7. Μελετήστε όσο μπορείτε καλύτερα την παράγραφο 1.3 από το βιβλίο «Μία εισαγωγή στην Άλγεβρα», που αναφέρεται στις ισοτιμίες. 2.2 Σχόλια Με απλά λόγια αυτό που κάνουμε στο μάθημα αυτό είναι, δεδομένου ενός θετικού ακεραίου ν, να διαμερίσουμε το σύνολο Z των ακεραίων αριθμών σε ν τεμάχια. 1. Το πρώτο τεμάχιο είναι το σύνολο όλων των ακεραίων που διαιρούνται με το ν. Αυτό το σύνολο το συμβολίζουμε με 0(modν) 2. Το δεύτερο τεμάχιο είναι το σύνολο όλων των ακεραίων που όταν διαιρεθούν με ν αφήνουν υπόλοιπο 1. Αυτό το σύνολο το συμβολίζουμε με 1(modν) 3. Το τρίτο τεμάχιο είναι το σύνολο όλων των ακεραίων που όταν διαιρεθούν με ν αφήνουν υπόλοιπο 2. Αυτό το σύνολο το συμβολίζουμε με 2(modν) 10

4. 5. Το τελευταίο τεμάχιο είναι το σύνολο όλων των ακεραίων που όταν διαιρεθούν με ν αφήνουν υπόλοιπο ν-1. Αυτό το σύνολο το συμβολίζουμε με (ν 1)(modν) Σχηματίζεται έτσι από το σύνολο των ακεραίων Z, ένα μυστηριώδες από πρώτη ματιά σύνολο το {0(modν), 1(modν), 2(modν),, (ν 1)(modν)} Το παραπάνω σύνολο το ονομάζουμε σύνολο των ακεραίων modν και το συμβολίζουμε Z ν. Ο αλγόριθμος της διαίρεσης στους ακεραίους 2.3 Πορεία μελέτης 1. Δείτε προσεκτικά τη διατύπωση του αλγορίθμου της διαίρεσης 2 2. Δείτε ότι η απόδειξη στηρίζεται στην αρχή του ελαχίστου. Εντοπίστε το σημείο αυτό 3. Δείτε ότι ο αλγόριθμος της διαίρεσης δεν προχωράει, εάν ο διαιρέτης είναι μηδέν 4. Δείτε προσεκτικά τον ορισμό του Μεγίστου κοινού Διαιρέτη δύο ακεραίων εκ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι διάφορος του μηδενός στο βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» 5. Σκεφθείτε γιατί χρειάζεται η παραδοχή: τουλάχιστον ένας είναι διάφορος του μηδενός 6. Δώστε μόνοι σας τον αναμενόμενο ορισμό του Μεγίστου κοινού διαιρέτη δύο πολυωνύμων του R[x] και ελέγξτε την ορθότητα του ορισμού σας από κάποιο σύγγραμμα 7. Μελετήστε πολύ καλά το θεώρημα 1.2.4, από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» και το Λήμμα 1.2.5, επίσης από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα». 8. Ρίξτε μια γρήγορη ματιά χωρίς απαιτήσεις στο κεφάλαιο 0 του βιβλίου στα αγγλικά Abstract Algebra: The Basic Graduate Year Συγγραφέας: Robert B. Ash που προτείνεται από τη βιβλιογραφία και μπορείτε να το «κατεβάσετε» ηλεκτρονικά. 2 Χρησιμοποιήστε για αυτό, το βιβλίο που θα βρείτε ηλεκτρονικά από την κεντρική σελίδα του μαθήματος 11

2.4 Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής 1. Το θεώρημα με το οποίο επίσης θα ασχοληθούμε σήμερα είναι θεμελιώδες, με την έννοια ότι πετυχαίνουμε να ρίξουμε δυνατό φώς στην εσωτερική δομή των ακεραίων και βρίσκουμε ότι παράγονται ουσιαστικά από πρώτους χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιαμό. Με αυτό το θεώρημα θα αποδείξουμε πολλά ακόμη θεωρήματα 2. Μελετήστε σε βάθος την απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής θεώρημα 1.2.7 σελίδα 21 από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» που σας προτείνω από την βιβλιογραφία. 3. Βρείτε από τη Γραμμική άλγεβρα το θεώρημα «Κάθε διάνυσμα γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων μιας βάσης» και σκεφθείτε τις αναλογίες. 4. Πως διατυπώνεται το θεμελιώδες θεώρημα αυτό όταν έχουμε αντί για το Z, το σύνολο R[x]; 5. Σκεφθείτε πάνω στην λύση της άσκηση 24 σελ 29 από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» που σας προτείνω από την βιβλιογραφία. 2.5 Ευκλείδειος Αλγόριθμος για την εύρεση του κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων αριθμών Σας υπενθυμίζω ότι αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη διαδικασία στην είσοδο της οποίας εισάγουμε τα δεδομένα και στην έξοδο έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα. Ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος για την εύρεση του κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων αριθμών είναι πολύ παλιός και οι ειδικοί, όπως έχουμε γράψει σε άλλο σημείο, τον θεωρούν ως τον παππού των αλγορίθμων. 6. Αποδείξτε λεπτομερώς ότι Αν α και β δύο ακέραιοι με β 0 και αν π και υ το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του α δια β τότε ΜΚΔ(α,β)=ΜΚΔ(β,υ) 7. Μελετήστε προσεκτικά τον Ευκλείδειο αλγόριθμο σελ 22 από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» που σας προτείνω από την βιβλιογραφία. 8. Μελετήστε τις παρατηρήσεις στην ανάλυση ακεραίων σε γινόμενο πρώτων, σελίδα 24 από το ίδιο βιβλίο 12

9. Μελετήστε τα παραδείγματα 1.2.8 σελ 26 από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Άλγεβρα» 10. Να κάνετε μία καλή επανάληψη σε όλα όσα διαβάσατε ως τώρα. 2.6 Ασκήσεις για λύση και συζήτηση Οι ακέραιοι α και β έχουν ΜΚΔ(α,β)=1. Εξετάστε εάν: 1. ΜΚΔ(α + β, α 2 + β 2 ) = 1 2. ΜΚΔ(α + β, α 2 + β 2 ) = 1ή 2 3. Εστω α, β, γ τρείς θετικοί ακέραιοι αριθμοί (αʹ) Αν α β = γ 2, τότε οι α, β είναι τέλεια τετράγωνα (βʹ) Αν ΜΚΔ(α, β) = 1 και α β = γ 2, τότε οι α, β είναι τέλεια τετράγωνα 4. Να λυθούν οι ασκήσεις 1 και 2 σελ 39 από το βιβλίο «Μια Εισαγωγή στη Αλγεβρα» 5. Να εξετασθεί αν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί x και y με x 2 + 3y 3 = 2 6. Δώστε τον αντίστοιχο ορισμό της «ισοτιμίας» στα πολυώνυμα και γράψτε τις παρατηρήσεις σας 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 5 1000 με το 14 8. Να βρεθούν τα τελευταία δύο ψηφία του αριθμού 7 100 στο δεκαδικό σύστημα. 9. Εστω R[x], το σύνολο των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές και f(x) = x 2 + 1 R[x]. Δείξτε ότι (αʹ) Η σχέση g(x) h(x) f(x) g(x) h(x) είναι σχέση ισοδυναμίας (βʹ) Δείξτε ότι σε κάθε κλάση ισοδυναμίας ως προς τη σχέση αυτή βρίσκεται ακριβώς ένα πολυώνυμο της μορφής αx + β (γʹ) Αφού αποκαλύψετε τις κρυμένες σχέσεις του παραπάνω συνόλου των κλάσεων ισοδυναμίας και του συνόλου των μιγαδικών αριθμών μετά να κάνετε και αυστηρή μαθηματική απόδειξη του ισχυρισμού σας. Τέλος του δευτέρου μαθήματος 13