5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια όλα τα απλά ενδεχόµενα έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής.. Κλασικός ορισµός της πιθανότητας Σε ένα πείραµα τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου Α και συµβολίζουµε µε Ρ(Α), το πηλίκο πλή θος ευνοϊκών περιπτώσεων Ν( Α) Ρ(Α) πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν( Ω) 3. Ισχύουν οι σχέσεις Ρ(Ω) Ν( Ω) Ν( Ω ) 1 0 Ρ(Ø) Ν( Ω ) 0 0 Ρ(Α) 1 για οποιοδήποτε ενδεχόµενο Α. 1 ος κανόνας λογισµού πιθανοτήτων Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ( Α ) 1 5. ος κανόνας λογισµού πιθανοτήτων : Αν Α, Β ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω, τότε Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Σηµείωση: Αν τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα, είναι Οπότε Ρ( Α Β ) Ρ(Ø) 0. Α Β Ø. Εποµένως η παραπάνω σχέση δίνει Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Από τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά επιλέγουµε µία στην τύχη και εξετάζουµε τα παιδιά της ως προς το φύλλο και την σειρά γέννησης. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: Το πρώτο παιδί κορίτσι Β: Το µεσαίο παιδί αγόρι Γ: Τουλάχιστον ένα κορίτσι : Ακριβώς δύο αγόρια Ε: Το πολύ δύο κορίτσια Να βρεθούν ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος και η πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ( ), Ρ(Ε), Ρ(Α ), Ρ(Β ), Ρ( Α Β ), Ρ(Α Β ), Ρ( Α Β), Ρ(Α Β) Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος, όπως έχουµε δει στην 5. παράδειγµα 3, µε τη βοήθεια σχετικού δεντροδιαγράµµατος είναι ο Ω { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΚΚΑ } µε Ν(Ω) 8 Έχουµε Α { ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΚΚΑ }, µε Ν(Α) Β { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ}, µε Ν(Β) Γ { ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΚΚΑ}, µε Ν(Γ) 7 { ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ}, µε Ν( ) 3 Ε { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ}, µε Ν(Ε) 7 Οπότε από τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας έχουµε ότι Ν( Α) 1 Ν(Β) 1 Ν(Γ) 7 Ρ( Α ), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ν( Ω) 8 Ν(Ω) Ν(Ω) 8 Ν( ) 3 Ν(Ε) 7 Ρ( ), Ρ(Ε) Θεωρία Ν( Ω) 8 Ν(Ω) 8 Είναι Α { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ}, µε Ν(Α ) Β { ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΚΚ, ΚΚΑ }, µε Ν(Β ) Α Β { ΚΑΑ, ΚΑΚ}, µε Ν( Α Β) Α Β { ΚΚΚ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ }, µε Ν ( Α Β) 6 Α Β { ΚΚΚ, ΚΚΑ }, µε Ν ( Α Β ) Α Β {ΚΚΚ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΑΑ, ΑΚΚ, ΑΚΑ }, µε Ν ( Α Β ) 6 και 1 1 1 3 Άρα Ρ( Α ), Ρ( Β ), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) 1 3 Ρ( Α Β ), Ρ( Α Β )

3. Ρίχνουµε ένα ζάρι µία φορά και επιλέγουµε ένα ενδεχόµενο στην τύχη. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: ένδειξη µικρότερη του 5 Β : ένδειξη άρτιος αριθµός Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων α) Πραγµατοποιείται το Α β) Πραγµατοποιείται το Β γ) Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω { 1,, 3,, 5, 6} µε Ν(Ω) 6 α) Α{ 1,, 3, }, µε Ν(Α), οπότε Ρ( Α ) 6 3 β) 3 1 Β {,, 6} µε Ν(Β) 3, οπότε Ρ(Β) 6 γ) Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι το ενδεχόµενο 5 Α Β { 1,, 3,, 6} µε Ν( Α Β ) 5, οπότε Ρ ( Α Β) 6

3. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές την µία κατόπιν της άλλης και επιλέγουµε ένα αποτέλεσµα στην τύχη. α) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α: Οι δύο πρώτες ρίψεις γράµµατα Β: Ένα τουλάχιστον κεφάλι Γ: Πρώτη ρίψη γράµµατα ή τρίτη ρίψη γράµµατα : Πρώτη ρίψη κεφάλι και δεύτερη ρίψη γράµµατα. γ) Να βρείτε επίσης τις πιθανότητες των ενδεχόµενων Β Γ και (Β Γ ) Σχεδιάζουµε το διπλανό δεντροδιάγραµµα, όπου Κ κεφάλι, Γ γράµµατα α) Ω { ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ } µε Ν(Ω) 8 β) Ν( Α) 1 Α { ΓΓΚ, ΓΓΓ} µε Ν(Α), οπότε Ρ( Α ) Ν( Ω) Β { ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ} µε Ν(Β) 7, Ν(Β) 7 οπότε Ρ(Β) Ν(Ω) 8 Γ { ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ } µε Ν(Γ) 6, Ν(Γ) 6 οπότε Ρ(Γ) Ν(Ω) 8 Ν( ) 1 {ΚΓΚ, ΚΓΓ } µε Ν( ), οπότε άρα Ρ( ) Ν(Ω) γ) Β Γ {ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ } µε Ν ( Β Γ) 5 Ν( Β Γ) 5 Άρα Ρ(Β Γ) Ν( Ω) 8 Το ενδεχόµενο πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Β, Γ και είναι το Β Γ {ΚΓΓ} µε Ν( Β Γ ) 1 Ν( Β Γ ) 1 Άρα Ρ(Β Γ ) Ν( Ω) 8

5. Αν Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, να χαρακτηρίσετε µε Σ (σωστό ) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις Αν Ρ(Α) Ρ(Β) τότε Α Β i Αν Ρ(Α) Ρ(Β) τότε Α Β ii Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) iν) Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ν) Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 τότε Β Α Λάθος, διότι µπορεί να είναι Ν(Α) Ν(Β) αλλά Α Β i Σωστό, διότι Ρ(Α) Ρ(Β) σηµαίνει και Ν(Α) Ν(Β). Άρα Α Β ii Σωστό, διότι ΑΒ σηµαίνει Ν(Α) Ν(Β), άρα Ρ(Α) Ρ(Β) iν) Λάθος, διότι µπορεί να είναι Α Β αλλά Ν(Α) Ν(Β), οπότε Ρ(Α) Ρ(Β) ν) Λάθος, αφού ξέρουµε ότι Ρ(Β) + Ρ(Β ) 1, οπότε η υπόθεση γίνεται Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Β) + Ρ(Β ) άρα Ρ(Α) Ρ(Β ), πράγµα που σύµφωνα µε το ( δεν σηµαίνει ότι Α Β. 5. Ένα δείγµα 50 οικογενειών ρωτήθηκε ως προς τον αριθµό των παιδιών τους. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον πίνακα Αριθµός Παιδιών Αριθµός οικογενειών 0 1 3 5 ή περισσότερα 6 1 13 9 5 3 Επιλέγουµε τυχαία µία οικογένεια. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Α: να µην έχει παιδιά Β: να έχει παιδιά αλλά όχι περισσότερα από 3 Γ: να έχει περισσότερα από 3 παιδιά : να µην έχει 3 ή παιδιά Ε: να έχει λιγότερα από ή περισσότερα από Εύκολα βρίσκουµε ότι Ν(Α) 6, Ν(Β) 36, Ν(Γ) 8, Ν( ) 36, Ν(Ε) 3 και Ν(Ω) 50 6 36 8 36 3 Άρα Ρ( Α ), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ( ) και Ρ(Ε) 50 50 50 50 50

6 6. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στους ασθενείς που πάσχουν από διαβήτη Επιλέγουµε έναν ασθενή στην τύχη και έστω τα ενδεχόµενα Α: Να έχει σοβαρή περίπτωση Β: Να είναι κάτω των 0 Γ: Οι γονείς του να είναι διαβητικοί Να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ ( Β Γ), Ρ ( Α Β Γ) i Να περιγράψετε λεκτικά τα ακόλουθα ενδεχόµενα Α Β, Α Γ, Α Β Γ και να βρείτε τις πιθανότητές τους Από τον πίνακα φαίνεται ότι οι ασθενείς που είναι σοβαρά είναι το 0%. Άρα Ρ(Α) 0% Οι ασθενείς που είναι κάτω των 0 είναι το 35%. Άρα Ρ(Β) 35% Οι ασθενείς που έχουν διαβητικούς γονείς είναι το 58%. Άρα Ρ(Γ) 58% Οι ασθενείς που είναι κάτω των 0 µε διαβητικούς γονείς είναι το 3%. Άρα Ρ ( Β Γ) 3% Οι ασθενείς που είναι σοβαρά και είναι κάτω των 0 και οι γονείς τους είναι διαβητικοί είναι το 8%. Άρα Ρ ( Α Β Γ) 8% i Το ενδεχόµενο Α Β λεκτικά : Έχει ελαφριά περίπτωση και είναι άνω των 0. Οπότε Ρ ( Α Β ) 35% Το ενδεχόµενο Α Β λεκτικά : Έχει ελαφριά περίπτωση ή οι γονείς του δεν είναι διαβητικοί. Οπότε Ρ ( Α Β ) 7% Το ενδεχόµενο Α Β Γ λεκτικά : Έχει ελαφριά περίπτωση και είναι κάτω των 0 και οι γονείς του δεν είναι διαβητικοί. Οπότε Ρ ( Α Β Γ ) 10%.

7 7. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) 0,7, Ρ(Β) 0,5 και Ρ( Α Β) 0,3. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχόµενων εν πραγµατοποιείται το Α i Ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται ii εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β iν) Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται εν πραγµατοποιείται το Α σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Α. Θεωρία Ρ(Α ) + Ρ(Α) 1 οπότε Ρ(Α ) 1 Ρ(Α) 1 0,7 0,3 i Ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β. Είναι Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β ) Ρ( Α ) +Ρ( Β ) άρα Ρ(Α Β) + 0,3 0,7 + 0,5 Ρ(Α Β) 0,9 Θεωρία 5 ii εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β) και αφού Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 έχουµε Ρ( Α Β ) 1 Ρ( Α Β ) 1 0,3 0,7 iν) Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β) και αφού Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 έχουµε Ρ ( Α Β) 1 Ρ( Α Β) 1 0,9 0,1 8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε Ρ(Α) 0,9, Ρ(Β) 0,8 και Ρ( Α Β) 0,3. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β i Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται. Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β. Όµως Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β ) Ρ( Α ) +Ρ( Β ) και Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 άρα Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β) άρα Ρ(Α Β) 0,9+ 0,8 (1 Ρ( Α Β ) ) 0,9 + 0,8 1+ 0,3 1 i Κανένα από τα Α,Β δεν πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β ) και από τη σχέση Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 έχουµε Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β) 1 1 0

8 9. Σ ένα κλουβί υπάρχουν 0 καναρίνια και 36 κοτσύφια. Τα τέσσερα πέµπτα των καναρινιών και τα µισά κοτσύφια κελαηδάνε. Εκλέγουµε ένα πουλί στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Είναι καναρίνι i Είναι κοτσύφι και κελαηδάει ii Το πουλί κελαηδάει iν) Είναι καναρίνι ή κελαηδάει Έστω τα ενδεχόµενα Α : Το πουλί είναι καναρίνι Β : Το πουλί είναι κοτσύφι Γ : Το πουλί κελαηδάει Γνωρίζουµε ότι τα καναρίνια που κελαηδάνε είναι 0 16 5 τα κοτσύφια που κελαηδάνε είναι 36 18 το σύνολο των πουλιών είναι 0 + 36 56 0 Ν(Α) 0 και Ν(Ω) 56 άρα Ρ(Α) 56 i Το ενδεχόµενο είναι κοτσύφι και κελαηδάει είναι το Β Γ µε Ν(Β Γ ) 18 18 Άρα P (Β Γ ) 56 ii 16 18 3 Είναι Ν(Γ) 3 άρα Ρ (Γ) + 56 56 56 iν) Το ενδεχόµενο : είναι καναρίνι ή κελαηδάει είναι το Α Γ ενώ το ενδεχόµενο : είναι καναρίνι και κελαηδάει είναι το Α Γ µε Ρ(Α Γ ) 16 56 και αφού Ρ( Α Γ ) +Ρ( Α Γ ) Ρ( Α ) +Ρ( Γ ) έχουµε Θεωρία 5 0 3 16 38 Ρ( Α Γ) Ρ( Α) +Ρ( Γ) Ρ( Α Γ) + 56 56 56 56

9 10. Ένα σχολείο έχει εκπαιδευτικούς, από τους οποίους οι 8 είναι άντρες µεταξύ των οποίων 3 είναι φιλόλογοι. Επίσης υπάρχουν 10 γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουµε έναν εκπαιδευτικό στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος i Είναι άντρας φιλόλογος ii Είναι άντρας ή φιλόλογος iν) εν είναι φιλόλογος Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι οι γυναίκες εκπαιδευτικοί είναι 16, εκ των οποίων οι 10 είναι φιλόλογοι. Άρα οι 6 γυναίκες δεν είναι φιλόλογοι. 8 Έστω τα ενδεχόµενα Α : είναι άντρας, οπότε Ρ(Α). Τότε Α είναι το ενδεχόµενο : δεν είναι 16 άντρας δηλαδή είναι γυναίκα µε Ρ(Α ) 13 Φ : είναι φιλόλογος µε Ρ(Φ) Το ενδεχόµενο : είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος είναι το 6 1 µε Ρ( Α Φ ) i Το ενδεχόµενο : είναι άντρας φιλόλογος είναι το ii Το ενδεχόµενο είναι άντρας ή φιλόλογος είναι το και αφού Ρ( Α Φ ) +Ρ( Α Φ ) Ρ( Α ) +Ρ( Φ ) Ρ( Α Φ ) Ρ( Α ) +Ρ( Φ) Ρ( Α Φ ) 8 13 3 18 + iν) Το ενδεχόµενο : εν είναι φιλόλογος είναι το Φ. Α Φ µε Α Φ έχουµε Όµως Ρ(Φ) + Ρ(Φ ) 1 άρα Ρ(Φ ) 1 Ρ(Φ) 1 Α Φ 13 11 Ρ ( Α Φ) 3

10 11. Σε ένα σύνολο µαθητών, το 0% δεν µαθαίνει Αγγλικά, το 60% δεν µαθαίνει Γαλλικά και το 15% δεν µαθαίνει ούτε Αγγλικά ούτε Γαλλικά. Επιλέγουµε έναν µαθητή στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Ο µαθητής µαθαίνει και τις δύο γλώσσες i Ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα Έστω τα ενδεχόµενα Α : Ο µαθητής δεν µαθαίνει Αγγλικά µε Ρ(Α) 0% Γ : Ο µαθητής δεν µαθαίνει Γαλλικά µε Ρ(Γ) 60% τότε Α Γ : Ο µαθητής δεν µαθαίνει καµία από τις δύο γλώσσες µε Ρ( Α Γ) 15% Με την βοήθεια του παρακάτω διαγράµµατος Venn, παρατηρούµε ότι µέσα στην γραµµή Α Ω είναι οι µαθητές που δεν µαθαίνουν Αγγλικά Γ Α και µέσα στην γραµµή Γ είναι οι µαθητές που δεν µαθαίνουν Γαλλικά. Οπότε στην σκούρα περιοχή θα βρίσκονται οι µαθητές που µαθαίνουν και Αγγλικά και Γαλλικά. Η σκούρα περιοχή είναι το ενδεχόµενο ( Α Γ). Αλλά Ρ(Α Γ ) + P(Α Γ ) 1 άρα Ρ( Α Γ ) 1 Ρ( Α Γ ) 1 [Ρ(Α) +Ρ(Γ) Ρ( Α Γ) ] 1 Ρ(Α) Ρ(Γ) + Ρ( Α Γ) 0 60 15 35 1 + 100 100 100 100 i Το ενδεχόµενο ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα είναι το Α Γ Όµως Ρ( Α Γ ) + Ρ( Α Γ ) Ρ(Α ) + Ρ(Γ ) άρα Ρ ( Α Γ ) Ρ( Α ) +Ρ( Γ ) Ρ( Α Γ ) 1 Ρ(Α) + 1 Ρ(Γ) Ρ ( Α Γ ) 0 60 35 85 1 + 1 100 100 100 100 Σηµείωση : Από το διάγραµµα του Venn διαπιστώνουµε ότι 35 άρα Ρ (Α Γ ) Ρ ( Α Γ) 100 ( Α Γ) Α Γ

11 1. Έστω Ω {,, 6, 8, 10, 1, 1, 16} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, και τα ενδεχόµενα Α {α Ω µε α πολλαπλάσιο του } ( x 6x+ 8)( x 3) Β β Ω µε β ρίζα της εξίσωσης 0 x Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( Α Β), Ρ(Α Β) Προφανώς είναι Α{, 8, 1, 16} ακόµα (x 6x+ 8)(x 3) Βρίσκοντας τις λύσεις της εξίσωσης 0 έχουµε x (x 6x + 8)(x 3) 0 και x άρα x ή x 3 συνεπώς Β {3, } Ν Οπότε Ρ(Α) ( Α ) 1 Ν(Β) 1 και Ρ(Β) Ν( Ω) 8 Ν(Ω) 8 Επίσης Α Β { 3,, 8,1, 16} µε Ν( Α Β ) 5, Α Β {} µε Ν( Α Β ) 1 N(A B) 5 Ν(Α Β) 1 Άρα Ρ( Α Β ) και Ρ(Α Β) N( Ω) 8 Ν(Ω) 8 13. Σ ένα χωριό µε 8 οικογένειες, οι 36 έχουν έγχρωµη τηλεόραση, οι 16 ασπρόµαυρη και οι 6 έχουν και έγχρωµη και ασπρόµαυρη. Αν επιλέξουµε µία οικογένεια στην τύχη, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Να έχει ένα τουλάχιστον είδος τηλεόρασης. i Να µην έχει ούτε έγχρωµη ούτε ασπρόµαυρη τηλεόραση Έστω τα ενδεχόµενα Ε : η οικογένεια έχει έγχρωµη τηλεόραση Μ : η οικογένεια έχει ασπρόµαυρη τηλεόραση Τότε Ε Μ είναι το ενδεχόµενο : η οικογένεια έχει και έγχρωµη και ασπρόµαυρη Από υπόθεση έχουµε Ρ(Ε) 36 16, Ρ(Μ) και Ρ(Ε Μ) 6 8 8 8 Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το Ε Μ. Από τη σχέση Ρ ( Ε Μ ) + Ρ ( Ε Μ ) Ρ(Ε) + Ρ(Μ) συµπεραίνουµε Ρ ( Ε Μ ) Ρ( Ε ) +Ρ( Μ) Ρ( Ε Μ ) 36 16 6 + 6 8 8 8 8

1 i Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το (Ε Μ ) και αφού Ρ( Ε Μ ) + Ρ(Ε Μ ) 1, έχουµε Ρ( Ε Μ ) 1 Ρ( Ε Μ ) 1 6 8 8 1. Από 10 µαθητές ενός Λυκείου, µαθητές συµµετέχουν στον διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, 0 µαθητές συµµετέχουν στον διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητής Να συµµετέχει σε ένα τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς i Να µην συµµετέχει σε κανέναν από τους διαγωνισµούς Έστω M : το ενδεχόµενο ο µαθητής µετέχει στην µαθ/ική εταιρεία µε Ρ(Μ) 10 Φ : το ενδεχόµενο ο µαθητής µετέχει στην ένωση φυσικών µε Ρ(Φ) 0 10 Τότε Μ Φ : είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής µετέχει και στους δύο διαγωνισµούς µε Ρ(Μ Φ) 1 10 Ο µαθητής µετέχει σε έναν τουλάχιστον διαγωνισµό είναι το ενδεχόµενο Μ Φ Από τη σχέση Ρ(Μ Φ) + Ρ(Μ Φ) Ρ(Μ) + Ρ(Φ) έχουµε Ρ(Μ Φ) Ρ(Μ) + Ρ(Φ) Ρ(Μ Φ) 10 + 0 10 1 10 3 10 15 i Ο µαθητής δεν µετέχει σε κανέναν διαγωνισµό είναι το ενδεχόµενο (Μ Φ) µε Ρ(Μ Φ) + Ρ(Μ Φ) 1 άρα Ρ(Μ Φ) 1 Ρ(Μ Φ) 1 15 11 15

13 15. Σε ένα δοχείο έχουµε 30 σφαίρες αριθµηµένες από το 1 έως και το 30. Επιλέγουµε µία σφαίρα στην τύχη. Έστω Α το ενδεχόµενο ο αριθµός της σφαίρας είναι άρτιος και Β το ενδεχόµενο ο αριθµός της σφαίρας είναι πολλαπλάσιο του 5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(A) και Ρ(Β) i Ρ(Α Β) ii Ρ(Α Β) Έχουµε ότι Ω { 1,, 3,., 8, 9, 30} µε Ν(Ω) 30 Α {,, 6, 8, 10, 1, 1, 16, 18, 0,,, 6, 8, 30} µε Ν(Α) 15 Β { 5, 10, 15, 0, 5, 30} µε Ν(Β) 6 Άρα Ρ(Α) N(A) N( Ω ) 15 30 1 και Ρ(Β) N( Β ) N( Ω ) 6 30 1 5 i Είναι Α Β { 10, 0, 30} µε Ν(Α Β ) 3 και Ρ(Α Β) N(A Β ) N( Ω ) ii Είναι Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) άρα Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) 1 + 1 5 1 10 3 5 3 30 1 10 16. Ένα κουτί περιέχει κόκκινες και µαύρες σφαίρες. Παίρνουµε τυχαία µία σφαίρα. Η πιθανότητα αυτή να είναι µαύρη είναι Ρ(Μ) 1. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 6 < Ν(Ω) < 7, τότε Να δείξτε ότι Ν(Ω) 68 i Να βρείτε πόσες µαύρες και πόσες κόκκινες µπάλες υπάρχουν στο κουτί ii Να βρείτε την πιθανότητα η µπάλα είναι κόκκινη Ρ(Μ) 1 Ν( Μ) άρα Ν( Ω ) 1 οπότε Ν(Μ) Ν(Ω) Όµως 6 < Ν(Ω) < 7 άρα 6 < Ν(Μ) < 7 16 < Ν(Μ) < 18 και επειδή το Ν(Μ) είναι ακέραιος, θα είναι Ν(Μ) 17. Εποµένως Ν(Ω) Ν(Μ) 68 i Αφού Ν(Μ) 17 θα είναι Ν(Κ) 68 17 51 ii Ν Ρ(Κ) ( Κ ) Ν( Ω ) 51 68 3

1 17. Από τους µαθητές µιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Αν ν φυσικός αριθµός µε ν 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχοµένου ο µαθητής 3ν να µαθαίνει : Γαλλικά είναι ν + Ισπανικά είναι και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι µία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση µε τη µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης 5x + 5x 10 0 είξτε ότι το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες, είναι βέβαιο i είξτε ότι ν 3 ii Αν ο αριθµός των µαθητών που µαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 3, να βρείτε τον αριθµό των µαθητών της τάξης. 3ν Έστω Γ το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει Γαλλικά µε Ρ(Γ) ν + Ι το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει Ισπανικά µε Ρ(Ι) Τότε το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι το (Γ Ι) µε Ρ(Γ Ι) Και το ενδεχόµενο ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα είναι το ( Γ Ι) µε Ρ( Γ Ι) η µεγαλύτερη λύση της εξίσωσης 5x + 5x 10 0 Έχουµε ότι 5x + 5x 10 0. Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουµε x ή x 1 Οπότε Ρ( Γ Ι) 1, άρα το ενδεχόµενο Γ Ι είναι βέβαιο. i Είναι Ρ( Γ Ι) + Ρ(Γ Ι) Ρ(Γ) + Ρ(Ι) άρα Ρ( Γ Ι) Ρ(Γ) + Ρ(Ι) Ρ(Γ Ι) 3ν 1 + ν + λύνοντας την εξίσωση βρίσκουµε ν 0 ή ν 3 δεκτή λύση η ν 3 λόγω των περιορισµών iν) Είναι Ν(Γ Ι) 3 + 1 3 + 1 10 Αλλά Ρ(Γ Ι) N(Γ Ι) Ν(Ω) άρα 10 3 N(Ω) άρα Ν(Ω) 80

15 18. Κάποιος έχει την δυνατότητα να βάλει υποψηφιότητα για πρόεδρος σε δύο συλλόγους Σ 1 και Σ. Έστω τα ενδεχόµενα Α: Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ 1 Β: Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ Αν η πιθανότητα να εκλεγεί πρόεδρος στον Σ 1 είναι 1, να µην εκλεγεί στον Σ είναι 3 και να µην εκλεγεί συγχρόνως και σους δύο συλλόγους είναι 6 5, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Εκλέγεται στον Σ i Εκλέγεται και στους δύο συλλόγους ii Εκλέγεται σ έναν τουλάχιστον σύλλογο iν) εν εκλέγεται σε κανέναν ν) Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται 1 ίνεται Ρ(Σ 1 ), Ρ(Σ ) 3 και Ρ( 5 Σ1 Σ ) 6 1 Ρ(Σ ) + Ρ(Σ ) 1 άρα Ρ(Σ ) 1 Ρ(Σ ) 1 3 3 i 5 1 Ρ( Σ1 Σ ) + Ρ( Σ1 Σ ) 1 άρα Ρ( Σ1 Σ ) 1 Ρ( Σ1 Σ ) 1 6 6 ii Ρ( Σ1 Σ ) + Ρ( Σ1 Σ ) Ρ(Σ 1 ) + Ρ(Σ ) άρα 1 1 Ρ( Σ1 Σ ) Ρ(Σ 1 ) + Ρ(Σ ) Ρ( Σ1 Σ ) + 3 1 6 5 1 iν) Ρ( Σ1 Σ ) + Ρ( Σ1 Σ ) 1 άρα Ρ( Σ1 Σ ) 1 Ρ( Σ1 Σ ) 1 5 ν) Το ενδεχόµενο : Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται είναι το ( Σ1 Σ ) 1 7 1 Oπότε Ρ( Σ1 Σ ) 5 6