Βελτιστοποίησης Δρ. Άγγελος Σιφαλέρας Λέκτορας ΠΔ 407/80 στο Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, του Πανεπιστημίου Μακεδονίας, Οικονομικών και Κοινωνικών Σπουδών Στα Μαθηματικά ο όρος Βελτιστοποίηση αναφέρεται στη μελέτη προβλημάτων, όπου κάποιος προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει ή να μεγιστοποιήσει μια συνάρτηση, κάνοντας συστηματική επιλογή των τιμών κάποιων μεταβλητών, από ένα επιτρεπτό σύνολο. Παράδειγμα: min x + 1 x R Το ζητούμενο είναι η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης x +1 όπου η μεταβλητή x ανήκειστοσύνολοτων πραγματικών αριθμών. Η ελάχιστη τιμή, σε αυτήν την περίπτωση είναι 1, η οποία επιτυγχάνεται για x=0 Η διάλεξη πραγματοποιείται στα πλαίσια υλοποίησης του έργου «Διεύρυνση της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης Πανεπιστήμιο Μακεδονίας (004-006)» - Υποέργο «Τμήμα Διοίκησης Τεχνολογίας (006-008)», Κατηγορία Πράξεων...β «Διεύρυνση της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης», Ενέργεια... «Ολοκλήρωση της διεύρυνσης και αναμόρφωση των προγραμμάτων της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης», Μέτρο.. «Αναμόρφωση Προγραμμάτων Σπουδών Διεύρυνση Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης», με χρονική διάρκεια από 1/9/004 μέχρι 31/8/008 το οποίο εκτελείται στα πλαίσια του Επιχειρησιακού Προγράμματος Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελματικής Κατάρτισης II (ΕΠΕΑΕΚ II) και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση [3 ο Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης κατά 75% Κοινοτική Συμμετοχή (ΕΚΤ) και 5% Εθνικοί Πόροι]. Στην Πληροφορική προκύπτει μια πληθώρα εφαρμογών Βελτιστοποίησης. Ένα πρόγραμμα σε Η/Υ μπορεί να βελτιστοποιηθεί ώστε να: i. Εκτελείται πιο γρήγορα, ii. Να λειτουργεί χρησιμοποιώντας λιγότερη αποθηκευτική μνήμη, iii. Να έχει μικρότερη ενεργειακή κατανάλωση, π.χ. μπαταρίας σε φορητούς υπολογιστές. Βελτιστοποίηση, από την πλευρά του: 1. Προγραμματιστή Ερευνητή,. Απλού χρήστη (π.χ. ένας διευθύνων σύμβουλος που λαμβάνει αποφάσεις για λογαριασμό μιας εταιρίας) 3 4 Σε υψηλό επίπεδο, με χρήση αποδοτικών αλγορίθμων, (effiient algorithms). Σύγκριση και επιλογή αλγορίθμου σύμφωνα με τη Θεωρία της Πολυπλοκότητας (Complexity Theory) Σε υψηλό επίπεδο, με χρήση βελτιστοποιημένων μεταγλωττιστών, (optimizing ompilers) IEEE Annals of the History of Computing, the ompiler "produed ode of suh effiieny that its output would startle the programmers who studied it. 5 6 1
Σε υψηλό επίπεδο, με χρήση : Τεχνικών Βελτιστοποίησης στη συγγραφή κώδικα Η/Υ, π.χ.: Χρήση τεχνικών διανυσματοποίησης υπολογισμών (vetorized omputation) Εξειδικευμένου λογισμικού, όπως: i. Intel VTune Performane Analyzer, ii. Mathworks Matlab profiler Σε υψηλό επίπεδο, με χρήση βελτιστοποιημένων σε απόδοση βιβλιοθηκών,(optimized performane libraries) 1. LAPACK - Linear Algebra PACKage http://www.netlib.org/lapak. Intel Math Kernel Library (Intel MKL) http://www3.intel.om/d/software/produts/asmo-na/eng/307757.htm 3. AMD Core Math Library (ACML) http://developer.amd.om/aml.jsp 4. Sun Performane Library http://developers.sun.om/sunstudio/perflib_index.html 7 8 Σε χαμηλό επίπεδο, με συγγραφή κώδικα σε γλώσσα Assembly. Υπο περιοχές της Βελτιστοποίησης Fortran 95/003 program main print*, "hello World!" end program main Παράδειγμα γραφής κώδικα σε: Assembly Language for the IBM-PC title Hello World Program ; This program displays "Hello, World!" dosseg.model small.stak 100h.data hello_message db 'Hello, World!',0dh,0ah,'$'.ode main pro mov ax,@data mov ds,ax mov ah,9 mov dx,offset hello_message int 1h mov ax,4c00h int 1h main endp end main 9 10 Λογισμικό που περιλαμβάνει προγράμματα λύτεςγιαπολλέςκαι διαφορετικές κατηγορίες προβλημάτων, συνήθως με κοινή γραφική διεπιφάνεια χρήστη. Λογισμικό λύτες προβλημάτων βελτιστοποίησης μεγάλης κλίμακας, (large sale optimization) Εκπαιδευτικό λογισμικό για εκμάθηση αλγορίθμων βελτιστοποίησης, (eduational optimization software) Εκπαιδευτικά, για εκμάθηση Αλγορίθμων Βελτιστοποίησης Χρήστες: Ερευνητές - Managers Χρήστες: Καθηγητές - Φοιτητές 11 1
Χαρακτηριστικά αναφέρονται τα εξής: 1. Γραμμικής Βελτιστοποίησης, (linear optimization) VisualLinProg http://eos.uom.gr/~sifalera/visuallinprog/english_version VisualLinProg Lazaridis V, Paparrizos K., Samaras N. and Sifaleras A., Visual LinProg: A Web-based Eduational Software for Linear Programming, To appear in Computer Appliations in Engineering Eduation, Wiley Publiations, Vol. 15, No. 1, 007.. Δικτυακής Βελτιστοποίησης, (network optimization) i. WebNetPro http://eos.uom.gr/~sifalera/webnetpro ii. Visualization Software for the assignment problem iii. Visualization Software for the network simplex algorithm http://eos.uom.gr/~thanasis/phd.html 13 14 WebNetPro Karagiannis P., Markelis I., Paparrizos K., Samaras N. and Sifaleras A., E learning tehnologies: employing matlab web server to failitate the eduation of mathematial programming, The International Journal of Mathematial Eduation in Siene and Tehnology, Taylor & Franis Publiations, Vol. 37, No. 7, pp. 765-78, 006. Visualization Software for the assignment problem Andreou D., Paparrizos K., Samaras N. and Sifaleras A., Appliation of a New Network enabled Solver for the Assignment Problem in Computer aided Eduation, Journal of Computer Siene, Siene Publiations, Vol. 1, No. 1, pp. 19-3, 005. 15 16 Visualization Software for the network simplex algorithm Baloukas Th., Paparrizos K. and Sifaleras A., Promoting Operations Researh eduation using a new web aessible didati tool, in Pro. of the 7 th Balkan Conferene on Operational Researh (BACOR 05), 5-8 May, Constanta, Romania, 005. Λογισμικά πακέτα για προβλημάτα βελτιστοποίησης μεγάλης κλίμακας 17 18 3
Matlab Optimization Toolbox 3.1.1 http://www.mathworks.om/produts/optimization NETFLOW ftp://dimas.rutgers.edu/pub/netflow Λογισμικό πακέτο δικτυακής βελτιστοποίησης, το οποίο περιλαμβάνει: Υλοποιημένοι αλγόριθμοι που επιλύουν προβλήματα: i. Γραμμικής βελτιστοποίησης, ii. Μη γραμμικής βελτιστοποίησης, iii. Πολυκριτήριας βελτιστοποίησης, iv. Ακεραίου προγραμματισμού, v. κ.α. Υλοποιημένο τον αλγόριθμο, τύπου simplex, των Kennington και Helgason για προβλήματα Ροής Ελαχίστου Κόστους (minimum ost network flow), υλοποιημένο τον αλγόριθμο του Goldberg για προβλήματα Μεγίστης Ροής (maximum flow), κ.α. Συλλογές στιγμιοτύπων από διάφορες κατηγορίες προβλημάτων, αρχεία πραγματικών προβλημάτων, Μετροπρογράμματα (benhmarks), Γεννήτριες τυχαίων προβλημάτων,(random problem generators). 19 0 ILOG CPLEX 10.0 http://www.ilog.om/produts/plex CPLEX Simplex Optimizers Επίλυση προβλημάτων με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex, τον Δυϊκό αλγόριθμο Simplex, τον αλγόριθμο Simplex για προβλήματα δικτύων, με εκατομμύρια περιορισμών και μεταβλητών CPLEX Mixed Integer Optimizer Επίλυση προβλημάτων με μικτές ακέραιες μεταβλητές (γενικές ή δυαδικές), με χρήση γραμμικής ή δευτεροβάθμιας αντικειμενικής συνάρτησης. CPLEX Barrier Optimizer Επίλυση προβλημάτων τόσο γραμμικού όσο και τετραγωνικού προγραμματισμού (linear & quadrati programming problems), ή και προβλήματα (seond order one programming problems) 1 LINGO 10.0 http://www.lindo.om Με τη γλώσσα μοντελοποίησης του LINGO, κατασκευάζονται και επιλύονται διάφορα μοντέλα από τον χρήστη. Αυτόματη επιλογή του πιο κατάλληλου λύτη για την επίλυση προβλημάτων Γραμμικού και μη γραμμικού προγραμματισμού, Ακεραίου προγραμματισμού, κ.α. Άντληση δεδομένων από λογιστικά φύλλα ήβάσεις δεδομένων. Ο λύτης είναι και σε μορφή DLL και μπορεί να κληθεί από μακροεντολή του Exel, κώδικα προγράμματος Η/Υ ή εφαρμογή βάσεων δεδομένων, κ.α. KNITRO 5.1 http://www.ziena.om/knitro.htm Επίλυση προβλημάτων γραμμικού, μη γραμμικού, τετραγωνικού προγραμματισμού, κ.α. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως λύτης στα προγραμματιστικά περιβάλλοντα AMPL, AIMMS, Mathematia, Mirosoft Exel, GAMS, LabVIEW και MATLAB. ILOG Transport PowerOps http://www.ilog.om/produts/transportpowerops Κατασκευάζει αναλυτικά πλάνα μεταφοράς για ελαχιστοποίηση κόστων μεταφοράς και άλλων υπηρεσιών σε πολύπλοκα μεταφορικά δίκτυα. Παράγει βέλτιστα, ημερήσια και εβδομαδιαία, πλάνα μεταφοράς για διάφορα μεταφορικά μέσα, υπό διάφορους επιχειρησιακούς περιορισμούς. 3 4 4
ILOG LogiTools http://www.ilog.om/produts/logitools Ανάλυση What-If σεναρίων: Μελέτη πιθανών αποτελεσμάτων από τη διανομή και κατασκευή δικτύων ή προσθήκη / κατάργηση εγκαταστάσεων και αποθηκών. Ελαχιστοποίηση συνολικού κόστους εφοδιαστικής αλυσίδας: Αναγνώριση του πιο οικονομικού δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας (help identify the most ost-effiient supply hain network). Διαχείριση ανάπτυξης επιχείρησης: Αξιολόγηση του δικτύου και εκτίμηση πού και πότε απαιτείται η κατασκευή νέων εγκαταστάσεων. Best Routing and Sheduling http://www.elogistis.gr/approduts/index.asp?show=brs Εύρεση του πιο αποτελεσματικού τρόπου για εξυπηρέτηση μιας σειράς προορισμών από διάφορες περιοχές αποθήκευσης ή παραγωγής. Εύρεση πολλαπλών λώ άλλων δικτύων όταν οι δυνατότητες για φόρτωση των πόρων μεταφοράς αποτελούν τροχοπέδη στην χρησιμοποίηση της ελάχιστης (χρόνο και χλμ) διαδρομής. 5 6 RISKOptimizer http://www.palisade-europe.om/riskoptimizer Εργαλείο λήψης αποφάσεων, (Deision making tool). Βελτιστοποίηση μοντέλων που περιλαμβάνουν αβεβαιότητα, «στοχαστικούς» παράγοντες. Το RISKOptimizer εκτελεί βελτιστοποίηση των προσομοιώσεων, υπολογίζοντας τον συνδυασμό των μεταβλητών οι οποίες παράγουν τα καλύτερα αποτελέσματα της προσομοίωσης. Εργαλεία βελτιστοποίησης μηχανών αναζήτησης Δείχνουν ποιες λέξεις κλειδιά είναι πιθανότερο να χρησιμοποιούν οι επισκέπτες μίας ιστοσελίδας για να σας βρούν. Γεννήτριες λέξεων κλειδιών παράγουν τις πιο δημοφιλείς λέξεις κλειδιά σχετικά με τον τύπο της επιχείρησης. Βελτιστοποίηση κεντρικών σελίδων με χρήση κατάλληλων λέξεων κλειδιών οδηγεί σε δραστική αύξηση της επισκεψιμότητας σε ιστοσελίδες και βελτίωση στη σειρά εμφάνισης αποτελεσμάτων των μηχανών αναζήτησης. Searh engine optimization software V.05 www.1stposition.net Searh Engine Optimization Pro 3.6 www.1-searh-engine-optimization.net 7 Web Optimization Easy Pro 4.00 www.websitepromotionsoft.om/website-optimization.html 8 Λογισμικά πακέτα βελτιστοποίησης για εφαρμογές Βιοπληροφορικής Leto 1.0 http://www.entelehon.om Άλλος διαχωρισμός: Ανάλυση και βελτιστοποίηση ακολουθιών DNA, για την καλύτερη δυνατή παραγωγή πρωτεϊνών από γονίδια. Βελτιστοποίηση γονιδίων (gene optimization), σύμφωνα με περίπλοκες απαιτήσεις για μια πληθώρα εφαρμογών. Λογισμικό που εγκαθίσταται τοπικά σε έναν Η/Υ, (stand alone appliations) Διαδικτυακό λογισμικό, (web based software) 9 30 5
NEOS Solvers http://neos.ms.anl.gov/neos/solvers Συλλογή λυτών διαδικτυακά προσβάσιμοι, για την επίλυση προβλημάτων: Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης, Δικτυακής Βελτιστοποίησης, Γραμμικής Βελτιστοποίησης, Μικτού Ακεραίου Γραμμικού Προγραμματισμού, Μη γραμμικής βελτιστοποίησης, με περιορισμούς, κ.α. Upload αρχείου με την περιγραφή, Του προβλήματος βελτιστοποίησης Επιλογή λοιπών παραμέτρων, αρχικοποίησης αλγορίθμου Προσθήκη σχολίων Συμπλήρωση email διεύθυνσης, για αποστολή των αποτελεσμάτων Χειριστήρια ελέγχου, για αποστολή στον Server 31 3 Παράδειγμα χρήσης του NEOS Server i. Μοντελοποίηση φυσικού προβλήματος, με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων, ii. Αποθήκευση παραμέτρων του προβλήματος, σε ειδικής μορφής αρχείο iii. Αποστολή αρχείου στον server. Άλλος διαχωρισμός: This is a simple example file to demonstrate the DIMACS input file format for minimum-ost flow problems. problem line : p min 4 5 node desriptor lines : n 1 4 n 4-4 ar desriptor lines : a 1 0 4 a 1 3 0 a 3 0 1 a 4 0 3 3 a 3 4 0 5 1 Εμπορικό λογισμικό, (ommerial, proprietary software) Λογισμικό ανοιχτού κώδικά, (Open soure software) 33 34 Open Soure for the Operations Researh ommunity http://www.oin-or.org GNU Otave http://www.gnu.org/software/otave Γλώσσα υψηλού επιπέδου κυρίως για αριθμητικούςυπολογισμούς, Είλ Επίλυση, μέσω γραμμής εντολών, προβλημάτων γραμμικού και μη γραμμικού προγραμματισμού, κ.α. Συμβατή σε μεγάλο βαθμό με το εμπορικό πακέτο Matlab LEMON, (Library of Effiient Models and Optimization in Networks) http://www.s.elte.hu/opres/researh.html Συλλογή ρουτινών γραμμένες σε C++ που στοχεύει στην επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων βελτιστοποίησης (ombinatorial optimization tasks), κυρίως για προβλήματα με γράφους και δίκτυα. 35 Συγκριτικές Αξιολογήσεις για Λογισμικά Πακέτα Βελτιστοποίησης Deision Analysis Software Survey, OR/MS Today, Deember 006 http://lionhrtpub.om/orms/surveys/das/das.html Vehile Routing Software Survey, OR/MS Today, June 006. http://lionhrtpub.om/orms/surveys/vehile_routing/vrss.html Linear Programming Software Survey, OR/MS Today, June 005. http://lionhrtpub.om/orms/surveys/lp/lp-survey.html Statistial Analysis Software Survey, OR/MS Today, February 007. http://lionhrtpub.om/orms/surveys/sa/sa-survey.html Foreasting Software Survey, OR/MS Today, August 006. http://lionhrtpub.om/orms/surveys/fss/fss.html Institute for Operations Researh and the Management Sienes, (INFORMS) 36 6
Βιβλιογραφικές πηγές σχετικά με Βελτιστοποίησης Διεθνή Περιοδικά που ασχολούνται με Λογισμικά Πακέτα Βελτιστοποίησης Jorge J. More and Stephen J. Wright, Optimization Software Guide, SIAM Publiations, 1993. Optimization Methods and Software, published by Taylor & Franis, (005 Impat Fator: 0.477) http://www.tandf.o.uk/journals/titles/10556788.asptandf asp Stephen J. Wright, Optimization Software Pakages, Tehnial Report, Mathematis and Computers Siene Division, Argonne National Laboratory,1999. NEOS Guide: Optimization Software http://www-fp.ms.anl.gov/ot/guide/softwareguide SIAM Journal on Optimization, published by SIAM, (005 Impat Fator: 1.38) http://www.siam.org/journals/siopt.php 37 38 Διεθνή Συνέδρια που ασχολούνται με Λογισμικά Πακέτα Βελτιστοποίησης Διεθνείς επιστημονικές κοινότητες, που ασχολούνται με Βελτιστοποίησης nd Conferene on Optimization Methods & Software, July 4-7, 007, Prague, Czeh Republi. http://io.umh.es/europt-oms 9 th SIAM Conferene on Optimization, May 10-13, Boston, Massahusetts, 008. http://www.siam.org/meetings/alendar.php?id=191 INFORMS Optimization Soiety http://arhimedes.ss.uiu.edu/informs_os/os.html SIAM Ativity Group on Optimization - SIAG/OPT http://www-unix.ms.anl.gov/~leyffer/siagopt 39 40 Ελληνική κοινότητα, επιστημονικά περιοδικά και συνέδρια, που ασχολούνται με Βελτιστοποίησης Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας! Ελληνική Εταιρία Επιχειρησιακών Ερευνών,(ΕΕΕΕ) http://www.eeee.org.gr gr 19 ο Εθνικό Συνέδριο, Ελληνικής Εταιρίας Επιχειρησιακών Ερευνών (Ε.Ε.Ε.Ε.), 1-3 Ιουνίου 007, Άρτα. http://eeee007.uoi.gr OPERATIONAL RESEARCH, An International Journal http://www.ergasya.tu.gr/orij Οι διαφάνειες θα υπάρχουν στην ιστοσελίδα: http://maedonia.uom.gr/~sifalera Για οποιεσδήποτε απορίες, στέλνετε email στην διεύθυνση: sifalera@uom.gr 41 4 7