Προεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία

Σχετικά έγγραφα
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

Ονοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε:

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β


Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου ( 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

Van Hiele Test. τρίγωνο. Λ Μ Ν Κ Λ. 5. Ποια από τα παρακάτω σχήµατα είναι παραλληλόγραµµα;

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Απέναντι πλευρές παράλληλες

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

Ερωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) =

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

µ =. µονάδες 12+13=25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Έκδοση 1 η (διορθωμένη): Μάιος Συγγραφική Ομάδα. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία. Παράρτημα Λάρισας. Επαναληπτικές Ασκήσεις.

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Transcript:

ΑΣΚΗΣΗ η ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Έστω Ε σηµείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι Ε = ΑΕ + ΓΖ. Λύση Αθανάσιος Μπεληγιάννης ( mathfinder ) Ε Γ τέµνει Προεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία Α Ε Β Ζ Άρα το τρίγωνο ΗΖ είναι ισοσκελές, δηλ. Η = ΖΗ Ε = ΓΖ + ΓΗ Ε = ΓΖ+ΑΕ. ω ω Γ Η Λύση. Γιώργος Ρίζος ( Rigio ) Και µια τριγωνοµετρική λύση Λύση Καρδαµίτσης Σπύρος (spyrosk) Από την κορυή Α του τετραγώνου έρνουµε την ΑΚ κάθετη στην Ζ που τέµνει την Ε στο σηµείο Λ και την Γ στο σηµείο Ρ. Στο τρίγωνο Λ Ρ η Κ είναι διχοτόµος και ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, εποµένως Λ = Ρ () και Ρ =Λ. Όµως Ρ = Α ( ως εντός εναλλάξ ) και Λ =Λ ( ως κατακορυή ), άρα Α =Λ οπότε το τρίγωνο ΑΕΛ είναι ισοσκελές, εποµένως είναι ΑΕ = ΕΛ () Στα ορθογώνια τρίγωνα Α Ρ και ΑΓΖ έχουµε: Α = Γ

και Α = ( έχουν τις πλευρές τους κάθετες ), άρα είναι ίσα, εποµένως ΖΓ = Ρ (3) Τότε από τις σχέσεις (), () και (3) έχουµε: Ε = Λ + ΛΕ = Ρ + ΑΕ = ΖΓ + ΑΕ.

Σ 4 3 Α Ε Γ Z Β Φέρω επί της Ζ στο Ζ κάθετο η οποία τέµνει την ΒΑ στο Σ. Τότε τριγ ΣΑ =τριγζγ [ΣΑ =ΖΓ =90 ο, Α= Γ=πλευρά τετραγώνου, 4 =90 ο - 3 = =] --- > ΣΑ=ΓΖ --- > ΓΖ+ΑΕ=ΣΑ+ΑΕ=ΣΕ αρκεί ΣΕ=Σ που ισχύει επειδή ΣΕ ισοσκελές [αού γωνσ=γωνζ=90- =90- = 43 =Σ Ε] (0,) A = (0,0) A x x + (χ,0) Ε -ψ ψ (,) Γ Z (,ψ) (,0) B χ + Σ Η προέκταση της Ζ τέµνει την ΑΒ στο Σ και δηµιουργείται το ισοσκελές τρίγωνο ΕΣ [ διότι Σ= (εντός εναλλάξ ) και = (υπόθεση) ] και συνεπώς Ε=ΕΣ () Απο πυθαγόρειο ή τον τύπο απόστασης σηµείων στο ΑΕ και την () προκύπτουν όσα αίνονται στο σχήµα. χ+ χ + χ+ χ + -

Γ ΒΣ χ+ χ + ψ = ε = ή = ή = ή ΓΖ ΒΖ ψ ψ ψ χ+ χ + ψ = ή ΓΖ= ψ = ψ + ψ χ+ χ + + χ+ χ + Αρκεί να επιβεβαιώσουµε ότι ΑΕ+ΓΖ= Ε δηλαδή χ+ χ χ Πράγµατι χ χ ( χ χ ) χ ( χ χ ) χ χ+ χ + + + = + = + + + + = + + + + + + = + + + ύ χ χ χ χ χ χ πουισχ ει χ + ΑΣΚΗΣΗ η Στις πλευρές ΒΓ, Γ ενός τετραγώνου ΑΒΓ παίρνουµε αντιστοίχως τα σηµεία Ε, Ζ ώστε ΒΕ = ΓΖ. Αν οι ευθείες Ε, ΒΖ τέµνονται στο Κ, να αποδειχθεί ότι η ΑΚ είναι κάθετη στην ΖΕ. Λύση Ρίζος Γιώργος (Rigio) Φωτεινή Κ. (joulia96) ΑΣΚΗΣΗ 3 η

ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΖ από τα οποία το ένα βρίσκεται µέσα στο τετράγωνο και το άλλο έξω απ αυτό, να αποδείξετε ότι τα σηµεία, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. Λύση Ρίζος Γιώργος (Rigio) Για τις γωνίες του τριγώνου ΒΕΖ έχουµε: Για τις γωνίες του τριγώνου Α Ε έχουµε: A = 90 ο 60 ο = 30 ο αού το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισοσκελές. Είναι Α = ΑΕ οπότε το τρίγωνο Α Ε είναι επίσης ισοσκελές, εποµένως έχουµε: = Ε = 80 ο ο 30 = 75 ο Για τις γωνίες του τριγώνου ΒΕΓ έχουµε ανάλογα Β = 30 ο και Γ = ΒΕΓ = 75 ο ΕΒΖ = Β + Β = 30 ο + 60 ο = 90 ο. Επίσης το τρίγωνο ΒΕΖ είναι ισοσκελές γιατί 80 ο ο 90 ΒΕ = ΑΒ = ΒΖ άρα Ε 3 = Ζ = = 45 ο Επιπλέον είναι Ε = 60 ο γιατί το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισόπλευρο, τότε Ε + Ε + Ε 3 = 75 ο + 60 ο + 45 ο = 80 ο, άρα τα σηµεία, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ 5 η Εξωτερικά τετραγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, Γ Η και ΑΘ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

Αν συµβολίσουµε µε α την πλευρά του τετραγώνου τότε: ΕΑ = ΕΒ = ΖΒ = = ΘΑ = α, εποµένως τα τρίγωνα ΕΑΘ, ΕΒΖ, ΖΓΗ και ΗΘ είναι ισοσκελή. Επίσης A = B =Γ = = 360 ο 90 ο 60 ο 60 ο = 50 ο άρα τα παραπάνω τρίγωνα είναι ίσα, εποµένως ΘΕ = ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ, δηλαδή το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος. 80 50 Ακόµη είναι: E o o = E = = 5 ο, άρα ΘΕΖ = 60 ο + 5 ο + 5 ο = 90 ο συνεπώς το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος µε µία γωνία ορθή, δηλαδή τετράγωνο. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Εάν ΙΚ και ΛΜ µεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου τότε πάνω τους βρίσκονται και οι κορυές των ισοπλεύρων τριγώνων Ε,Ζ,Η,Θ αού αυτές ισαπέχουν από τα άκρα της πλησιέστερης προς αυτές πλευράς του τετραγώνου. (πχ ΑΕ=ΕΒ) Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι ίσα εκ κατασκευής άρα και τα αντίστοιχα ύψη τους. Έστω υ το µήκος ενός από αυτά τα ύψη τότε ΕΗ=α+υ=ΘΖ () και ΝΘ=ΝΖ=ΝΕ=ΝΗ=(α/) +υ () ενώ ΙΝΛ=ΛΑΙ=90 ο (3) ως απέναντι γωνίες του εκ κατασκευής παραλληλογράµµου ΛΝΙΑ. Από,,3 προκύπτει ότι στο τετράπλευρο ΘΕΖΗ οι διαγώνιοι ΘΖ και ΕΗ διχοτοµούνται, είναι ίσες και τέµνονται καθέτως συνεπώς το ΘΕΖΗ είναι τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 6 η Έστω τετράγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ σηµεία των πλευρών του ΒΓ,Γ τέτοια ώστε :.Να κατασκευάσετε την κάθετη απο το Α προς την ΚΛ µόνο µε τη βοήθεια κανόνα Λύση Cretanman (Αλ. Συγκελάκης) και Πάνος (math_finder)

Αν Θ και Η τα σηµεία τοµής των ΑΛ και ΑΚ αντιστοίχως µε τη διαγώνιο Β τότε ΑΗΛ εγγράψιµο διότι ΛΑΗ=Η Λ=45 ο άρα ΑΗΛ= =90 ο Οµοίως από το εγγράψιµο ΑΒΚΘ προκύπτει Θ=90 ο Αρα ΚΘ και ΛΗ ύψη του τριγώνου ΑΚΛ συνεπώς το Ι είναι ορθόκεντρο και η κατασκευή ολοκληρώνεται συνδέοντας το Α µε το Ι και προεκτείνοντας έως το Ζ Τέλος Οι περισσότερες από αυτές τις ασκήσεις είναι προτάσεις των Σπύρου Καρδαµίτση και Μπάµπη Στεργίου και παρουσιάστηκαν στο Mathematica. Την συγκέντωση των ασκήσεων και την τεχνική επεξεργασία έκανε ο Σπύρος Καρδαµίτσης Μέρος της επεξεργασίας έγινε από τον Math_finder (Πάνο)