ΑΣΚΗΣΗ η ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Έστω Ε σηµείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι Ε = ΑΕ + ΓΖ. Λύση Αθανάσιος Μπεληγιάννης ( mathfinder ) Ε Γ τέµνει Προεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία Α Ε Β Ζ Άρα το τρίγωνο ΗΖ είναι ισοσκελές, δηλ. Η = ΖΗ Ε = ΓΖ + ΓΗ Ε = ΓΖ+ΑΕ. ω ω Γ Η Λύση. Γιώργος Ρίζος ( Rigio ) Και µια τριγωνοµετρική λύση Λύση Καρδαµίτσης Σπύρος (spyrosk) Από την κορυή Α του τετραγώνου έρνουµε την ΑΚ κάθετη στην Ζ που τέµνει την Ε στο σηµείο Λ και την Γ στο σηµείο Ρ. Στο τρίγωνο Λ Ρ η Κ είναι διχοτόµος και ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, εποµένως Λ = Ρ () και Ρ =Λ. Όµως Ρ = Α ( ως εντός εναλλάξ ) και Λ =Λ ( ως κατακορυή ), άρα Α =Λ οπότε το τρίγωνο ΑΕΛ είναι ισοσκελές, εποµένως είναι ΑΕ = ΕΛ () Στα ορθογώνια τρίγωνα Α Ρ και ΑΓΖ έχουµε: Α = Γ
και Α = ( έχουν τις πλευρές τους κάθετες ), άρα είναι ίσα, εποµένως ΖΓ = Ρ (3) Τότε από τις σχέσεις (), () και (3) έχουµε: Ε = Λ + ΛΕ = Ρ + ΑΕ = ΖΓ + ΑΕ.
Σ 4 3 Α Ε Γ Z Β Φέρω επί της Ζ στο Ζ κάθετο η οποία τέµνει την ΒΑ στο Σ. Τότε τριγ ΣΑ =τριγζγ [ΣΑ =ΖΓ =90 ο, Α= Γ=πλευρά τετραγώνου, 4 =90 ο - 3 = =] --- > ΣΑ=ΓΖ --- > ΓΖ+ΑΕ=ΣΑ+ΑΕ=ΣΕ αρκεί ΣΕ=Σ που ισχύει επειδή ΣΕ ισοσκελές [αού γωνσ=γωνζ=90- =90- = 43 =Σ Ε] (0,) A = (0,0) A x x + (χ,0) Ε -ψ ψ (,) Γ Z (,ψ) (,0) B χ + Σ Η προέκταση της Ζ τέµνει την ΑΒ στο Σ και δηµιουργείται το ισοσκελές τρίγωνο ΕΣ [ διότι Σ= (εντός εναλλάξ ) και = (υπόθεση) ] και συνεπώς Ε=ΕΣ () Απο πυθαγόρειο ή τον τύπο απόστασης σηµείων στο ΑΕ και την () προκύπτουν όσα αίνονται στο σχήµα. χ+ χ + χ+ χ + -
Γ ΒΣ χ+ χ + ψ = ε = ή = ή = ή ΓΖ ΒΖ ψ ψ ψ χ+ χ + ψ = ή ΓΖ= ψ = ψ + ψ χ+ χ + + χ+ χ + Αρκεί να επιβεβαιώσουµε ότι ΑΕ+ΓΖ= Ε δηλαδή χ+ χ χ Πράγµατι χ χ ( χ χ ) χ ( χ χ ) χ χ+ χ + + + = + = + + + + = + + + + + + = + + + ύ χ χ χ χ χ χ πουισχ ει χ + ΑΣΚΗΣΗ η Στις πλευρές ΒΓ, Γ ενός τετραγώνου ΑΒΓ παίρνουµε αντιστοίχως τα σηµεία Ε, Ζ ώστε ΒΕ = ΓΖ. Αν οι ευθείες Ε, ΒΖ τέµνονται στο Κ, να αποδειχθεί ότι η ΑΚ είναι κάθετη στην ΖΕ. Λύση Ρίζος Γιώργος (Rigio) Φωτεινή Κ. (joulia96) ΑΣΚΗΣΗ 3 η
ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΖ από τα οποία το ένα βρίσκεται µέσα στο τετράγωνο και το άλλο έξω απ αυτό, να αποδείξετε ότι τα σηµεία, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. Λύση Ρίζος Γιώργος (Rigio) Για τις γωνίες του τριγώνου ΒΕΖ έχουµε: Για τις γωνίες του τριγώνου Α Ε έχουµε: A = 90 ο 60 ο = 30 ο αού το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισοσκελές. Είναι Α = ΑΕ οπότε το τρίγωνο Α Ε είναι επίσης ισοσκελές, εποµένως έχουµε: = Ε = 80 ο ο 30 = 75 ο Για τις γωνίες του τριγώνου ΒΕΓ έχουµε ανάλογα Β = 30 ο και Γ = ΒΕΓ = 75 ο ΕΒΖ = Β + Β = 30 ο + 60 ο = 90 ο. Επίσης το τρίγωνο ΒΕΖ είναι ισοσκελές γιατί 80 ο ο 90 ΒΕ = ΑΒ = ΒΖ άρα Ε 3 = Ζ = = 45 ο Επιπλέον είναι Ε = 60 ο γιατί το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισόπλευρο, τότε Ε + Ε + Ε 3 = 75 ο + 60 ο + 45 ο = 80 ο, άρα τα σηµεία, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ 5 η Εξωτερικά τετραγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, Γ Η και ΑΘ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.
Αν συµβολίσουµε µε α την πλευρά του τετραγώνου τότε: ΕΑ = ΕΒ = ΖΒ = = ΘΑ = α, εποµένως τα τρίγωνα ΕΑΘ, ΕΒΖ, ΖΓΗ και ΗΘ είναι ισοσκελή. Επίσης A = B =Γ = = 360 ο 90 ο 60 ο 60 ο = 50 ο άρα τα παραπάνω τρίγωνα είναι ίσα, εποµένως ΘΕ = ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ, δηλαδή το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος. 80 50 Ακόµη είναι: E o o = E = = 5 ο, άρα ΘΕΖ = 60 ο + 5 ο + 5 ο = 90 ο συνεπώς το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος µε µία γωνία ορθή, δηλαδή τετράγωνο. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Εάν ΙΚ και ΛΜ µεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου τότε πάνω τους βρίσκονται και οι κορυές των ισοπλεύρων τριγώνων Ε,Ζ,Η,Θ αού αυτές ισαπέχουν από τα άκρα της πλησιέστερης προς αυτές πλευράς του τετραγώνου. (πχ ΑΕ=ΕΒ) Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι ίσα εκ κατασκευής άρα και τα αντίστοιχα ύψη τους. Έστω υ το µήκος ενός από αυτά τα ύψη τότε ΕΗ=α+υ=ΘΖ () και ΝΘ=ΝΖ=ΝΕ=ΝΗ=(α/) +υ () ενώ ΙΝΛ=ΛΑΙ=90 ο (3) ως απέναντι γωνίες του εκ κατασκευής παραλληλογράµµου ΛΝΙΑ. Από,,3 προκύπτει ότι στο τετράπλευρο ΘΕΖΗ οι διαγώνιοι ΘΖ και ΕΗ διχοτοµούνται, είναι ίσες και τέµνονται καθέτως συνεπώς το ΘΕΖΗ είναι τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 6 η Έστω τετράγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ σηµεία των πλευρών του ΒΓ,Γ τέτοια ώστε :.Να κατασκευάσετε την κάθετη απο το Α προς την ΚΛ µόνο µε τη βοήθεια κανόνα Λύση Cretanman (Αλ. Συγκελάκης) και Πάνος (math_finder)
Αν Θ και Η τα σηµεία τοµής των ΑΛ και ΑΚ αντιστοίχως µε τη διαγώνιο Β τότε ΑΗΛ εγγράψιµο διότι ΛΑΗ=Η Λ=45 ο άρα ΑΗΛ= =90 ο Οµοίως από το εγγράψιµο ΑΒΚΘ προκύπτει Θ=90 ο Αρα ΚΘ και ΛΗ ύψη του τριγώνου ΑΚΛ συνεπώς το Ι είναι ορθόκεντρο και η κατασκευή ολοκληρώνεται συνδέοντας το Α µε το Ι και προεκτείνοντας έως το Ζ Τέλος Οι περισσότερες από αυτές τις ασκήσεις είναι προτάσεις των Σπύρου Καρδαµίτση και Μπάµπη Στεργίου και παρουσιάστηκαν στο Mathematica. Την συγκέντωση των ασκήσεων και την τεχνική επεξεργασία έκανε ο Σπύρος Καρδαµίτσης Μέρος της επεξεργασίας έγινε από τον Math_finder (Πάνο)