Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 / 22
Εισαγωγή Διδάσκων: Αντώνιος Συμβώνης ΣΕΜΦΕ, κτίριο Ε, 38 symvonis@mathntuagr wwwmathntuagr/ symvonis mycourses ΗΜΜΥ/ΕΜΦΕ Βοηθός Διδασκαλίας: Χρυσάνθη Ραυτοπούλου Κτίριο Ε, 222 } Διαλέξεις: Τετάρτη 0:45-2:30 Παρασκευή 9:00-0:30 Σύγγραμμα: ``Θεωρία Γραφημάτων'' Αλέξανδρος Παπαϊωάννου Πανεπιστημιακές εκδόσεις ΕΜΠ Αξιολόγηση: Γραπτές Ασκήσεις: 5% Γραπτό Διαγώνισμα: 85% Αίθουσα 00 Νέο κτίριο ΣΕΜΦΕ Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 2 / 22
Θεματικές ενότητες Εισαγωγή, βασική ορολογία v v 5 v 6 v 0 2 Βαθμοί κορυφών 3 Μονοπάτια, κύκλοι, αποστάσεις 4 Συνεκτικότητα 5 Δένδρα v 4 v 3 v 2 v 5 v 7 v 8 v 9 v 6 Eulerian γραφήματα 7 Hamiltonian γραφήματα v 2 v 3 v 4 v 6 8 Χρωματισμός κορυφών v 7 9 Ταιριάσματα (matchings) 0 Χρωματισμός ακμών Επίπεδα γραφήματα Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 3 / 22
Γράφημα v 2 v 5 e e 2 e 4 e 7 G = (V, E) V = {v, v 2,, v n } n 0 v e 3 v 3 e 6 v 4 e 5 v9 e8 E = {e, e 2,, e m} m 0 e i = (u, v) i=m u,v V u v Τάξη: Μέγεθος: n = V = V (G) e = E = E(G) Γειτονιά κορυφής: N(u) N(u) = {v (u, v) E} N(W ) = {v (u, v) E, u W, v V \W } W V Βαθμός κορυφής: Ελάχιστος βαθμός: Μέγιστος βαθμός: d G (u) = N(u) δ(g) = min d G (u) u V (G) = max u V d G(u) v 7 v 6 V = {v, v 2,, v 7 } E = {e, e 2,, e 9 } Τάξη: 7 Μέγεθος: 9 N(v ) = {v 2, v 3, v 7 } N(v 5 ) = {v 4, v 6 } N({v 2, v 4 }) = {v, v 3, v 5, v 6 } d(v ) = 3, d(v 3 ) = 4 δ(g) = 2 (G) = 4 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 4 / 22
Ερώτηση : Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ακμών ενός γραφήματος με n κορυφές; n = 5 Ερώτηση 2: Πόσα γραφήματα υπάρχουν με n κορυφές; Λήμμα : Έστω γράφημα G = (V, E) Τότε, ισχύει: d(v) = 2 E () v V Λήμμα 2: Κάθε γράφημα έχει άρτιο αριθμό από κορυφές περιττού βαθμού Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 5 / 22
Περίπατοι-περιηγήσεις v 2 v 3 v 4 v v 5 Περίπατος: Ακολουθία κορυφών u u 2 u k όπου (u i, u i+ ) E, i =,, k v v 2 v 8 v 3 v 2 v 7 Μπορεί να επαναλαμβάνονται κορυφές Μονοπάτι: Περίπατος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές v 8 v 7 v 6 Περιήγηση: Περίπατος με ταυτόσημη πρώτη και τελευταία κορυφή u u 2 u k = u v v 2 v 8 v 3 v 2 v Κύκλος: Περιήγηση χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές (με εξαίρεση την v ) Εναλλακτικά: Περίπατος Περιήγηση Μονοπάτι Κύκλος Μονοπάτι Κύκλος Απλό Μονοπάτι Απλός Κύκλος Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 6 / 22
περιπάτου Μήκος περιήγησης μονοπατιού κύκλου Hamiltonian γραφήματα: Τα γραφήματα που περιέχουν κύκλο μήκους V u u 2 u k = k = ο αριθμός των ακμών που περιλαμβάνει Κύκλος/μονοπάτι Hamilton Eulerian γραφήματα: Τα γραφήματα που περιέχουν περιήγηση μεγέθους E η οποία περιλαμβάνει όλες τις ακμές Κύκλος/μονοπάτι Euler C A B D C A B D Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 7 / 22
Συνεκτικό γράφημα: Υπάρχει μονοπάτι ανάμεσα σε κάθε ζεύγος κορυφών του Συνεκτική συνιστώσα: Μεγιστοτικό συνεκτικό υπογράφημα Δένδρο: Συνεκτικό γράφημα χωρίς κύκλους Λήμμα 3: Κάθε δένδρο έχει τουλάχιστον μια κορυφή βαθμού Θεώρημα 4 : Έστω δένδρο T (V, E) Τοτε, ισχύει: E = V Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 8 / 22
Ειδικά γραφήματα Πλήρες γράφημα -- κλίκα K 5 V (K n ) = n E(K n) = n(n ) 2 d Kn (u) = n, u V (K n ) Διμερή γραφήματα G = (A B, E) : e = (u, v) E : (u A AND v A) OR (u B AND v B) a b c 2 3 4 5 6 Πλήρη διμερή γραφήματα d a b c d 2 3 4 5 6 K 4,3 V (K m,n ) = m + n E(K m,n ) = mn Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 9 / 22
Ερώτηση 3: Να δειχθεί ότι ένα διμερές γράφημα έχει μόνο άρτιου μήκους κύκλους/περιηγήσεις Ερώτηση 4: Να δειχθεί (με χρήση γραφημάτων) ότι ( m + n ) ( m ) ( n ) = + + mn 2 2 2 Κανονικά γραφήματα: Γραφήματα με ίδιο βαθμό για όλες τις κορυφές τους k-κανονικό: d G (v) = k, v V (G) k V (G) G k-κανονικό E(G) = 2 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 0 / 22
Γενικεύσεις του ορισμού του γραφήματος παράλληλες \ πολλαπλές ακμές βρόγχος Απλά γραφήματα: Χωρίς βρόγχους Χωρίς πολλαπλές ακμές Κατευθυνόμενα γραφήματα: Κάθε ακμή είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος κορυφών 2 3 4 8 7 6 5 Έσω-βαθμός: d (v) = {e : e = (u, v) E} Έξω-βαθμός: d + (v) = {e : e = (v, u) E} Λήμμα 5: d (v) = d + (v) = E v V v V Ερώτηση 5: Πόσα κατευθυνόμενα γραφήματα n κορυφών υπάρχουν; Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 / 22
Αναπαράσταση γραφημάτων G Πίνακας γειτνίασης 2 2 3 4 5 3 2 4 3 4 5 5 2 3 4 5 G Λίστα γειτνίασης 2 3 5 3 2 3 3 G 2 2 5 3 G 3 2 5 3 4 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 2 2 2 3 4 5 2 5 2 3 5 G 2 2 2 3 2 4 5 4 3 4 5 3 2 3 4 5 G 3 3 4 3 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 2 / 22
Ισομορφικά γραφήματα: Δύο γραφήματα G και H είναι ισομορφικά αν υπάρχει και επί απεικόνιση σ : V (G) V (H) τέτοια ώστε u, v V (G), u v να ισχύει (u, v) E(G) (σ(u), σ(v)) E(H) G H: Το G είναι ισομορφικό με το H Θεώρημα 6 : Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας Σχέση ισοδυναμίας: Αντανακλαστική Συμμετρική Μεταβατική G G G H H G G H H F G F Ένα γράφημα είναι ισόμορφο με άπειρο πλήθος γραφημάτων (που ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας) Γραφήματα αντιπρόσωποι (χωρίς ονόματα στις κορυφές) K n : Πλήρες γράφημα n κορυφών K m,n : Πλήρες διμερές γράφημα K m,n = (A B, E) με A = m και B = n P n : C n : Μονοπάτι με n κορυφές Κύκλος με n κορυφές Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 3 / 22
Πράξεις και τοπικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων Συμπλήρωμα γραφήματος (ή Συμπληρωματικό γράφημα): G = {V (G), {(u, v) : u, v V (G) (u, v) / E(G)}} G = G Διαγραφή κορυφής [G \ v]: G \ v = {V (G) \ v, E(G) \ {(u, v) : (u, v) E(G)}} G \ S, όπου S V (G) Διαγραφή ακμής [G \ e]: G \ e = (u, v) = {V (G), E(G) \ (u, v)} G \ A, όπου A E(G) Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 4 / 22
Σύμπτυξη ακμής (edge contraction) G/e = (u, v): G/e = (u, v) = {V (G) \ {u, v} {v N }, E(G) \ (u, v) {(v N, x) : x N(u) N(v)}} G G/e u e v v N Διάλυση κορυφής v, d G (v) = 2, [G/v]: G/v = {V (G) \ {v}, E(G) \ {(u, v), (v, x)} {(u, x)} : (u, v), (v, x) E(G)} G G/v u v x u x Έστω N G (v) = {u, x} Τότε G/v = G/(v, u) = G/(v, x) Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 5 / 22
Υποδιαίρεση ακμής [G e], e = (u, v): G (u, v) = {V (G) {v N }, E(G) \ {(u, v)} {(u, v N ), (v, v N )}} G u e G (u, v) u v N v v Το γράφημα H είναι υποδιαίρεση του γραφήματος G αν το H προκύπτει από το G με διαδοχικές υποδιαιρέσεις ακμής Διακεκριμένα γραφήματα (ξένα μεταξύ τους): G, H είναι διακεκριμένα εάν V (G) V (H) = Ένωση: G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) Διακεκριμένη ένωση: G + H αν G, H διακεκριμένα Τομή: G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 6 / 22
Σύνδεση διακεκριμένων γραφημάτων [G H]: G H = {V (G) V (H), E(G) E(H) {(u, v) : u V (G), v V (H)}} G H G H Γινόμενο διακεκριμένων γραφημάτων [G H]: G H : V (G H) = {(u, v) : u V (G), v V (H)} E(G H) = {{((u, x), (v, x)) : (u, v) E(G), x V (H)} {((u, x), (u, y)) : u V (G), (x, y) E(H)}} G H G H Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 7 / 22
Η ένωση, η σύνδεση και το γινόμενο γραφημάτων είναι πράξεις προσεταιριστικές και αντιμεταθετικές (a b) c = a (b c) a b = b a kg def = G} G {{ G} k φορές G (k) def = G} G{{ G} k φορές G [k] def = G G G }{{} k φορές Σημείωση: Για τις πράξεις της ένωσης και της σύνδεσης υποθέτουμε ότι συμμετέχουν k διακεκριμένα ισομορφικά με το G γραφήματα Υπογράφημα [H G]: H G εάν V (H) V (G) και E(H) E(G) Το G είναι υπεργράφημα του H Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 8 / 22
Επαγόμενο υπογράφημα: Το γράφημα H είναι επαγόμενο υπογράφημα του G εάν V (H) V (G) και u, v V (H), (u, v) E(H) (u, v) E(G) Κάθε επαγόμενο υπογράφημα προκύπτει από διαγραφές κορυφών G H Παραγόμενο υπογράφημα: Το γράφημα H είναι παραγόμενο υπογράφημα του G εάν V (H) = V (G) και E(H) E(G) Κάθε παραγόμενο υπογράφημα προκύπτει από διαγραφές ακμών G H Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 9 / 22
Πλέγμα R p,q V (R p,q ) = {{u, u 2, u p } {v, v 2,, v q }} E(R p,q) = {{ ((u i, v j ), (u i, v j )) } : i i + j j = } V (R p,q ) = pq E(R p,q ) = p(q ) + q(p ) R 3,4 R p,q = P p P q Torus: T p,q = C p C q Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 20 / 22
Υπερκύβος Q n (Hyper-cube) Q 0 0 Q 0 Q n = P 2 Q n V (Q n ) = 2 n E(Q n) = n2 n διάμετρος(q n ) = n Q 2 00 0 0 Q 3 00 0 000 00 0 00 0 Ερώτηση 6: Είναι ο υπερ-κύβος Q n Hamiltonian; Ερώτηση 7: Είναι ο υπερ-κύβος Q n Eulerian; Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 2 / 22
Ερώτηση 8: Σε ένα δένδρο προσθέτουμε k ακμές έτσι ώστε να προκύψει ένα απλό γράφημα Δείξτε ότι το γράφημα περιέχει k κύκλους Ερώτηση 9: Έστω G ένα απλό συνεκτικό γράφημα με n κορυφές και m 2n 2 ακμές Δείξτε ότι το G περιέχει δύο κύκλους ίσου μήκους Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 206 22 / 22