17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «Διαχείριση Κινδύνων» 1 Οπτικοποίηση: ένας αποτελεσματικός τρόπος για την βελτίωση της κατανόησης του αλγορίθμου simplex Visualization: an effective way for understanding the simplex algorithm Β. Λαζαρίδης, Κ. Παπαρρίζος και Ν. Σαμαράς Πανεπιστήμιο Μακεδονίας, Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Εγνατία 156 54006 Θεσσαλονίκη, E-mail: vlaz@teikoz.gr, paparriz@uom.gr, samaras@uom.gr Περίληψη Ο αλγόριθμος simplex έχει επικρατήσει εδώ και πολλά χρόνια ως το βασικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Οι βασικές ιδέες και οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου simplex, επηρεάζουν σημαντικά την εκμάθηση και την κατανόηση και άλλων αλγορίθμων γραμμικής βελτιστοποίησης. Το σύστημα οπτικοποίησης που παρουσιάζουμε μπορεί να λύσει γραμμικά προβλήματα της μορφής { min(max) c T x ; Ax b, x>=0 } ; όπου ={ <=, >= }. Συγκεκριμένα, στο παρόν εκπαιδευτικό λογισμικό (Visual LinProg) υποστηρίζονται οι παρακάτω αλγόριθμοι: αναθεωρημένος αλγόριθμος simplex, αναθεωρημένη μέθοδος δυο φάσεων, αναθεωρημένη μέθοδος μεγάλου Μ, αναθεωρημένος δυϊκός αλγόριθμος simplex. Η δυνατότητα αποθήκευσης όλων των βημάτων επίλυσης του
2 Οπτικοποίηση: Ένας αποτελεσματικός τρόπος για την βελτίωση της κατανόησης του αλγορίθμου simplex προβλήματος με την αναλυτική παρουσίαση των υπολογισμών, δίνει ένα μοναδικό εργαλείο στα χέρια του καθηγητή για την παρουσίαση της λειτουργίας του αλγορίθμου, αλλά αποτελεί και ένα απαραίτητο εργαλείο για τους φοιτητές που θέλουν να κατανοήσουν την λειτουργία του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex. Abstract The simplex algorithm has prevailed for a lot of years as the basic tool for solving linear programming problems. The basic ideas and the techniques that are used at the application of simplex algorithm, influence considerably the learning and the comprehension also other algorithms of linear optimization. Can the system of visualization that we present resolve linear problems of form {min (max) c T x; Ax, x>=0}; where ={<=, >=}. Concretely, in the present educational software (Visual LinProg) are supported the following algorithms: revised simplex algorithm, revised two phase method, revised big M method and revised dual simplex algorithm. The possibility of storage of all steps of the solution with the analytic presentation of calculations, gives a unique tool in the hands of instructor for the presentation of algorithm operations, but constitutes also an essential tool for the students that want they comprehend the operations of the revised simplex algorithm. Λέξεις Κλειδιά: Οπτικοποίηση Αλγορίθμων, Εκπαιδευτικό Λογισμικό, Animation, Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 1. Εισαγωγή Κατά την διαδικασία εκμάθησης μεθόδων βελτιστοποίησης και επιχειρησιακής έρευνας η μελέτη παραδειγμάτων έχει αποδειχτεί αποτελεσματική για την σύνδεση της θεωρίας με τους αλγορίθμους επίλυσης και την εφαρμογή τους. Η περιγραφή, η μαθηματική διατύπωση, η επιλογή του κατάλληλου αλγορίθμου για την επίλυση και η ερμηνεία των αποτελεσμάτων συνθέτουν τα απαραίτητα βήματα όλων των προβλημάτων βελτιστοποίησης. Η εκμάθηση του αλγορίθμου simplex για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες. Τα δυο σημαντικότερα προβλήματα που μπορούν να αναφερθούν είναι η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου simplex και η μικρή πρόοδος στις μεθόδους διδασκαλίας.
17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «Διαχείριση Κινδύνων» 3 Η εμφάνιση του World Wide Web έδωσε νέα πνοή στην κατανόηση και παρουσίαση του αλγορίθμου simplex. Ο σκοπός της δημιουργίας του NEOS Guide (Czyzyk, Wisniewski, and Wright, 1999) ήταν η παροχή πληροφοριών και εκπαιδευτικού υλικού σχετικά με τη βελτιστοποίηση. Οι Bhargava και Krishnan (1998) καθιστούν σαφής τη θετική επίδραση των Web τεχνολογιών στη επιχειρησιακή έρευνα και στην επιστήμη της διοίκησης. Πολύ λίγες εφαρμογές έχουν αναπτυχθεί που έχουν σκοπό την παροχή βοήθειας στους φοιτητές κατά τη διαδικασία εκμάθησης αλγορίθμων βελτιστοποίησης. Τέτοιου είδους εφαρμογές είναι το Linear Program Simulator (Lee and Roy, 1998), το LP-Solver (Hochbaum and Goldshmidth, 1998), το Linear Programming Simplex Applet (Silva & Guise, 1998) και το DigraphsV1_7 (Baloukas, Sifaleras and Paparrizos, 2005). Η πιο γνωστή εκπαιδευτική εφαρμογή για την παρουσίαση του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex είναι το Simplex Java Applet (Wisniewski and Czyzyk, 1997). Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται το πρόγραμμα οπτικοποίησης Visual LinProg για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Το Visual LinProg εισάγει ένα πρωτότυπο τρόπο παρουσίασης της επίλυσης γραμμικών προβλημάτων με σκοπό την βελτίωση της κατανόησης των αλγορίθμων τύπου simplex. Οι εφαρμογές διδασκαλίας αλγορίθμων simplex που υπάρχουν απλά παρουσιάζουν τα βήματα επίλυσης, χωρίς τους ενδιάμεσους υπολογισμούς, τα οποία είναι αναπόσπαστα τμήμα του αλγορίθμου και είναι απαραίτητα για την κατανόηση της λειτουργίας του αλγορίθμου. Οι τεχνικές οπτικοποίησης που χρησιμοποιούνται για πρώτη φορά στην διδασκαλία των αλγορίθμων τύπου simplex, είναι: α) η παρακολούθηση των βημάτων του αλγορίθμου σε μορφή ψευδοκώδικα, β) η αναλυτική περιγραφή σε μορφή κειμένου των βημάτων του αλγορίθμου, γ) η χρήση δυναμικής παρουσίασης των μεταβολών των δεδομένων. Η δυνατότητα αποθήκευσης σε μορφοποιημένο αρχείο όλων των βημάτων καθώς και όλων των απαραίτητων υπολογισμών και επεξηγήσεων της διαδικασίας επίλυσης γραμμικών προβλημάτων είναι μοναδική στον χώρο της διδασκαλίας των αλγορίθμων. Επίσης, παρουσιάζεται μια αξιολόγηση του Visual LinProg η οποία διενεργήθηκε με χρήση δεδομένου ερωτηματολογίου σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές του Τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας. 2. Οι δυσκολίες κατανόησης του αλγορίθμου simplex Στο Σχήμα 1 παρουσιάζονται τα βήματα επίλυσης ενός γραμμικού προβλήματος με την χρήση της μεθόδου των δυο φάσεων η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι εμφανές.
4 Οπτικοποίηση: Ένας αποτελεσματικός τρόπος για την βελτίωση της κατανόησης του αλγορίθμου simplex Σχήμα 1: Διάγραμμα ροής της μεθόδου των δυο φάσεων Από τις ερωτήσεις που τέθηκαν σε 79 προπτυχιακούς φοιτητές του τμήματος εφαρμοσμένης πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας (43 το 2004 και 36 το 2005), σε 14 φοιτητές στο μεταπτυχιακό τμήμα μαθηματικών στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και σε 8 φοιτητές στο μεταπτυχιακό τμήμα πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας, οι απαντήσεις των φοιτητών που περιγράφουν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν κατά την διαδικασία κατανόησης και εφαρμογής του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex μπορούν να αναφερθούν με τη σειρά δυσκολιών: α) ο αλγόριθμος simplex είναι δυσκολότερος από άλλους αλγορίθμους που γνωρίζουν, β) απαιτούνται πολλές πράξεις κατά τη διαδικασία εφαρμογής του αλγορίθμου
17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «Διαχείριση Κινδύνων» 5 simplex, γ) η κατανόηση της διαδικασίας επιλογής της εισερχόμενης και εξερχόμενης μεταβλητής και ως τελευταίο αναφέρεται δ) ο υπολογισμός της αντίστροφης της βάσης. 3. Η χρήση λογισμικού στην εκπαίδευση του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex Ένα εκπαιδευτικό λογισμικό έχει την δυνατότητα να παράσχει ένα διερευνητικό περιβάλλον, στο οποίο οι φοιτητές μπορούν να μάθουν μέσω πειραματισμού. Η τυπική διάλεξη στην αίθουσα διδασκαλίας παρουσιάζει το υλικό σε μια συγκεκριμένη σειρά, μερικοί φοιτητές προτιμούν ένα διερευνητικό τρόπο εκμάθησης ή πρώτα μια επιφανειακή ανάγνωση πριν από την εμβάθυνση στις λεπτομέρειες. Η κατανόηση της διδασκόμενης ύλης από τους φοιτητές μπορεί να επιτευχθεί ξαφνικά και μόνο μετά από τη μελέτη ολόκληρου του θέματος. Οι φοιτητές παρουσιάζουν μεταξύ τους διαφορές που τους κατατάσσουν σε κατηγορίες σύμφωνα με το στυλ μάθησης που προτιμούν, όπως είναι οι οπτικοί τύποι, είτε άλλοι που μαθαίνουν καλύτερα μέσω της λεκτικής ή κειμενικής επικοινωνίας. Ο χρόνος εκμάθησης, ο βαθμός δυσκολίας του υλικού, το ενδιαφέρον των φοιτητών και η δυνατότητα εκμάθησης των φοιτητών είναι βασικοί παράμετροι για τον καθορισμό της προόδου της συμπεριφοράς και της δυνατότητας εκμάθησης ενός φοιτητή. Η επιδίωξη της προόδου της δυνατότητας εκμάθησης έχει να κάνει με την διάρκεια του χρόνου της εκμάθησης. Σύμφωνα με το Μοντέλο Χαρακτηρισμού του Υλικού (Material Characteristic Model), ο χρόνος εκμάθησης συσχετίζεται πολύ με το ενδιαφέρον, την επιμέλεια, την δυνατότητα, και το βαθμό δυσκολίας του υλικού εκπαίδευσης (Hwang W-Y et al., 2002). Μια από τις ερωτήσεις που τέθηκαν στους φοιτητές ζητούσε να εκφράσουν τον τρόπο που τους βοηθά να μαθαίνουν έναν αλγόριθμο, το 60% των φοιτητών προτιμά να λύνει μόνος του πολλά προβλήματα για να μάθει την λειτουργία του αλγορίθμου, ενώ μόνο το 25% προσπαθεί να μάθει τον ψευδοκώδικα του αλγορίθμου. Αν και το 70% δεν έχει χρησιμοποιήσει στο παρελθόν κάποια εφαρμογή οπτικοποίησης ως βοηθητικό μέσω για την κατανόηση λειτουργίας αλγορίθμων, πολύ μεγάλο ποσοστό ανταποκρίνεται θετικά στην χρήση του Visual LinProg ως συμπληρωματικό εργαλείο που βοηθά την κατανόηση και εκμάθηση του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex. Στον Πίνακα 1 παρουσιάζονται οι απαντήσεις των φοιτητών που τέθηκαν με μορφή ερωτηματολογίου μετά την χρήση του Visual LinProg. Η ερώτηση 9 ήταν «Προσδιορίστε την ωφελιμότητα του Visual LinProg κατά την εκπαιδευτική διαδικασία». Ο μέσος όρος ικανοποίησης από το Visual LinProg είναι 4.45 (με
6 Οπτικοποίηση: Ένας αποτελεσματικός τρόπος για την βελτίωση της κατανόησης του αλγορίθμου simplex άριστα το 5). Η ερώτηση 11 ήταν «Προσδιορίστε το βαθμό ευκολίας χειρισμού του Visual LinProg». Ο μέσος όρος ικανοποίησης από την ευκολία χρήσης του Visual LinProg φτάνει το 4.4. Η ερώτηση 12 ήταν «Η εμφάνιση των αποτελεσμάτων επίλυσης ενός προβλήματος κρίνεται επαρκής και σε ποιο βαθμό». Ο μέσος όρος ικανοποίησης από την εμφάνιση των αποτελεσμάτων επίλυσης είναι 4.46. Η ερώτηση 13 ήταν «Κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος από το Visual LinProg, η χρήση ψευδοκώδικα, και animation βοηθάει στην κατανόηση των εννοιών που διαπραγματεύεται το λογισμικό». Ο μέσος όρος ικανοποίησης από την χρήση τεχνικών οπτικοποίησης που εφαρμόζονται στο Visual LinProg είναι 4.13. Πίνακας 1: Απαντήσεις των φοιτητών μετά τη χρήση του Visual LinProg Ερώτηση 9 Ερώτηση 11 Τιμές Συχνότητα Ποσοστό Συχνότητα Ποσοστό 1 2 2,3 4 4,6 2 1 1,1 2 2,3 3 6 6,9 7 8,0 4 25 28,7 16 18,4 5 53 60,9 58 66,7 Σύνολο 87 100 87 100 Ερώτηση 12 Ερώτηση 13 Τιμές Συχνότητα Ποσοστό Συχνότητα Ποσοστό 1 0 0 1 1,1 2 1 1,1 8 9,2 3 6 6,9 10 11,5 4 32 36,8 28 32,2 5 48 55,2 40 46 Σύνολο 87 100 87 100 4. Το Visual LinProg Το Visual LinProg είναι ένα Java applet για την οπτικοποίηση και διδασκαλία των αλγορίθμων τύπου simplex. Το Visual LinProg αποτελείται από τρία βασικά λειτουργικά τμήματα, το κεντρικό τμήμα που είναι και ο πυρήνας του προγράμματος περιλαμβάνει το γραφικό περιβάλλον οπτικοποίησης της λειτουργίας του αλγορίθμου simplex, το δεύτερο τμήμα είναι το στρώμα που ασχολείται με την εισαγωγή (import layer) των δεδομένων και το άλλο τμήμα είναι το στρώμα που ασχολείται με την εξαγωγή (export layer) των αποτελεσμάτων επίλυσης. Τα τρία βασικά λειτουργικά τμήματα με τις
17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «Διαχείριση Κινδύνων» 7 δυνατότητες των επιλογών που προσφέρονται στο Visual LinProg φαίνονται στο Σχήμα 2. Σχήμα 2: Τα τρία βασικά λειτουργικά τμήματα του Visual LinProg Οι αλγόριθμοι που μπορούν να επιλεγούν για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων στο Visual LinProg είναι οι εξής: 1) Πρωτεύον αλγόριθμος simplex 2) Μέθοδος δυο φάσεων 3) Μέθοδος του μεγάλου Μ 4) Δυϊκός αλγόριθμος simplex 5. Παράδειγμα εφαρμογής του Visual LinProg Η ευκολία χειρισμού του Visual LinProg κέρδισε από την πρώτη στιγμή την εμπιστοσύνη των φοιτητών, τουλάχιστον το 50% τον φοιτητών το χρησιμοποίησε ως αποκλειστικό βοηθητικό μέσω για την εκμάθηση και κατανόηση του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex για την προετοιμασία των τελικών εξετάσεων. Στο Σχήμα 3 παρουσιάζεται ο τρόπος εισαγωγής ενός γραμμικού προβλήματος στο Visual LinProg.
8 Οπτικοποίηση: Ένας αποτελεσματικός τρόπος για την βελτίωση της κατανόησης του αλγορίθμου simplex Σχήμα 3: Εισαγωγή ενός γραμμικού προβλήματος στο Visual LinProg Η βηματική επίλυση ενός γραμμικού προβλήματος γίνεται με την διαδοχική επιλογή του κουμπιού Next Step, στο Σχήμα 4 παρουσιάζεται το τεστ ελαχίστου λόγου και η επιλογή της εξερχόμενης μεταβλητής στο Visual LinProg. Σχήμα 4: Επιλογή της εξερχόμενης μεταβλητής στο Visual LinProg Κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενός γραμμικού προβλήματος όλα τα βήματα που απαιτούνται για την επίλυση καταχωρούνται σε ένα ιστορικό, το οποίο και μπορεί να αποθηκευτεί σε ένα αρχείο κατάλληλα διαμορφωμένο για την σωστή
17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «Διαχείριση Κινδύνων» 9 αναπαράσταση των μαθηματικών συμβολισμών για την ευκολότερη ανάγνωση (Σχήμα 5). Σχήμα 5: Ανάγνωση του αρχείου όλων των βημάτων επίλυσης στο Internet Explorer 6. Συμπεράσματα Το Visual LinProg είναι μια μοναδική εφαρμογή που παρουσιάζει την επίλυση γραμμικών προβλημάτων βήμα-βήμα με τη χρήση τεχνικών οπτικοποίησης. Βασικό πλεονέκτημα της εφαρμογής, εκτός από την αναλυτική παρουσίαση όλων των βημάτων επίλυσης, είναι και ο τρόπος παρουσίασης με την χρήση οπτικοποίησης. Η ευκολία χρήσης, η δυνατότητα εισαγωγής προβλημάτων και η αποθήκευση όλων των βημάτων επίλυσης, καθιστά το Visual LinProg ένα σημαντικό βοηθητικό εργαλείο για την κατανόηση και εκμάθηση του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex. Το Visual LinProg είναι μια πιλοτική
10 Οπτικοποίηση: Ένας αποτελεσματικός τρόπος για την βελτίωση της κατανόησης του αλγορίθμου simplex εκπαιδευτική εφαρμογή που καλύπτει μόνο τα βασικά θέματα του Γραμμικού Προγραμματισμού. Οι νέες επεκτάσεις που σχεδιάζονται θα καλύπτουν την γραφική επίλυση των γραμμικών προβλημάτων αλλά και την υλοποίηση μεθόδων επίλυσης με τη χρήση αλγορίθμων εσωτερικών σημείων. Βιβλιογραφία Baloukas, T., Sifaleras, A. and Paparrizos, K. (2005). Promoting Operations Research education using a new web accessible didactic tool. In Proceedings of the 7th Balkan Conference on Operational Research, 25-28 May, Constanta, Romania, 2005. Bhargava, H.K. and Krishnan, R. (1998). The World Wide Web: Opportunities for operations research and management science. INFORMS Journal on Computing, 10, 359 383. Czyzyk, J., Wisniewski, T. and Wright, S.J. (1999). Optimization case studies in the NEOS Guide. SIAM Review, 41, 148 163. Hochbaum, D.S. and Goldshmidth, O. (1998). LP Solver. Available at http://riot.ieor.berkeley.edu/riot/applications/simplexdemo/simplex.html. Hwnag, W-Y., Shiu, R-L., Wu, S-L. and Li, C-C. (2002). An exploration of learning ability transition and material information. Journal of Educational Computing Reaearch, 26(3), 301-324. Lee, P.L., and Roy G.G. (1998). Linear Program Simulator. Available at http://eng.murdoch.edu.au/webteachingdemo/muepage11.html. Silva, P.M. and Guise, T.C. (1998). Linear Programming - Simplex Applet. ALGorithms for Oprimization and Simulation Group, INESC. Available at http://vinci.inesc.pt/lp/. Wisniewski, T. and Czyzyk, J. (1996). Simplex Java Applet. Optimization Technology Center (OTC). Updated by Yu, W. 2004. Available at http://wwwc.mcs.anl.gov/home/otc/guide/ CaseStudies/simplex/index.html