6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ)

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1

Θέματα Εισαγωγή στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ Απόκριση σε αρμονικές διεγέρσεις ΜΒΣ Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης ΜΒΣ Σεισμικές διεγέρσεις και αποκρίσεις ΜΒΣ Φάσματα απόκρισης και φάσματα σχεδιασμού ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2

Βιβλιογραφία - Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering (2nd Edition), Anil K. Chopra, Prentice Hall, ISBN: 0130869732 - Structural Dynamics for Structural Engineers, Gary C. Hart, Kevin Wong, Wiley, ISBN: 0471361690 - Structural Dynamics : Theory and Computation, Mario Paz, Springer(4th edition), ISBN: 0412074613 - Dynamics of Structures, Raymond W. Clough, Joseph Penzien, McGraw-Hill. - Dynamics of Structures, J. L. Humar, Taylor & Francis Group (2nd edition), ISBN: 9058092461 - Δυναμική των Κατασκευών, Ι. Θ. Κατσικαδέλη, Τόμοι Ι & ΙΙ, ISBN: 960-266-1070 - Δυναμική των Κατασκευών, Κ. Κ. Αναστασιάδη, Τόμοι Ι & ΙΙ, ISBN: 960-431-2669, 960-431-2677 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 3

Εισαγωγή Με τη στατική ανάλυση, μπορούμε να υπολογίσουμε την απόκριση μιας κατασκευής υπό στατικές φορτίσεις ή δράσεις, προσδιορίζοντας τα εντατικά μεγέθη και τις αντίστοιχες μετακινήσεις και παραμορφώσεις. Όταν το μέγεθος και ο ρυθμός επιβολής μιας δράσης προκαλεί σημαντικά αδρανειακά φορτία τότε απαιτείται δυναμική ανάλυση της κατασκευής, στην οποία θα πρέπει να συμπεριληφθούν και οι αδρανειακές δυνάμεις. Στη δυναμική ανάλυση, αντί των αλγεβρικών εξισώσεων στατικής ισορροπίας, διαφορικές εξισώσεις (ΔΕ) περιγράφουν την κίνηση (και απόκριση) μιας κατασκευής υπό δυναμική φόρτιση. Στον ελληνικό χώρο, η πιο σημαντική δυναμική φόρτιση για τις κατασκευές πολιτικού μηχανικού είναι οι σεισμικές διεγέρσεις του εδάφους θεμελίωσης, οι οποίες συνήθως είναι πιο κρίσιμες από τα στατικά επιβαλλόμενα φορτία, όπως το ιδιοβάρος και τα κινητά φορτία. Με τη δυναμική ανάλυση, που είναι ιδιαίτερα σημαντική για το σχεδιασμό και τη διαστασιολόγηση μιας κατασκευής, υπολογίζονται οι μετακινήσεις, τα εντατικά μεγέθη και άλλες ποσότητες και μεγέθη συναρτήσει του χρόνου. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 4

Κατηγοριοποίηση προβλημάτων δυναμικής ανάλυσης Βάσει βαθμών ελευθερίας Βάσει γραμμικότητας εξισώσεων Μονοβάθμια Συστήματα (single degree of freedom) Πολυβάθμια Συστήματα (Multi degree of freedom) Γραμμικά (linear) Μη γραμμικά (nonlinear) Διακριτά: πεπερασμένος αριθμός ΒΕ Ελαστικά (elastic) Κατανεμημένα: άπειροι ΒΕ Ανελαστικά (inelastic) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 5

Κατηγοριοποίηση προβλημάτων δυναμικής ανάλυσης Βάσει δυνατότητας απόσβεσης ενεργείας Iξώδης (viscous damping) Xωρίς απόσβεση (undamped) Με απόσβεση (damped) Yστερητική (hysteretic damping) Απόσβεση λόγω τριβής (friction damping - Coulomb). ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6

Κατηγοριοποίηση προβλημάτων δυναμικής ανάλυσης Βάσει τύπου διέγερσης Ελεύθερη ταλάντωση Εξαναγκασμένη ταλάντωση Εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία (imposed loads) Περιοδικά (periodic) Μεταβατικά (transient) Αρμονικά (harmonic) Μη αρμονικά (non-harmonic) Τυχαία (random) Καθοριζόμενα (deterministic). ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ Σεισμικές διεγέρσεις (seismic excitations) 7

Στατικοί και δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας Εξετάζοντας ένα επίπεδο πλαίσιο, ο κάθε κόμβος στο επίπεδο έχει 3 ΒΕ, συγκεκριμένα 2 ΒΕ μετάθεσης και 1 ΒΕ στροφής. Θεωρώντας αμελητέες τις αξονικές παραμορφώσεις των υποστυλωμάτων μπορούμε να παραλείψουμε τις κατακόρυφες μεταθέσεις των κόμβων. Λαμβάνοντας υπόψη και την ακαμψία των πλακών και των οριζόντιων μελών, καθώς και τις μικρές σχετικά τιμές των στροφικών ροπών αδρανείας, μπορούμε έτσι να παραλείψουμε και τις στροφές καταλήγοντας σε 3 ΒΕ. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 8

Συμπεριφορά διατμητικού προβόλου Αυτό το μοντέλο, το οποίο έχει τη συμπεριφορά διατμητικού προβόλου, έχει ένα βαθμό ελευθερίας σε οριζόντια μετακίνηση ανά όροφο και χρησιμοποιείται συχνά για την ανάλυση συμμετρικών σε κάτοψη κτιρίων χωρίς εκκεντρότητες. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9

Μονοβάθμια Συστήματα (ΜΒΣ) Επιπλέον, σε κάποιες περιπτώσεις είναι ικανοποιητική η προσέγγιση ακόμη και με τη χρήση ενός μόνο ΒΕ για να πάρουμε μια πρώτη εκτίμηση των ισοδύναμων σεισμικών δυνάμεων. Έτσι, απαιτείται ο υπολογισμός της οριζόντιας δυσκαμψίας του ΜΒΣ, δηλαδή η δύναμη που πρέπει να επιβληθεί σε αυτό ώστε να έχουμε μοναδιαία οριζόντια μετακίνηση της μάζας του. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 10

Στατικοί και δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας Οι στατικοί ΒΕ είναι, γενικά, περισσότεροι από τους δυναμικούς ΒΕ. Όπου υπάρχει δυνατότητα μετακινήσεων των κόμβων ενός φορέα, υπάρχουν αντίστοιχοι στατικοί ΒΕ. Αντιθέτως, για ένα δυναμικό ΒΕ, πέρα από τη δυνατότητα αξιόλογης μετακίνησης, πρέπει να υπάρχει και αντίστοιχη μάζα ή στροφική ροπή αδρανείας που να κινείται ή να στρέφεται σε αυτή τη μετακίνηση προκαλώντας τις αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις, ώστε να πρέπει να συμπεριληφθεί στη δυναμική ανάλυση. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11

Μονοβάθμια συστήματα (ΜΒΣ) Κατά τη δυναμική ανάλυση, κάποιες κατασκευές μπορούν να εξιδανικευτούν σαν ΜΒΣ όταν τους επιβληθούν δυναμικά φορτία, ή υποβληθούν σε σεισμικές διεγέρσεις της βάσης τους. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 12

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 13

Μονοβάθμια συστήματα (ΜΒΣ) Ένα τέτοιο ΜΒΣ έχει συγκεντρωμένη μάζα, m, στηριζόμενη σε μια αβαρή κατασκευή δυσκαμψίας, k, στην οριζόντια συνήθως διεύθυνση, και ενδεχομένως, κάποιο συντελεστή απόσβεσης, c, ο οποίος αντιπροσωπεύει τους διάφορους μηχανισμούς απόσβεσης ενέργειας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 14

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 15

Αδρανειακές δυνάμεις Ένα δυναμικό πρόβλημα μπορούμε να το μελετήσουμε σαν ένα πρόβλημα δυναμικής ισορροπίας αντί σαν δυναμικό πρόβλημα, εξασκώντας πέρα από τις στατικές δυνάμεις την αδρανειακή δύναμη. Αυτή η αδρανειακή δύναμη αντιστοιχεί στο γινόμενο της μάζας επί την επιτάχυνση, αλλά με αντίθετο πρόσημο από ότι η προκαλούμενη επιτάχυνση. Σύμφωνα με την αρχή D Alembert : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 16

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης Η σχέση δύναμης και μετακίνησης, μπορεί να προσδιορισθεί βάσει αρχών της στατικής ανάλυσης για γραμμικά ελαστική συμπεριφορά: όπου είναι η οριζόντια δυσκαμψία του πλαισίου, η οποία εξαρτάται από τα μηχανικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά και τη συνδεσμολογία των δομικών στοιχείων του πλαισίου. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 18

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης απείρως άκαμπτη δοκός Μελετώντας ένα απλό πλαίσιο, με δύο υποστυλώματα, στην ακραία περίπτωση, η δοκός μπορεί να θεωρηθεί πλήρως απαραμορφώσιμη οριζόντια και τα υποστυλώματα αξονικά απαραμόρφωσιμα. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 20

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης απείρως εύκαμπτη δοκός Στην αντίθετη ακραία περίπτωση όπου η δοκός θεωρείται πλήρως εύκαμπτη, τα υποστυλώματα παραμορφώνονται σαν πρόβολοι. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 21

Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης πραγματικού πλαισίου Στην πραγματικότητα όμως η οριζόντια δυσκαμψία του πλαισίου, κυμαίνεται μεταξύ των δύο πιο πάνω ακραίων τιμών, αφού η δοκός δεν είναι ούτε πλήρως άκαμπτη αλλά ούτε πλήρως εύκαμπτη. Αντιθέτως, έχει συγκεκριμένη δυσκαμψία βάσει της οποίας μπορεί να υπολογισθεί η οριζόντια δυσκαμψία του πλαισίου λαμβάνοντας υπόψη και την σχετική δυσκαμψία των υποστυλωμάτων. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 22

Μηχανισμοί και δυνάμεις απόσβεσης Επιβάλλοντας ένα ΜΒΣ σε ελεύθερη ταλάντωση παρατηρούμε ότι, αντί να ταλαντώνεται επ άπειρο, το εύρος της ταλάντωσης μειώνεται σταδιακά μέχρι να φθάσει στο μηδέν, οπόταν το ΜΒΣ παραμένει ακίνητο στην αρχική θέση ισορροπίας. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην απόσβεση ενέργειας λόγω διαφόρων μηχανισμών απόσβεσης, οι οποίοι εξαρτώνται από το υλικό, τη γεωμετρία και συνδεσμολογία των δομικών στοιχείων της κατασκευής. Στην πράξη συνήθως χρησιμοποιείται η ιξώδης απόσβεση υπό τη μορφή ενός γραμμικού ιξωδοαποσβεστήρα, ο οποίος αντιπροσωπεύει προσεγγιστικά όλους τους μηχανισμούς απόσβεσης στην κατασκευή. Η δύναμη απόσβεσης συνδέεται γραμμικά με την ταχύτητα, μέσω του συντελεστή ιξώδους απόσβεσης: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 30

Συντελεστής ιξώδους απόσβεσης, c Ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης c, ο οποίος έχει μονάδες δεν μπορεί να υπολογιστεί από τα μηχανικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός κτιρίου, γι αυτό και η τιμή του εκτιμάται εμμέσως με πειραματικούς μεθόδους, μέσω της εκτίμησης του λόγου (ή ποσοστού) απόσβεσης ξ. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 33

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ Ένα ΜΒΣ εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν εκτραπεί κατά μια αρχική μετακίνηση ή ταχύτητα από τη θέση ισορροπίας και ακολούθως αφεθεί ελεύθερο να ταλαντωθεί χωρίς να ασκείται σε αυτό οποιαδήποτε εξωτερική δράση. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 40

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση Η ελεύθερη ταλάντωση ενός ΜΒΣ με μάζα και δυσκαμψία χωρίς απόσβεση, χαρακτηρίζεται από την πιο κάτω ομογενή γραμμική ΔΕ 2 ας τάξης με σταθερούς συντελεστές: Η γενική λύση αυτής της ΔΕ προσδιορίζεται αφού ληφθούν υπόψη και οι επιβαλλόμενες αρχικές συνθήκες και : Όπου μονάδες είναι η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του ΜΒΣ, με ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 42

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση Σχεδιάζοντας τη μετακίνηση συναρτήσει του χρόνου παρατηρούμε ότι το ΜΒΣ ταλαντώνεται γύρω από τη θέση στατικής ισορροπίας με περίοδο επανάληψης Η ιδιοπερίοδος του ΜΒΣ με μονάδες μέτρησης τα δευτερόλεπτα. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 43

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση Το αντίστροφο της ιδιοπεριόδου είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα με μονάδες μέτρησης τα (κύκλους/δευτερόλεπτο): Σε κάθε κύκλο ταλάντωσης, το εύρος της ταλάντωσης παραμένει το ίδιο, καθώς η ταλάντωση συνεχίζεται θεωρητικά επ άπειρο. Η μέγιστη μετακίνηση, κατά την ελεύθερη ταλάντωση ισούται με : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 44

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ με ιξώδη απόσβεση Η περίπτωση της μηδενικής απόσβεσης δεν είναι ρεαλιστική, αφού στην πράξη πάντα υπάρχουν μηχανισμοί απόσβεσης που προκαλούν μείωση του εύρους της ελεύθερης ταλάντωσης. Θεωρώντας ότι η απόσβεση είναι ιξώδης, η εξίσωση κίνησης ενός ΜΒΣ που εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση λόγω επιβολής κάποιων αρχικών συνθηκών είναι: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 45

Ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης χωρίς απόσβεση Λόγος απόσβεσης ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 47

Ο συντελεστής κρίσιμης απόσβεσης είναι η μικρότερη δυνατή τιμή του συντελεστή απόσβεσης για την οποία δεν προκαλείται ταλάντωση λόγω επιβολής κάποιων αρχικών συνθηκών. Οι κατασκευές πολιτικών μηχανικών έχουν λόγο απόσβεσης αρκετά μικρότερο της μονάδας, συνήθως γύρω στο 2-5 %. Επιλύνοντας τη ΔΕ κίνησης, υπολογίζεται η μετακίνηση του ΜΒΣ: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 48

Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ με ιξώδης απόσβεση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 50

Ιδιοσυχνότητα με απόσβεση Ιδιοπερίοδος με απόσβεση Το εύρος μιας ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση ισούται με : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 51

Ο λογάριθμος της αντίστοιχης μείωσης δύο διαδοχικών ακρότατων ονομάζεται λογαριθμική μείωση και ισούται με: Η λογαριθμική μείωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμηθεί ο λόγος απόσβεσης μετά από κύκλους ταλάντωσης, εξασφαλίζοντας καλύτερη ακρίβεια ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 57

Παράδειγμα ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 59

Αρμονική ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση Υποβάλλοντας ένα ΜΒΣ σε μια αρμονική φόρτιση Η εξίσωση κίνησης ενός ΜΒΣ χωρίς απόσβεση χαρακτηρίζεται από τη συνήθη ΔΕ 2 ας τάξης με σταθερούς συντελεστές: Η γενική λύση αυτής της ΔΕ, προκύπτει αθροίζοντας τη συμπληρωματική και τη μερική λύση. Στη συνέχεια οι σταθερές ολοκλήρωσης προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 62

Οι πρώτοι δύο όροι αντιπροσωπεύουν το μεταβατικό μέρος ενώ ο τελευταίος όρος εκπροσωπεί το μόνιμο μέρος της ταλάντωσης. Στα συστήματα με απόσβεση, μετά από κάποιους κύκλους, το μεταβατικό μέρος αποσβένεται και παραμένει το μόνιμο μέρος, το οποίο για αυτό το λόγο είναι πιο σημαντικό. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 63

Το μόνιμο μέρος της ταλάντωσης, το οποίο κυρίως μας απασχολεί, μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει του μέγιστου εύρους της μετακίνησης από στατική εφαρμογή του φορτίου t u SteadyState ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 65

Όταν η συχνότητα διέγερσης ισούται με την ιδιοσυχνότητα, της κατασκευής, έχουμε συντονισμό και το εύρος ταλάντωσης αυξάνεται συνεχώς, θεωρητικά, προς το άπειρο όταν δεν υπάρχει απόσβεση. Στην πράξη, καθώς αυξάνεται σημαντικά το εύρος ταλάντωσης λόγω συντονισμού, σε κάποιο σημείο το υλικό διαρρέει και συνεπώς και η ιδιοσυχνότητα αλλάζει, με αποτέλεσμα την αποφυγή του συντονισμού. Επιπλέον, στις συνήθεις κατασκευές πάντα υπάρχει απόσβεση, η οποία αποτρέπει την επ άπειρο αύξηση του εύρους ταλάντωσης στην περίπτωση συντονισμού. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 66

Αρμονική ταλάντωση ΜΒΣ με απόσβεση Η εξίσωση κίνησης ενός ΜΒΣ υπό αρμονική φόρτιση έχει την πιο κάτω μορφή: Η γενική λύση αυτής της ΔΕ προκύπτει αθροίζοντας τη συμπληρωματική και τη μερική λύση: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 70

Οι σταθερές ολοκλήρωσης και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Το μεταβατικό μέρος της απόκρισης φθίνει εκθετικά λόγω απόσβεσης και σε σύντομο χρονικό διάστημα παραμένει μόνο το μόνιμο μέρος της ταλάντωσης, το οποίο αντιστοιχεί στη μερική λύση. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 71

Κατά το συντονισμό, αντί η μετακίνηση να αυξάνει επ άπειρο χωρίς όριο, όπως στην περίπτωση χωρίς απόσβεση, όταν υπάρχει απόσβεση το εύρος του λόγου της μόνιμης ταλάντωσης στατική εφαρμογή του φορτίου,, προς το εύρος της μετακίνησης από, περιβάλλεται από τις τιμές Το εύρος του μόνιμου μέρους της απόκρισης λόγω αρμονικού φορτίου ισούνται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 72

Σχεδιάζοντας το λόγο συναρτήσει του λόγου προκύπτει η καμπύλη συχνότητας-απόκρισης για συγκεκριμένο λόγο απόσβεσης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 79

Όταν ο λόγος είναι πολύ μικρός Όταν ο λόγος είναι πολύ μεγάλος τότε ο ρυθμός επιβολής του αρμονικού φορτίου είναι τόσο γρήγορος που ο φορέας δεν προφταίνει να αποκριθεί και το εύρος της μόνιμης ταλάντωσης τείνει στο μηδέν αφού Όταν έχουμε συντονισμό, με συνέπεια μεγάλες τιμές του εύρους της μόνιμης ταλάντωσης, ιδιαίτερα όσο πιο μικρός είναι ο λόγος απόσβεσης αφού ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 80

Για ένα ΜΒΣ χωρίς απόσβεση ο συντονισμός συμβαίνει όταν η συχνότητα διέγερσης ισούται με την ιδιοσυχνότητα, ενώ όταν υπάρχει απόσβεση (που μπορεί να εκτιμηθεί από την καμπύλη συχνότητας-απόκρισης μετακινήσεων οι συχνότητες συντονισμού είναι για μετακίνηση, για ταχύτητα, και για επιτάχυνση. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 81

u SteadyState max u st max y 2 y ω /ω a n ω /ω β n ω/ωn Χρησιμοποιώντας το εύρος ταλάντωσης κατά το συντονισμό διαιρεμένο με προσδιορίζουμε τις συχνότητες και για τις οποίες μπορεί να αποδειχτεί ότι: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 82

Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης ΜΒΣ Αναλυτική λύση της ΔΕ κίνησης ενός ΜΒΣ είναι δύσκολη και σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις γι αυτό χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για την χρονική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης, οι οποίες έχουν την πιο κάτω γενική μορφή: Στην περίπτωση σεισμού, το ισοδύναμο φορτίο ισούται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 88

Με τις αριθμητικές μεθόδους υπολογίζεται η λύση της ΔΕ κίνησης σε συγκεκριμένα διακριτά χρονικά διαστήματα, κάνοντας κάποιες απλοποιητικές παραδοχές όσον αφορά τη μεταβολή της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. Ούτως ή άλλως η σεισμική διέγερση είναι γνωστή υπό μορφή τιμών επιταχύνσεων του εδάφους σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Γενικά οι μέθοδοι αυτές ολοκληρώνουν βήμα προς βήμα την ΔΕ κίνησης και, θεωρώντας ότι ήδη είναι γνωστή η μετακίνηση στις χρονικές στιγμές 0, Δt, 2Δt,,t υπολογίζεται η μετακίνηση στη χρονική στιγμή t+δt. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 89

Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς για ΜΒΣ Η ΜΚΔ βασίζεται στις πιο κάτω σχέσεις πεπερασμένων διαφορών για την ταχύτητα και επιτάχυνση: Αντικαθιστώντας αυτές τις σχέσεις στην εξίσωση κίνησης προκύπτει μια σχέση με μόνο άγνωστο τη μετακίνηση : όπου: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 90

Χρησιμοποιώντας την αρχική μετακίνηση μπορεί να προσδιοριστεί η αρχική επιτάχυνση κίνησης: και ταχύτητα από την εξίσωση Για να ξεκινήσει ο αλγόριθμος χρειάζεται να υπολογιστεί η μετακίνηση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 91

Η ΜΚΔ είναι ευσταθής μόνο εάν το χρονικό βήμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι μικρότερο από κάποια κρίσιμη τιμή: Ενώ για να εξασφαλιστεί ικανοποιητική ακρίβεια πρέπει το βήμα ολοκλήρωσης να είναι σημαντικά μικρότερο της κρίσιμης τιμής. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 92

Μέθοδος Newmark για ΜΒΣ Οι πιο κάτω προσεγγιστικές σχέσεις χρησιμοποιούνται για τη μετακίνηση σε χρόνο, θεωρώντας ότι είναι γνωστή η απόκριση μέχρι τη χρονική στιγμή και ότι η επιτάχυνση στο χρονικό διάστημα παραμένει σταθερή. Αυτή η συγκεκριμένη έκφραση της μεθόδου του Newmark, σε αντίθεση με τη ΜΚΔ, είναι πάντα ευσταθής. Χρησιμοποιώντας αυτές τις εξισώσεις, προσδιορίζουμε σχέσεις για την επιτάχυνση και την ταχύτητα σε χρόνο. Αυτές τις σχέσεις τις αντικαθιστούμε στην εξίσωση κίνησης σε χρόνο : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 93

Με δεδομένη τη λύση μέχρι τη χρονική στιγμή προκύπτει η σχέση:, κάνοντας τις απαραίτητες πράξεις, όπου: όπου: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 94

Έτσι η μετακίνηση στη χρονική στιγμή ισούται με: Η ταχύτητα και η επιτάχυνση στη χρονική στιγμή δίνονται από τις σχέσεις: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 95

Προγραμματισμός Μεθόδου Κεντρικής Διαφοράς και Newmark για αριθμητική δυναμική ανάλυση ΜΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 96

Σεισμικές διεγέρσεις και αποκρίσεις ΜΒΣ Στον ελληνικό χώρο οι σεισμικές διεγέρσεις είναι συνήθως οι πιο κρίσιμες δράσεις για το σχεδιασμό και διαστασιολόγηση των περισσότερων κοινών κατασκευών πολιτικού μηχανικού. Έτσι είναι σημαντικός ο υπολογισμός της απόκρισης, ιδιαίτερα των μέγιστων τιμών, μιας κατασκευής όσο αφορά μετακινήσεις, επιταχύνσεις αλλά και εντατικά μεγέθη και τις αντίστοιχες τάσεις και παραμορφώσεις. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 112

Οι σεισμοί οφείλονται κυρίως στις σχετικές μετακινήσεις των λιθοσφαιρικών πλακών λόγω θερμοκρασιακών μεταβολών στην ασθενόσφαιρα. Η γη, που έχει ακτίνα γύρω στα 6500 km, αποτελείται από το φλοιό, δηλαδή το εξωτερικό περίβλημα που έχει πάχος 10-35 km, το μανδύα πάχους σχεδόν 3000 km και τον πυρήνα, του οποίου το εξωτερικό μέρος είναι σε ρευστή κατάσταση, ενώ το εσωτερικό είναι σε στερεή. Η λιθόσφαιρα είναι δύσκαμπτο στρώμα, πάχους περίπου 80 km και αποτελείται από το στερεό φλοιό και μέρος του στερεού ανώτερου μανδύα κάτω από τη λιθόσφαιρα. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 113

Η λιθόσφαιρα είναι κατακερματισμένη σχηματίζοντας τις λιθοσφαιρικές πλάκες οι οποίες έχουν κάποιες σχετικές μετακινήσεις. Με τη σχετική κίνηση των λιθοσφαιρικών πλακών συσσωρεύεται ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης στα πετρώματα, όπου όταν η τάση υπερβεί τα όρια αντοχής του υλικού προκαλείται θραύση και σχετική κίνηση των πλακών δημιουργώντας τη σεισμική κίνηση. Υπόκεντρο ενός σεισμού είναι το σημείο όπου ξεκινά η θραύση των πετρωμάτων, ενώ επίκεντρο είναι η κατακόρυφη προβολή του στην επιφάνεια της γης. Η απόσταση μεταξύ υπόκεντρου και επίκεντρου ονομάζεται εστιακό βάθος. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 114

Οι σεισμοί καταγράφονται με διάφορα όργανα, αλλά όσο αφορά τις κατασκευές πολιτικού μηχανικού, πιο χρήσιμες είναι οι επιταχύνσεις του εδάφους. Η επιτάχυνση του εδάφους καταγράφεται κατά τη διάρκεια ενός σεισμού από επιταχυνσιογράφους ισχυρών κινήσεων ανά πολύ μικρά χρονικά διαστήματα. Μετά από κάποιες απαραίτητες διορθώσεις, τα επιταχυνσιογραφήματα ενός σεισμού, συνήθως στις δύο οριζόντιες και στην κατακόρυφη διευθύνσεις, παρέχονται στους μηχανικούς και ερευνητές για δυναμικές αναλύσεις κατασκευών. Η μέγιστη, σε απόλυτη τιμή, επιτάχυνση του εδάφους συμβολίζεται σαν PGA και συχνά χρησιμοποιείται για να τροποποιηθούν κατάλληλα οι επιταχύνσεις του εδάφους, ώστε να έχουν συγκεκριμένο απόλυτο μέγεθος PGA. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 115

Το μέγεθος Μ ενός σεισμού, το οποίο χαρακτηρίζει την ενέργεια που εκλύεται κατά τη διάρκεια του σεισμού, μετρείται με διάφορες κλίμακες, όπως η κλίμακα Ρίχτερ, και είναι απόλυτο χαρακτηριστικό του σεισμού. Η κλίμακα Ρίχτερ (Richter), η οποία είναι λογαριθμική, ορίζεται βάσει του λογάριθμου, με βάση το 10, του μέγιστου πλάτους του σεισμικού κύματος όπως θα καταγράφονταν σε ένα σεισμογράφο τύπου Wood-Anderson σε απόσταση 100 χιλιομέτρων από το επίκεντρο του σεισμού. Αύξηση κατά μία μονάδα μεγέθους του σεισμού, εκφρασμένου στην κλίμακα Ρίχτερ, αντιστοιχεί σε δεκαπλασιασμό του πλάτους ταλάντωσης των δονήσεων που θα καταγράφονταν από ένα σεισμογράφο τύπου Wood-Anderson και 31.5 φορές μεγαλύτερη έκλυση σεισμικής ενέργειας. Ως βαθμός μηδέν στην κλίμακα Ρίχτερ είχε καθοριστεί η ασθενέστερη σεισμική δόνηση που θα μπορούσε να καταγραφεί με τους τότε διαθέσιμους σεισμογράφους, αν και οι σύγχρονοι σεισμογράφοι μπορούν να καταγράψουν αθενέστερους σεισμους, οι οποίοι ορίζονται με αρνητικές τιμές. Η μέγιστη τιμή μεγέθους σεισμού στη κλίμακα Ρίχτερ που θα μπορούσε πρακτικά να υπάρξει είναι γύρω στο 9.5 R. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 116

Οι επιπτώσεις ενός σεισμού στις κατασκευές εξαρτώνται από την απόσταση από το επίκεντρο του σεισμού, το εστιακό βάθος, τα εδάφη μεταξύ υποκέντρου και κατασκευής κ.λπ. Ο βαθμός και το είδος των επιπτώσεων ενός σεισμού, δηλαδή ζημιών, χαρακτηρίζονται από την ένταση του σεισμού, η οποία διαφέρει από περιοχή σε περιοχή. Η γνωστότερη κλίμακα μέτρησης της έντασης ενός σεισμού, η οποία είναι υποκειμενική η μέτρησή της, είναι η κλίμακα Mercalli. Η κλίμακα Mercalli, η οποία έχει 12 στάθμες (από Ι έως ΧΙΙ) εκτίμησης της έντασης μέσω των επιπτώσεων ενός σεισμού, χρησιμοποιείται κυρίως για εκτίμηση της έντασης ενός σεισμού σε πυκνοκατοικημένες περιοχές. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 117

Η Ελλάδα δυστυχώς, είναι από τις πιο σεισμόπληκτες περιοχές λόγω σύγκλισης της Αφρικανικής προς την Ευρασιατική πλάκα στην περιοχή του ελληνικού τόξου. Οι πιο ισχυροί σεισμοί των τελευταίων χρόνων στον ελληνικό χώρο είναι οι σεισμοί της Θεσσαλονίκης (6.5R, 1978), των Αλκυονίδων Νήσων (6.7R, 1981), της Καλαμάτας (6.0R, 1986), του Αιγίου (6.1R,1995), της Αθήνας (5.9R, 1999) και των Κυθήρων (5.9R, 2006). Επιπλέον στον ελληνικό χώρο οι επικρατούσες συχνότητες των περισσοτέρων σεισμών δυστυχώς βρίσκονται στην περιοχή των κύριων ιδιοσυχνοτήτων των κοινών κατασκευών, προκαλώντας έντονα φαινόμενα συντονισμού με τις αντίστοιχες επιπτώσεις. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 118

Απόκριση ΜΒΣ Η εξίσωση κίνησης ενός ΜΒΣ υπό σεισμική διέγερση είναι: όπου και είναι η μετακίνηση και η επιτάχυνση του εδάφους. Η εξίσωση κίνησης μπορεί εναλλακτικά να γραφεί και ως ακολούθως: Έχοντας τις επιταχύνσεις του εδάφους ανά πολύ μικρά χρονικά διαστήματα μπορούν να υπολογιστούν οι άγνωστες μετακινήσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις, οι οποίες, εξαρτώνται από την ιδιοσυχνότητα και το λόγο απόσβεσης ενός ΜΒΣ, πέρα από τις επιταχύνσεις του σεισμού. Αφού οι σεισμικές διεγέρσεις χαρακτηρίζονται από τόσο ακανόνιστες επιταχύνσεις του εδάφους χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τη δυναμική ανάλυση (όπως η ΜΚΔ και η μέθοδος Newmark). Η απόκριση σε μια συγκεκριμένη σεισμική διέγερση εξαρτάται από την ιδιοπερίοδο της και το λόγο απόσβεσης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 123

Αφού υπολογιστούν οι σχετικές μετακινήσεις, μπορούν ακολούθως να προσδιοριστούν τα εντατικά μεγέθη ή οποιοδήποτε άλλο μέγεθος σε κάθε χρονική στιγμή με στατική ανάλυση του ΜΒΣ υπό τα αντίστοιχα ισοδύναμα στατικά φορτία: s f t k u t k m ω n 2 Επιβάλλοντας την αντίστοιχη ισοδύναμη στατική φόρτιση σε ένα ΜΒΣ μπορούν να υπολογιστούν από την στατική ανάλυση η τέμνουσα βάσης και η ροπή ανατροπής: V t f t k u t m S t b s a 2 f t m ω u t m S t M t f t h V t h m h S t b s b a s n a a 2 n S t ω u t ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 128

Απόκριση ΜΒΣ λόγω σεισμικής διέγερσης του σεισμού Αθηνών (Σεπόλια, 1999 ) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 129

Φάσματα απόκρισης Αυτό που πρακτικά μας ενδιαφέρει είναι συνήθως η μέγιστη σχετική μετακίνηση, η οποία για κάποιο συγκεκριμένο σεισμό εξαρτάται αποκλειστικά από την ιδιοπερίοδο και το λόγο απόσβεσης του ΜΒΣ. Αυτή ακριβώς την πληροφορία μας παρέχει το φάσμα απόκρισης το οποίο κατασκευάζεται, μεταβάλλοντας την ιδιοπερίοδο, για συγκεκριμένο λόγο απόσβεσης, επιλύνοντας το ΜΒΣ και προσδιορίζοντας τη μέγιστη απόκριση. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για διάφορους λόγους απόσβεσης προκύπτουν οι αντίστοιχες καμπύλες των φασμάτων απόκρισης, καλύπτοντας κάθε περίπτωση ΜΒΣ με οποιαδήποτε ιδιοπερίοδο και λόγο απόσβεσης. Εκτός από το φάσμα απόκρισης σχετικών μετακινήσεων υπάρχουν και άλλα φάσματα απόκρισης, όπως ψευδοταχυτήτων ψευδοεπιταχύνσεων και απόλυτων επιταχύνσεων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 130

Τα φάσματα απόκρισης έχουν κάποια συγκεκριμένα χαρακτηριστικά στις οριακές περιπτώσεις δυσκαμψίας. Συγκεκριμένα, για συστήματα με πολύ μικρή περίοδο, τα οποία έχουν πολύ μεγάλη δυσκαμψία σε σχέση με τη μάζα, το ΜΒΣ κινείται μαζί με το έδαφος έχοντας την επιτάχυνση του εδάφους και μηδενική σχετική μετακίνηση ( και ). Αντιθέτως, η μάζα ενός πολύ εύκαμπτου ΜΒΣ, το οποίο έχει πολύ μεγάλη ιδιοπερίοδο, παραμένει στη θέση της με μηδενικές επιταχύνσεις αλλά σχετικές μετακινήσεις ίσες με αυτή του εδάφους. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 134

Προγραμματισμός Κατασκευής Φασμάτων Αποκρίσεως ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 144

Φάσματα σχεδιασμού Τα χαρακτηριστικά των φάσματων απόκρισης για διαφορετικούς σεισμούς έχουν έντονες διαφορές. Επιπλέον για τον ίδιο σεισμό υπάρχουν έντονες εξάρσεις της απόκρισης για διαφορετικές ιδιοπεριόδους. Λαμβάνοντας υπόψη τις αβεβαιότητες που υπάρχουν όσο αφορά την αναμενόμενη σεισμική διέγερση, αλλά και την ακριβή τιμή της ιδιοπεριόδου μιας κατασκευής, είναι πιο ρεαλιστική η χρήση φασμάτων σχεδιασμού, τα οποία εκφράζουν την ομαλοποιημένη περιβάλλουσα μιας συλλογής από φάσματα απόκρισης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 152

Τα φάσματα σχεδιασμού χρησιμοποιούνται τόσο στον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών, όσο και στην εκτίμηση της σεισμικής τρωτότητας υφιστάμενων κατασκευών με σκοπό τη σεισμική αναβάθμιση και ενίσχυση τους με κατάλληλες μεθόδους ενίσχυσης. Κατά την κατασκευή των φασμάτων σχεδιασμού, οι περιβάλλουσες σχηματίζονται χρησιμοποιώντας το μέσο όρο των διαθέσιμων φασμάτων απόκρισης συν μια τυπική απόκλιση, συνήθως, για να μειωθεί σε συγκεκριμένα αποδεκτά επίπεδα η πιθανότητα υπέρβασης τους. Όπως ένα επιταχυνσιογράφημα, έτσι και τα φάσματα απόκρισης και σχεδιασμού, μπορούν να πολλαπλασιαστούν κατάλληλα για να έχουμε συγκεκριμένο PGA. Ταυτοχρόνως, η τεχνική σεισμολογία μας παρέχει σε καμπύλες την αναμενόμενη PGA βάσει δεδομένου μεγέθους σεισμού και απόστασης από το πιθανό επίκεντρό του. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 153