1 Εμβαδά 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α=, να υπολογιστεί η παράσταση: 9 9 f ( x) dx f ( x) dx 1 6 ) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος με την βοήθεια ολοκληρωμάτων των συναρτήσεων f1 και f.
3) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής που φαίνεται στο σχήμα. Η συνάρτηση έχει τύπο f(x)=-x +x+ ενώ η κάθετη ευθεία έχει εξίσωση x=-. 4) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) και g(x). Αφού βρεθούν τα δύο κοινά τους σημεία να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές τους παραστάσεις: α) f(x)=x, g(x)=x. (1/6) β) f(x)=3, g(x)=x -1. (3/3) γ) f(x)=3-x, g(x)=x +1. (9/) δ) f(x)=-x +4x, g(x)=x -x. (9) ε) f(x)=x +3, g(x)=x +7. ς) f(x)=3x +6x+5, g(x)=1x+14 ζ) f(x)=-x +4x+16, g(x)=x -x-8. η) f(x)=(x-4)(3x-1), g(x)=(4-x)(x+1). θ) f(x)=x 3 +x -8x, g(x)=x 3-3x-4. ι) f(x)=x,g(x)= x. (1/3) ια) f(x)=x 3, g(x)=4x. (8) ιβ) f(x)=e x, g(x)=e x. ((e-1)/) 5) Nα υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) και του άξονα x x, αν: α) f(x)=-0,5x + (16/3) β) f(x)=-x +x (4/3) γ) f(x)=x 3-4x (8) δ) f(x)=x -4 ε) f(x)=(x-3)(x+1) ς) f(x)=-x +1
3 6) Να υπολογισθεί το εμβαδόν Ε=Ε1+Ε+Ε3 του διπλανού σχήματος με την βοήθεια των ολοκληρωμάτων των συναρτήσεων f1 και f. 7) a) Να βρεθεί το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων y=x+7 και y=10-x, καθώς και της ευθείας x=1. b) Να γίνει το σχήμα. c) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις τρεις προηγούμενες καμπύλες και την ευθεία x=4. 8) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ax -x 3 και g(x)=0.5x, a R. Να βρεθεί η τιμή του a αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f έχει στο x = μέγιστο. Έστω ότι a=3. a) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των ακροτάτων της συνάρτησης f(x) χωρίς την βοήθεια μικροϋπολογιστή. b) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των f and g. c) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ των δύο καμπυλών. 9) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση της f όπου f(x)=3x +x+1 καθώς και τις ευθείες x=0 και x=1. 10) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση της f όπου f(x)=x -x και την ευθεία x=-1.
4 11) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x και g(x)=x -4x+4. α) Να γίνει η γραφική τους παράσταση. β) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g(x) και τον άξονα x x. (/3) 1) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που είναι γραμμοσκιασμένο σε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήματα: 13) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x 3-4x. α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f με τον οριζόντιο άξονα. γ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συναρτήσεων f και τον άξονα x x. (8)
5 Ασκήσεις με ΤΙ 1) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 1 0 e -x dx. Τι παριστάνει το αποτέλεσμα; ) Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x)=ln(-x) και g(x)=x -x. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους. β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων των f και g με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. ((-0.60,0.96), (1,0)) γ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται ανάμεσα στις δύο γραφικές παραστάσεις των f και g. (0.799) δ) Να υπολογισθεί ο όγκος εκ περιστροφής κατά 360 0 γύρω από τον άξονα των x του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της g και τον άξονα x x. 3) Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x 3 +ax +x+b, όπου α και b είναι πραγματικοί αριθμοί. a) Αν f(0)=- και f (1)=0, να υπολογιστούν τα a, b. b) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f, να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα. f(x)dx. Χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση της 0 c) Το χωρίο που περιορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x=x 1 και x=x περιστρέφεται γύρω από τον άξονα των x. Ο όγκος V του στερεού εκ x περιστροφής δίνεται από τον τύπο: V=π f(x) dx. Χρησιμοποιείστε τον υπολογιστή για να βρείτε τον όγκο V, όταν x 1=0 και x =. x1 4) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=-x +6x-5 και g(x)=ln(x-1). α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κοινών σημείων των καμπυλών που έχουν τετμημένη μεγαλύτερη του 0,9. γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις δύο καμπύλες και ορίζεται και από τα κοινά σημεία που βρέθηκαν στο ερώτημα β). δ) Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή κατά 360 0 γύρω από τον άξονα x x.
6 5) (Τα τρία πρώτα ερωτήματα χωρίς υπολογιστή) 1 4 1 α) Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x + x -7. Να βρεθεί η εφαπτομένη της συνάρτησης στο 4 σημείο με τετμημένη 0. β) Σε ποιο σημείο της f(x)= -x +x-6 η εφαπτομένη έχει συντελεστή διεύθυνσης -1; γ) Σχεδίασε την γραφική παράσταση της f (x). Με την βοήθειά της προηγούμενης γραφικής παράστασης βρες την μονοτονία και τα ακρότατα της f. δ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της g και f καθώς και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των δύο γραφικών παραστάσεων. (α) y=-7, β) x 0=1) 6) Το σχήμα δείχνει την γραφική παράσταση της y= x. Να βρεθεί το α αν είναι γνωστό ότι το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής είναι 7 τ.μ. (36) 7) Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση της f όπου f(x)=lnx και την ευθεία x= 1 e : 8) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της y=x 3 +1 και την ευθεία y=. (3/4) 9) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=x και g(x)= x. (1/3) 10) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συναρτήσεων f(x)=x 3 +1 και της ευθείας x=3. (4) 11) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της περιοχής που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f 1 τον άξονα των x και τις ευθείες x =1 και x = όπου f(x)= + x x.
7 1) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=lnx, g(x)=-lnx και h(x)=ln (0.5). 13) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x 3-4x. α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα (χωρίς τη βοήθεια μικροϋπολογιστή). β) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τον άξονα των x. (8) 14) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της y=cosx, 0 x π και τον άξονα των x. () 15) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=3 x, g(x)=-x +x και τις ευθείες x=0 και x=. 16) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της y=lnx, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία y=1. (e-1) 17) Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφανείας που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=e x, g(x)=e x και την ευθεία x=1. 18) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της y=x 3 και της y=4x. (8) 19) Το σχήμα δείχνει την γραφική παράσταση συναρτήσεων: της f1(x) = ln(x 1) και της f(x) που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο (3,-1).
8 i) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου b; Να γραφεί ο τύπος της παραβολής. ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f1(x) στο σημείο a. iii) Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων με το Τ.Ι καταγράφοντας όλα τα βήματα.