x R, να δείξετε ότι: i)

Transcript

1 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με g ( ) και f ( ), g( ) R, να δείξετε ότι: i) ln( g ( ) ln( g( )) ( ) για κάθε, R με α<β ii) Η εξίσωση ln( g ( )) έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα για κάθε Έστω η συνάρτηση με τύπο ( ), 5, f α) Να βρείτε τις πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Έστω συνάρτηση g παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο [-,], με σύνολο τιμών το [-,-] Να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε να ισχύει: f ( g( )) g( ) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ( ) R και f ( ) Να δείξετε ότι: f για κάθε α) Η συνάρτηση g( ) f ( t) dt είναι κυρτή στο R και να βρείτε την εφαπτομένη της C g στο σημείο A (, g()) β) Αν α> τότε ( ) f ( t) dt f ( t) dt 4 Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z ( ) i α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, R β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( ) α) Να δείξετε ότι η ευθεία : y είναι ασύμπτωτη της f z i w i C στο - β) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου Ω που περικλείεται από την C f, την ε, τον άξονα y' y και την ευθεία, λ< γ) Αν το λ ελαττώνεται με ρυθμό Ε(λ) την χρονική στιγμή που είναι, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού sc ln

2 6 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση f, R : με f ( ) τέτοια, ώστε ο if ( ) μιγαδικός αριθμός z να είναι φανταστικός Να αποδείξετε ότι: if ( ) α) Η εξίσωση f ( ) έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (α, β) β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε f ( ) γ) Αν η εξίσωση f ( ) έχει λύσεις στο διάστημα (α,β) τους αριθμούς, με, τότε υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 7 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση f, R : με <α<β τέτοια ώστε για τους μιγαδικούς z if ( ) και z if ( ) να ισχύει w R z α) Να αποδείξετε ότι z iz z iz β) Να αποδείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Roll για την συνάρτηση f ( ) g( ) στο διάστημα (α,β) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων f ( t) δ) Αν ισχύει lim dt να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει ( )( t) λύση στο διάστημα (α,β) 8 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση f, R τέτοια ώστε f ( ) f ( ) z : με f ( ) και f ( ), όπου <α<β Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της f η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y β) Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) γ) Υπάρχουν (, ) τέτοια ώστε f ) f ( ) δ) Αν υπάρχει η (), με ( f στο [α,β] και είναι συνεχής ώστε f ) d ( τότε η εξίσωση f ( ) f ( ) έχει λύση στο (α,β) 9 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, R με f ( ) και f ( ) Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της f η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y 4 β) Αν α> τότε υπάρχει εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ) Η εξίσωση f ( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α,β) δ) Υπάρχουν, με

3 Έστω f γνησίως αύξουσα συνάρτηση συνεχής στο (, ), για την οποία ισχύει f f ( ) για κάθε (, ) (, f ( t) α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση g, με τύπο g ) dt t (, ) β) Έστω <α<<β και g η συνάρτηση του ερωτήματος (α), τότε: i) Αν αβ= να αποδείξετε ότι g( ) g( ) ii) Αν g( ) g( ) να αποδείξετε ότι αβ= Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση f, R ισχύει: f ( ) d f () 4 : με f συνεχή, για την οποία α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε f ( ) β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), όπου ο αριθμός του ερωτήματος (α), ώστε f ( ) f ( ) Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, για την οποία ισχύουν: f ( ) f (), f () και f ( ) για κάθε (, ) Να αποδείξετε ότι: α) ( ), β) γ) f για κάθε f f ( ) d ln f ( ) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f ( ) και g( ),, Αν ( ) ( ) ( ), h f g, τότε : α) Να μελετήσετε την συνάρτηση h ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι: h( ) d με γ) Να αποδείξετε ότι: f ( ) d g( ) d

4 4 4 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο (, ) τέτοια ώστε για κάθε t f ( ) dt f ( t) t α) Να αποδείξετε ότι για κάθε β) Να αποδείξετε ότι f ) ln f ( ) ισχύει f ( ) ln ( για κάθε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) γ) Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης g ( ) f ( ) f, δ) Αν <α<β<γ, να αποδείξετε ότι ισχύει να ισχύει 5 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο(,) με παράγωγο γνησίως αύξουσα στο (,) Αν f ( ) f () να αποδείξετε: α) Υπάρχει μοναδικός αριθμός (, ) ώστε f ( ) β) Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο γ) Ισχύει f ( ) για κάθε (, ) 6 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και έστω α) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού f () β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 4 f ( z) f ( z) i z και Μ είναι η εικόνα του (z) γ) Να αποδείξετε ότι: z δ) Αν iz f ( z), z z w f () είναι πραγματικός f στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - ) 7 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με ( ) R κάθε α) Να αποδείξετε ότι: i) Για κάθε R f ισχύει ( ) f ( ) ii) Η f αντιστρέφεται με αντίστροφη iii) f ( ) β) Να βρείτε τα σημεία καμπής της f f ( ) f και, R f ( ) f ( ) γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες ', y' y και την ευθεία, για

5 8 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει η ισότητα: R α) Να αποδείξετε ότι () f και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε τις τιμές του R για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση: ( f f )( ) dt ( f f )( ) t f ( ) dt, για κάθε t γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι f ( ) 5 z z 9 Δίνεται συνάρτηση f, ορισμένη στο R, με τύπο f( ) z συγκεκριμένος μιγαδικός αριθμός με z i,, R, α) Να βρείτε τα όρια lim f ( ), lim f ( ) β) Να βρείτε τα ακρότατα της f, αν ισχύει η σχέση z z γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των ριζών της (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΛΙΟΣ - ) όπου z Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα (, ) t f ( ) και f ( ) f dt για κάθε g ( ), f ( ) : α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ β) Να αποδείξετε ότι η g είναι σταθερή στο Δ γ) Να αποδείξετε ότι η ο τύπος της f είναι ( ), τιμών της f () δ) Να υπολογίσετε το όριο f ( ) ln( ), για την οποία ισχύουν: και η συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο Δίνεται συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιμών το διάστημα [α,β], όπου α<<β Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, με ώστε f ( ) f ( ) β) Υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός R τέτοιος ώστε f ( ) γ) Η εξίσωση f ( ) f ( ) f ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R

6 f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R δ) Η εξίσωση ( ) f ( ) 6 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει: 8 f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε R f ( ), για κάθε R και α> α) Να δείξετε ότι c, όπου c αρνητική σταθερά f ( ) β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g ( ) Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] Αποδείξτε ότι: α) Αν η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [α,β] τότε β) Αν η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο [α,β] τότε «Ανισότητες Jnsn» γ) Για κάθε R f ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) f ( ) 8 ( ) 8 8 να δείξετε ότι: ( ) [ ( ) ] 4 Για κάθε R ορίζουμε την συνάρτηση g( ) dt, και τον μιγαδικό t z g( ) i με z i z Α Να αποδείξετε ότι: α) Η g αντιστρέφεται και β) Οι εικόνες του z ανήκουν στην γραφική παράσταση της g Β Να αποδείξετε ότι: α) R( z) Im( z), για κάθε R β) α= γ) dt dt t t (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - 4) 5 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (, ) για την οποία ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) με και lim f ( ) α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) είναι σταθερή στο (, ) β) Δείξτε ότι f ( ) για γ) Δείξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (,)δ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h( ) f ( ) ( ) έχει ένα σημείο καμπής το οποίο και να βρεθεί

7 7 6 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα ακρότατο το οποίο είναι μέγιστο γ) Αν το μέγιστο της f είναι το να βρείτε το α δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f στο για την τιμή του α που βρήκατε στο (γ) ερώτημα ε) Να βρείτε το lim f ( ) d 7 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R, τέτοια ώστε f ( ) f ( ) για κάθε R και f ( ) α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g( ) είναι σταθερή στο R β) Να βρεθεί η f αν είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της Α(,) είναι παράλληλη στην ευθεία : y γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα ', την γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της στο σημείο Α και την ευθεία δ) Να βρεθεί η τιμή του R ώστε η ευθεία να χωρίζει το παραπάνω χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία 8 Δίνεται συνάρτηση f, με τύπο f ( ) α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα β) Δείξτε ότι για κάθε R t γ) Δείξτε ότι η συνάρτηση F ) t t dt δ) Να βρείτε τα όρια lim f ( ) και lim f ( ) ( δεν έχει σημεία καμπής δ) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα η οποία και να βρεθεί ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) και τις ευθείες y και ln 9 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, ) α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) β) Να αποδείξετε ότι f ( ) ( ) γ) Να αποδείξετε ότι η ( ) f [ τέτοια ώστε ( ) f (t) dt f έχει μοναδική ρίζα στο [, )

8 (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΛΙΟΣ - 4) 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει η σχέση: z R( z) () και η συνάρτηση f με f ( z) z z α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η παραβολή με εξίσωση: y 4 β) Να βρεθούν οι μιγαδικοί z που ικανοποιούν την σχέση () και για τους οποίους ισχύει f ( z) 4 i γ) Να βρεθούν οι μιγαδικοί z που ικανοποιούν την σχέση () και για τους οποίους ισχύει f ( z) z Έστω πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο R για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: i) f ( ) για κάθε R ii) f ( ) tf ( t) dt για κάθε R Έστω ακόμη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο g( ), f ( ) R α) Να δείξετε ότι ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε β) Να δείξετε ότι η g είναι σταθερή γ) Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι: δ) Να βρείτε το όριο lim ( f ( ) ) (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - ) f ( ) Δίνεται η συνάρτηση f( ), 4 α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να υπολογίσετε το όριο lim f ( t) dt

9 9 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο R με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) f ( ) και f ( ) για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα γ) Έστω η συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΛΙΟΣ - ) 4 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο στο R με την ιδιότητα: f ( t) dt ( ), για κάθε R α) Να βρείτε το f () β) Αν f ( ), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f γ) Να βρείτε το όριο lim f ( ) 5 ( 5 Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f ) C στο σημείο (, f ()) A α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι έχει αντίστροφη συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ), για κάθε R γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Ο(,) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f τον άξονα ' και την ευθεία (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - ) f, 6 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R, για την οποία ισχύει ( ) f ( t) dt R για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι παραγωγίσιμη β) Η συνάρτηση ( ) g f ( ) είναι σταθερή στο R γ) Ο τύπος της f είναι f ( ) ( ), R

10 7 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R τέτοια ώστε f ( ) Αν για κάθε R ισχύει g( ) z f ( t) dt z ( ) όπου z z ic με R,, τότε: α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε την g β) Να αποδείξετε ότι z z z γ) Με δεδομένη την σχέση του ερωτήματος (β) να αποδείξετε ότι R( ) z δ) Αν επιπλέον ισχύει f ( ), f () και α>β, να αποδείξετε ότι υπάρχει o (,) τέτοιο ώστε f ( o ) (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - 4) 8 Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο που έχει την ιδιότητα: ( t ) f ( t) dt tf ( t) dt 4 tf ( ) dt για κάθε f ( ) α) Να αποδείξετε ότι f ( ) β) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου μεταξύ της C f, τον άξονα, όπου α> R, ( ) f και ' και των ευθειών γ) Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό cm, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού sc τη χρονική στιγμή που αυτό είναι ίσο με ln 9 Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση f ( ) f ( ) για κάθε R και ( ) α) Να δειχθεί ότι: β) Να βρεθεί το όριο: ( ) ln f f ( t) dt f lim 5 γ) Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) t Δείξτε ότι ( ) g( ) h f ( t) dt h για κάθε R δ) Δείξτε ότι η εξίσωση f ( t) dt 8 και 7 g( ) 7 5 t έχει ακριβώς μία λύση στο (,) (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4-5)

11 4 Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο R και α<β Αν t) dt κάθε R, τότε: α) Να αποδειχθεί ότι: f t) dt ( f ( ) d για κάθε R ( f ( d για f ) ( f ( t dt β) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης ) f ( t) dt γ) Να εξεταστεί αν η g έχει ελάχιστο δ) Να αποδειχθεί ότι f ( ) f ( ) g ) ε) Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να αποδειχθεί ότι υπάρχει R τέτοιο, ώστε ( ) f 4 Δίνεται η συνάρτηση g( ) f ( ), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R και f ( ) f α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε f ( ) f ( ) β) Αν f ( ) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I ( ) g( ) d, R γ) Να βρείτε το όριο lim I( ) (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - 4) 4 Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z β) Αν για τους z και w ισχύει: z w z w, να δείξετε ότι ο αριθμός u z w είναι φανταστικός γ) Αν επιπλέον δίνεται ότι w i, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z 4 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g( ) ln στο σημείο A (,ln ) με α> και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο (, ) εξίσωσης f ( ) B με R h( ) ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 5-6)

12 44 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, για τη οποία ισχύει: f f ( ) y f ( y) για κάθε y, Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη β) f f ( ) για κάθε γ) f f δ) f y f ( ) f ( y) για κάθε y, ε) Αν f (), τότε f ( ) για κάθε 45 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, και τιμές στο f σε κάθε, είναι σημείο M (, y ), τότε : α) να προσδιορίσετε το σημείο Μ β) Να βρείτε τον τύπο της f f ( ) γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln Αν η κλίση της και η ευθεία y εφάπτεται της C f στο δεν έχει πραγματική λύση για, 46 Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ια την οποία ισχύει κάθε f ( ) f ( ) για α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παραγωγίσιμη γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε ην f ε) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ( ) d 4

13 47 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) dt, t α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα β) Να αποδείξετε ότι f( ) για κάθε γ) Να βρείτε το όριο lim dt t δ) Αν g( ) f ( ), να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα ' και τα ευθείες,, δίνεται από τον τύπο E f () ln 48 Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο για την οποία για κάθε, με, f ( ) f ( ) ισχύει: α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση g, με g( ) f ( ) β) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει το πολύ μία ρίζα στο 49 Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Να αποδείξετε ότι: α) Ισχύει ( ) f για κάθε, β) Υπάρχει, τέτοιο ώστε να ισχύει f ( ) f ( ), με f () γ) Το του ερωτήματος β) είναι μοναδικό 5 Δίνεται πολυώνυμο P ( ) με πραγματικούς συντελεστές για το οποίο ισχύει: P( ) P( ) για κάθε, α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση P είναι - β) Αν ισχύει P( ) και () P( ) ώστε P να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα 5 Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο και θετικός αριθμός α, ώστε να ισχύει: f f για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι - f β) Να αποδείξετε ότι f γ) Έστω ότι η εξίσωση i) για κάθε f f ii) έχει λύση την Να αποδείξετε ότι: f f,

14 4 5 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει: f f ( ) dt α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη ft για κάθε β) Να αποδείξετε ότι ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε, γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να βρείτε τα όρια: i) f ( ) d f f lim f( ) 5 Δίνεται η εξίσωση z z ii) lim f( ) 4R i z 4 () α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση () έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών z, z δυο λύσεις της () να αποδείξετε ότι zz 8 β) Αν γ) Αν z, z δυο λύσεις της () για τις οποίες ισχύει zz 8 να αποδείξετε ότι: 4 z z 5, 54 Δίνεται συνάρτηση g ορισμένη στο, με Αν για τη συνεχή συνάρτηση f, ισχύει g( ) f ( ) f ( ) για κάθε, τότε: α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της g,η το πεδίο ορισμού και την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι ισχύει γ) Να αποδείξετε ότι f ( ) g ( ) για κάθε 5 f ( ) d 4 55 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f στο f () t dt f, για κάθε,,, για την οποία ισχύει : g, της οποίας να βρείτε, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε f( ) lim f( ) γ) Να υπολογίσετε το όριο,4

15 56 Δίνονται οι αριθμοί, με και f, με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών όλο το f f ( ) f ( ) για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι -, καθώς και η συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε f ( ) γ) Να αποδείξετε ότι το για το οποίο ισχύει f ( ) είναι το 5 57 Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο, για την οποία ισχύει: f ( ) f ( ) για κάθε α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε ο σύνολο τιμών της f γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε, με δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ( ) I d