ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό , ώστε: 3 e, 1 ln = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή Ο των αξόνων ως συνάρτηση του 0 b) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στη γραφική παράσταση της = e,! συνάρτησης 3 f c) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α ln 0, 0 είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ d) Να δείξετε ότι ο μιγαδικός 3 w = z k βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο C z k κέντρου Ο(0, 0) ή στο εσωτερικό του.. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με τύπο: = z lnt dt + w lnt dt 3 f, 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες 1 3 [ ] z, w στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας 1 i) Να δείξετε ότι η Cf έχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ ξ, f ξ στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα 3 ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της f iii) Αν 3 z = i και 3 w = i 3, να βρείτε τον τύπο της f. ( ) 1 3. Θεωρούμε την συνάρτηση 3 f :!!, με τύπο: 3 f ( ) = t +1 dt 1 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f = ln +1 ii) Να αποδείξετε ότι 3 f, 1, iii) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f. iv) Να βρ lim E t είτε τις ασύμπτωτες της Cf t + ( 0, + ) 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 f : 0, +, η οποία είναι συνεχής και = f ( t) γνησίως φθίνουσα, και έστω 3 S dt με 3 S 1. Υποθέτουμε, επίσης, = 1 ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από την ευθεία που συνδέει την αρχή 1 από 5

2 Ο(0, 0) και το σημείο 3 ( α, f ( α )) ( ) y = f ( ), την ευθεία που συνδέει την αρχή Ο(0, 0) και το σημείο 3 α, f α και την καμπύλη 3 είναι 3S(α) για κάθε α>0 i) Να εκφράσετε το 3 S και το 3 ως συνάρτηση του ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 3 ξ 1, τέτοιο, ώστε 3 iii) Να βρείτε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που περικλείεται από την Cg την εφαπτομένη της g στο σημείο (1,g(1)), τον άξονα 3 και την ευθεία 3 = t iv) Να υπολογίσετε το 3 lim E t g( ) = f ( ) f ( ) t + S( ) = 1 4 ξ 5 5. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 3 f :(, 1)! για την οποία = 0, = 1 = (, 1) ισχύουν 3 f 0 f 0 και 3 f f για κάθε 3 = ln( 1 ) i) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι 3 f ii) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f iii) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα- κυρτά iv) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f -1 της f v) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf, τους άξονες 3, y y και την ευθεία 3 = 1 e 6. Έστω η παραγωγίσιμη στο 3! συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι 3 f 1 και + f! 3 f για κάθε 3 = 1+ e 1,! i) Να αποδείξετε ότι 3 f ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο 3! iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε 3 α,β!, με 3 α < β, ισχύει: 3 ( α β )e 1 a < e 1 β e 1 a < ( a β )e 1 β = 7. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 3 z = 1+ ia, w = +1+ i και η συνάρτηση = z + w 1! z w z + w 3 f με 3 και α>0. Αν ισχύει 3, τότε: i) να δείξετε ότι 3 α = e lim ii) να βρείτε τα 3 lim f και 3 f + iii) να δείξετε ότι η Cf δεν έχει ασύμπτωτες = 0! iv) να δείξετε ότι η εξίσωση 3 f είναι αδύνατη στο 3 v) να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf, τον άξονα από 5

3 και τις ευθείες 3 = 0 και 3 = 1 [ ]! [ α, β ] z 1 = α + iβ 8. Δίνεται η συνάρτηση 3 f : α,β, η οποία είναι συνεχής στο 3 και παραγωγίσιμη στο 3 α, β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς 3 και + if ( β ) f ( β ) 0 z 1 iz 3 z = f a, με 3, ισχύει 3 = z 1 να δείξετε ότι: z 1 = β f ( α ) i) 3!, ii) 3 af β z = 0 ( α, β ) α < 0 < β iii) η 3 f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 3, όταν 3 iv) η Cf, έχει τουλάχιστον μία εφαπτομένη που περνάει από την αρχή των αξόνων, όταν 3 αβ > 0 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο [α, β] και = 0 = f ( β ) ισχύει 3 f α. Αν οι F, G είναι παράγουσες των f, g αντίστοιχα στο [α, β] και 3 H ( ) = G( β )F( ) F( β )G( ) να δείξετε ότι: i) η 3 Η έχει δεύτερη παράγωγο στο [α, β] = 0 ii) υπάρχει 3 1 α, β τέτοιο, ώστε 3 Η 1 = 0 iii) υπάρχει 3 α, 1 τέτοιο, ώστε 3 Η g β β iv) υπάρχει 3 ξ α, β τέτοιο, ώστε: 3 f ξ d = g ξ d α f α ae +1, Δίνεται η συνάρτηση 3 ln + β, > 0 i) Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 3! ii) Για α=1 και β=: α) να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Μ 0, f 0 β) να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf > 3 γ) να δείξετε ότι 3 f για >0 ( ) δ) να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείετε από τη Cf, τον και τις ευθείες =-1 και χ= Δίνεται η συνάρτηση 3 3 f :!! η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 3! και για την οποία ισχύουν: = 1 3 f 0 3 από 5

4 3 f ( + y) = f ( ) f ( y)e y,, y! Να δείξετε ότι: = 1 i) 3 f 0 ii) 3 f ( ) = ( +1) f ( ),! iii) η συνάρτηση 3 g είναι σταθερή στο 3! = e +,! iv) 3 f = f ( ) e + v) η Cf δεν έχει ασύμπτωτες vi) η Cf δεν έχει σημεία καμπής vii) η ευθεία y = τέμνει τη Cf σε μοναδικό σημείο με τετμημένη 0 1, + +1,! viii) 3 e +1 για κάθε 3! και 3 f i) E 11, όπου Ε το εμβαδόν που περικλείεται από τη Cf, τον και τις 6 ευθείες 3 = 0 και 3 = i) Για τους μιγαδικούς 3 z 1 να δείξετε ότι: 3 z 1 + z 1 z = z 1 + z ii) Αν για τους μιγαδικούς 3 z 1, z 3 ισχύουν: 3 z 1 + z 3 = 0 και 3 z 1 = z = z 3 = 1 να δείξετε ότι οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου iii) Αν για τους μιγαδικούς 3 z 1, z 3, z 4 ισχύουν: 3 z 1 + z 3 + z 4 = 0 και 3 z 1 = z = z 3 = z 4 = 1 να δείξετε ότι οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. 13. Αν 3 z! και 3 z 4 + 3i 1, τότε: i) να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο ii) να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 3 z iii) να δείξετε ότι 3 z + 8 i 1 = a + +1, a > Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3 f i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αυξουσα στο 3! = 0 ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 f έχει μοναδική ρίζα iii) Να λύσετε την ανίσωση 3 a 9 a 3 < από 5

5 15. Δίνεται η συνάρτηση 3 f : 0, + που είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο i) να δείξετε ότι 3 lim f +1 + = ii) να δείξετε ότι 3 f ( +1) f ( ) < f ( ) < f ( ) f ( 1), > 1 iii) να υπολογίσετε το 3 lim f! ( 0, + ). Αν η ευθεία ( ε ) : y = +1 είναι ασύμπτωτη της Cf στο +, τότε: f ( ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 3 f ( ) = 1+ e f ( t ) dt +1,! 0 i) Να δείξετε ότι η 3 f είναι γνησίως αύξουσα στο 3! ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 3 f 1 της 3 f. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf άξονες 3 και 3 y y και την ευθεία 3 = e 0 1 iv) Να αποδείξετε ότι 3 1+ e f ( ) d = 1 e v) Να λύσετε την ανίσωση: 3 f f ( ( ) + 3) e1+ e f ( ) d < 0 1+ e f ( ) d, τους 17. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση 3 f :!! για την οποία ισχύει ότι + f ( ) = 5,! 3 f 3 = 0 f ( ) = i) Να αποδείξετε ότι 3 f 0 και 3 ii) Να αποδείξετε ότι η 3 f είναι 1-1 iii) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης 3 iv) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση Cf της f έχει ένα μόνο σημείο καμπής το οποίο και να βρείτε v) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 f 1 vi) Να αποδείξετε ότι 3 f ( )d = f 1 = 5 από 5