Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Transcript

1 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

2 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε ότι: f ( ) ln για κάθε. f ( ) e f ( ) ln. e γ) Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης g, με g( ) f ( ) f ( ),. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) δ) Αν <α<β<γ, να αποδείξετε ότι ισχύει:. ΘΕΜΑ Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν: f( ) f( ) και f ( ) g( ) f ( ) g ( ) για κάθε [, ]. α) Να αποδείξετε ότι: f ( ) g( ) f ( ) g( ) για κάθε [, ]. β) Αν ισχύει g ( ) για κάθε [, ] να αποδείξετε ότι ισχύει f( ) κάθε [, ]., για ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[, ] R, με f ( ) όπου <α<β. Να αποδείξετε ότι: και f ( ) α) υπάρχει εφαπτόμενη ευθεία της C f η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y β) υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) γ) υπάρχουν τέτοια, ώστε f f. ( ) ( ). δ) αν υπάρχει η f στο [α, β] και είναι συνεχής, ώστε,

3 f ( ) d τότε η εξίσωση: f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 4 έχει λύση στο (α, β). Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R ισχύει: f () f ( ) e dt f () t e R για την οποία για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.. β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: f( ) f( ) για κάθε, R. γ) Να αποδείξετε ότι: f ( ) d ( f ()) f (). ΘΕΜΑ 5 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, με παράγωγο f συνεχή στο R και f (), για την οποία ισχύει: f ( y) f ( ) y για κάθε, y R α) Να αποδείξετε ότι f( ) για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) 6 έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. γ) Να αποδείξετε ότι, αν f (), τότε η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (,). f ( ) f ( t) dt ΘΕΜΑ 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο και για κάθε R ισχύει: f()- f () t dt = e -e + +e +. Α) Να αποδείξετε ότι:

4 i) η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (χ) =e + χ. ii) f() = e + + l,. R Β) Αν g () = e + +, R, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες = και χ =. ΘΕΜΑ 7 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R f ( t) dt f ( ) f ( ) για κάθε, R. α) Να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g:r g( ) ( f ( )) ( f ( )) είναι σταθερή. γ) Να βρείτε το lim f( ). R με f (), για την οποία ισχύει:. R με τύπο δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ώστε να ισχύει: f ( ). R τέτοιο, ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = ln, ( ). i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Έστω Μ το σημείο πού αντιστοιχεί στο μέγιστο της C f. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του λ, τη καμπύλη στην οποία κινείται το Μ. iii. Να βρείτε τη μικρότερή τιμή του λ, ώστε να ισχύει ln, για κάθε χ>.

5 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R f () t ( ),. f te dt R o ΘΕΜΑ 9 i. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R ii. Αποδείξτε οτι ο τύπος της f είναι f( ) = ln( ), R. R για την οποία ισχύει: iii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. iv. Αποδείξτε ότι: f( ) lim. 6 v. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτομένες να είναι κάθετες. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f: f ( ) f ( t ) dt ΘΕΜΑ, R για την οποία ισχύει, για κάθε χ>. A) Να αποδείξετε ότι: i. Η f είναι παραγωγίσιμη ii. Ο τύπος της f είναι: f() = ln + l, > iii. Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω. iv. Για κάθε τριάδα αριθμών α, β, γ με < α < β < γ ισχύει: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) B) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g(χ)=χ και την ευθεία χ=λ (<λ<). Στη συνέχεια να βρείτε το. lim E( )

6 ΘΕΜΑ Θεωρούμε τη συνάρτηση f: [α, β] > R παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο,, f ( ), f ( ),,. Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Αν η f i) Nα βρεθεί το f ( ) είναι συνεχής και ισχύει f ( ) f ( a) f t dt f t dt ( ) ( ) ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A(, f( ) να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): χ - y + 6 = Γ) Να αποδείξετε ότι i) Υπάρχει μοναδικό ξ (α,β), τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ. ii) Υπάρξουν ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε f( ) f( ). f ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f ( ), R. Α) Να βρεθούν τα όρια: κ= lim f ( ) lim f ( ), λ=, μ= Β) α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν I v v d, v,,,,... f( ) i) Να βρεθούν τα ολοκληρώματα I, I ii) Ν' αποδειχθεί ότι (ν +) v και μετά να βρεθεί το I. vi,,,... I lim f ( )

7 ΘΕΜΑ (α) Δίνεται η συνάρτηση, f( ), i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο χ=. ii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. iii) Αποδείξτε ότι f ( ) f ( ),. β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο (,), g()= -, g()= και g( ), για κάθε,. Να βρείτε τη συνάρτηση g. γ) Για κάθε αποδείξτε ότι ( ). ΘΕΜΑ 4 (α) Να αποδειχθεί ότι dt, για κάθε (, ). t 4 (β) Να λυθεί στο R η ανίσωση 4 dt lim dt t t (γ) Αν f,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα [,α] με f ( ) f ( a ), g( ) g( a ), R, να αποδειχθεί ότι a a a f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d f ( ) d. d (δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα.

8 ΘΕΜΑ 5 e (α) Να βρεθεί το lim (β) Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f ισχύει f ( ) f ( ), για κάθε R. f( ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο R. e (γ) Δίνονται οι μιγαδικοί z, z, z με z z z 4 και τις εικόνες τους σημεία του κύκλου με κέντρο το Ο(,) και ακτίνας ρ=. 4 i) Αποδείξτε ότι z z ii) Αποδείξτε ότι z z z iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει μία μόνο λύση στο R. z z z e ΘΕΜΑ 6 (α) Να αποδειχθεί ότι ln, για κάθε χ>. (β) Οι όχθες ενός ποταμού ακολουθούν τις γραμμές y και y ln. Να βρεθεί το μήκος της μικρότερης γέφυρας μεταξύ των δύο ποταμών που μπορεί να κατασκευασθεί. e (γ) Δίνεται η συνάρτηση f( ), χ>. Να βρεθεί το πεδίο τιμών της. ln (δ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση e ( ln ) έχει δύο λύσεις στο (, ). ΘΕΜΑ 7 Για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει f ( t) f ( t), για κάθε R f ( ) ( t) e dt e dt (α) Αποδείξτε ότι f ( ) ln( ), R.

9 (β) Αποδείξτε ότι f( ), για κάθε R. (γ) Να δειχθεί ότι υπάρχουν μόνο δύο σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτομένες της να είναι κάθετες μεταξύ τους. (δ) Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης g( ) f ( ), R και στη e. συνέχεια να λύσετε στο R την εξίσωση ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R με την ιδιότητα f() f() f ( ), για κάθε R. (α) Να αποδειχθεί ότι f() f(). (β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει o (,) τέτοιο, ώστε (γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν, (,) με και (δ) Να αποδειχθεί ότι f() f(). f ( o ) f (). f( ) f( ). ΘΕΜΑ 9 (α) Δίνεται η συνάρτηση e, g( ) ( ) ln, (λ>). Να αποδειχθεί ότι μια μόνο συνάρτηση από τις συναρτήσεις g είναι συνεχής στο R. Μεταξύ ποιων ακέραιων βρίσκεται τότε η τιμή του λ; ln (β) Δίνεται η συνάρτηση f ( ),. i) Να αποδειχθεί ότι παρουσιάζει μέγιστο το Μ, για το οποίο ισχύει M. 8

10 ln ii) Να αποδειχθεί ότι d a, για κάθε α,β> και (όταν αυτοί δεν είναι ίσοι με το ). a ΘΕΜΑ Για τη συνάρτηση f ισχύει f ( ) f ( ) 7, για κάθε R. (α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. (β) Να διαταχτούν σε σειρά οι αριθμοί (ξεκινώντας από το μεγαλύτερο) f(ln )), f( f( )), f(). f( ) (γ) Να δειχθεί ότι lim και να βρεθεί το όριο (δ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο μηδέν. f( ) lim. ΘΕΜΑ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(, ) R με f()= και f ( h) f ( h) ln lim, για κάθε χ>. h h ln (α) Να αποδειχθεί ότι f ( ),. (β) Να βρεθούν το πεδίο τιμών και οι ασύμπτωτες της f. (γ) Για βρεθεί για ποιους φυσικούς αριθμούς ν ισχύει (δ) Αν g( ) ( ln ),, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ευθείες, εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της g παράλληλες μεταξύ τους και τη γωνία που σχηματίζουν με τον άξονα χ χ,. 4.

11 ΘΕΜΑ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f( ), για κάθε f ( ) χ R και e, f ( ) για κάθε χ R. (α) Να βρεθεί η μονοτονία της f και να αποδειχθεί ότι f (). (β) Να αποδειχθεί ότι f( ) στο R και (γ) Να λυθεί στο R η ανίσωση f ( t) dt f ( t) dt, για κάθε χ. f ( t) dt. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R ΘΕΜΑ y f ( y) e f ( ) f ( y), για κάθε χ,y R, f συνεχής στο μηδέν, f( ), για κάθε χ R, f (). (α) Να αποδειχθεί ότι f( ) στο R. (β) Να αποδειχθεί ότι ( ) e,. f R (γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα R για την οποία ισχύει I f ( ) d. (δ) Ε(β) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από την C f για, τον άξονα ψ ψ και την ευθεία ε: ψ=β>. Αν η ευθεία ε τη χρονική στιγμή που β=e κινείται με ταχύτητα m/sec, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του Ε(β) τη χρονική στιγμή αυτή.

12 ΘΕΜΑ 4 Δίνεται ο μιγαδικός z yi,, y R. (α) Αν ο αριθμός z είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z z στο μιγαδικό επίπεδο. (β) Να δειχθεί ότι ο (,]. z z είναι πραγματικός και μάλιστα βρίσκεται στο διάστημα z z (γ) Να δειχθεί ότι (δ) Να δειχθεί ότι z Im d Im( z ) ln. z Im( z) z i i z. z z ΘΕΜΑ 5 Έστω Α(u), Β(z), Γ(w) οι εικόνες των μιγαδικών u,z,w με Β το μέσο του ΑΓ. Επίσης ισχύουν: u i i ( i) 6 w i. (α) Να δειχθεί ότι u 9 i. (β) Να δειχθεί ότι z 4 i. (γ) Να δειχθεί ότι 4 z w 6. 7 (δ) Έστω συνάρτηση f στο R με την ιδιότητα f ( ) z w f ( ) f ( ), 4 για κάθε χ R. Να δειχθεί ότι υπάρχει (,) ώ f ( ). o o

13 ΘΕΜΑ 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, ) R με f()= με την f γνήσια αύξουσα στο f( ) (, ). Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις g( ), και F( ) g( t) dt,. (α) Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης g. (β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή. (γ) Να αποδειχθεί ότι 4 F() g() d. (δ) Αν, 4, να βρεθεί πότε η παράσταση F( ) F( ) έχει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή. ΘΕΜΑ 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f :(, ) R με f ( ) ln ln tdt g( ) dt. f() t (α) Να αποδειχθεί ότι f ( ) ln,. Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτομένη της συνάρτησης f στο χ=e και να διαπιστωθεί ότι eln, ά. (β) Να αποδειχθεί ότι ln ln, για κάθε,. e (γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτηση g και η μονοτονία της. (δ) Να βρεθεί το όριο g ( ) lim. e ΘΕΜΑ 8 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R για κάθε χ R. (α) Να αποδειχθεί ότι f (). R με f () και f ( ) e,

14 (β) Να βρεθεί το όριο f ( ) lim. (γ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα e d. (δ) Αν επιπλέον ισχύει f ( ) e d, να βρείτε το f. ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η συνάρτηση (α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g ( ) ln,. ln( ) f ( ), ( R). f και η παράγωγος της συνάρτησης g, με (β) Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ η εξίσωση ln( ) ( ), έχει δύο ακριβώς λύσεις. (γ) Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον οριζόντιο άξονα χ χ και τις ευθείες χ=λ+, χ=λ+4. (δ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ> ώστε f ( ) d. ΘΕΜΑ Για τις παραγωγίσιμες στο f ( ) g( ), ά. f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( )g ( ). (, ) συναρτήσεις f, g ισχύουν:

15 (α) Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. (β) Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες στο (γ) Να αποδειχθεί ότι f( ). (, ). (δ) Να βρεθεί το εμβαδόν E της επιφάνειας του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h( ) f ( ), τον οριζόντιο άξονα χ χ και την ευθεία. ΘΕΜΑ 5 i Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z, R. i (α) Αν ο z είναι φανταστικός αποδείξτε ότι 6 z (β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z.. (γ) Αν η εικόνα του μιγαδικού αποδείξτε ότι zo i d. z o ανήκει στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος β), ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f με ln a, f( ), για την οποία ισχύει ln a f, ά. e Α] α. Εξετάστε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της.

16 α. Να αποδείξετε ότι για κάθε α. Αποδείξτε ότι f (). Β] ισχύει f ( ) ln a. β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα στο διάστημα (, ) και να βρείτε το σημείο καμπής. β. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f ()) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι f ( ) d. β 4. Να αποδείξετε ότι f( h) f( h), ό h. ΘΕΜΑ Έστω z μιγαδικός αριθμός. Αν για την συνάρτηση f, με γνωρίζουμε ότι υπάρχει το α) Αποδείξτε ότι z. z 6 e, f( ) z, lim f( ), β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών z i w iz. γ) Αν z a i, a, R μοναδική ρίζα στο διάστημα (,)., να δείξετε ότι η εξίσωση 6 ( z a) z w έχει δ) Αν E το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες m, n ( m n), αποδείξτε ότι E m n.

17 ΘΕΜΑ 4 Έστω z μιγαδικός αριθμός, μη μηδενικός. Ορίζουμε τη συνάρτηση A με τύπο A( ) i z, R. * α) Αν R, αποδείξτε ότι A( ) A( ) z R. β) Αν ισχύει A() i z να βρεθεί ο μιγαδικός z. γ) Αν z, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του A() A(). A ( ) δ) Αν ισχύει lim, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο. ε) Αποδείξτε ότι η ευθεία συνάρτησης A στο. Im( z) y z z είναι πλάγια ασύμπτωτη της ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) ( ), (, ). α) Να δειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο m και μέγιστο M. β) Να λυθεί η εξίσωση f ( ), (, ). 4 γ) Να δειχθεί ότι, ά (, ). ( ) δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα f( ) d ( ). 6

18 ΘΕΜΑ 6 Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, ) με f γνησίως φθίνουσα στο [, ) και f (). Δίνεται επιπλέον ότι f( ), ά. Ορίζουμε τη συνάρτηση F με α) Να δειχθεί ότι f ()., f () t dt F(), f () β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο. γ) Να βρείτε το όριο L lim δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει f ( t) dt f () ε) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. F ( ). f( ). στ) Αν a, με f ( t) dt f ( t) dt, αποδείξτε ότι. ζ) Να αποδείξετε ότι F( t) dt F( e) tf( t) dt.

19