«... Δεν το καταλάβαμε κ. καθηγητά...»: Η ανάγκη για βασική παιδαγωγική κατάρτιση και διαρκή επιμόρφωση των καθηγητών των μαθηματικών ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ Ι

1 «... Δεν το καταλάβαμε κ. καθηγητά...»: Η ανάγκη για βασική παιδαγωγική κατάρτιση και διαρκή επιμόρφωση των καθηγητών των μαθηματικών ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ Ι ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ Ε.Μ.Ε. Παράρτημα Ν. Μαγνησίας 1. Εισαγωγικά Θυμάμαι τον καιρό που ήμουνα φοιτητής, στα μέσα της δεκαετίας του 60, λεγόταν ότι για να διδάξει κάποιος μαθηματικά έπρεπε να ξέρει τρία πράγματα:α., β., γ.,: Πολύ καλά Μαθηματικά. Επικρατούσε, δηλαδή, η εντύπωση ότι Ικανή και Αναγκαία συνθήκη για μια αποτελεσματική διδασκαλία των μαθηματικών ήταν η κατοχή σε όλο το βάθος και το πλάτος της διδακτέας ύλης. Έτσι οι Μαθηματικές Σχολές μας έδιναν πλήθος γνώσεων, από παραστατική και προβολική γεωμετρία μέχρι αστρονομία και μετεωρολογία, χωρίς όμως, στις περισσότερες από αυτές, να γίνεται κάποιος λόγος τουλάχιστον για το ΠΩΣ θα διδάξουμε αυτά που μαθαίναμε. Θεωρούνταν φυσικό και γενικά αποδεκτό, οι φοιτητές της Ιατρικής να επισκέπτονται τα νοσοκομεία και να ασκούνται πρακτικά, οι φοιτητές της Γεωπονικής να ασκούνται στα αγροκτήματα, αλλά οι φοιτητές της Μαθηματικής δεν χρειάζονταν άσκηση στο αντικείμενο της μελλοντικής τους δουλειάς. Με μοναδικά εφόδιο τις εμπειρίες που απόκτησαν οι ίδιοι όταν ήταν μαθητές, καλές ή κακές, σωστές η παιδαγωγικό εσφαλμένες, πάντως γενικά ξεπερασμένες, θα μόρφωναν μαθηματικά τα ελληνόπουλα τις επόμενες τρεις τέσσερις δεκαετίες. Οι ψυχοπαιδαγωγικές γνώσεις δεν ήταν μαθηματικά και συνεπώς δεν είχαν θέση στα αναλυτικά τους προγράμματα. Ήλθαν όμως τα «καινούργια» μαθηματικά, τα σύνολα, οι γραφικές παραστάσεις και άλλες μαθηματικές ενότητες που τόσο είχαν μελετηθεί από τους εκπαιδευτικούς όσο ήταν οι ίδιοι, οι νεώτεροι τουλάχιστον, φοιτητές, θέματα που τα κατείχαν πλήρως. Τα μαθήματα αυτά, όμως, δεν πέρασαν στους μαθητές, τόσο στην Ελλάδα όσο και στα περισσότερα μέρη του κόσμου. Η παρατήρηση αυτή αποτέλεσε σημείο προβληματισμού και επανεξέτασης για το αν η γνώση των μαθηματικών ήταν και ικανή συνθήκη για τη διδασκαλία τους. Τα χρόνια αυτά η γνωστική και εξελικτική ψυχολογία γνώρισαν άνθιση και τα πορίσματά τους χρησιμοποιήθηκαν στα περισσότερο εκπαιδευτικά ιδρύματα σ ολόκληρο τον κόσμο για τη βελτίωση της ποιότητας και της αποτελεσματικότητας της διδασκαλίας που παρείχαν. Τα πορίσματα των ερευνών των Piaget και Inhelder αποτελούν τη βάση στο σχεδιασμό εκπαιδευτικών προγραμμάτων στο χώρο της μαθηματικής πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης (1) ενώ οι θεωρίες και οι αρχές της ψυχοπαιδαγωγικής μελετούνται και εφαρμόζονται από τους μαθηματικούς σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης. Ο Skemp ξεκαθαρίζει τη διαφορά μεταξύ μιας καθαρά μαθηματικής απόδειξης που έχει ως σκοπό να πείσει κάποιον

2 που αμφιβάλλει για την αλήθεια μιας μαθηματικής πρότασης και της ψυχολογικής προσέγγισης του ίδιου θέματος που έχει ως στόχο να επιφέρει την κατανόηση και τη μάθηση από την πλευρά των μαθητών (2). Επειδή τα μαθηματικά αποτελούνται από δομημένες έννοιες που χαρακτηρίζονται από την αφαίρεση και τη γενίκευση, όσο προχωρεί στην ύλη ο μαθητής τόσο αυτά που διδάσκεται απομακρύνονται από τις καθημερινές του εμπειρίες. Αποτέλεσμα των πιο πάνω είναι να γίνεται όλο και πιο δύσκολη για το μαθητή η σύλληψη, η δόμηση και η διατήρηση των καινούργιων εννοιών. Οι έννοιες αυτές που για να φθάσουν οι περισσότερες στη σημερινή τους μορφή χρειάστηκαν χιλιάδες χρόνια και πολλαπλές αφαιρέσεις και γενικεύσεις (3), προσφέρονται σήμερα στο μαθητή για να κατακτηθούν από αυτόν σε σύντομο σχετικά χρόνο, να ενσωματωθούν στα γνωστικά του σχήματα και να αποτελέσουν τη βάση για την κατάκτηση καινούργιων εννοιών. Είναι γενικά αποδεκτό στη διεθνή σχετική βιβλιογραφία, ότι βασικός παράγοντας στη διαδικασία αυτή της μάθησης των μαθηματικών, είναι ο καθηγητής και ότι οι μαθητές εξαρτώνται από αυτόν περισσότερο από όσο εξαρτώνται από τους καθηγητές των άλλων μαθημάτων Σε έντυπο της Βασιλικής Εταιρίας (Αγγλία) σχετικό με την εκπαίδευση και την επαγγελματική ζωή των δασκάλων των μαθηματικών υποστηρίζεται, (σε ελεύθερη απόδοση), ότι: «Δεν υπάρχει άλλη περιοχή γνώσεων όπου ο δάσκαλος ασκεί τόση επιρροή στις στάσεις των μαθητών καθώς και στην από μέρους τους κατανόηση, όσο αυτή των μαθηματικών. Κατά τη διάρκεια της επαγγελματικής του σταδιοδρομίας ο δάσκαλος των μαθηματικών μπορεί να επηρεάσει προς το καλό ή το κακό τις στάσεις μερικών χιλιάδων μαθητών απέναντι στα μαθηματικά ή μπορεί να τους οδηγήσει νια επιλέξουν λάθος επαγγέλματα. Είναι λοιπόν αναγκαίο όχι μόνο να διδάσκονται τα μαθηματικά σε όλους τους μαθητές, αλλά και να διδάσκονται με τον καταλληλότερο τρόπο. Όλοι οι μαθητές θα πρέπει να έχουν την ευκαιρία να σπουδάζουν τα μαθηματικά κοντά σε ενθουσιώδεις και καλά καταρτισμένους δασκάλους των μαθηματικών» (4). Κατά τον Skemp, τρία είναι τα βασικά γενικά καθήκοντα του δασκάλου των μαθηματικών (5): α. Να προσαρμόζει την διδακτέα ύλη των μαθηματικών στα γνωστικά σχήματα των μαθητών του. β. Να παρουσιάζει την διδάξιμη ύλη με τρόπο σύμφωνο με τον τρόπο που σκέπτονται οι μαθητές τους (διαισθητικά ή στοχαστικά). γ. Να αναπτύξει την αναλυτική σκέψη στους μαθητές του σε σημείο που βαθμιαία να τον χρειάζονται όλο και λιγότερο ως ενδιάμεσο παράγοντα για την παραπέρα κατάκτηση της μαθηματικής γνώσης. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα αν εμείς οι δάσκαλοι των μαθηματικών έχουμε την ικανότητα αλλά και τα εφόδια να ανταποκριθούμε στις

3 παραπάνω απαιτήσεις και μάλιστα αν έχουμε πείσει τους μαθητές μας γι αυτό. 2. Τι πιστεύουν οι μαθητές για τους δασκάλους των μαθηματικών τους. Σε ευρύτερη έρευνα που έγινε από τον τομέα παιδαγωγικής του Πανεπιστημίου Αθηνών για να μελετηθούν οι στάσεις των μαθητών του λυκείου απέναντι στα μαθηματικά ρωτήθηκαν για το τι πιστεύουν για τους καθηγητές τους των μαθηματικών 800 περίπου μαθητές (6). Οι μαθητές αυτοί επιλέχτηκαν τυχαία σε αναλογία ένας στους τέσσερις από το γενικό μαθητικό πληθυσμό των Α και Β τάξεων 19 λυκείων του Ν. Μαγνησίας, σε σύνολο 41 συνολικά τμημάτων. Οι απαντήσεις τους συνοπτικά περιέχονται στον πίνακα 1. Οι μεγαλύτερες διαφοροποιήσεις στις απαντήσεις ήταν μεταξύ των μαθητών των διαφόρων τμημάτων (μαθητές με διαφορετικούς καθηγητές), αμέσως μικρότερες διαφοροποιήσεις σημειώθηκαν κυρίως στις προτάσεις b και c, σύμφωνα με τις σπουδές που σκόπευαν να ακολουθήσουν οι μαθητές, ενώ μικρότερες μεταξύ των μαθητών των διαφόρων κοινωνικοοικονομικών ομάδων. Έτσι η γενική εικόνα που προέκυψε ήταν ότι 8 στους 10 μαθητές θεωρούν ότι οι μαθηματικοί τους έχουν επαρκείς μαθηματικές γνώσεις, αλλά μόνο πέντε στους δέκα ότι αυτές τις γνώσεις μπορούν να τις διδάξουν με κατανοητό τρόπο και να κάνουν τους μαθητές τους να αγαπήσουν τα μαθηματικά. Οι θέσεις αυτές των μαθητών πρέπει να συνδυαστούν με το τι πιστεύουν οι ίδιοι για τη δυνατότητα που έχουν να μάθουν και να συγκροτήσουν τα μαθηματικά, όπως αυτές παρουσιάζονται στον πίνακα 2 καθώς και των συσχετίσεων που παρουσιάζονται μεταξύ των απαντήσεων των μαθητών στις προτάσεις των πινάκων 1 και 2 οι οποίες παρουσιάζονται στον πίνακα 3. Οι μισοί περίπου μαθητές δηλώνουν ότι τα μαθηματικά είναι μάθημα που δεν καταλαβαίνουν ενώ δύο στους τρεις ότι εύκολα τα ξεχνούν. (Τα ποσοστά των μαθητών που δηλώνουν ότι «καταλαβαίνουν» ή «θυμούνται» τα μαθηματικά διαφοροποιούνται έντονα όταν αυτοί ταξινομηθούν σύμφωνα με το μορφωτικό επίπεδο της οικογενείας τους ή με τη δέσμη των σπουδών που σκοπεύουν να ακολουθήσουν στην Γ λυκείου). Οι θέσεις αυτές των μαθητών αποκαλύπτουν το λαθεμένο τρόπο με τον οποίο μαθαίνουν τα μαθηματικά. Δεν καταλαβαίνω σημαίνει ότι προσπαθώ να προσαρτήσω νέες έννοιες σε ακατάλληλα ή ανύπαρκτα γνωστικά σχήματα. Έτσι η αφομοίωση γίνεται δύσκολη και αυτό που ο καθηγητής αντιλαμβάνεται ως μάθηση, για το μαθητή δεν είναι τίποτε άλλο παρά σκέτη απομνημόνευση. Έτσι, όλες οι καινούργιες έννοιες χωρίς να στηρίζονται κάπου εύκολα αποκόπτονται και λησμονούνται. Στο κενό που αφήνουν πίσω τους δεν μπορούν να στηριχτούν καινούργιες έννοιες, οι οποίες πρέπει με τη σειρά τους να

4 απομνημονευτούν με αποτέλεσμα ο φαύλος κύκλος της μάθησης των μαθηματικών να συνεχίζεται (7). Η κακή κατανόηση και η γρήγορη λήθη των μαθηματικών συντελούν στις κακές επιδόσεις και στις αποτυχίες των μαθητών στο μάθημα αυτό. Αποτέλεσμα αυτών είναι η διαρκώς αυξανόμενη αντιπάθεια και ο φόβος απέναντί τους. Τα μαθηματικά αντί να αποτελούν τρόπο σκέψης λειτουργούν σαν παραπρόγραμμα και οδηγούν το μαθητή στην επινόηση τεχνασμάτων εξαπάτησης όσων προσπαθούν να αξιολογήσουν τις γνώσεις του στον πιο πάνω γνωστικό χώρο (8). Οι μαθητές πολλές φορές ζητούν βοήθεια από τους καθηγητές τους για να κατανοήσουν κάτι καλύτερα. Όπως όμως οι ίδιοι λένε, ο καθηγητής τους συνήθως επαναλαμβάνει την απόδειξη με τον ίδιο ακριβώς τρόπο περιμένοντας τώρα να την καταλάβουν. Υπάρχει φαίνεται παρανόηση μεταξύ του «δεν κατάλαβα» και του «δεν άκουσα». Αυτό βέβαια αποτελούν μόνο τη μια πλευρά του νομίσματος Οι θέσεις των μαθητών δεν είναι αντικειμενικές, περιέχουν όμως ένα πυρήνα αλήθειας. Και η αλήθεια αυτή θα μπορούσε να συνοψιστεί στη δυσκολία που έχουν οι μαθηματικοί να προσεγγίζουν τις μαθηματικές έννοιες που διδάσκουν με πολλούς τρόπους, να τις συνδέουν με άλλες έννοιες πέρα από τα μαθηματικά, να κάνουν αναφορές, όταν είναι δυνατό, σε παραδείγματα της καθημερινής ζωής, με δυο λόγια δυσκολεύονται να ΔΙΔΑΞΟΥΝ τα μαθηματικά. Ανάλογα συμπεράσματα προκύπτουν αβίαστα και από αυτά που οι ίδιοι οι καθηγητές των μαθηματικών δηλώνουν ότι περιμένουν από το «Βιβλίο του Δασκάλου των Μαθηματικών της Μέσης Εκπαίδευσης», σε έρευνα που παρουσιάστηκε στο Γ Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΜΕ (9). Από την έρευνα προέκυψε ότι αυτό που περιμέναμε περισσότερο από το βιβλίο του δασκάλου ήταν: α. Να φανερώνεται, όσο είναι δυνατόν, η αναγκαιότητα και η χρησιμότητα κάθε καινούργιας μαθηματικής έννοιας, μέσα από παραδείγματα της καθημερινής ζωής και μέσα από τη σχέση της με άλλες έννοιες και επιστήμες. β. Να επισημαίνονται και να αναλύονται τα δυσνόητα σημεία του κάθε κεφαλαίου. γ. Να δίνεται βιβλιογραφία για κάθε εξεταζόμενο θέμα ώστε να μπορεί ο διδάσκων να διευρύνει τις γνώσεις του. δ. Να καθορίζεται ο σκοπός κάθε κεφαλαίου και οι επιμέρους στόχοι κάθε ενότητας έτσι ώστε να φαίνεται το ελάχιστο των γνώσεων που πρέπει να αποκτήσουν οι μαθητές. ε. Να περιέχεται ερωτηματολόγιο στο τέλος κάθε κεφαλαίου για τον έλεγχο της μάθησης και του βαθμού κατανόησης και επίτευξης των στόχων που έχουν προκαθοριστεί. Ζητούσαμε, δηλαδή, οι μαθηματικοί από το βιβλίο του δασκάλου ό,τι μας έλειπε από τη βασική ψυχοπαιδαγωγική μας κατάρτιση παραδεχόμενοι,

5 έμμεσα τουλάχιστον, ότι η αδυναμία μας ήταν στον τρόπο του ΠΩΣ θα διδάξουμε τα μαθηματικά, δηλαδή συμφωνήσαμε σε γενικές γραμμές με τις θέσεις των μαθητών. 3. Προτάσεις για ένα γενικό μοντέλο βασικής κατάρτισης και διαρκούς επιμόρφωσης των καθηγητών των μαθηματικών. Στη συνέχεια της εισήγησής μου θα επιχειρηθεί η διατύπωση ενός μοντέλου κατάρτισης καθηγητών των μαθηματικών. Δεν είναι βέβαια δυνατό να επιχειρηθεί η ανάπτυξη και διευκρίνηση επιμέρους λεπτομερειών για τις οποίες ο ενδιαφερόμενος θα πρέπει να απευθυνθεί σε ειδικότερα άρθρα και συγγράμματα της σχετικής βιβλιογραφίας (10). 3.1. Η φιλοσοφία και οι γενικές αρχές της κατάρτισης των καθηγητών των μαθηματικών Η «προετοιμασία για το εκπαιδευτικό έργο» καθορίζει επακριβέστερα από την έκφραση «κατάρτιση των εκπαιδευτικών» την όλη φιλοσοφία του εκπαιδευτικού μας μοντέλου. Με τη λέξη «κατάρτιση» συνήθως υποδηλώνεται μια υποταγή σε πρότυπα με αποτέλεσμα το εκπαιδευτικό μας σύστημα να παράγει «αντίγραφα» τέτοιων προτύπων, ενώ δεν είναι δυνατό να προκαθοριστεί το πορτραίτο του ιδανικού μελλοντικού εκπαιδευτικού. Ενώ, όταν μιλούμε για προετοιμασία μελλοντικών εκπαιδευτικών για να αναλάβουν εκπαιδευτικό έργο εννοούμε ότι θα προετοιμάσουμε τους φοιτητές να αναπτύξουν τρόπους σκέψης και δράσης με τους οποίους θα αντιμετωπίσουν μελλοντικές γνωστές και άγνωστες καταστάσεις και να αναπτύξουν και διαμορφώσουν στάσεις για το ρόλο τους στην εκπαιδευτική διαδικασία. Η παροχή σε κάθε μαθηματικό που θα εργαστεί στην εκπαίδευση ενός φάσματος γνώσεων, μεθόδων και τεχνικών που θα μπορεί να χρησιμοποιεί σύμφωνα με τις ανάγκες που του παρουσιάζονται αλλά και σύμφωνα με την προσωπικότητα του και το περιβάλλον μέσα στο οποίο διδάσκει καθώς και η βοήθεια να ξεκαθαρίσει ή να απαλλαγεί από εμπειρίες που μεταφέρει από τα μαθητικά του χρόνια απέχουν πολύ από μια «σκληρωτική» κατάρτιση. Συνεπώς, στη λέξη «κατάρτιση των καθηγητών των μαθηματικών», θα δίνουμε το νοηματικό περιεχόμενο «προετοιμασία των μαθηματικών για να αναλάβουν εκπαιδευτικό έργο». 2. Η παιδαγωγική κατάρτιση δεν θα αντικαταστήσει την μαθηματική γνώση. Δεν μπορεί να νοηθεί προετοιμασία δασκάλων των μαθηματικών όταν οι τελευταίοι ΔΕΝ ξέρουν μαθηματικά. 3. Η μαθηματική και παιδαγωγική κατάρτιση δεν πρέπει να βρίσκονται σε απλή παράθεση αλλά να συμπλέκονται και να ενοποιούνται με κάθε δυνατό τρόπο σε μία συνεκτική ολότητα.

6 4. Θεωρείται απαραίτητο στοιχείο της προετοιμασίας, η θεωρητική διδασκαλία των φοιτητών να συνδυάζεται με πρακτική εφαρμογή, η οποία όμως με κανένα τρόπο δεν θα θέσει σε κίνδυνο την προσωπικότητα ή τις γνώσεις των μαθητών πάνω στους οποίους θα επιχειρείται. 5. Κατά τη διάρκεια της κατάρτισης των μαθηματικών πρέπει να επιδιώκεται και να διευκολύνεται η επαφή και η επικοινωνία των φοιτητών με μαθητές και εκπαιδευτικούς που ανήκουν σε διάφορα σχολεία και όχι μόνο στα επιλεγμένα «πειραματικά σχολεία» Με τον τρόπο αυτό θα εμπλουτιστούν οι εμπειρίες και θα αναπτυχθούν προβληματισμοί, πράγματα αναγκαία για την ολοκληρωμένη προετοιμασία των φοιτητών πριν οι ίδιοι αναλάβουν υπεύθυνο εκπαιδευτικό έργο. 6. Αναζήτηση ενός «ισομορφισμού» μεταξύ του τρόπου κατάρτισης των φοιτητών μας και του τύπου αγωγής που θα κληθούν οι ίδιοι να δώσουν αργότερα ως καθηγητές. Πρέπει δηλαδή να προσέχουμε τον τρόπο της δικής μας διδασκαλίας, γιατί πολλά από τα στοιχεία που θα πάρει ο φοιτητής από μας, π.χ. τρόπο διδασκαλίας, αυταρχική ή δημοκρατική συμπεριφορά, υπευθυνότητα και συνέπεια στην εργασία, πιθανόν να τα χρησιμοποιήσει αργότερα ο ίδιος, ευσυνείδητα η όχι, ως Πρότυπα στο διδακτικό του έργο 7. Το εκπαιδευτικό μας μοντέλο θα πρέπει να έχει ως στόχο το σεβασμό των ιδιαιτεροτήτων και τη βελτίωση των επιμέρους ικανοτήτων των φοιτητών μας. Με κανένα τρόπο δεν πρέπει να επιδιώκεται οι μέλλοντες καθηγητές να αποτελέσουν αντίτυπα ενός αρχικού προτύπου. 8. Δεν είναι δυνατό να μιλούμε για επιμόρφωση εκπαιδευτικών χωρίς να έχει υπάρξει αρχικά βασικός κύκλος παιδαγωγικής κατάρτισης ούτε να μιλούμε για βασική κατάρτιση χωρίς να την εννοούμε ως μέρος ενός γενικότερου μοντέλου παιδαγωγικής κατάρτισης. Τόσο η αρχική προετοιμασία για το εκπαιδευτικό έργο όσο και οι επιμορφώσεις και η διαρκής κατάρτιση αποτελούν ιδιαίτερα, ανεξάρτητα αλλά και συμπληρωματικά τμήματα του αυτού μοντέλου παιδαγωγικής κατάρτισης στο χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης.. 9. Η παιδαγωγική κατάρτιση των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και αυτή των δασκάλων που θα διδάξουν τα μαθηματικά στην πρωτοβάθμια θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από κοινά στοιχεία αλλά και από επί μέρους διαφοροποιήσεις και εξειδικεύσεις. Ο δάσκαλος των μαθηματικών κάθε βαθμίδας πρέπει να έχει μια ολοκληρωμένη εικόνα της μαθηματικής εκπαίδευσης που δέχτηκαν (ή θα δεχτούν στη συνέχεια) οι μαθητές του. 10. Ο αριθμός των καθηγητών των μαθηματικών που θα περάσει μέσα από το μοντέλο αυτό της παιδαγωγικής κατάρτισης θα πρέπει να φτάσει ένα κρίσιμο σημείο ώστε να είναι δυνατή η παρακολούθηση αλλαγών και

7 βελτιώσεων στην αποτελεσματικότητα της μαθηματικής μας εκπαίδευσης. Μοντέλο κατάρτισης που δεν θα μπορέσει να εκπαιδεύσει «αρκετούς» φοιτητές ίσως να μην αποκτήσει ποτέ εκροή τέτοια που να επιτύχει την ύπαρξη κρίσιμου μάζας καθηγητών των μαθηματικών οι οποίοι θα μπορέσουν να βελτιώσουν το επίπεδο της παρεχόμενης μαθηματικής εκπαίδευσης (11). 3. 2. Τα στάδια, η διάρκεια και το περιεχόμενο της εκπαίδευσης των καθηγητών των μαθηματικών Η όλη κατάρτιση των μαθηματικών θα μπορούσε να χωριστεί στα πιο κάτω μέρη (Διάγραμμα 1): α) Τη βασική κατάρτιση που θα παρέχεται καθόλη ή κατά το μεγαλύτερο μέρος της βασικής πανεπιστημιακής φοίτησης των μαθηματικών. Το πρώτο μέρος της κατάρτισης αυτής θα έχει ως στόχο την ευαισθητοποίηση και τον προβληματισμό των φοιτητών στο διδακτικό έργο που αργότερα θα αναλάβουν. Το στάδιο αυτό θα ακολουθεί η περίοδος εκμάθησης των παιδαγωγικών μεθόδων και τεχνικών και στη συνέχεια θα ακολουθεί η περίοδος «ανάληψης ευθυνών» όπου ο φοιτητής θα αναλάβει το ρόλο του δασκάλου. β) Τις επιμορφώσεις. Οι επιμορφώσεις θα γίνονται κατά τακτά χρονικά διαστήματα από κρατικά ιδρύματα (Π.Ε.Κ.) και θα έχουν άμεση σχέση με το διδακτικό του έργο. Στόχος τους θα είναι η σύνδεση των εμπειριών του καθηγητή των μαθηματικών με τις θεωρίες που προηγούμενα, ως φοιτητής διδάχτηκε, η ανταλλαγή εμπειριών και προβληματισμών με συναδέλφους και η ενημέρωση στις εξελίξεις της εκπαιδευτικής τεχνολογίας, της διδακτικής των μαθηματικών κ.λπ. Βασικό στοιχείο της επιμόρφωσης θα πρέπει να είναι ο συνδυασμός της με την παιδαγωγική έρευνα στο χώρο της διδακτικής των μαθηματικών (όπως π.χ. γίνεται στα IRΕΜ της Γαλλίας (12), οι εμπειρίες των οποίων θα μπορούσαν να μας φανούν πολύ χρήσιμες). Η χρονική διάρκειά των επιμορφώσεων θα πρέπει να επιτρέπει την επίτευξη των πιο πάνω στόχων αλλά παράλληλα να δίνει τη δυνατότητα για επιμόρφωση σε όσο το δυνατό μεγαλύτερο αριθμό μαθηματικών. Το αν η επιμόρφωση θα γίνεται παράλληλα με την άσκηση του διδακτικού έργου του επιμορφούμενου, (μειωμένο ωράριο εργασίας, ελεύθερες ορισμένες ημέρες της εβδομάδας κ.λπ.), ή αν θα αποτελεί την αποκλειστική του απασχόληση, είναι θέματα που συζητούνται και αντιμετωπίζονται διαφορετικά από τα διάφορα κράτη των Ευρωπαϊκών Κοινοτήτων. Η συνήθης διάρκεια περιοδικής επιμόρφωσης κυμαίνεται από μερικούς μήνες έως ένα διδακτικό έτος (1). γ) Τη διαρκή ενημέρωση και ανταλλαγή εμπειριών. Οι επιμορφώσεις είναι αδύνατο να επαναλαμβάνονται χωρίς να περάσει ένας ορισμένος

8 αριθμός ετών. Οι μεταβολές και τα προβλήματα που στο μεταξύ προκύπτουν θα μπορούσαν να αντιμετωπιστούν από τους καθηγητές των μαθηματικών, χωρισμένους σε ομάδες σύμφωνα με την περιοχή που βρίσκονται τα σχολεία που υπηρετούν υπό την καθοδήγηση εμπείρων συναδέλφων τους που έχουν ειδικά εκπαιδευτεί για να συντονίζουν τις ομάδες αυτές και να δίνουν κάποιες αρχικές λύσεις σε επιμέρους προβλήματα. δ) Τη μετεκπαίδευση και εξειδίκευση καθηγητών μαθηματικών που θα γίνεται σε μεταπτυχιακό επίπεδο μέσα σε Πανεπιστημιακές Σχολές και θα έχει ως ένα από τους στόχους της να τροφοδοτεί τόσο τις Πανεπιστημιακές Σχολές όσο και τα κέντρα επιμόρφωσης με εξειδικευμένους εκπαιδευτές. Παράλληλα οι εξειδικευμένοι εκπαιδευτικοί θα τροφοδοτούν με δυναμικό τα κέντρα παιδαγωγικής έρευνας και τεκμηρίωσης και θα καλύπτουν διάφορες άλλες ανάγκες του Υπουργείου Παιδείας. Το μοντέλο βασικής κατάρτισης και διαβίου επιμόρφωσης των καθηγητών των μαθηματικών θα πρέπει να πείθει τους μαθηματικούς για τη σημασία που θα έχουν τα εφόδια που θα τους παρέχει στην άσκηση του συγκεκριμένου διδακτικού τους έργου. Θα πρέπει επίσης να είναι εφοδιασμένο με ένα σύστημα αξιολόγησης και ανατροφοδότησης, ώστε να βελτιώνεται και να προσαρμόζεται συνεχώς στις ανάγκες που καλείται να θεραπεύσει. 4. Ο ρόλος των ΕΜΕ στα προγράμματα κατάρτισης και επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών. Η κατάρτιση ενός προγράμματος προετοιμασίας για το εκπαιδευτικό έργο των καθηγητών των μαθηματικών είναι βέβαια έργο του ΥΠΕΠΘ και του Π.Ι. και η ΕΜΕ όμως καλείται με την πείρα και τις ειδικές γνώσεις των μελών της και τις διασυνδέσεις της με την παγκόσμια κοινότητα των μαθηματικών να παίξει το ρόλο του ειδικού συμβούλου και του αρωγού στην εκπόνηση και στην εφαρμογή ενός τέτοιου σχεδίου (Διάγραμμα 2). Ανάλογες δραστηριότητες και πρωτοβουλίες έχουν αναπτύξει αντίστοιχοι οργανισμοί σε άλλες χώρες (14). Παράλληλα όμως με την εκπόνηση ενός τέτοιου σχεδίου πρέπει να μελετηθεί βραχυπρόθεσμο πρόγραμμα βασικής παιδαγωγικής κατάρτισης των μαθηματικών που υπηρετούν στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση αλλά και μαθηματικής κατάρτισης για τους εκπαιδευτικούς που διδάσκουν μαθηματικά στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Τέλος, σύμφωνα με την βασική αρχή [3.1.6] θα πρέπει να συνηγορήσει και να διευκολύνει κάποια γενική διδακτική κατάρτιση όσων διδάσκουν σε μαθηματικές σχολές και δεν είχαν ποτέ τους την ευκαιρία να δεχτούν πέρα από τις ειδικές μαθηματικές τους σπουδές και κάποιες σπουδές ψυχοπαιδαγωγικού χαρακτήρα.

9 5. Περίληψη Οι βασικές ψυχοπαιδαγωγικές σπουδές των καθηγητών των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης κυμαίνονται από στοιχειώδεις έως ανύπαρκτες. Οι μαθητές παρατηρούν ότι οι καθηγητές των μαθηματικών δυσκολεύονται να επεξηγήσουν τις ενότητες που τους διδάσκουν, ώστε τα μαθηματικά να γίνουν πιο κατανοητά. Οι ίδιοι οι καθηγητές αναφέρουν ότι συναντούν δυσκολία στην ανεύρεση καταλλήλων παραδειγμάτων και τρόπων προσέγγισης στα μαθηματικά που διδάσκουν. Πιστεύουμε ότι το στοιχείο που λείπει από τους καθηγητές των μαθηματικών είναι η βασική κατάρτιση στο χώρο της διδακτικής των μαθηματικών. Για το σκοπό αυτό προτείνονται οι βασικές αρχές και τα στάδια ενός μοντέλου κατάρτισης και διαρκούς επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών που θα διδάξουν τα μαθηματικά στο χώρο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Σχετικά βλέπε το βιβλίο του R.W. Copeland, How Children learn mathematics. Teaching iplications of Piaget s research, Macmillan, New York 1974. Με βάση τα πορίσματα του Piaget έχουν γραφεί και τα νέα σχολικά βιβλία των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου. Στοιχεία από τη θεωρία και την πρακτική της διδασκαλίας και της μάθησης αναφέρονται στα «βιβλία του δασκάλου», σε έξι τόμους ένας για κάθε τάξη από Α έως ΣΤ Δημοτικού. Επίσης βλ. Γιάννης Σαλβαράς, «Διδακτική μαθηματικών του δημοτικού σχολείου, Εκδόσεις Εκπαιδευτηρίων Κωστέα Γείτονα, Αθήνα, (χ.η.). 2. Βλ. R.R. Skemp, The psychology of learning mathematics, Penguin Books, 1982. σ. 13 14. 3. Βλ. R.R. Skemp, The psychology... ο.π. σ. 24 31. Για την εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών βλ. R.L. Wilder, Η εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών, στη σειρά The open University, Π. Κουτσουμπός Α.Ε., Αθήνα 1986 και H. Eves, Μεγάλες Στιγμές των μαθηματικών, Εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα. 4. Το απόσπασμα αυτό αναφέρεται στο έργο του W.H. Cockroft, Mathematics counts. HMSO, London, Seventh impression 1986, σ. 188. Στο ίδιο σύγγραμμα γίνεται εκτενής αναφορά στο σύστημα εκπαίδευσης και επιμόρφωσης των καθηγητών των μαθηματικών στο Ενωμένο Βασίλειο. 5. Βλ. R. Skemp, ο.π. σ. 67. 6. Για περισσότερα στοιχεία της διαδικασίας της έρευνας καθώς και για τα αναλυτικά αποτελέσματά της βλ. Α. Ι. Χατζηγεωργίου, Μελέτη των

10 στάσεων των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά, Διδακτορική Διατριβή, Αθήνα 1988. 7. Βλέπε το άρθρο του Δ. Παπαδόπουλου, Το... «καταλάβαμε κ. καθηγητά...» και οι ποιότητες της κατανόησης στα μαθηματικά. Νέα Παιδεία, Τεύχος 13, Αθήνα 1980. Επίσης στο βιβλίο του R. Skemp ο.π. σ. 46 51. 8. Για την έννοια του παραπρογράμματος, στη γενική του μορφή, βλ. άρθρο του Γ. Μαυρογιώργου «Σχολικό Πρόγραμμα και παραπρόγραμμα» στη Σύγχρονη Εκπαίδευση, Τεύχος 13, 1983, καθώς και Γ. Μαρμαρινού, «Το Παραπρόγραμμα», Αθήνα 1984. Ειδικότερα άρθρα γιο το παραπρόγραμμα στα μαθηματικά είναι του Ormell, Is there a hidden curriculum in mathematics, στο σύγγραμμα του C. Richard Richards (Ed.) Power and the Curriculum, Nafferton Books, Driffield, 1978, σ. 109 116, καθώς και στο Foundations of Cognitive Theory and Research for Mathematics Problem Solving Instruction του Ε.Α. Silver, στο σύγγραμμα του Α. Schoenfeld, Cognitive Science and Mathematics education LEA Inc. 1987, σ. 57. 9. Βλ. την εργασία των μαθηματικών της ΣΕΛΜΕ Αθηνών 1985 1986, «Το βιβλίο του καθηγητή στα μαθηματικά», Πρακτικά Γ Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, ΕΜΕ 1986, σ. 87 103. 10. Για την βασική κατάρτιση και επιμόρφωση των εκπαιδευτικών βλ. Maurice Debesse και Gaston Mialaret, «Οι παιδαγωγικές Επιστήμες», Εκδόσεις Δίπτυχο, Αθήνα 1985, Τόμος Έβδομος, τις εργασίες των J. Vial «Το παρελθόν και το παρόν της εκπαίδευσης των δασκάλων», σ. 232 293, καθώς και του G. Mialaret «Αρχές και σταθμοί της κατάρτισης των εκπαιδευτικών» σ. 340 367, «Μέθοδοι και τεχνική της κατάρτισης των εκπαιδευτικών», σ. 340 367, «Μέθοδοι και τεχνική της κατάρτισης των εκπαιδευτικών», σ. 371 395. Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στο G. Mialeret, La Formation des Enseignants PUF, 2 ed. 1983, καθώς και Π. Πολυχρονόπουλου «Το πρόβλημα της Εκπαίδευσης των εκπαιδευτικών και η ριζική λύση του» Αθήνα 1982. Αξιόλογοι προβληματισμοί και προτάσεις περιέχονται και στα Πρακτικά του Β Πανελλήνιου Συνεδρίου του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της ΕΜΕ «Αξιολόγηση Εκπαιδευτικού Έργου, Μετεκπαίδευση και Επιμόρφωση του Μαθηματικού» Πρακτικά, Θεσ/νίκη 1989. 11. Το ζήτημα της «κρισίμου μάζας» και γενικότερα της επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών στις 12 χώρες της Ευρωπαϊκής Κοινότητας αναλύεται στην εργασία των V. Blackburn και C. Moisan, The In service training of teachers in the twelve member states of the European Community Eurydice European Unit, 1987. 12. Για την εργασία των IREM βλ. Θ. Γαγάτση, «Πειραματική Διδακτική των Μαθηματικών», Σύγχρονη Εκπαίδευση, Τεύχη 35, 36, 37, (1987), καθώς

11 και εργασία του ίδιου για τα IREM στο περιοδικό, ΔΙΑΣΤΑΣΗ, Τεύχος 2, Θεσ/νίκη 1987. 13. Περισσότερες λεπτομέρειες για το χρόνο επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών καθώς και για τα συστήματα που ακολουθεί κάθε χώρα της Ευρωπαϊκής Κοινότητας βλ. την εργασία των Blackburn και C. Moisan ο.π. στο διάγραμμα 6. 14. Το N.C.T.M. κάνει ολοκληρωμένες προτάσεις για αναλυτικά προγράμματα στα μαθηματικά της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης των Η.Π.Α. Για τη δεκαετία 1990 2000, κυκλοφόρησε το έργο του Curriculum and Evaluation Preparing Elementary School Mathematics Teachers..., Problem Solving: Tips for Teachers...κ.λπ., έχουν ως στόχο να βοηθήσουν τη βασική κατάρτιση και την διαρκή επιμόρφωση των εκπαιδευτικών που διδάσκουν τα μαθηματικά σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης. ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Ο καθηγητής μας των μαθηματικών... a)...κατέχει την ύλη που μας διδάσκει. 81% b)...μπορεί και μας μεταδίδει αυτό που θέλει να μας διδάξει. 54% c)...με τον τρόπο που διδάσκει μας κάνει να συμπαθήσουμε τα μαθηματικά. 53% Πίνακας 1. Τί πιστεύουν οι μαθητές της Α και Β Λυκείου για τους καθηγητές τους, των μαθηματικών, (Ν = 833). Ο μαθητής βρίσκει ότι τα μαθηματικά είναι ένα μάθημα που...: Συμφωνούν d)...μπορεί και καταλαβαίνει. 52% e)...μπορεί και συγκρατεί. 34% Πίνακας 2. Τί πιστεύουν οι μαθητές της Α και Β Λυκείου για το μάθημα των μαθηματικών, (Ν = 833). = ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ (Πίνακες 1 & 2) Συντελεστές Συσχέτισης a b c d 12 27 31 e 11 22 26 Πίνακας 3. Συντελεστές συσχέτισης μεταξύ των απαντήσεων των μαθητών στις προτάσεις των πινάκων 2 και 3 (r x 100).

12