ήµητρα Χριστοπούλου Συλλογικός τόµος Στιγµές και ιάρκειες (2009) επιµέλεια:. Αναπολιτάνος

ήµητρα Χριστοπούλου Συλλογικός τόµος Στιγµές και ιάρκειες (2009) επιµέλεια:. Αναπολιτάνος Οι αφαιρετικές αρχές του Frege ως διέξοδος στο δίληµµα του Benacerraf Εισαγωγή Το άρθρο αυτό παρουσιάζει τη λύση που προτείνεται από το πρόγραµµα του Νεολογικισµού/Νεοφρεγκεανισµού στο δίληµµα του Benacerraf (1973). Μετά από µια σύντοµη παρουσίαση του διλήµµατος και των προσπαθειών που έχουν καταβληθεί για την αντιµετώπισή του, το άρθρο αναφέρεται διεξοδικά στην πρόταση των Hale και Wright για τη λύση του διλήµµατος, µε στόχο να αναδειχθούν τα κυριότερα πλεονεκτήµατά της έναντι παλαιότερων προτάσεων. Ο βαθµός επιτυχίας της εν λόγω πρότασης κρίνεται µε βάση το κατά πόσο µπορεί να συνδυάσει τη ρεαλιστική της θέση µε µια απάντηση στο γνωσιολογικό ερώτηµα για τα µαθηµατικά. Στο τέλος του άρθρου γίνεται αναφορά στις δυσκολίες που αντιµετωπίζει η νεοφρεγκεανή πρόταση για την αντιµετώπιση του διλήµµατος. Α. Παρουσίαση του διλήµµατος. Ενα άρθρο του Paul Benacerraf µε τίτλο «Mathematical Truth» 1 προκάλεσε µεγάλη συζήτηση στο χώρο της φιλοσοφίας των µαθηµατικών από τη δεκαετία του '70 και µετά. Τo πρόβληµα που παρουσιάζει ο Benacerraf στο άρθρο αυτό συνήθως αναφέρεται ως «δίληµµα». Ο αρθρογράφος εκφράζει τον προβληµατισµό του σχετικά µε το αν είναι δυνατή µια προσέγγιση της µαθηµατικής αλήθειας τέτοια ώστε να εναρµονίζεται µε µια εξίσου ικανοποιητική γνωσιολογία για τα µαθηµατικά 2. ιατυπώνει τη γνώµη ότι η αντιµετώπιση του θέµατος της µαθηµατικής αλήθειας ακολουθεί δύο κυρίως προσεγγίσεις. Η πρώτη προσέγγιση επιδιώκει µια ενιαία σηµασιολογία για τις µαθηµατικές και τις εµπειρικές προτάσεις της επιστηµονικής µας γλώσσας αλλά δεν έχει καταφέρει να δώσει παράλληλα µια ικανοποιητική απάντηση στο ερώτηµα πώς είναι δυνατή η µαθηµατική γνώση ενώ η δεύτερη προσέγγιση 1 Benacerraf, P. (1973), «Mathematical Truth», Journal of Philosophy, 70, σσ. 661-79, έχει αναδηµοσιευθεί στον τόµο των Benacerraf, P. & Putnam, H. (1983), Philosophy of Mathematics, 2nd edition, Cambridge, Cambridge University Press, σσ. 403-420 Οι παραποµπές στο άρθρο θα ακολουθούν την αναδηµοσίευση στον τόµο των Benacerraf & Putnam (ως [3]). 2 Εδώ δεν θα ασχοληθούµε καθόλου µε το έτερον δίληµµα του Benacerraf (1965) που επιχειρεί να πλήξει το µαθηµατικό ρεαλισµό από σηµασιολογική άποψη

αντιµετωπίζει ικανοποιητικά το γνωσιολογικό πρόβληµα για τα µαθηµατικά αλλά εις βάρος της σηµασιολογίας ([3], 403). Πιο συγκεκριµένα, η πρώτη προσέγγιση αντιµετωπίζει οµοιόµορφα τις µαθηµατικές και τις εµπειρικές προτάσεις σε ότι έχει σχέση µε ενικούς όρους, κατηγορήµατα, ποσοδείκτες κλπ. και τη σηµασιολογία τους. Ο Benacerraf δίνει ως παράδειγµα τις προτάσεις (1) Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις µεγάλες πόλεις παλαιότερες από τη Νέα Υόρκη. (2) Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις τέλειοι αριθµοί µεγαλύτεροι από τον 17. Η µαθηµατική πρόταση (2) έχει την ίδια γραµµατολογική δοµή µε την εµπειρική πρόταση (1) και οι συνθήκες αλήθειάς της προσδιορίζονται µε τρόπο όµοιο µε τις συνθήκες αλήθειας της εµπειρικής πρότασης, παρά τις όποιες επί µέρους διαφορές. Η πρόταση (2) είναι αληθής, αν και µόνο αν, τρία τουλάχιστον αντικείµενα από το σύµπαν το οποίο διατρέχει ο υπαρκτικός ποσοδείκτης, τα οποία επιπλέον ικανοποιούν τις αντίστοιχες ιδιότητες, βρίσκονται στη σχέση αντικείµενο 17.... µεγαλύτερο από... µε το Το είδος προσέγγισης που εξοµοιώνει λογικά την µαθηµατική πρόταση (2) µε την εµπειρική πρόταση (1), αναφέρεται από τον Benacerraf ([3], 410) ως η «καθιερωµένη» ή «κλασική» 3 («standard») προσέγγιση και είναι αυτή που συνοδεύει τη θέση του µαθηµατικού πλατωνισµού-ρεαλισµού 4. Αξιοσηµείωτο είναι το γεγονός ότι σύµφωνα µ' αυτή την προσέγγιση, οι αριθµοί αντιµετωπίζονται ως αντικείµενα στα οποία αναφέρονται οι ενικοί όροι της πρότασης. Ο όρος 17 στο παραπάνω παράδειγµα, λειτουργεί στην πρόταση (2) όπως και ο όρος Νέα Υόρκη στην πρόταση (1), δηλ. και στις δύο περιπτώσεις οι όροι αυτοί αντιστοιχούν σε αντικείµενα. Ο Benacerraf πιστεύει ότι, µέσω της καθιερωµένης προσέγγισης, έχουµε «τµήµατα της ίδιας γλώσσας για τα οποία παρέχουµε µια ενιαία αντιµετώπιση των ποσοδεικτών» ([3], 411), ανεξάρτητα από την επί µέρους περιοχή (µαθηµατική ή εµπειρική) που κάθε φορά µας ενδιαφέρει. Η ίδια θεωρία λογικογραµµατικής ανάλυσης που υιοθετούµε για άλλες περιοχές της γλώσσας µας µπορεί να εφαρµοστεί και για τα µαθηµατικά, άρα δεν χρειάζεται να επινοήσουµε γι αυτά κάποια άλλη. Όπως τονίζει χαρακτηριστικά ο Benacerraf, το πλεονέκτηµα της καθιερωµένης προσέγγισης είναι η οικονοµία αφού οι λογικές σχέσεις της γλώσσας και οι κανόνες της αναφοράς υπόκεινται σε ενιαίο χειρισµό. Η δεύτερη προσέγγιση δεν αντιµετωπίζει οµοιόµορφα τις προτάσεις (1) (2). O προσδιορισµός των συνθηκών αλήθειας της µαθηµατικής πρότασης επιτυγχάνεται απλώς και µόνο χάρη στην τυπική παραγωγή των µαθηµατικών προτάσεων από συγκεκριµένα σύνολα αξιωµάτων. Αυτό που χαρακτηρίζει τη δεύτερη 3 Χρησιµοποιείται επίσης και ο όρος σταθεροτυπική βλ. [17], 248 4 Η φιλοσοφική θέση που υποστηρίζει την ύπαρξη µιας ανεξάρτητης από το νου µαθηµατικής πραγµατικότητας, δηλ. µιας πραγµατικότητας την οποία ο µαθηµατικός ανακαλύπτει και δεν επινοεί. και

προσέγγιση είναι η υποβάθµιση της έννοιας της αλήθειας έναντι της έννοιας της απόδειξης και η υποβάθµιση του σηµασιολογικού επιπέδου έναντι του συντακτικού. Στην προσέγγιση αυτή, ο Benacerraf δίνει την ονοµασία «συνδυαστική» («combinatorial»). Παραδείγµατα συνδυαστικής προσέγγισης είναι η συµβασιοκρατική και η φορµαλιστική αντίληψη για τα µαθηµατικά. Οπως αναφέρει χαρακτηριστικά ο Benacerraf, η διάκριση µεταξύ καθιερωµένης και συνδυαστικής προσέγγισης τονίζει µία υπάρχουσα διαφορά ανάµεσα σε: «εκείνες τις απόψεις οι οποίες αποδίδουν την προφανή σύνταξη (και την προφανή σηµασιολογία) στις µαθηµατικές προτάσεις και σ'εκείνες τις απόψεις, οι οποίες, αγνοώντας την φανερή σύνταξη και σηµασιολογία, επιχειρούν να περιγράψουν συνθήκες αλήθειας (ή να προσδιορίσουν και να δικαιολογήσουν την υπάρχουσα κατανοµή τιµών αλήθειας) στη βάση συντακτικών αλλά µη σηµασιολογικών θεωρήσεων» ([3], 407). Η διαφορά είναι ουσιαστική, αν σκεφθούµε ότι για την «καθιερωµένη» προσέγγιση, δεν αρκεί µια πρόταση να αποτελεί θεώρηµα σε κάποιο τυπικό σύστηµα αλλά χρειάζεται επιπλέον να υπάρχει σαφής εξήγηση για το πώς η ιδιότητα του θεωρήµατος («theoremhood») συνδέεται µε την έννοια της αλήθειας. Προϋποτίθεται δηλαδή µια σύνδεση του συντακτικού µε το σηµασιολογικό επίπεδο. Στη συνέχεια ο Benacerraf διατυπώνει την εξής απαίτηση: για να είναι πλήρης και ολοκληρωµένη µια φιλοσοφική θεώρηση για τα µαθηµατικά, χρειάζεται να καλύπτει ικανοποιητικά και να εναρµονίζει δύο άξονες: τον άξονα της σηµασιολογίας και τον άξονα της γνωσιολογίας. Αν όµως εξετάσουµε τις δύο προσεγγίσεις των µαθηµατικών που αναφέρθηκαν, θα παρατηρήσουµε ότι καλύπτουν µόνο τον ένα από τους δύο άξονες. ηλαδή η καθιερωµένη προσέγγιση είναι επαρκής ως προς τον σηµασιολογικό άξονα εις βάρος του γνωσιολογικού ενώ η συνδυαστική προσέγγιση είναι επαρκής ως προς τον γνωσιολογικό άξονα εις βάρος του σηµασιολογικού. Πράγµατι, στο ερώτηµα σχετικά µε το πώς γνωρίζουµε τις µαθηµατικές αλήθειες, η δεύτερη προσέγγιση (η «συνδυαστική») υπερτερεί. Η απάντηση στο γνωσιολογικό ερώτηµα είναι απλή: γνωρίζουµε νέες µαθηµατικές προτάσεις, αποδεικνύοντάς τες από άλλες προτάσεις και αξιώµατα. Οπως εξηγεί ο Benacerraf, «η δύναµη των συνδυαστικών προσεγγίσεων βρίσκεται στο ότι αντιµετωπίζουν τις µαθηµατικές προτάσεις µε βάση τις διαδικασίες που ακολουθούµε όταν δικαιολογούµε τις απαιτήσεις αλήθειας στα µαθηµατικά: δηλαδή τις διαδικασίες απόδειξης. εν µας εκπλήσσει το γεγονός ότι µέσω αυτών των προσεγγίσεων της µαθηµατικής αλήθειας, πολύ λίγο µυστήριο καλύπτει τον τρόπο απόκτησης µαθηµατικής γνώσης. Χρειάζεται µόνο εξήγηση για την ικανότητά µας να παράγουµε και να διατηρούµε τυπικές αποδείξεις» ([3], 407). Αντίθετα η «καθιερωµένη» προσέγγιση, σε ότι αφορά το γνωσιολογικό ερώτηµα, υστερεί δραµατικά διότι δεν εξηγεί πώς είναι δυνατή η µαθηµατική γνώση. Τα υποτιθέµενα µαθηµατικά αντικείµενα, που υποδηλώνονται από τους αριθµητικούς όρους των

αληθών µαθηµατικών προτάσεων (όπως για παράδειγµα το αντικείµενο 17 στην πρόταση (2)) βρίσκονται εκτός χωροχρονικού πλαισίου και κατά συνέπεια υπερβαίνουν τους «συνήθεις» τρόπους γνωστικής πρόσβασης στα πράγµατα: δεν είναι αιτιακώς ενεργά, δεν βρισκόµαστε µαζί τους σε κάποιου τύπου αιτιακή ή άλλη φυσική αλληλεπίδραση, δεν µπορούµε να τα αντιληφθούµε αισθητηριακά. Οπως αναφέρει χαρακτηριστικά ο Benacerraf, «βρίσκονται πέρα από τα όρια του καλύτερα κατανοητού µέσου της ανθρώπινης γνωστικής ικανότητας» ([3], 407) και αποτελεί µυστήριο ο τρόπος µε τον οποίο τα γνωρίζουµε. Κατά συνέπεια, ποια από τις δύο προσεγγίσεις θα έπρεπε να επιλέξουµε; την καθιερωµένη που παρουσιάζει σηµαντικά πλεονεκτήµατα στον σηµασιολογικό τοµέα αλλά δεν διαθέτει µια εύλογη απάντηση στο γνωσιολογικό πρόβληµα για τα µαθηµατικά ή την συνδυαστική προσέγγιση η οποία απαντά µε τετριµµένο τρόπο στο γνωσιολογικό ερώτηµα αλλά υστερεί ως προς την σηµασιολογία; Αυτός είναι και ο λόγος που ο συγκεκριµένος προβληµατισµός του Benacerraf αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως «δίληµµα». Το απαισιόδοξο συµπέρασµα του άρθρου είναι ότι η ζητούµενη ενιαία και ολοκληρωµένη φιλοσοφική θεώρηση για τα µαθηµατικά δεν έχει βρεθεί. Το αισιόδοξο µήνυµα του άρθρου είναι ότι εκφράζεται η ελπίδα πως αυτό θα αποτελέσει έναυσµα για περαιτέρω προσπάθειες εναρµόνισης του σηµασιολογικού και του γνωσιολογικού άξονα στη φιλοσοφία των µαθηµατικών. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το άρθρο του Benacerraf θεωρήθηκε ως ένα βασικό επιχείρηµα των αντιρεαλιστών φιλοσόφων κατά του µαθηµατικού πλατωνισµούρεαλισµού, ο οποίος υιοθετεί κατά κανόνα την καθιερωµένη προσέγγιση στη µαθηµατική αλήθεια. Οι αντιρεαλιστές επαναλαµβάνουν συχνά στα κείµενά τους την αδυναµία της ρεαλιστικής προσέγγισης να εξηγήσει πώς είναι δυνατή η γνωστική πρόσβαση στη µαθηµατική αλήθεια σχετικά µε αντικείµενα που είναι χωροχρονικά αποµονωµένα και αιτιακώς αδρανή. Βέβαια, οφείλουµε να σηµειώσουµε ότι ο ίδιος ο Benacerraf άσκησε κριτική τόσο στην καθιερωµένη όσο και στη συνδυαστική προσέγγιση, υποδεικνύοντας τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα και των δύο. Θεωρούσε όµως τη σηµασιολογία της καθιερωµένης προσέγγισης ως την συστηµατικότερη και επιτυχέστερη ([3], 411). Πίστευε, κατά συνέπεια, ότι θα συνιστούσε απώλεια το να την απορρίψουµε. Μάλλον θα έπρεπε να αναζητήσουµε µια θεώρηση, η οποία αφενός να κινείται στο πλαίσιο της καθιερωµένης προσέγγισης στο επίπεδο της σηµασιολογίας και αφετέρου να προσφέρει µια ικανοποιητική απάντηση το γνωσιολογικό πρόβληµα. Αλλά ποια θα ήταν αυτή; Β. Απόπειρες απάντησης στο δίληµµα. Η πρόκληση που δηµιούργησε στον φιλοσοφικό κόσµο το άρθρο «Mathematical Truth», οδήγησε σε διάφορες προσπάθειες των ρεαλιστών φιλοσόφων για βελτίωση

της δικής τους θέσης µε την αναζήτηση µιας, όσο το δυνατόν, πιο ικανοποιητικής εξήγησης για τη γνωσιολογία των µαθηµατικών 5. O ίδιος ο Benacerraf είχε θεωρήσει ως χαρακτηριστική εκπρόσωπο της καθιερωµένης προσέγγισης τη ρεαλιστική αντίληψη του Goedel, στην οποία και άσκησε δριµεία κριτική. Σύµφωνα µε αυτή την αντίληψη, τα σύνολα έχουν ύπαρξη ανεξάρτητη από τους ορισµούς και τις νοητικές κατασκευές µας και οι στοιχειώδεις αλήθειες που τα αφορούν, µπορούν να συλληφθούν απευθείας από το νού και να αποτελέσουν τη βάση για συνθετότερες µαθηµατικές αλήθειες. Ο Goedel υποστήριζε ότι η υπόθεση της ύπαρξης τέτοιων αντικειµένων όπως τα µαθηµατικά σύνολα, είναι τόσο νόµιµη όσο και η υπόθεση της ύπαρξης φυσικών σωµάτων. Τα σύνολα είναι τόσο αναγκαία προκειµένου να συγκροτηθεί ένα ικανοποιητικό σύστηµα για τα µαθηµατικά, όσο είναι αναγκαία και τα φυσικά αντικείµενα για να συσταθεί µια φυσική θεωρία για τα αποτελέσµατα της ασθητηριακής µας αντίληψης. Επίσης, σε ότι αφορά τα στοιχειώδη αξιώµατα της θεωρίας συνόλων, ο Goedel έγραφε ότι αυτά έχουν τη δύναµη να «επιβάλλονται πάνω µας ως αληθινά» ([3], 484) και ότι στην περίπτωση των µαθηµατικών, διαθέτουµε ένα είδος γνωστικής ικανότητας που παίζει ρόλο ανάλογο µε αυτόν της αισθητηριακής αντίληψης. Την ικανότητα αυτή αποκαλούσε «εποπτεία-ενόραση» («intuition») 6. Επίσης επέκτεινε περαιτέρω την αναλογία µεταξύ µαθηµατικών και φυσικής επιστήµης, υποστηρίζοντας ότι: ενώ στο στοιχειώδες επίπεδο και των δύο περιοχών συλλαµβάνουµε τις στοιχειώδεις αλήθειες µε βάση είτε την αισθητηριακή αντίληψη (στην περίπτωση της φυσικής) είτε τη µαθηµατική εποπτεία (στην περίπτωση των µαθηµατικών), σε ένα υψηλότερο από θεωρητική άποψη επίπεδο, αξιολογούµε και αποδεχόµαστε ένα πλήθος σύνθετων και πολύπλοκων προτάσεων µε βάση τον τρόπο µε τον οποίο φωτίζουν µια ολόκληρη επιστηµονική περιοχή και µε κριτήριο τη γονιµότητα και την αποτελεσµατικότητά τους στην επίλυση προβληµάτων της θεωρίας ([3], 477). Η µαθηµατική εποπτεία δέχτηκε τα πυρά πολλών φιλοσόφων αλλά βρήκε συγχρόνως και υποστηρικτές. Εκτός από τον Benacerraf που παρουσίασε το έλλειµµα που υπήρχε στην αντίληψη του Goedel, λόγω της µη πειστικής δικαιολόγησης του τρόπου γνώσης των µαθηµατικών αληθειών, και άλλοι φιλόσοφοι πχ. οι Charles Chihara και Michael Dummett άσκησαν κριτική στην µαθηµατική εποπτεία. Την χαρακτήρισαν «χαλαρή εξήγηση», «µυστικιστική εµπειρία» ή «φιλοσοφική δεισιδαιµονία» 7. Από την άλλη πλευρά υπήρξαν όµως και οι υποστηρικτές του Goedel. Ενα τέτοιο παράδειγµα είναι ο Jerrold Katz (1995) που 5 Για τις απόπειρες αντιµετώπισης του διλήµµατος βλ. πιο λεπτοµερή παρουσίαση και κριτική στο [18] 6 Βλ. πχ. Goedel, Κ. (1947) What is Cantor s continuum problem?, Τhe American Mathematical Monthly, 54, 515-525. Για τον µαθηµατικό ρεαλισµό του Goedel, βλ. επίσης [1], 41-44 7 Για την κριτική στη µαθηµατική εποπτεία, βλ. Chihara, C., (1982), «A Goedelian Thesis Regarding Mathematical Objects. Do they exist? And Can We Perceive Them?», Philosophical Review, 91 και Dummett, M., (1978), Truth and Other Enigmas, Cambridge, Harvard University Press

πίστευε ότι οι γνωστικές µας ικανότητες συµπεριλαµβάνουν µία γνωστική λειτουργία όπως η εποπτεία, που επιτυγχάνει την άµεση κατανόηση της δοµής των αφηρηµένων αντικειµένων. Θεώρησε επίσης ότι αυτή είναι πηγή της µη εµπειρικής γνώσης και ότι δεν έχει καµιά σχέση µε οποιαδήποτε αιτιακού ή άλλου τύπου δράση των αντικειµένων αυτών πάνω στον γνώστη. Πρόκειται για µια άµεση νοητική πράξη του καθαρού λόγου που συνδέει απευθείας τον γνώστη µε την πραγµατικότητα και συλλαµβάνει τις ιδιότητες και τις σχέσεις των αφηρηµένων αντικειµένων 8. Ο James Robert Brown υπερασπίστηκε επίσης τον γκεντελιανό µαθηµατικό ρεαλισµό. Ο Brown επιχειρηµατολόγησε στη βάση της αναλογίας µεταξύ µαθηµατικής εποπτείας και αισθητηριακής αντίληψης και γενικότερα της αναλογίας µεταξύ µαθηµατικών και φυσικής επιστήµης. Θεώρησε την ύπαρξη των µαθηµατικών αντικειµένων ως την καλύτερη δυνατή εξήγηση για τα δεδοµένα της µαθηµατικής εποπτείας, όπως ακριβώς θεωρείται η ύπαρξη των φυσικών αντικειµένων ως η καλύτερη δυνατή εξήγηση για τα δεδοµένα της αισθητηριακής αντίληψης. Κατά συνέπεια, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι µπορούµε να δεχθούµε την ύπαρξη των µαθηµατικών οντοτήτων για λόγους παρόµοιους µε τους οποίους απορρίπτουµε τον Berkeley και πιστεύουµε στην ύπαρξη των συνήθων φυσικών αντικειµένων ([10], 105). Στο σηµείο αυτό, οφείλουµε να παρατηρήσουµε ότι οι θέσεις που έχουν υποστηριχθεί υπέρ της υπόθεσης της µαθηµατικής εποπτείας, δεν απαντούν ικανοποιητικά στο γνωσιολογικό ερώτηµα για τα µαθηµατικά. Πάσχουν γενικά ως προς το ότι δεν ορίζουν επαρκώς τι είναι η εν λόγω γνωστική ικανότητα και επιπλέον δεν δικαιολογούν την διυποκειµενικότητά της ως γνωστικής λειτουργίας. Η αόριστη και ασαφής περιγραφή της µαθηµατικής εποπτείας από τους διάφορους υποστηρικτές της αποτελεί ένα σηµαντικό µειονέκτηµα για τον τύπο του µαθηµατικού ρεαλισµού που αναπτύχθηκε µε αφετηρία τις απόψεις του Goedel για τα µαθηµατικά σύνολα. Εν τω µεταξύ, µια άλλη µορφή επιχειρηµάτων για τον µαθηµατικό ρεαλισµό διατυπώθηκε. Σύµφωνα µε τα επιχειρήµατα υπέρ του «αναπόδραστου των µαθηµατικών οντοτήτων» («indispensability arguments») των Quine & Putnam, η ύπαρξη µαθηµατικών οντοτήτων δικαιολογείται µε βάση την αναγκαιότητά τους στη συγκρότηση και διατύπωση των επιστηµονικών φυσικών θεωριών (βλ. [14], 36-45). Οι µαθηµατικές οντότητες πχ. τα σύνολα, είναι αναπόφευκτες στις επιστηµονικές θεωρίες όσο και οι µη παρατηρήσιµες φυσικές οντότητες. Με τη βοήθεια αυτών των οντοτήτων, επιτυγχάνουµε την τακτοποίηση των ασύνδετων δεδοµένων της εµπειρίας µας µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Στη βάση των επιχειρηµάτων αυτών, αναπτύχθηκε µια ιδιαίτερη φιλοσοφική πρόταση για την ύπαρξη των µαθηµατικών αντικειµένων, από την Penelope Maddy ([12]), που υιοθέτησε συγχρόνως και στοιχεία από τη φιλοσοφία του Goedel. Εκπληξη, σε ότι αφορά την συγκεκριµένη 8 Για την εποπτεία ή ορθολογική ενόραση, βλ. επίσης [4]

προσέγγιση, προκάλεσε το γεγονός ότι η Maddy επιχείρησε να τοποθετήσει τα (κατά άλλους αφηρηµένα) µαθηµατικά σύνολα στο χωροχρονικό πλαίσιο και να τα παρουσιάσει επιπλέον ως αιτιακώς ενεργά! Υποστήριξε την άποψη ότι αν a είναι ένα φυσικό αντικείµενο τότε το σύνολο {a} καταλαµβάνει τον ίδιο ακριβώς χώρο που καταλαµβάνει και το αντικείµενο a. Η ένταξη των µαθηµατικών αντικειµένων στο χωροχρονικό σύµπαν ήταν ένας εξαιρετικά πρωτότυπος τρόπος µε τον οποίο η Maddy φιλοδοξούσε να απαντήσει στο δίληµµα Benacerraf, διότι τότε η αντιµετώπιση του γνωσιολογικού προβλήµατος για τα µαθηµατικά δεν θα διέφερε πολύ από την αντιµετώπιση του γνωσιολογικού προβλήµατος για άλλες περιοχές, όπως πχ. της φυσικής. Σύµφωνα λοιπόν µε τον µαθηµατικό ρεαλισµό της Maddy, οι µαθηµατικές οντότητες είναι εξίσου γνωστικά προσβάσιµες όσο και οι φυσικές οντότητες, επειδή είναι εξίσου χωροχρονικές και αιτιακά ενεργές. Παρ'όλα αυτά, το συγκεκριµένο εντυπωσιακό φιλοσοφικό εγχείρηµα προσέκρουσε σε διάφορα προβλήµατα, όπως πχ. το ότι δεν ήταν εύκολο να εξηγήσει κανείς πώς µια σειρά από άπειρα σύνολα είναι δυνατόν να καταλαµβάνουν τον ίδιο ακριβώς χώρο 9. Επιπλέον η Maddy σχεδίασε µια υπόθεση για της ύπαρξη µιας φυσικοποιηµένης εκδοχής της µαθηµατικής εποπτείας, χωρίς όµως να την υποστηρίξει επαρκώς. Στη συνέχεια δεν επέµεινε περισσότερο στην υπεράσπιση των αδύνατων σηµείων της προσέγγισής της. Η αντίληψη ότι η γνώση της µαθηµατικής πραγµατικότητας προσκρούει γενικά στον αιτιακά ανενεργό χαρακτήρα των αφηρηµένων µαθηµατικών αντικειµένων, προϋποθέτει µια αιτιακή θεωρία γνώσης 10. Μια γνωσιολογική προσέγγιση αυτού του είδους φαίνεται να είχε στο νου του και ο Benacerraf, όταν ασκούσε κριτική στη ρεαλιστική προσέγγιση. Ανεξάρτητα όµως από τις αιτιακές θεωρίες, το πρόβληµα στην περίπτωση των µαθηµατικών παραµένει, στο βαθµό που δεν προτείνεται από τους µαθηµατικούς ρεαλιστές µια γνωσιολογική θεωρία που να εξηγεί πώς είναι δυνατή η γνωστική πρόσβαση στα αφηρηµένα µαθηµατικά αντικείµενα. Ο Benacerraf γράφει: «αν οι αριθµοί είναι το είδος των οντοτήτων που υποτίθεται συνήθως ότι είναι, τότε η σύνδεση ανάµεσα στις συνθήκες αλήθειας για τις προτάσεις της θεωρίας αριθµών... και τους ανθρώπους που υποτίθεται ότι έχουν µαθηµατική γνώση, δεν µπορεί να εξηγηθεί. Είναι αδύνατο να δοθεί εξήγηση για το πώς κάποιος γνωρίζει τις προτάσεις της θεωρίας αριθµών». Από την άλλη πλευρά, αν δίναµε την προφανή «... απάντηση ότι κάποιες από αυτές τις προτάσεις είναι αληθείς αν και µόνο αν προκύπτουν από συγκεκριµένα αξιώµατα µέσω καθορισµένων κανόνων, δεν θα βοηθούσε... διότι τότε θα απουσίαζε ο κρίκος σύνδεσης µεταξύ απόδειξης και 9 H Maddy υποστήριζε ότι αν a είναι ένα φυσικό αντικείµενο, τότε όλα τα σύνολα {a}, {{a}}, {{{a}}}...κλπ καταλαµβάνουν τον ίδιο χώρο που καταλαµβάνει και το φυσικό αντικείµενο a. 10 Σε γενικές γραµµές, οι αιτιακές θεωρίες γνώσης προϋποθέτουν ένα είδος αιτιακής αλληλεπίδρασης ανάµεσα στην πεποίθηση του γνώστη ότι ισχύει p και στην συνθήκη που επιτρέπει στην p να ισχύει.

αλήθειας» ([3], 414) (δηλαδή µια απάντηση αυτού του είδους θα µας οδηγούσε και πάλι στη συνδυαστική προσέγγιση) 11. Το προηγούµενο απόσπασµα παρουσιάζει την εξαιρετικά δύσκολη θέση στην οποία βρίσκεται ο οποιοσδήποτε φιλοδοξεί να απαντήσει στο δίληµµα του Benacerraf επιλέγοντας ταυτόχρονα την πλευρά του µαθηµατικού πλατωνισµού-ρεαλισµού. Απαιτείται δηλαδή να παρουσιάσει µια ικανοποιητική εξήγηση του τρόπου σύνδεσης των συνθηκών αλήθειας των µαθηµατικών προτάσεων µε τους γνώστες αυτών των αληθειών. Στη συνέχεια θα µας απασχολήσει η απόπειρα των Crispin Wright και Bob Hale να αντιµετωπίσουν το δίληµµα του Benacerraf µε βάση τη δική τους προσέγγιση στον µαθηµατικό πλατωνισµό του Frege. Οι δύο φιλόσοφοι είναι εκπρόσωποι του φιλοσοφικού προγράµµατος που ονοµάζεται «Νεολογικισµός» ή «Νεοφρεγκεανισµός» («Νeologicism», «Νeofregeanism»). Επιχειρούν µια συστηµατική επεξεργασία, επαναδιατύπωση αλλά και περαιτέρω εξέλιξη των βασικών θέσων της φιλοσοφίας των µαθηµατικών του Frege, µεταξύ των οποίων και του αριθµητικού πλατωνισµού του 12. Στον ίδιο χώρο κινείται µε περισσότερο κριτική διάθεση και ο Fraser MacBride [13]. Σε ότι αφορά το θέµα που µας απασχολεί, οι Hale & Wright ([9]) υποστηρίζουν ότι µπορούµε να συνδυάσουµε κατάλληλα την καθιερωµένη ρεαλιστική προσέγγιση στη µαθηµατική αλήθεια µε µια ικανοποιητική εξήγηση του τρόπου µε τον οποίο συνδέονται οι συνθήκες αλήθειας των µαθηµατικών προτάσεων µε τους γνώστες τους. Θεωρούν επίσης ότι προς µία διέξοδο από το δίληµµα, ρίχνει αρκετό φως ο Frege µέσω του παραδείγµατός του για την κατανόηση της αφηρηµένης έννοιας της διεύθυνσης. Γ. Η αφαιρετκή µέθοδος του Frege. O Frege στο έργο του Θεµέλια της Αριθµητικής, παρουσιάζει έναν συγκεκριµένο τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να προσεγγίσουµε την αφηρηµένη έννοια της διεύθυνσης µιας ευθείας γραµµής. Επισηµαίνει κατ'αρχήν ότι δεν είναι δυνατό να έχουµε εποπτεία της ίδιας της διεύθυνσης µιας ευθείας, έχουµε όµως εποπτεία της 11 Σε αυτό το απόσπασµα συνοψίζεται µε σαφήνεια το δίληµµα. Η καθιερωµένη ρεαλιστική προσέγγιση υστερεί στο γνωσιολογικό επίπεδο ενώ η συνδυαστική προσέγγιση υστερεί στο σηµασιολογικό επίπεδο. 12 Για το πρόγραµµα του Νεολογικισµού, βλ. και [19]

ευθείας. Και η εποπτεία της ευθείας είναι εκείνη που θα µας οδηγήσει στη διεύθυνση, µέσω µιας, όπως θα δούµε, συγκεκριµένης διανοητικής δραστηριότητας. Ας παρακολουθήσουµε το σχετικό απόσπασµα από τα Θεµέλια της Αριθµητικής 64: «... ασφαλώς, καθετί στη γεωµετρία πρέπει να µας δοθεί αρχικά στην εποπτεία. Τώρα όµως ρωτώ: είχε ποτέ κανείς εποπτεία της διεύθυνσης µιας ευθείας; Ασφαλώς έχουµε εποπτεία µιας ευθείας αλλά κάνουµε διάκριση µεταξύ της ευθείας και της διεύθυνσής της στην εποπτεία; µάλλον απίθανο. Η έννοια της διεύθυνσης ανακαλύφθηκε ως αποτέλεσµα µιας διανοητικής δραστηριότητας που συνδέεται µε την εποπτεία. Από την άλλη µεριά, µπορούµε πραγµατικά να σχηµατίσουµε µία παράσταση των παραλλήλων ευθειών» 13. Η παρατήρηση του Frege συνίσταται στο ότι η έννοια της διεύθυνσης είναι λιγότερο οικεία σ'εµάς, απ'ότι είναι η παραλληλία δύο ευθειών («είχε ποτέ κανείς εποπτεία της διεύθυνσης µιας ευθείας;»). Η παραλληλία δύο ευθειών είναι αρκετά οικεία σ'εµάς, διότι «µπορούµε να σχηµατίσουµε εύκολα µια παράσταση των παραλλήλων ευθειών» και είναι γνωστό ότι «καθετί στη γεωµετρία πρέπει να µας δοθεί αρχικά στην εποπτεία». Κατά συνέπεια, µπορούµε να προσδιορίσουµε την αφηρηµένη έννοια της διεύθυνσης µε βάση την εποπτεία που διαθέτουµε για την παραλληλία δύο ευθειών. Αυτό όµως µπορεί να γίνει διαµέσου µιας διανοητικής δραστηριότητας η οποία εκφράζεται µε την ισοδυναµία : (D=) ( a)( b) [ (D(a) = D(b)) (a // b) ] ( ηλαδή: «Η διεύθυνση της ευθείας a ταυτίζεται µε τη διεύθυνση της ευθείας b αν και µόνο αν οι ευθείες a και b είναι παράλληλες») Η ισοδυναµία D= εκφράζει µια διανοητική δραστηριότητα που κατανέµει το οικείο σ' εµάς περιεχόµενο της παραλληλίας δύο ευθειών (δεξιά πρόταση) µε έναν διαφορετικό τρόπο στην αριστερή πρόταση. Οπως ακριβώς αναφέρει ο Frege στην ίδια παράγραφο, «αν κατανείµουµε το περιεχόµενο διαφορετικά από τον αρχικό τρόπο, τότε παίρνουµε µια καινούργια έννοια». Ο Wright (1983, 32) διασαφηνίζει το συγκεκριµένο σηµείο της σκέψης του Frege, εξηγώντας ότι επιτυγχάνουµε µια προσέγγιση σε µια έννοια που δεν γνωρίζαµε πριν, δηλ. την έννοια της διεύθυνσης, βασιζόµενοι απλά στις οικείες µας έννοιες της ευθείας γραµµής και της παραλληλίας. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι µέσω παρόµοιων ιδοσυναµιών εισάγονται και άλλες µαθηµατικές έννοιες, όπως για παράδειγµα η έννοια του φυσικού αριθµού. Ειδικά στην περίπτωση των αριθµών, αυτό επιτυγχάνεται µέσω της πολύ σηµαντικής ισοδυναµίας : 13 Τα αποσπάσµατα είναι από την ελληνική µετάφραση του έργου του Frege, G., Τα θεµέλια της Αριθµητικής (Die Grundlagen der Arithmetik), µετ. Ρουσσόπουλος, Γ. (1990), Αθήνα, Νεφέλη

(Ν=) ( F)( G) [(Nx : Fx = Nx : Gx) (F 1-1 G)] ( ηλαδή: Ο αριθµός της έννοιας F ταυτίζεται µε τον αριθµό της έννοιας G αν και µόνο αν οι έννοιες F και G βρίσκονται σε µία 1-1 αντιστοιχία µεταξύ τους) 14. O Wright, όπως επίσης και ο Fraser Mac Bride, χαρακτηρίζουν τη διανοητική δραστηριότητα που εκφράζεται από τις παραπάνω ισοδυναµίες του Frege ως µία µέθοδο αφαίρεσης, παρά το γεγονός ότι ο ίδιος ο Frege δεν χρησιµοποιεί αυτόν τον όρο 15. Μάλιστα ο MacBride ([13], 110-111) παρουσιάζει τη µέθοδο αυτή στη γενική της µορφή ως εξής: αν υποθέσουµε ότι µιλάµε µια γλώσσα και µέσα σ αυτή, χρησιµοποιούµε κάποιες εκφράσεις α1, α2,...,. καθώς επίσης και µια σχέση ισοδυναµίας µεταξύ δύο τέτοιων εκφράσεων, τότε µπορούµε µέσω της µεθόδου, να επεκτείνουµε τις εκφραστικές δυνατότητες αυτής της γλώσσας, εισάγοντας έναν τελεστή 'Σ' µε τον παρακάτω τρόπο: ( ακ)( αλ) [(Σ(ακ) = Σ(αλ)) (ακ αλ)] Η πρόταση 'ακ αλ ' που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της ισοδυναµίας, είναι εκφρασµένη στην οικεία µας γλώσσα ενώ η πρόταση 'Σ(ακ) = Σ(αλ)' που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της ισοδυναµίας, εκφράζεται στην επέκταση της γλώσσας που δηµιουργήσαµε. Μέσα σε αυτή την επέκταση της γλώσσας µας, ο τελεστής 'Σ' ορίζεται έµµεσα, δηλ. µέσω εκφράσεων που έχουν µια ήδη οικεία σ'εµάς και καθιερωµένη στην αρχική γλώσσα χρήση. Και επιπλέον, η συγκεκριµένη µέθοδος καθορίζει κοινές συνθήκες αλήθειας για τις προτάσεις που βρίσκονται αριστερά και δεξιά της ισοδυναµίας. Είναι προφανές ότι ο τελεστής 'Σ' στην περίπτωση των διευθύνσεων είναι ο τελεστής ' η διεύθυνση της ευθείας... ', (αντίστ. στην περίπτωση των αριθµών είναι ο τελεστής ' ο αριθµός της έννοιας... '). Κατά συνέπεια, δηµιουργούµε µια επέκταση της οικείας γλώσσας, µέσα στην οποία, ορίζεται έµµεσα η έννοια της διεύθυνσης (αντίστ. η έννοια του αριθµού) που δεν ήταν προηγουµένως γνωστή. Ενα κατάλληλο µοντέλο χρήσης του τελεστή 'Σ', πχ. του τελεστή 'η διεύθυνση της ευθείας...' εισάγεται µε αυτόν τον τρόπο. Ο οποιοσδήποτε, λοιπόν, δεν διέθετε µέχρι τώρα την έννοια της διεύθυνσης και ο οποίος εξοικειώνεται µε το µοντέλο χρήσης του αντίστοιχου τελεστή, αποκτά πλέον τη δυνατότητα να κατανοεί το νόηµα της έννοιας αυτής. Αρα, η σηµασία της µεθόδου έγκειται στο ότι µπορούµε πλέον να οικειοποιηθούµε την αφηρηµένη έννοια της διεύθυνσης, ακόµα και όταν δεν γνωρίζαµε προηγουµένως τίποτα γι αυτή. Στη συνέχεια θα αναφερόµαστε στη µέθοδο που µόλις περιγράφτηκε, µε το όνοµα «αφαιρετική αρχή» ή «αφαιρετική µέθοδος» 14 Οι ισοδυναµίες D= και Ν= χαρακτηρίζονται και ως «ορισµοί πλαισίου» («contextual definitions»). Τελευταία, έχει διατυπωθεί η άποψη ότι δεν αποτελούν ρητούς ορισµούς αλλά έµµεσους ή υπόρρητους ορισµούς των εννοιών της διεύθυνσης και του αριθµού αντίστοιχα. 15 O Wright αναφέρει ότι ο όρος «αφαιρετική αρχή» είναι προτιµότερος από τον όρο «ορισµός πλαισίου» σε ότι αφορά τις ισοδυναµίες του Frege ([8], 276)

του Frege, αφού πρωτοεµφανίζεται στα Θεµέλια της Αριθµητικής (Die Grundlagen der Arithmetik) του µεγάλου φιλοσόφου.. Οι αφαιρετικές αρχές του Frege ως διέξοδος στο δίληµµα του Benacerraf Οπως είδαµε, για να αντιµετωπισθεί κατάλληλα το πρόβληµα που έθεσε ο Benacerraf, χρειάζεται να εναρµονισθεί η θέση του µαθηµατικού ρεαλισµού µε µια ικανοποιητική απάντηση στο γνωσιολογικό ερώτηµα για τα µαθηµατικά. Οι Hale και Wright υποστηρίζουν ότι η αφαιρετική αρχή του Frege που περιλαµβάνει ως ειδική περίπτωση την ισοδυναµία D=, είναι κατάλληλη για να εναρµονίσει τις δύο συνιστώσες του διλήµµατος. Θα ξεκινήσουµε πρώτα από τη γνωσιολογική συνιστώσα. 1. Αναφέρθηκε προς το τέλος της ενότητας Β, ότι η αντιµετώπιση της γνωσιολογικής συνιστώσας συνίσταται στην αναζήτηση µιας ικανοποιητικής εξήγησης για τον τρόπο µε τον οποίο συνδέονται οι συνθήκες αλήθειας των µαθηµατικών προτάσεων µε τους γνώστες αυτών των αληθειών. Το πρόβληµα για τον ρεαλισµό είναι ότι η χωροχρονική αποµόνωση και γενικότερα ο αφηρηµένος χαρακτήρας των υποτιθέµενων µαθηµατικών οντοτήτων, δεν αφήνει περιθώρια για µια τέτοια εξήγηση. Εδώ ακριβώς, έχει σηµασία να παρατηρήσουµε ότι χάρη στην αφαιρετική µέθοδο του Frege, είµαστε σε θέση να γνωρίζουµε τις συνθήκες αλήθειας των µαθηµατικών ταυτοτήτων που εµφανίζονται στην αριστερή πλευρά της αφαιρετικής αρχής. Ας δούµε τι ακριβώς συµβαίνει στην περίπτωση της ισοδυναµίας D=. (D=) ( a)( b) [ (D(a) = D(b)) (a // b) ] Είναι δυνατό, χρησιµοποιώντας απλώς τον οικείο γνωστικό εξοπλισµό µας, να διαπιστώσουµε κατά πόσον η δεξιά πρόταση της ισοδυναµίας D= είναι αληθής, δηλαδή εάν δύο ευθείες a και b είναι παράλληλες. Τότε όµως, λόγω των κοινών συνθηκών αλήθειας της αριστερής και της δεξιάς πρότασης, είµαστε σε θέση να γνωρίζουµε επίσης εάν η αριστερή ταυτοτική πρόταση είναι αληθής, δηλ. εάν οι διευθύνσεις δύο ευθειών ταυτίζονται. Κατά συνέπεια, υποστηρίζουν οι Hale & Wright ([9], 125), µας δίνεται η δυνατότητα να γνωρίζουµε τις συνθήκες αλήθειας µιας ταυτότητας αφηρηµένων διευθύνσεων, χωρίς να προϋποτίθεται κάποια γκεντελιανού τύπου νοητική λειτουργία που να µας συνδέει µε αυτές. Η επιβεβαίωση της αλήθειας της αριστερής πρότασης «D(a) = D(b)» είναι δυνατή επειδή η αλήθεια της δεξιάς πρότασης «a//b» είναι ελέγξιµη. Και για να ελέγξουµε την αλήθεια της δεξιάς πρότασης, δεν χρειαζόµαστε τίποτα περισσότερο από τον οικείο γνωστικό εξοπλισµό. Χάρη λοιπόν στον µη προβληµατικό επιστηµολογικό χαρακτήρα της δεξιάς πρότασης και χάρη στην ισοδυναµία, είµαστε σε θέση να γνωρίζουµε κατά πόσον είναι αληθής µια ταυτότητα

διευθύνσεων ευθειών, παρά το γεγονός ότι δεν µπορούµε να βρεθούµε σε καµιά αιτιακή σχέση ή άλλου τύπου φυσική αλληλεπίδραση µαζί τους. Παρόµοια, µπορούµε να γνωρίζουµε τις συνθήκες αλήθειας της αριστερής πρότασης της ισοδυναµίας Ν =, (Ν=) ( F)( G) [(Nx : Fx = Nx : Gx) (F 1-1 G)] δηλαδή της ταυτότητας «Νx:Fx = Nx:Gx». Η αριθµητική αυτή ταυτότητα έχει την ίδια τιµή αληθείας µε τη δεξιά πρόταση «F 1-1 G» και επειδή είµαστε σε θέση να ελέγξουµε (στη λογική 2 ης τάξης) αν είναι αληθής η δεύτερη, τότε είµαστε σε θέση να γνωρίζουµε αν είναι αληθής και η πρώτη. Κατά συνέπεια, έχουµε πρόσβαση στις συνθήκες αλήθειας µιας αριθµητικής ταυτότητας χωρίς να µεσολαβεί ούτε κάποια αιτιακή αλληλεπίδραση µε τους αριθµούς ούτε κάποια γκεντελιανού τύπου σχέση µαζί τους. Όπως παρατηρεί ο MacBride ([13], 111-112), σχολιάζοντας τη θέση των Hale & Wright, η ικανότητά µας να επιβεβαιώνουµε την αλήθεια ή το ψεύδος οικείων προτάσεων για ευθείες µετασχηµατίζεται, χάρη στην αφαιρετική µέθοδο, στην ικανότητα να επιβεβαιώνουµε την αλήθεια ή το ψεύδος ταυτοτήτων που περιλαµβάνουν το νέο είδος όρων, δηλ. τις διευθύνσεις των ευθειών. Στη γενική περίπτωση της µεθόδου, εάν επιβεβαιώσουµε την αλήθεια της οικείας σε µας πρότασης «ακ αλ», τότε είµαστε σε θέση να επιβεβαιώσουµε και την αλήθεια της ταυτότητας «Σ(ακ) = Σ(αλ)». Με αυτόν τον τρόπο προχωράµε από τη γνώση αληθειών που εκφράζονται στην οικεία γλώσσα (δηλαδή από αλήθειες που αφορούν τα ακ, αλ) στη γνώση αληθειών που εκφράζονται στην επέκταση της γλώσσας (αλήθειες που αφορούν τα Σ(ακ), Σ(αλ)). Οι Hale & Wright εξηγούν ουσιαστικά τον µετασχηµατισµό των γνωστικών µας δυνατοτήτων µε βάση έναν τρόπο µετάβασης από τη γνώση του συγκεκριµένου στη γνώση του αφηρηµένου. Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, η συµβολή της αφαιρετικής µεθόδου του Frege σε ότι αφορά τουλάχιστον το γνωσιολογικό µέρος του διλήµµατος Benacerraf, συνίσταται στο ότι µας δίνει τη δυνατότητα να επιτυγχάνουµε τη γνώση των συνθηκών αλήθειας προτάσεων που αφορούν µαθηµατικά αντικείµενα (πχ. διευθύνσεις), στις οποίες η γνωστική πρόσβαση θα αποτελούσε διαφορετικά ένα µυστήριο. Σύµφωνα µε τη διατύπωση των ίδιων των Wright και Hale, η γνωσιολογική συνιστώσα του διλήµµατος Benacerraf αντιµετωπίζεται επιτυχώς, διότι έχουµε µια ικανοποιητική απάντηση στο πρόβληµα του τρόπου σύνδεσης ανάµεσα στον ανθρώπινο γνώστη και στις συνθήκες αλήθειας των µαθηµατικών προτάσεων: «Στο βαθµό που µπορούµε να επιβεβαιώσουµε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες ή ότι οι δύο έννοιες βρίσκονται σε 1-1 αντιστοιχία, δεν τίθεται περαιτέρω πρόβληµα σχετικά µε τη

γνώση βασικών ειδών αλήθειας για τις διευθύνσεις και τους αριθµούς, και αυτό συµβαίνει παρά τον αφηρηµένο τους χαρακτήρα». ([9], 125) 2. Η δεύτερη συνιστώσα του προβλήµατος είναι η διατήρηση της καθιερωµένης ρεαλιστικής προσέγγισης. Εάν η προσέγγιση των Hale & Wright αποτελεί όντως απάντηση στο δίληµµα του Benacerraf οφείλει να εναρµονίσει την γνωσιολογική εξήγηση που παρακολουθήσαµε, µε τη ρεαλιστική προσέγγιση. Οι Hale και Wright υποστηρίζουν πράγµατι την ύπαρξη µαθηµατικών αντικειµένων, πχ. των διευθύνσεων ή των φυσικών αριθµών, στο πλαίσιο του «πλατωνισµού φρεγκεανού τύπου» («Fregean Platonism»). Τα αντικείµενα αυτά είναι ακριβώς οι αναφορές των αντίστοιχων µαθηµατικών όρων. Ο ίδιος ο Frege θεωρούσε τους αριθµούς αυθυπόστατα αντικείµενα. Στην 96 των Θεµελίων είχε εκφράσει την άποψη ότι ο µαθηµατικός δεν δηµιουργεί κατά βούληση όπως και ο γεωγράφος δεν δηµιουργεί, αλλά και οι δύο ανακαλύπτουν αυτά που ήδη υπάρχουν και µετά τους δίνουν ονόµατα. Οι Hale & Wright δίνουν ιδιαίτερη έµφαση στην έννοια του αντικειµένου, ορίζοντας ως αντικείµενο οτιδήποτε στο οποίο µπορεί να αναφέρεται ένας ενικός όρος. Υπενθυµίζουµε ότι ο Frege διέκρινε τις γλωσσικές εκφράσεις σε αυτές οι οποίες συµπεριφέρονται συντακτικά όπως τα ονόµατα (πλήρεις εκφράσεις) και σε εκείνες που εκφράζουν έννοιες, σχέσεις ή συναρτήσεις (ακόρεστες ή ατελείς εκφράσεις) 16. Στις πλήρεις εκφράσεις π.χ. περιλαµβάνονται οι ενικοί όροι ενώ στις ατελείς εκφράσεις τα κατηγορήµατα. Σύµφωνα µε την προσέγγιση των Hale & Wright στον φρεγκεανό πλατωνισµό, εάν κάποια έκφραση ή κάποιος όρος συµπεριφέρεται συντακτικά ως ενικός όρος µέσα σε µια αληθή πρόταση, τότε υπάρχει ένα αντικείµενο στο οποίο ο όρος αυτός αναφέρεται. Και επειδή οι όροι που εκφράζουν διευθύνσεις ή αριθµούς λειτουργούν ως ενικοί όροι µέσα σε αληθείς προτάσεις, έπεται ότι υπάρχουν τα αντικείµενα αναφοράς των όρων αυτών. Για παράδειγµα, οι όροι ο αριθµός των πιάτων στο τραπέζι και ο αριθµός των µαχαιριών στο τραπέζι συµπεριφέρονται ως ενικοί όροι στην αληθή πρόταση «ο αριθµός των πιάτων στο τραπέζι ταυτίζεται µε τον αριθµό των µαχαιριών στο τραπέζι». Συνεπώς υπάρχει το κοινό αντικείµενο αναφοράς των όρων αυτών. Από τη µία πλευρά, η συντακτική συµπεριφορά των αριθµητικών εκφράσεων και από την άλλη πλευρά η αλήθεια µιας αριθµητικής ταυτότητας αποτελούν δύο γεγονότα αποφασιστικής σηµασίας για το ότι το αντικείµενο αναφοράς των αριθµητικών όρων ο αριθµός των πιάτων στο τραπέζι και ο αριθµός των µαχαιριών στο τραπέζι 16 Εάν 3( )²+( )³ είναι πχ. µια ακόρεστη έκφραση και συµπληρωθεί κατάλληλα µε µια µεταβλητή x τότε προκύπτει η έκφραση 3x² + x³. Το µη πλήρες ή ακόρεστο συµβολίζει ένα συναρτησιακό µηχανισµό. H σχέση µεταξύ µιας ακόρεστης και µιας πλήρους έκφρασης αντικατοπτρίζει τη σχέση µεταξύ µιας έννοιας και ενός αντικειµένου. Πρόκειται ουσιαστικά για σχέση µεταξύ συνάρτησης και ορίσµατος. Βλ. και [1], σ. 224

υπάρχει, για το ότι ο κόσµος πραγµατικά περιέχει ένα τέτοιο αντικείµενο. (πρβλ. [16], 14) Με βάση το ίδιο επιχείρηµα, η αριστερή πρόταση της ισοδυναµίας D= µπορεί να µας πληροφορήσει για την ύπαρξη αντικειµένων, εάν εξακριβώσουµε προηγουµένως την αλήθεια της δεξιάς πρότασης. Ας δούµε πώς συµβαίνει αυτό. (D=) ( a)( b) [ (D(a) = D(b)) (a // b) ] Όπως είδαµε, εάν οι ευθείες a,b είναι παράλληλες τότε η αριστερή πρόταση «D(a) = D(b)» είναι αληθής. Σε αυτήν την αριστερή πρόταση, εµφανίζονται οι όροι η διεύθυνση της ευθείας a (συµβ. D(a)) και η διεύθυνση της ευθείας b (συµβ. D(b)) που συµπεριφέρονται συντακτικά ως ενικοί όροι. Από την παρουσία ενικών όρων σε µια αληθή πρόταση έπεται ότι υπάρχουν αντικείµενα στα οποία αυτοί οι όροι αναφέρονται. Τα αντικείµενα αυτά δεν είναι άλλα από τις διευθύνσεις των ευθειών a και b. Όπως προαναφέρθηκε, ένας τέτοιος ισχυρισµός στηρίζεται σε δύο βασικές προϋποθέσεις, από τις οποίες η µια είναι συντακτική και η άλλη σηµασιολογική. Άλλωστε, η ίδια η έννοια του αντικειµένου µε βάση την τρέχουσα ερµηνεία, προσδιορίζεται µε βάση τη δυνατότητα ενός ενικού όρου να αναφέρεται. Ο Wright ερµηνεύει τη σκέψη του Frege, µε βάση µια προτεραιότητα της σύνταξης έναντι της οντολογίας : «για τον Frege είναι η συντακτική κατηγορία που βρίσκεται σε προτεραιότητα ενώ η οντολογική έπεται» ([16], 13, 25) Eπίσης: «Το κλειδί στον πλατωνισµό του Frege, σύµφωνα µε την ερµηνεία µας, είναι η θέση περί της συντακτικής προτεραιότητας: η κατηγορία των αντικειµένων ειδικότερα πρέπει να εξηγηθεί ως η κατηγορία που περιλαµβάνει κάθετί στο οποίο θα µπορούσε να αναφέρεται ένας ενικός όρος, όπου εννοούµε ότι η δυνατότητα να αναφέρεται ένας ενικός όρος του δίνεται µέσω της παρουσίας του σε αληθείς κατάλληλες προτάσεις». ([16], 53) Σύµφωνα µ αυτή την προσέγγιση, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε ως αντικείµενο κάτι για το οποίο δεν είναι δυνατό να σχηµατίσουµε µια ιδέα ή µια νοητική παράσταση ή κάτι που δεν µπορούµε να προσλάβουµε µέσω της αισθητηριακής αντίληψης, πχ. έναν αριθµό. Είναι κατ' αρχήν η συντακτική δοµή της µαθηµατικής γλώσσας αυτή που προδίδει την παρουσία αντικειµένων και είναι επίσης η αλήθεια των µαθηµατικών προτάσεων αυτή που εγγυάται την ύπαρξη των αντικειµένων αναφοράς των αντίστοιχων ενικών όρων. Όπως λοιπόν συµπεραίνει χαρακτηριστικά ο Wright ([16], 14), δεδοµένων των γεγονότων της συντακτικής δοµής και της αλήθειας, δεν υπάρχει απλά, καµιά περαιτέρω συνεπής αµφισβήτηση για το θέµα, δηλ. για το αν υπάρχουν πραγµατικά τέτοια αντικείµενα..

Εάν το επιχείρηµα των Hale & Wright είναι βάσιµο, τότε η µέθοδος αφαίρεσης του Frege φέρνει στο φως «αντικείµενα για τα οποία προηγουµένως είµαστε ανυποψίαστοι» κατά τη χαρακτηριστική έκφραση των Νεολογικιστών (βλ. [13], 111 και [16], 13-14). Επιπλέον, παρέχει µια προσέγγιση που καταφέρνει να συνδυάσει τη θέση του µαθηµατικού πλατωνισµού-ρεαλισµού µε την απάντηση στο γνωσιολογικό ερώτηµα. Πράγµατι, εξηγεί τον τρόπο µε τον οποίο γνωρίζουµε a priori τις συνθήκες αλήθειας ενός είδους µαθηµατικών προτάσεων (ταυτοτήτων). Κατ' αυτή την έννοια, αποτελεί µια σηµαντική συµβολή στην αντιµετώπιση του διλήµµατος του Benacerraf. Σε ό,τι αφορά την απάντηση που παρέχει στο γνωσιολογικό µέρος του διλήµµατος, η συγκεκριµένη προσέγγιση παρουσιάζει πλεονεκτήµατα για τους εξής λόγους: δεν περιλαµβάνει υποθέσεις περί γνωστικών ικανοτήτων ενός αµφιβόλου status (του τύπου της γκεντελιανής µαθηµατικής εποπτείας) αλλά στηρίζεται στο γνωσιολογικά µη προβληµατικό status της δεξιάς πρότασης της αφαιρετικής αρχής. Εποµένως υπερτερεί έναντι των άλλων φιλοσοφικών προτάσεων που έχουν διατυπωθεί για την αντιµετώπιση του διλήµµατος. Σε ό,τι αφορά τώρα το ερώτηµα πόσο ισχυρό είναι το ρεαλιστικό επιχείρηµα που υπόκειται της συγκεκριµένης προσέγγισης, αυτό έχει προκαλέσει µεγάλη συζήτηση, δεδοµένου ότι οι ισχυρισµοί των Hale και Wright στο [9] και στο [16] έχουν τεθεί σε ενδιαφέρουσα κριτική. α) Το επιχείρηµα ότι οι εκφράσεις που συµπεριφέρονται ως ενικοί όροι µέσα σε αληθείς προτάσεις αναφέρονται σε πραγµατικά αντικείµενα, ενδεχοµένως να ενέχει τον κίνδυνο µιας υπερβολικής διόγκωσης του κόσµου των αντικειµένων. Για παράδειγµα, ο όρος χαµόγελο στην αληθή πρόταση «το χαµόγελο του Γιάννη είναι εγκάρδιο» εµφανίζεται ως ενικός όρος, ο οποίος θα έπρεπε (σύµφωνα µε το νεοφρεγκεανό επιχείρηµα) να αναφέρεται σε κάποιο αντικείµενο. Κάτι τέτοιο όµως δεν είναι ορθό, άρα φαίνεται ότι κάποιοι όροι καταφέρνουν να µας παραπλανούν µε τη συντακτική συµπεριφορά τους. Θα µπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι η παραπάνω πρόταση µπορεί να διατυπωθεί µε άλλο τρόπο δηλαδή «ο Γιάννης χαµογελά εγκάρδια» όπου ο παραπλανητικός όρος χαµόγελο εξαλείφεται και αυτό αποδεικνύει ότι δεν ήταν γνήσιος ενικός όρος. Ας δούµε όµως την πρόταση (1) «ο 9 είναι ο αριθµός των πλανητών του ηλιακού συστήµατος». Στην πρόταση αυτή ο όρος εννέα συµπεριφέρεται ως ενικός όρος σε µια αληθή πρόταση, εποµένως θα πρέπει να αναφέρεται σε ένα πραγµατικό αντικείµενο. Αλλά και εδώ θα µπορούσε κανείς να ισχυριστεί ότι η πρόταση (1) µπορεί να διατυπωθεί ως εξής : (2) «Το ηλιακό σύστηµα έχει 9 πλανήτες» όπου ο όρος εννέα παύει να έχει τη συντακτική θέση

ενικού όρου. Τι µπορούµε να συµπεράνουµε; µήπως και ο όρος εννέα είναι παραπλανητικός; Εδώ οφείλουµε να λάβουµε υπόψη την παρατήρηση του Frege (Grundlagen, παρ. 57) για προτάσεις όπως η (2). Η πρόταση (2) οφείλει να µετασχηµατισθεί στην πρόταση (1). Σύµφωνα µε τον Frege, η πρόταση (1) είναι αυτή που αποκαλύπτει το πραγµατικό status του όρου εννέα, δηλ. ότι πράγµατι είναι ενικός όρος και αναφέρεται σε ένα αντικείµενο. Πώς όµως θα είµαστε σε θέση να διαχωρίζουµε τις γνήσιες από τις παραπλανητικές εµφανίσεις ενικών όρων στις διάφορες προτάσεις; Το πρόβληµα είναι ότι η συντακτική προτεραιότητα, που τίθεται ως βασική προϋπόθεση του ρεαλιστικού επιχειρήµατος των Hale & Wright, απαιτεί τον διαχωρισµό και την ταξινόµηση ενός συνόλου εκφράσεων στην κατηγορία των ενικών όρων µε τη βοήθεια ανεξάρτητων συντακτικών κριτηρίων. Κατ' αρχάς, αναγνωρίζονται µε αυστηρότητα οι εκφράσεις που λειτουργούν συντακτικά ως γνήσιοι ενικοί όροι µέσα στις προτάσεις τους, πριν καν αναζητήσουµε την αναφορά τους. Ο ίδιος ο Frege είχε προτείνει κάποια κριτήρια γι αυτό τον σκοπό αλλά επειδή δεν θεωρήθηκαν επαρκή, τόσο ο Wright ([16], 10-11 & 53-56) όσο και από κοινού µε τον Hale ([8], 31-47 & 48-71) επιχείρησαν µε αλλεπάλληλες προσπάθειες να επαναδιατυπώσουν µια σειρά συντακτικών κριτηρίων του Dummett, µε σκοπό αφενός να διαχωρίσουν τους ενικούς όρους από τα κατηγορήµατα και από άλλες εκφράσεις (πχ. αόριστες ονοµατικές περιγραφές, ποσοδεικτικές εκφράσεις κλπ.) και αφετέρου να ελέγξουν µέσω αυτών των κριτηρίων τη συντακτική λειτουργία των µαθηµατικών όρων. Έτσι, µια σηµαντική προϋπόθεση για την επιτυχία του ρεαλιστικού επιχειρήµατος των Νεολογικιστών είναι η καθιέρωση ενός συνόλου αναγκαίων και ικανών κριτηρίων για την ασφαλή αναγνώριση των γνήσιων ενικών όρων 17. β) Ένα δεύτερο θέµα που αφορά την αξιοπιστία του ρεαλιστικού επιχειρήµατος των Hale & Wright είναι η αλήθεια των µαθηµατικών προτάσεων η οποία, όπως είδαµε, τίθεται ως προϋπόθεση για την ύπαρξη των αντικειµένων αναφοράς των µαθηµατικών όρων. Το θέµα αυτό είναι τεράστιο, δεδοµένου ότι υπάρχουν φιλόσοφοι (πχ. Hartry Field) που έχουν προσπαθήσει να υπονοµεύσουν την έννοια της µαθηµατικής αλήθειας. Η στρατηγική του προγράµµατος του Νεολογικισµού ως προς 17 ιερεύνηση των ζητηµάτων α), β) και γ) επιχειρείται στη διατριβή της Χριστοπούλου,. (2006) Κριτική διερεύνηση του επιχειρήµατος του Νεολογικισµού/Νεοφρεγκεανισµού για τους αριθµούς ως αντικείµενα και για την προέλευση της αριθµητικής γνώσης, Π.Μ.Σ. Ιστορία και Φιλοσοφία των επιστηµών και της τεχνολογίας, (Μ.Ι.Θ.Ε. Πανεπιστήµιο Αθηνών, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. Ε.Μ.Π.) κεφ. 3, 4, 5 και 7.

αυτό το πρόβληµα είναι να υπερασπιστεί το αληθές των φρεγκεανών αφαιρετικών αρχών (ισοδυναµιών D= και Ν=). 18 γ) Το τρίτο πρόβληµα αφορά και πάλι τη σηµασιολογική πλευρά του επιχειρήµατος. Έχει διατυπωθεί η άποψη ότι ακόµα και αν συγκεκριµένοι µαθηµατικοί όροι λειτουργούν συντακτικά ως ενικοί όροι µέσα σε αληθείς προτάσεις, δεν µπορεί τίποτα να µας εγγυηθεί ότι υπάρχουν πραγµατικά αντικείµενα που αποτελούν τις αναφορές των όρων αυτών. Ο Dummett πιστεύει ότι η αναφορά των αφηρηµένων ενικών όρων είναι τόσο ισχνή σηµασιολογικά, ώστε δεν µπορεί να λειτουργήσει όπως η αναφορά των κυρίων ονοµάτων και των συγκεκριµένων ενικών όρων και κατά συνέπεια είναι ακατάλληλη για τις επιδιώξεις του µαθηµατικού ρεαλισµού. Ενώ δηλαδή, η αναφορά των συγκεκριµένων ενικών όρων έχει την έννοια της σύνδεσης του όρου µε ένα, εξωτερικό της γλώσσας, αντικείµενο του κόσµου, δεν µπορεί να υποστηριχθεί το ίδιο και για την αναφορά ενός αφηρηµένου ενικού όρου. Σ' αυτήν την περίπτωση, ο Dummett ([6], 191, κ.ε.) θεωρεί ότι έχουµε να κάνουµε µε ένα αντικείµενο «εσωτερικό» στη γλώσσα. Οι παρατηρήσεις αυτές θέτουν προς συζήτηση ένα µεγάλο θέµα γύρω από τον προσδιορισµό της αναφοράς των αφηρηµένων ενικών όρων. Ο MacBride ([13], 108) ωστόσο παρατηρεί ότι στο πρόβληµα ερµηνείας της αναφοράς, υπεισέρχεται ουσιαστικά η σχέση µεταξύ γλώσσας και οντολογίας που υιοθετείται σε κάθε φιλοσοφική τοποθέτηση. Η προσέγγιση των Hale & Wright, είναι µια προσέγγιση που βασίζεται τόσο στη συντακτική δοµή της γλώσσας όσο και στην αλήθεια δεδοµένων προτάσεων και εκφράζει την άποψη ότι αφενός, η συντακτική δοµή των αληθών µας προτάσεων δεν µπορεί να µας εξαπατά και αφετέρου, η πραγµατικότητα δεν είναι δυνατό να αποτύχει στο να συµπεριλαµβάνει τα αντικείµενα που οι αληθείς προτάσεις µας περιγράφουν 19. Έτσι, ο προσδιορισµός του αντικειµένου αναφοράς ενός οποιουδήποτε ενικού όρου είναι κάτι που ακολουθεί µετά τη διαπίστωση της αλήθειας µιας πρότασης µέσα στην οποία ο ενικός όρος εµφανίζεται. Αυτός ο τρόπος χειρισµού της αναφοράς (που έπεται της αλήθειας) στηρίζεται στην αρχή του πλαισίου του Frege, σύµφωνα µε την οποία, το νόηµα ενός όρου δεν πρέπει να προσδιορίζεται ποτέ ανεξάρτητα από το πλαίσιο µιας πρότασης που περιέχει αυτόν τον όρο. δ) Τέλος µια ακόµα δυσκολία για τη λύση που οι Hale και Wright προτείνουν στο πρόβληµα του Benacerraf προέρχεται από τις απόψεις του Quine για τη λογική 2 ης τάξης στην οποία και βασίζεται το πρόγραµµα του Νεολογικισµού. Συγκεκριµένα εκφράζονται αντιρρήσεις που στηρίζονται στην άποψη του Quine ([15], 65-68) ότι η 18 Οι ισοδυναµίες D= και Ν= είναι αληθείς a priori σύµφωνα µε τους Νεολογικιστές και αυτό οφείλεται στο status τους ως έµµεσων ορισµών των εννοιών της διεύθυνσης και του φυσικού αριθµού αντίστοιχα. Γι αυτό το θέµα βλ. και [19], σσ. 160-164 19 Για έναν τύπο απάντησης στον Dummett, η οποία δεν στηρίζεται στον MacBride βλ. [19] σσ. 164-166

λογική 2 ης τάξης συνιστά συγκεκαλυµµένη θεωρία συνόλων, κάτι που υπονοµεύει την επιστηµολογική καθαρότητα της Ν=. Αν ο Quine έχει δίκιο, τότε τα µέσα που οι Νεολογικιστές χρησιµοποιούν για να απαντήσουν στο γνωσιολογικό πρόβληµα για τους αριθµούς, προέρχονται από τη θεωρία συνόλων, ένα πεδίο πλουσιότερο και ισχυρότερο σε οντολογικές δεσµεύσεις. Τότε όµως, η προτεινόµενη λύση του γνωσιολογικού προβλήµατος για τους αριθµούς θα προϋπέθετε τη λύση του αντίστοιχου προβλήµατος για τα σύνολα. Αλλά αν το γνωσιολογικό πρόβληµα µεταφερθεί σε αυτό το πεδίο (της θεωρίας συνόλων) τότε είναι ακόµα πιο δύσκολο και να απαντηθεί. Η διαµάχη ανάµεσα στους υποστηρικτές της άποψης του Quine και στους Νεολογικιστές συνδέεται µε το πρόβληµα σχετικά µε το status της λογικής 2 ης τάξης και της ποσόδειξης 2 ης τάξης που εµπεριέχει οντολογικές δεσµεύσεις σε κλάσεις ή ιδιότητες. Στόχος των Hale και Wright είναι να δείξουν ότι τα µέσα που χρησιµοποιούν για την επίλυση του γνωσιολογικού προβλήµατος στη βάση της ισοδυναµίας Ν= ανήκουν στην καθαρή λογική και άρα διαθέτουν την απαιτούµενη προφάνεια και επιστηµολογική προτεραιότητα 20. Γύρω από τα προαναφερθέντα σηµεία διεξάγεται σήµερα ζωηρή φιλοσοφική συζήτηση. Ο Benacerraf είχε εκφράσει την ελπίδα ότι η φιλοσοφική αναζήτηση θα φτάσει σε µια προσέγγιση της µαθηµατικής αλήθειας η οποία θα εναρµονίζει την καθιερωµένη σηµασιολογία µε µια αξιόπιστη απάντηση στο πρόβληµα της µαθηµατικής γνώσης. Μια τέτοια προσέγγιση θα αποτελούσε απάντηση στο δίληµµα του Benacerraf. Όπως είδαµε, η προσέγγιση των Hale & Wright στην αφαιρετική αρχή του Frege επιτυγχάνει να δικαιολογήσει τη γνωσιολογική συνιστώσα του προβλήµατος και ταυτόχρονα εκφράζει µια θέση υπέρ του µαθηµατικού ρεαλισµού. Εάν καταφέρει να αντιπαρέλθει µε επιτυχία τα σηµαντικότερα σηµεία κριτικής της στο επίπεδο της ρεαλιστικής της θέσης, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι βρίσκεται πολύ κοντά σε µια επιτυχηµένη αντιµετώπιση του διλήµµατος του Benacerraf του 1973. 21 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 20 Για τη διαµάχη σχετικά µε το status της λογικής 2 ης τάξης, βλ. [5], [8] 21 Ευχαριστίες οφείλω στους καθηγητές:. Αναπολιτάνο για την πρόσκλησή του να συµµετάσχω στο συλλογικό τόµο και για την αγάπη που µου ενέπνευσε στη Φιλοσοφία των Μαθηµατικών Σ. Ψύλλο, επιβλέποντα της διατριβής µου, για τις συνεργασίες µας σε θέµατα που αφορούν το Νεοφρεγκεανισµό και τον ρεαλισµό, Α. Μπαλτά για τις συζητήσεις µας σχετικά µε το εν λόγω δίληµµα του Benacerraf κατά την περίοδο εκπόνησης της µεταπτυχιακής διπλωµατικής µου εργασίας στο θέµα αυτό και γιατί µου έδωσε την ευκαιρία µιας ζωντανής και µακράς συνοµιλίας µε τον Paul Benacerraf για τα διλήµµατα του 1973 και του 1965

[1] Αναπολιτάνος,. (1985), Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, Αθήνα, Νεφέλη [2] Benacerraf, P. (1973), «Mathematical Truth», Journal of Philosophy, 70, 661-680 [3] Benacerraf, P. & Putnam, H. (1983), Philosophy of Mathematics, 2nd edition, Cambridge, Cambridge University Press [4] Bonjour, L., (1998), In Defense of Pure Reason: A Rationalist Account of a Priori Justification, Cambridge, Cambridge University Press [5] Boolos, G. (1998), Logic, Logic and Logic, Cambridge, Mass., Harvard University Press [6] Dummett, M. (1991), Frege: Philosophy of Mathematics, London, Duckworth [7] Frege, G. (1884), The Foundations of Arithmetic (µετ. Ρουσσόπουλου, Γ. (1990), Τα Θεµέλια της Αριθµητικής, Αθήνα, Νεφέλη) [8] Hale, B. & Wright, C. (2001), The Reason s Proper Study, Oxford, Clarendon Press [9] Hale, B. & Wright, C. (2002), «Benacerraf's Dilemma Revisited», European Journal of Philosophy, 101-129 [10] Irvine, Α. (1990), Physicalism in Mathematics, London, Kluwer Academic Publishers [11] Κatz, J. (1995), What Mathematical knowledge Could Be?, Mind, 104, 491-522 [12] Maddy, P. (1990), Realism in Mathematics, Oxford, Clarendon Press [13] MacΒride, F. (2003), «Speaking with Shadows: A study of Neo-Logicism», British Journal fοr the Philosophy of Science, 54, 103-163 [14] Putnam, H. (1971), Philosophy of Logic, New York, Harper Torchbooks [15] Quine, W. V. (1986), Philosophy of Logic, 2 nd ed. Cambridge, Massachusetts, London, Harvard University Press [16] Wright, C. (1983), Frege s Conception of Numbers as Objects, Aberdeen, Aberdeen University Press [17] Χριστοδουλίδης, Π.(1993), (επιµ.) Η Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, εκδ. Πνευµατικός [18] Χριστοπούλου,. (2000), «Ο Paul Benacerraf και η γνωσιολογική πρόκληση στο µαθηµατικό ρεαλισµό», ευκαλίων, 18/1, 45-70 [19] Χριστοπούλου,. και Ψύλλος, Σ. (2005), «Νεο-λογικισµός: Προβλήµατα και