Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ"

Σωφρονία Αλεξόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Thanasis Xenos

2 )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., > Το ερώτηµα που τίθεται είναι σε ποια περίπτωση θα είναι βέβαιο ότι ισχύει η παραπάνω πρόταση. Αποδεικνύεται, µε χρήση του θεωρήµατος ενδιάµεσων τιµών, η πρόταση: Αν µια συνάρτηση f είναι και συνεχής σ ένα διάστηµα Δ, τότε είναι γνησίως µονότονη στο Δ.

3 .Να εξετασθεί αν ισχύει η πρόταση: «Μια συνάρτηση f έχει ελάχιστο και µέγιστο, αν και µόνο αν υπάρχουν για κάθε» R µε Αν η f έχει ελάχιστο το k f () λ για κάθε. = και µέγιστο το λ = f ), τότε ( Το αντίστροφο δεν αληθεύει, αφού, για παράδειγµα, αν f ( ) = ηµχ, R, τότε f ( ) 3, χωρίς η f να έχει ελάχιστο το - και µέγιστο το 3. (Τα ακρότατα είναι φράγµατα, αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο).

4 3.Γιατί η µορφή + + ενός ορίου είναι απροσδιόριστη; Αν πάρουµε τις συναρτήσεις f ( ) = και g( ) =, τότε ( ) f ( ) = +, g( ) = f ( ) + g( ) = και Αν ( ) = + f και g( ) =, τότε ( ) f ( ) + g( ) = και. Αν f ( ) = + και g( ) =, τότε 4 f ( ) = +, g( ) = f ( ) = +, g( ) = και ( f ( ) + g( ) ) = + Παρατηρούµε ότι το όριο εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουµε και γι αυτό η µορφή (+ )+(- ) είναι απροσδιόριστη.! Για την απροσδιόριστη µορφή., µπορούµε να πάρουµε τις συναρτήσεις (για το όριο στο ) ) f ( ) = και ) f ( ) = και 3) f ( ) = και 4 g ( ) = g ( ) = g ( ) =! Για την απροσδιόριστη µορφή µπορούµε να πάρουµε τις συναρτήσεις (για το όριο στο ) ) ) 3) 4) f ( ) = και g ( ) = f ( ) = και f ( ) = και f ( ) = και g ( ) = g ( ) = g ( ) = 4 3

5 4) Είναι σωστός ο παρακάτω ορισµός; «Δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού και τον ίδιο τύπο» Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, οι συναρτήσεις {,, } Α = είναι ίσες και όµως δεν έχουν τον ίδιο τύπο. 4 f ( ) = και g ( ) = µε κοινό πεδίο ορισµού

6 5.Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Οι συναρτήσεις = = είναι ίσες» Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, οι συναρτήσεις 3 3 f ( ) = και g ( ) = δεν είναι ίσες, διότι D = R και D = [, + ). Ανάλογη απάντηση έχουµε και για τις συναρτήσεις f f ν ( ) = ln και g( ) = ν ln. g

7 6) Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Δεν υπάρχει συνάρτηση που να είναι συγχρόνως άρτια και περιττή» Δεν είναι σωστός. Οι ισότητες f(-)=f() και f(-)=-f() αληθεύουν συγχρόνως για την συνάρτηση f()=.

8 Δεν είναι σωστός, διότι µπορεί να µην έχει όριο η f στο o. Για παράδειγµα, ισχύει =, 3 = 3 < < 3, και η συνάρτηση f ( ) = δεν έχει όριο στο.

9 Προφανώς, ισχύει το αντίστροφο, αλλά αυτή η πρόταση δεν είναι σωστή, αφού µε δεδοµένο ότι ορίζεται η f κοντά στο o, αυτό σηµαίνει ότι ορίζεται σε σύνολο της µορφής ( a, o ) (, β) ή (, ) ή (, β) a o Για παράδειγµα, αν f ( ) =,, τότε f ( ), =, και δεν έχει νόηµα το όριο από αριστερά στο.

10 Δεν είναι σωστός, για δύο λόγους. i) Αν f ( ) = + και g( ) =, τότε το ( f ( ) + g( ) ) έχει την απροσδιόριστη µορφή (+ ) + (- ). ii) Είναι δυνατόν η f να ορίζεται δεξιά στο o και η g αριστερά στο o, οπότε να ( f ( ) + g( ) ), µην έχει νόηµα το όπως συµβαίνει µε το ( + )

11 Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, αν για κάθε R ισχύει f ()=, τότε µπορεί να ισχύει i) f()=, R ii) f()=-, R iii) f()=, R iv) f()=, R, <, v) f ( ) = vi) f ( ) = κ.λπ.,, = Άπειρες συναρτήσεις επαληθεύουν την εξίσωση f ()=. Ανάλογο συµπέρασµα έχουµε για την ισοδύναµη εξίσωση f ( ) = g( )

12 Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, η συνάρτηση [,] και όµως δεν είναι συνεχής στο., < f ( ) = είναι συνεχής στο διάστηµα,

13 Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f ( ) = είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (-,) και (,+ ), ενώ δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R *, αφού για << ισχύει f( )>f( ).

14 3) Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες σε διάστηµα Δ, τότε και η f g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ». Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, οι συναρτήσεις f()= και g()= 3 είναι γνησίως αύξουσες στο R, ενώ η συνάρτηση (f. g)()= 4 δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R.

15 Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, οι συναρτήσεις f()= 3 και g()=- 3 είναι -, ενώ η (f+g)()= δεν είναι -.

16 Δεν είναι σωστός, διότι είναι δυνατόν η f να µην έχει όριο στο. Για παράδειγµα, η f = ) ( δεν έχει όριο στο, ενώ ισχύει f() =. Ανάλογο συµπέρασµα ισχύει στην περίπτωση ) ( = λ f Ισχύουν όµως οι ισοδυναµίες: i) ) ( ) ( = = f f ii) ) ( ) ( = = f f = = π. κ ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) λ f f ii f f f i

17 Δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, οι συναρτήσεις f ( ) = και g( ) = είναι παραγωγίσιµες στο µε f ( ) = g () =, ενώ η συνάρτηση ( f + g)( ) = ( + ) ορίζεται µόνο για = και δεν έχει νόηµα να µιλάµε για παράγωγο της f+g.

18 7. Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Αν οι f, g είναι παραγωγίσιµες στο, τότε οι C f, C g έχουν παράλληλες εφαπτόµενες στο σηµείο µε τετµηµένη, αν και µόνο αν ισχύει =». Αν οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες, τότε προφανώς ισχύει ( ) = g ( ). f Αν όµως f () = g (), τότε είναι δυνατόν να ισχύει f( ) = g( ) και έτσι οι C f, C g να έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη.

19 Είναι = [, + ), (, + ), ανα > ανα < Για α > έχουµε: α f ( ) f () = α =, = +, αν αν α > α < Άρα, ο ισχυρισµός είναι σωστός.

20 O ισχυρισµός δεν είναι σωστός, αφού δεν γνωρίζουµε ότι η f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], ώστε να εφαρµόζεται το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Για παράδειγµα, αν ( ), - f =, η f είναι ορισµένη στο διάστηµα [-, ] +, < και ισχύει f ( ) < < f (), ενώ η f δεν παίρνει την τιµή.

21 ν ν Έστω το πολυώνυµο P ) = α + α α, όπου α και ν ( ν ν + α ν +, αν αν > f ( ) = ν αν = περιττός. Ισχύει, αν αν < + + και, f ( ) = +, αν αν αν > α < ν. Επειδή η συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, παίρνει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή και άρα P ( R) = R. Άµεσο συµπέρασµα: Κάθε πολυώνυµο περιττού βαθµού έχει µια τουλάχιστον πραγµατική ρίζα. Δεν ισχύει ο ισχυρισµός για πολυωνυµική συνάρτηση άρτιου βαθµού. Για παράδειγµα, η f()= + έχει σύνολο τιµών το [, + ).

22 Δεν είναι σωστός, αφού για παράδειγµα αν f()= 3, τότε f () = και η f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο (f είναι γνησίως αύξουσα στο R ). Οµοίως, αν f () =, τότε δεν σηµαίνει ότι η f παρουσιάζει καµπή στο. Για παράδειγµα, η f()= 4 είναι κυρτή στο R κι όµως f () =.

23 Δεν είναι σωστός, διότι β - f() f() f(), οπότε - f() d f ( ) d f() d, α β α β α δηλαδή β α f ( ) d f ( ) d.. β α Προφανώς, αληθεύει µόνο όταν για κάθε [ α, β] ισχύει f ( ) ή f ( ).

24 3 Λάθος, αφού π.χ. d = = >, ενώ η f()= δεν είναι θετική στο διάστηµα [-, ].

25 4.Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστηµα Δ και τότε δεν ισχύει = + µε». β γ Λάθος, διότι ισχύει:. f ( ) d = f ( ) d f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d α α γ β β α γ β

26 Ο ισχυρισµός δεν είναι σωστός. Για παράδειγµα, η f()= 3 είναι γνησίως αύξουσα στο R, ενώ ισχύει f ( ) = 3 για κάθε R. Αν η f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε f ( ) f ( ) > και f ) = ( f ( ) f ( ) για κάθε Δ.

27 Λάθος. Το σωστό είναι f () (όπως παραπάνω). Για παράδειγµα, η f()= 4 είναι κυρτή στο R κι όµως f () = για κάθε R.

28 , < Λάθος. Για παράδειγµα, αν f() =, τότε f () για κάθε R και η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R, αλλά απλώς αύξουσα. Αποδεικνύεται ότι, αν f () και τα σηµεία µηδενισµού της f δεν συνιστούν διάστηµα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα Δ.

29 i) Από την f (-)= -f () βρίσκουµε f(-)=f()+c, η οποία για = δίνει c=. Άρα, ισχύει αυτή η συνεπαγωγή. ii) Από την f (-)= f () βρίσκουµε f(-)= -f()+c, η οποία για = δίνει c=f(). Έτσι, η συνεπαγωγή αυτή αληθεύει µόνο όταν f()=, δηλαδή η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

30 9.Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Αν µια συνάρτηση f : A R είναι αντιστρέψιµη, τότε οι συναρτήσεις f - f και f f - είναι ίσες». Για κάθε A ισχύει ( f of )( ) = f ( f ( ) ) =, δηλαδή η συνάρτηση f - o f είναι ταυτοτική στο Α. Για κάθε f (A) y ισχύει ( fof )( y) = f ( f ( y) ) = y, δηλαδή η συνάρτηση fof είναι ταυτοτική στο f(a). Άρα, of fof. f (Θα ισχύει f of = fof µόνο όταν f ( Α ) = A). Παράδειγµα: Για τις αντίστροφες συναρτήσεις f ( ) = e, R και ln g ( ) = ln, > έχουµε ( fog)( ) = f ( g( )) = e =, > και ( gof )( ) = g( f ( )) = lne =, R

31 3.Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : A R κοινά σηµεία µε µια ασύµπτωτη αυτής». δεν µπορεί να έχει Δεν αληθεύει. Παραδείγµατα: ) Η ηµ f ( ) = έχει όριο στο + και, οπότε η Cf έχει ασύµπτωτη τον άξονα κι όµως έχει κοινά σηµεία µε τον όλα τα σηµεία Μ(κπ,), k Z *. ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, f() = ln, > έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη τον y y κι όµως έχει κοινό σηµείο µε αυτόν.

32 f ( ) 3.Είναι σωστός ο παρακάτω ισχυρισµός; «Αν το όριο g( ) έχει την f ( ) απροσδιόριστη µορφή και δεν υπάρχει το g ( ), τότε δεν υπάρχει και το πρώτο όριο». Δεν αληθεύει. Παράδειγµα: συν Ισχύει = ( συν ) =, ενώ το συν ( ) = (συν + ηµ ) δεν υπάρχει. Η f()=ηµ δεν έχει όριο στο + (ούτε στο ) και αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Έστω ότι + f ( ) = λ R {, + ). Υποχρεωτικά θα είναι λ. Θα ισχύει και + f ( π ) = λ, αλλά f ( π ) = ηµ και άρα λ=. π Επίσης, θα ισχύει f ( ) = λ =, δηλ. + + συν =, που είναι άτοπο, διότι ηµ + συν =.

33 3.Είναι δυνατόν µια συνεχής συνάρτηση να µην έχει τοπικό ακρότατο σε άκρο διαστήµατος; Αν µια συνεχής συνάρτηση f : Δ R, όπου Δ διάστηµα, είναι γνησίως µονότονη, τότε σε κάθε άκρο του Δ (που ανήκει στο Δ) έχει ακρότατο. Αν η f δεν είναι γνησίως µονότονη, τότε είναι δυνατόν να µην έχει τοπικό Παράδειγµα: ακρότατο σε κάποιο άκρο του Δ. Η συνάρτηση συν f() =, > = είναι συνεχής στο διάστηµα [,+ ). Θα διαπιστώσουµε ότι η τιµή f()= δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θεωρούµε τις τιµές = rπ και =, *. Ν rπ + π v Καθώς v +, οι τιµές αυτές είναι οσοδήποτε κοντά στο. Ισχύει f ( ) = > και vπ f ( ) = <, δηλαδή οσοδήποτε κοντά στο η f παίρνει θετικές και vπ + π αρνητικές τιµές. Άρα, η τιµή f()= δεν είναι τοπικό ακρότατο της f.

34 33.Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος αλλάζει µονοτονία εκατέρωθεν του ; Δ D f, τότε η f Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση f() = ( + ηµ ),, = H f έχει ελάχιστο το f ( ) =, διότι ( +ηµ ) = f (). Για ισχύει f ( ) = 4 + ηµ συν Αν θεωρήσουµε κοντά στο τα σηµεία = vπ και, = µε v N * και π vπ + 6 v +, τότε f ( ) = < και f ( ) = >, που σηµαίνει ότι δεξιά vπ π vπ + του η f () δεν διατηρεί πρόσηµο. Ακριβώς το ίδιο συµβαίνει και αριστερά του.

35 34.Αν µια συνεχής συνάρτηση f : A R δεν µηδενίζεται στο σύνολο Α, τότε διατηρεί πρόσηµο στο Α». Δεν αληθεύει. Αληθεύει µόνο αν το Α είναι διάστηµα. Για παράδειγµα, η συνάρτηση δεν διατηρεί πρόσηµο στο R *. f ( ) = είναι συνεχής στο R *, δεν µηδενίζεται και

Σχετικά έγγραφα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: