algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá Þ áüñéóôç). (ìå á = 0 êáé â 0) äåí Ý åé êáìßá ðñáãìáôéêþ ëýóç (áäýíáôç). ÐÁÑÁÔÇÑÇÓÅÉÓ Áí Ý ïõìå ôçí åîßóùóç áx + â = 0, ôüôå:. Áí á 0 êáé â = 0, ç åîßóùóç ãñüöåôáé áx = 0, ðïõ Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôï x = 0.. ¼ôáí ìéá åîßóùóç Ý åé Þ ìðïñåß íá ãñáöåß óôç ìïñöþ á â = 0, ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá: á â = 0 á = 0 Þ â = 0. ¼ôáí ìéá åîßóùóç Ý åé Þ ìðïñåß íá ãñáöåß óôç ìïñöþ á + â = 0 (á, â 0), ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá: Áí á, â 0, ôüôå á + â = 0 á = 0 êáé â = 0 Ôï áñáêôçñéóôéêüôåñï ðáñüäåéãìá åßíáé üôé: á + â = 0 á = â = 0 ÏÑÉÓÌÏÉ. Äýï åîéóþóåéò ëýãïíôáé éóïäýíáìåò áí Ý ïõí ôçí ßäéá ëýóç (Þ ëýóåéò).. Ç åîßóùóç áx + â = 0, üðïõ ôá á, â äåí åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, áëëü åêöñüæïíôáé ìå ôç âïþèåéá ãñáììüôùí, ëýãåôáé ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç êáé ôá ãñüììáôá áõôü ðáñüìåôñïé. Ç åñãáóßá ðïõ êüíïõìå ãéá ôçí åýñåóç ôùí ñéæþí ëýãåôáé äéåñåýíçóç. ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ Ç åîßóùóç (ë + ) x = ë åßíáé ðáñáìåôñéêþ, ìå ðáñüìåôñï ôï ë. 00
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 0 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ ÌÝèïäïé êáé åöáñìïãýò ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) Âñßóêïõìå ôï ÅÊÐ (åëü éóôï êïéíü ðïëëáðëüóéï) ôùí ðáñïíïìáóôþí (áí õ- ðüñ ïõí). â) ÊÜíïõìå áðáëïéöþ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéüæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ôçò åîßóùóçò ìå ôï ÅÊÐ. ã) ÊÜíïõìå ðñüîåéò (åðéìåñéóôéêþ éäéüôçôá, áíáãùãþ ïìïßùí üñùí) êáé öýñíïõìå ôçí åîßóùóç óôç ìïñöþ áx + â = 0 áx = â. ä) Áêïëïõèïýìå ôá âþìáôá ðïõ áíáëýèçêáí óôç èåùñßá ãéá ôçí åðßëõóç ôçò åîßóùóçò.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x ) + x = (4 + x), x 4 x 4x + â) =, 4 ã) (x + ) + (x )(x + ) = x x, ä),(x ) (,x ) (x + ) = 4(x 0,)., óåë. 9 á) (x ) + x = (4 + x) x + x = 8 x x + x + x = + + 8 7x = x =. 7 x 4 x 4x + x 4 x 4x + â) = = 4 4 (x ) 6 (4 x) = 4 (4x + ) 6x 9 4 + 0x = 6x + 44 6x + 0x 6x = 44 + 9 + 4 77 0x = 77 x =. 0 ã) (x + ) + (x )(x + ) = x x x + x + + 4x + 6x x = x x x + x + 4x + 6x + x + = 0 7x = x = ä),(x ) (,x ) (x + ) = 4(x 0,),x,x + 4x 6 = 4x 9,x,x 4x 4x = + 6 8x = 9 x =. 8. 7 0
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 0 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ç ÌÅÈÏÄÏÓ ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) Ðáñáãïíôïðïéïýìå ôïõò ðáñïíïìáóôýò. â) Âñßóêïõìå ôï ÅÊÐ ôùí ðáñïíïìáóôþí. ã) ÂÜæïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôïõò ðáñïíïìáóôýò (Þ ÅÊÐ 0). ä) ÊÜíïõìå áðáëïéöþ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéüæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ìå ôï ÅÊÐ. å) ÊÜíïõìå ðñüîåéò (åðéìåñéóôéêþ éäéüôçôá, áíáãùãþ ïìïßùí üñùí) êáé öýñíïõìå ôçí åîßóùóç óôç ìïñöþ áx + â = 0 áx = â. óô) Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç êáôü ôá ãíùóôü. æ) ÔÝëïò, åëýã ïõìå áí ïé ñßæåò ðïõ âñþêáìå åßíáé äåêôýò Þ áðïññßðôïíôáé ìå âüóç ôïõò áñ éêïýò ðåñéïñéóìïýò.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x á), â) + = 7,, óåë. 60 =, ã) + =. x 4 x x+ x + x x á) ÅÊÐ = 4 (x ) 0 x, ïðüôå: x x = 4(x ) = 4(x ) 4 (x ) = (x ) x 4 x 4 6 8x = x 6 8x x = 6 x = 6 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ. 7 7 â) + = + = x x+ x x x + ( x)( + x) 7 + = (É). x x + (x )(x + ) ÅÊÐ = (x )(x + ) 0 x ±, ïðüôå: 7 (É) (x )(x + ) + (x )(x + ) = (x )(x + ) x x + (x )(x + ) (x + ) + (x ) = 7 x + + x = 7 9 x + x = 7 8x = 9 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ. 8 ã) ÐñÝðåé x 0 êáé + 0 êáé x 0 x x x x êáé + 0 êáé x 0 x êáé êáé x 0 x x x 0 (x êáé x 0). 0
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 0 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ + = + + = x x + x + x x x x x x x + = (ÉÉ), üðïõ ÅÊÐ = x, Üñá (ÉÉ) x + x = x x x x x x + x = x = + x = 4 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x x+ á) =, â) + =, ã) x x = + x. x+ x 4 x x x 6 x 4 6x x x á) = = (É). Ç åîßóùóç x+ x 4 x + (x )(x + ) 0x = â 0 ÅÊÐ = (x + ) (x ) 0 x ±, ïðüôå: åßíáé áäýíáôç. x (É) (x )(x + ) = (x )(x + ) x + (x )(x + ) x = x x x = 0x =, ðïõ åßíáé áäýíáôç. â) ÅÊÐ = x 0, ïðüôå: x+ x+ + = x + x = x x + x + = x = x x x x x = 0 x = 0, ç ïðïßá áðïññßðôåôáé ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü, åðïìýíùò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç. x x x x x x ã) = + = (ÉÉ). x 6 x 4 6x (x ) (x ) 6(x ) ÐñÝðåé x êáé Ý ïõìå ÅÊÐ = 6 (x ), ïðüôå: x x x (ÉÉ) 6(x ) 6(x ) = 6(x ) 6(x ) (x ) (x ) 6(x ) x x = 6(x ) (x ) 4x x = 6x x + 4x x 6x + x = + 0x = 0, Ç åîßóùóç ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. 0x = 0 ÅðïìÝíùò, ìå âüóç ôïí áñ éêü ðåñéïñéóìü ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá. Ý åé ëýóç êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x. x 7 x + 8x+ 8 4. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç =. x x+ 9 6, óåë. 6 á) Ãéá x êáé x 9 Ý ïõìå: x 7 x + 8x+ 8 (x )(x + x + 9) (x + 9) = = x x+ 9 x x+ 9 x + x + 9 = x + 9 x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 Þ x + = 0 x = 0 Þ x =, ðïõ åßíáé äåêôýò. 0
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 04 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åîéóþóåéò áíþôåñïõ âáèìïý ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) ÌåôáöÝñïõìå üëïõò ôïõò üñïõò óôï ðñþôï ìýëïò. â) Ðáñáãïíôïðïéïýìå. ã) ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá á â = 0 á = 0 Þ â = 0. ñþóéìç åßíáé êáé ç éóïäõíáìßá á + â + ã = áâã á = â = ã Þ á + â + ã = 0.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x (x ) x(x ) + (x ) = 0, â) (x + ) ( x )(x + ) = 0. á) x (x ) x(x ) + (x ) = 0 (x )(x x + ) = 0 (x )(x ) = 0 x = 0 Þ (x ) = 0 x = 0 Þ x = 0 x = Þ x =. â) (x + ) ( x )(x + ) = 0 (x + ) + (x + )(x + ) = 0 (x + )(x + + x + ) = 0 (x + )(x + 6) = 0 x + = 0 Þ x + 6 = 0 x = Þ x = 6 x = Þ x =. 6. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x 4x 4x + 6 = 0, â) (x + ) (x ) = 9, ã) (x 4) (x + ) = (x )(x ), ä) x + x x 7 = x 9. 7, óåë. 60 8, 9, 0, óåë. 60 á) x 4x 4x + 6 = 0 x (x 4) 4(x 4) = 0 (x 4)(x 4) = 0 (x 4)(x )(x + ) = 0 x = 4 Þ x = Þ x =. â) (x + ) (x ) = 9 x + x + (x 4x + 4) = 9 x + x + x + 4x 4 9 = 0 6x 4 = 0 6x = 4 4 x = x = 7. 6 ã) (x 4) (x + ) = (x )(x ) (x 4) (x + ) (x )(x ) = 0 (x ) (x + ) (x + ) (x ) (x + ) (x ) = 0 (x )(x + ) (x + x + ) = 0 (x )(x + ) = 0 x = 0 Þ x + = 0 x = Þ x =. ä) x + x x 7 = x 9 x 7 + x x (x 9) = 0 (x )(x + x + 9) + x(x ) (x )(x + ) = 0 (x ) (x + x + 9 + x x ) = 0 (x ) (x + 7x + 6) = 0 x = 0 Þ x + 7x + 6 = 0 x = Þ (x + )(x + 6) = 0 x = Þ x = Þ x = 6. 04
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 0 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 7. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç (x ) + (x ) + (8 x) = 0. Áöïý (x ) + (x ) + (8 x) = 0, áðü ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Euler Ý ïõìå üôé: (x ) + (x ) + (8 x) = 0 (x ) (x ) (8 x) = 0 x = 0 Þ x = 0 Þ 8 x = 0 x = Þ x = Þ x = 8 8 x = Þ x = Þ x =. 4ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åîéóþóåéò ìå áðüëõôá ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò: f(x) = è f(x) = ±è, f(x) = ê g(x) f(x) = ±ê g(x) êáé f(x) =h(x) f(x) = ±h(x), üðïõ ê, è, h(x) 0. 8. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x =, â) x = x +. á) x = x = Þ x = 7 x = 7 Þ x = x = Þ x =. â) x = x + x = ±(x + ) x = x + Þ x = x x x = Þ x + x = 8x = Þ x = x = Þ x =. 8 4i, ii, óåë. 60 f(x) = è f(x) = ±è, üðïõ è 0 f(x) = ê g(x) f(x) = ±ê g(x), üðïõ ê 0 9. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = x +, â) x 4x+ 4 x + = 8, óåë. 6 0. á) x = x + x = ± (x + ) x = x + Þ x = x x x = + Þ x + x = + x = 8 Þ 7x = 8 x = Þ x =. 7 â) x 4x+ 4 x + =0 (x ) x + =0 x = x x = x + x = x + Þ x = (x + ) x x = + Þ x + x = x = Þ x = x = Þ x =. 0
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 06 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 0. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x 7 = x +. 4iii, iv, óåë. 60 ÅðåéäÞ ôï ðñþôï ìýëïò ôçò åîßóùóçò åßíáé ìç áñíçôéêü, ãéá íá Ý åé ëýóç ç åîßóùóç ðñýðåé êáé ôï äåýôåñï ìýëïò ôçò íá åßíáé ìç áñíçôéêü. ÄçëáäÞ ðñýðåé x + 0 x x. Ôüôå Ý ïõìå: x 7 =x + x 7 = x + Þ x 7 = x x x = 7 + Þ x + x = 7 x = 8 Þ x = 6 x = 8 Þ x =. Áðü ôéò ðáñáðüíù ëýóåéò äåêôþ åßíáé ìüíï ç x =, äéüôé éêáíïðïéåß ôïí ðåñéïñéóìü.. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç + x + =. f(x) = h(x) f(x) = ±h(x), üðïõ h(x) 0 7, óåë. 6 + x + = + x + = Þ + x + = x + = Þ x + =. Ç åîßóùóç x + = åßíáé áäýíáôç, åíþ ç ðñþôç éóïäýíáìá ãßíåôáé: x + = Þ x + = x = Þ x = 4. x. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x + = + 0., óåë. 6 ÈÝôïõìå x =ù êáé ç äïóìýíç åîßóùóç ãßíåôáé: ù ù ù + = + 0 ù + = + 0 6ù + 0 = ù + 0 6ù ù = 0 0 ù = 0 ù =, Üñá x = x = Þ x = x = Þ x =. 6 x 7 x. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x = +. 4 6 x 7 x x = + á â = â á êáé á â = á â 4 ( x) 7 x x 7 x x = + x = + (I). 4 4 ÈÝôïõìå y = x, ïðüôå: y 7 y y 7 y (I) y = + y = + y 8y = 4 + y 4 4 y 8y y = 4 y = 4, Üñá x =4 x = 4 Þ x = 4 x = 4 Þ x = 9. 06
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 07 x+ 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) =, x 6, óåë. 6 â) x + x x + = 0. á) Ãéá x Ý ïõìå: x+ x + = = x + = x x + = ±(x ) x x x + = x Þ x + = x + x = Þ x = x = Þ x =, ðïõ åßíáé äåêôýò. â) x + x x + =0 x + x = x + (x + )(x ) = x + (x + )(x ) = ±(x + ) (x + )(x ) (x + ) = 0 Þ (x + )(x ) + (x + ) = 0 (x + )(x ) = 0 Þ (x + )(x + ) = 0 (x + )(x 4) = 0 Þ (x + )(x ) = 0 x + = 0 Þ x 4 = 0 Þ x + = 0 Þ x = 0 x = Þ x = 4 Þ x =.. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x + x = x. x + x + + x + + x + x = = x ( x + ) + ( x) = x x + + 6 x = x 8x = 8 x =, ðïõ áðïññßðôåôáé, áöïý x <. ÅðïìÝíùò ëýóåéò åßíáé ïé x = Þ x = 8. (x ) + ( x) = x x + 6 x = x 4x = 4 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ, áöïý x. 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ (x ) + ( + x) = x x 6 + x = x x = 8 x = 4, ðïõ åßíáé äåêôþ, áöïý x >. ç ÌÅÈÏÄÏÓ ÐáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) ÊÜíïõìå ðñüîåéò, ùñßæïõìå ôïõò ãíùóôïýò áðü ôïõò Üãíùóôïõò üñïõò, ðáñáãïíôïðïéïýìå ôá äýï ìýëç ôçò åîßóùóçò, ïðüôå ôç öýñíïõìå óôç ìïñöþ áx + â = 0 áx = â. â) Âñßóêïõìå ôéò ôéìýò ôçò ðáñáìýôñïõ á, ãéá ôéò ïðïßåò éó ýåé á 0, êáé ôç ìïíáäéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò, x = â á. ã) Ãéá êüèå ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ ðïõ åîáéñýóáìå óôï ðñïçãïýìåíï âþìá ëýíïõìå ôçí åîßóùóç. Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç, ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá Þ áäýíáôç. 07
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 08 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 6. Íá ëýóåôå ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ ðñáãìáôéêïý ë ôéò áêüëïõèåò ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò:, óåë. 9 á) (ë ) (ë + ) x = ë +, â) ë (ëx + ) = 4x +. á) (ë ) (ë + ) x = ë + (I). Áí (ë )(ë + ) 0 ë êáé ë, ç (I) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç ë+ x = x =. (ë )(ë + ) ë Áí ë = : (I) 0x = 4, ðïõ åßíáé áäýíáôç. Áí ë = : (I) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. â) ë (ëx + ) = 4x + ë x + ë = 4x + ë x 4x = ë + (ë 4)x = 4 ë (ë )(ë + )x = (ë ) (II). Áí (ë )(ë + ) 0 ë êáé ë, ç (II) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç (ë ) x = x =. (ë )(ë + ) ë + Áí ë = : (II) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. Áí ë = : (II) 0x = 8, ðïõ åßíáé áäýíáôç. ëx + ë ëx + ë + x 7. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç = + ãéá êüèå ôéìþ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë. 4 ëx + ë ëx + ë + x ëx + ë ëx + ë + x = + = + 4 4 4 (ëx + ë) = (ëx + ) + ë + x 4ëx + 4ë = ëx + + ë + x 4ëx ëx x = ë 4ë + ëx x = ë 4ë + (ë )x = (ë )(ë ) (I). (ë )(ë ) Áí ë 0 ë, ç (I) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç x = ë x = ë. Áí ë = : (I) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. 8. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç ëx + ì = 4x + ë ãéá êüèå ôéìþ ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ë, ì., óåë. 6 ëx + ì = 4x + ë ëx 4x = ë ì (ë 4)x = ë ì (I). ë ì Áí ë 4 0 ë 4, Ý ïõìå ìïíáäéêþ ëýóç ôç x =. ë 4 08 Áí ë = 4: (I) 0x = ì (II). Áí ì 0 ì Áí ì =, ç (II) åßíáé ôáõôüôçôá., ç (II) åßíáé áäýíáôç.
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 09 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 9. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç ë x ë ë + = (x ë + 4): á) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç, â) åßíáé áäýíáôç, ã) åßíáé ôáõôüôçôá. ë x ë ë + = (x ë + 4) ë x ë ë + = x ë + 00 ë x x = ë 4ë + 9 (ë )x = ë 4ë + 9 (ë )(ë + )x = (ë )(ë 9) (I). Áí (ë )(ë + ) 0 ë êáé ë, ç åîßóùóç Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç. Áí ë = : (I) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. Áí ë = : (I) 0x = 40, ðïõ åßíáé áäýíáôç. ÅðïìÝíùò: á) Ç åîßóùóç Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç áí ë êáé ë. â) Ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç áí ë =. ã) Ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá áí ë =. 0. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç (ë ) x + = 6 + ë + ëx Ý åé ðüíôá ëýóç. (ë ) x + = 6 + ë + ëx ë x x ëx = 6 + ë (ë ë )x = ë + (ë + )(ë )x = ë + (I). Ãéá íá Ý åé ç (I) ðüíôá ëýóç, ðñýðåé åßôå íá Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç åßôå íá åßíáé ôáõôüôçôá. Ç (É) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç üôáí (ë + )(ë ) 0 ë êáé ë (ÉÉ). Ç (É) åßíáé ôáõôüôçôá üôáí [(ë + )(ë ) = 0 êáé ë + = 0] [(ë = Þ ë = ) êáé ë = ] ë = (ÉÉÉ). Áðü ôéò (ÉÉ) êáé (ÉÉÉ) âñßóêïõìå üôé ë. Ç åîßóùóç áx = â Ý åé ðüíôá ëýóç áí á 0 Þ áí á = â = 0.. Áí ç åîßóùóç ë x ë = ( + x) Ý åé Üðåéñåò ëýóåéò, íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç ëx + 6 = x ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç ìçäåíéêþ. ë x ë = ( + x) ë x ë = + 4x ë x 4x = + ë (ë 4)x = ë + (ë + )(ë )x = ë + (I). Áöïý ç åîßóùóç ë x ë = ( + x) (ë + )(ë )x = ë + Ý åé Üðåéñåò ëýóåéò, ðñýðåé íá éó ýåé üôé {(ë + )(ë ) = 0 êáé ë + = 0} ë =. Ôüôå ç åîßóùóç ëx + 6 = x ë ãßíåôáé: x + 6 = x ( ) x x = 6 6 7x = 0 x = 0, äçëáäþ ç åîßóùóç ëx + 6 = x ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç ìçäåíéêþ. 09
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 0 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ x + ì 4x + ìx. Íá äéåñåõíþóåôå ôçí åîßóùóç = ãéá x ì 4x 4xì + ì, óåë. 6, üëåò ôéò ôéìýò ôïõ ì. i, ii, óåë. 06 x + ì 4x + ìx x + ì 4x + ìx = = (I). x ì 4x 4xì + ì x ì (x ì) ì ÅÊÐ = (x ì) 0 x ì 0 x ì x, ïðüôå: x + ì 4x + ìx (I) (x ì) =(x ì) (x ì)(x + ì) = 4x + ìx x ì (x ì) 4x ì = 4x + ìx ìx = ì (II). ì Áí ì 0, Ý ïõìå ìïíáäéêþ ëýóç ôç x= = ì, ðïõ åßíáé äåêôþ. ì Áí ì = 0: (ÉI) 0x = 0, ðïõ Ý åé ëýóç êüèå ðñáãìáôéêü x 0, áöïý ì 0 x =.. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç x (ë + ) = 4 [ë (x ) + ë]: á) Ý åé ñßæá ôïí áñéèìü, â) Ý åé ìïíáäéêþ ñßæá ôïí áñéèìü. iii, óåë. 06 á) Ãéá íá Ý åé ç åîßóùóç ñßæá ôïí áñéèìü, ðñýðåé íá ôçí åðáëçèåýåé, äçëáäþ (ë + ) = 4 [ë ( ) + ë] 6ë + 0 = ë + 4ë 6ë + 4ë 0 = 0 ë + ë = 0, ç ïðïßá Ý åé Ä = 64 êáé ë = Þ ë =. â) Áíôéêáèéóôïýìå óôçí áñ éêþ åîßóùóç ôá ë ðïõ âñþêáìå êáé Ý ïõìå: Áí ë =, âñßóêïõìå x ( + ) = 4 [ ( x ) + ] 8x = 8x, Üñá Ý ïõìå ôáõôüôçôá, ïðüôå áðïññßðôåôáé ç ôéìþ ë =. Áí ë =, âñßóêïõìå: x + = 4 (x ) + 0x 40x 00x 60 x + =4 = 9 9 9 9 0x = 00x 60 00x 0x = 60 80x = 60 x =, ç ïðïßá åßíáé ìïíáäéêþ ëýóç, ïðüôå ç ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé äåêôþ. Óõíåðþò ë =. 0
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 4. Äßíïíôáé ïé åîéóþóåéò (ë + )x = ì 8 êáé (ì + 9ì)x = ë +. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç ðñþôç åßíáé ôáõôüôçôá, ç äåýôåñç åßíáé áäýíáôç Þ Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç. Ç åîßóùóç (ë + )x = ì 8 åßíáé ôáõôüôçôá áí Ý åé ôç ìïñöþ 0x = 0, äçëáäþ áí éó ýåé üôé ë + = 0 êáé ì 8 = 0 ë = êáé ì = ±9. Áí ë = êáé ì = 9, ç äåýôåñç åîßóùóç ãßíåôáé (9 + 9 9)x = ( ) + 7 6x = 7 x =, äçëáäþ Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç. 6 Áí ë = êáé ì = 9, ç äåýôåñç åîßóùóç ãßíåôáé [( 9) + 9 ( 9)]x = ( ) + 0x = 7, ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.. Ðïéïé ðåñéïñéóìïß ðñýðåé íá éó ýïõí ãéá ôá ê, ë þóôå íá Ý åé x x ëýóç ç åîßóùóç = + ; ê ë x x x x Ãéá ê 0 êáé ë 0 Ý ïõìå üôé = + êë êë = êë ê ë ê ë ëx êx = êë (ë ê) x = êë (I). Ãéá íá Ý åé ëýóç ç äïóìýíç åîßóùóç, áñêåß íá Ý åé ëýóç êáé ç éóïäýíáìþ ôçò åîßóùóç (I), äçëáäþ áñêåß ç (I) íá ìçí Ý åé ìïñöþ 0x = êë (áöïý êë 0). ÅðïìÝíùò ðñýðåé ë ê 0 ë ê, üðïõ êë 0., óåë. 6 Ìéá åîßóùóç Ý åé ëýóç üôáí äåí åßíáé áäýíáôç. 6ç ÌÅÈÏÄÏÓ ÐñïâëÞìáôá ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá ðñüâëçìá ìå ñþóç åîßóùóçò ïõ âáèìïý, èýôïõìå x ôçí Üãíùóôç ðïóüôçôá êáé êáôáóêåõüæïõìå ôçí åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôá äåäïìýíá ôçò Üóêçóçò. 6. Ìéá äåîáìåíþ ó Þìáôïò ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ Ý åé äéáóôüóåéò âüóçò m êáé 8 m. Áí ðåñéý åé 44.000 ëßôñá íåñü, íá âñåßôå ôï ýøïò ôçò óôüèìçò ôïõ íåñïý. ïõìå üôé m = 0 dm, 8 m = 80 dm, 44.000 ëßôñá = 44.000 dm. óôù x dm ôï ýøïò ôçò óôüèìçò ôïõ íåñïý. Ôï íåñü åíôüò ôïõ äï åßïõ ðáßñíåé ôï ó Þìá ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ìå äéáóôüóåéò á = 0 dm, â = 80 dm, ã = x dm, ïðüôå èá éó ýåé üôé: V = á â ã 44.000 = 0 80 x 44.000 = 9.600 x x = 44.000 : 9.600 x = dm =, m. V = á â ã, á: ôï ìþêïò, â: ôï ðëüôïò, ã: ôï ýøïò.
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 7. íáò áãñüôçò Ý åé Ýíá ïéêüðåäï ó Þìáôïò ôåôñáãþíïõ. Ëüãù ïéêïíïìéêþí äõóêïëéþí ðïõëüåé Ýíá ôåôñüãùíï ìýñïò ôïõ ïéêïðýäïõ ìå ðëåõñü 40 m ìéêñüôåñç áðü ôçí áñ éêþ. Áí ôï åìâáäüí ôïõ ïéêïðýäïõ ðïõ áðïìýíåé åßíáé 4,6 óôñýììáôá, íá âñåßôå ôçí ðëåõñü ôïõ áñ éêïý ïéêïðýäïõ. óôù x m (x > 40) ç ðëåõñü ôïõ áñ éêïý ïéêïðýäïõ, ôï ïðïßï Ý åé åìâáäüí x m. ÅðïìÝíùò (x 40) m åßíáé ç ðëåõñü ôïõ ïéêïðýäïõ ðïõ ðïýëçóå, ôï ïðïßï Ý åé åìâáäüí (x 40) m. Åðßóçò, 4,6 óôñýììáôá = 4.600 m. Ôüôå Ý ïõìå üôé: x (x 40) = 4.600 x (x 840x + 76.400) = 4.600 x x + 840x 76.400 4.600 = 0 840x 40.000 = 0 40.000 840x = 40.000 x = x = 00, 840 äçëáäþ 00 m åßíáé ç ðëåõñü ôïõ áñ éêïý ïéêïðýäïõ. 8. Ðüóá ãñáììüñéá õìü íôïìüôáò ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå óå 00 g íôïìáôïðïëôü, þóôå íá ìåéþóïõìå ôçí ðåñéåêôéêüôçôü ôïõ óå êéôñéêü ïîý (äéïñèùôþ ïîýôçôáò) áðü 0,% óå 0,%; óôù x ôá ãñáììüñéá õìïý íôïìüôáò (x > 0) ðïõ ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå óôá 00 g íôïìáôïðïëôü, ï ïðïßïò ðåñéý åé 00 0,% = 0,6 g êéôñéêü ïîý. Ôüôå ï íýïò íôïìáôïðïëôüò èá Ý åé âüñïò (00 + x) g êáé èá ðåñéý åé (00 + x) 0,% g êéôñéêü ïîý. ÅðïìÝíùò: (00 + x) 0,% = 0,6 0, + 0,00x = 0,6 0,00x = 0,6 0, 0,00x = 0, x = x = 00, äçëáäþ 00 g õìü íôïìüôáò. 9. Ôï Üèñïéóìá ôùí øçößùí åíüò äéøþöéïõ áñéèìïý åßíáé. Áí áíôéóôñýøïõìå ôç óåéñü ôùí øçößùí, ðñïêýðôåé áñéèìüò êáôü 4 ìéêñüôåñïò. Íá âñåßôå ôïí áñéèìü. 0, 0,00 Áöïý ôï Üèñïéóìá ôùí øçößùí ôïõ áñéèìïý åßíáé, áí x ôï øçößï ôùí äåêüäùí, ôï øçößï ôùí ìïíüäùí èá åßíáé ôï x (x =, 4,, 6, 7, 8, 9). ÅðéðëÝïí, èá éó ýåé: 0x + x = 0 ( x) + x + 4 0x + x = 0 0x + x + 4 0x x + 0x x = + 0 + 4 4,, óåë. 9, 4, óåë. 6, óåë. 60 Ï äéøþöéïò xy åßíáé ßóïò ìå 0x + y, üðïõ x ïé äåêüäåò êáé y ïé ìïíüäåò. 6 8x = 6 x = x = 9. 8 ÅðïìÝíùò ôï Üëëï øçößï åßíáé ôï 9 = êáé ï æçôïýìåíïò áñéèìüò åßíáé ï 9.
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 7ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åðßëõóç ôýðïõ Õðüäåéîç: Ãéá íá åðéëýóïõìå Ýíáí ôýðï ùò ðñïò ïðïéáäþðïôå ìåôáâëçôþ, öáíôáæüìáóôå üôé óôç èýóç ôçò ìåôáâëçôþò áõôþò õðüñ åé ôï x êáé üôé üëåò ïé Üëëåò ìåôáâëçôýò åßíáé ãíùóôýò. ôóé ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ùò ðñïò x, êáôü ôá ãíùóôü. 0. Íá ëýóåôå ôïõò ôýðïõò ùò ðñïò R :! VR á) = +, â) V =. 6, óåë. 60 R R R R + R á) Ãéá R R R 0 Ý ïõìå: = + RRR = RRR + RR R R R = RR + RR R R R R R R RR R R RR = RR (R R)R = RR R = (R R). R R â) Ãéá R R Ý ïõìå: VR VR V = (R+ R )V = (R+ R ) (R + R )V = V R R + R R+ R VR RV R V + R V = V R R V = V R R V R = (V 0). V Äåßôå êüðïéåò Üëëåò ìïñöýò áóêþóåùí.... Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç (x + ) + (x + ) + (x + ) = (x + )(x + )(x + ). (x + ) + (x + ) + (x + ) = (x + )(x + )(x + ) x + = x + = x + Þ (x + ) + (x + ) + (x + ) = 0 {x + = x + êáé x + = x + } Þ 6x + 8 = 0 {x = êáé x = 6} Þ 6x = 8. á + â + ã = áâã á = â = ã Þ á + â + ã = 0 ÅðåéäÞ äåí ìðïñåß íá éó ýåé ôáõôü ñïíá üôé x = êáé x = 6, èá Ý ïõìå üôé 6x = 8 x =.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x+ =, â) =, ã) x+ 4= x. á) Ãéá x Ý ïõìå üôé: x+ = x+ = x + = 9 x = 4, ç ïðïßá åßíáé äåêôþ ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü.
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 4 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ â) Ãéá x Ý ïõìå üôé: x = x = x = 8 x = 0, ç ïðïßá åßíáé äåêôþ ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü. ã) Ãéá (x 4 êáé x 0) x 0 Ý ïõìå üôé: 6 6 x+ 4 = x x+ 4 = x (x + 4) = x Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìýëç x + 8x + 6 = x x x ôçò åîßóùóçò óôï ÅÊÐ 8x 6 = 0 x 4x + x ôùí ôüîåùí ôùí ñéæþí. x + 4x 6 = 0 x (x 4) + x (x 4) + 4 (x 4) = 0 (x 4) (x + x + 4) = 0 x 4 = 0 Þ x + x + 4 = 0 (ðïõ åßíáé áäýíáôç, áöïý Ä = 7 < 0), Üñá x = 4, ç ïðïßá åßíáé äåêôþ ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü. ÅñùôÞóåéò íýïõ ôýðïõ Íá óçìåéþóåôå Ó (óùóôü) Þ Ë (ëüèïò) óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêüôù ðñïôüóåéò.. Ïé åîéóþóåéò x + = êáé x = åßíáé éóïäýíáìåò.. Ç åîßóùóç 4x + = 4x + åßíáé ôáõôüôçôá.. Ç åîßóùóç (ê + )x = ê åßíáé ðáñáìåôñéêþ. 4. Ç åîßóùóç (ê + )x = ê åßíáé áäýíáôç üôáí ê =.. Ç åîßóùóç (ê + )x = ê åßíáé áäýíáôç. 6. Ç åîßóùóç 4x 4x + x = 0 Ý åé ëýóç ôï x =. Ãéá ôçí åîßóùóç (ë ë).x = (ë + )(ë ), íá áíôéóôïé ßóåôå ôéò ôéìýò ôçò ðáñáìýôñïõ ë ôçò çò óôþëçò ìå ôéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ôçò çò óôþëçò. ç óôþëç ç óôþëç ðåéñåò ëýóåéò Á ë = Êáìßá ëýóç Â ë = ÌïíáäéêÞ ëýóç x = 0 Ã ë = ÌïíáäéêÞ ëýóç x = Ä 4 ë = 4 ÌïíáäéêÞ ëýóç x = 4 Å ÌïíáäéêÞ ëýóç x = 4 ÓÔ 4
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ Íá êõêëþóåôå ôï ãñüììá ðïõ áíôéóôïé åß óôç óùóôþ áðüíôçóç.. Ç åîßóùóç ê x = ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç üôáí: Á. ê = 0, ë 0 Â. ê = ë = 0 Ã. ê 0 Ä. ôßðïôá áðü áõôü. Ãéá êüèå ê ç åîßóùóç (ê + ) x = Ý åé: Á. äýï ëýóåéò Â. Üðåéñåò ëýóåéò Ã. êáìßá ëýóç Ä. ìßá ëýóç. Ç åîßóùóç (ê ) x = ê + Ý åé Üðåéñåò ëýóåéò üôáí: Á. ê = 0 Â. ê = Ã. ê = Ä. ê = 4. Áí ç åîßóùóç (ê + ) x = ê + Ý åé ëýóç ôï x =, ôüôå: Á. ê = 0 Â. ê = Ã. ê = Ä. ê =. Ç åîßóùóç ê(ê ë) x = (ê ë) Ý åé óßãïõñá ðñáãìáôéêþ ëýóç áí: Á. ê = ë Â. ê ë Ã. ê 0 Ä. ê = 0 6. Ç éóüôçôá x + = x éó ýåé áí: Á. x 0 Â. x Ã. x Ä. x < 7. Ç åîßóùóç 7x = x + 8 : Á. åßíáé áäýíáôç Â. åßíáé áüñéóôç Ã. Ý åé ëýóç x = Ä. Ý åé ëýóçx = 8. Ç åîßóùóç x =4 Ý åé ëýóç: Á. x = 6 Þ x = 0 Â. x = Þ x = 6 Ã. x = Þ x = 6 Ä. x = 0 Þ x = ëõôåò áóêþóåéò Á ÏìÜäá. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x x x+ x á) =, óâ) + + = x, 4 7 x x x 4x x + x ã) + =, óä) =, 4 6 7 7(x ) ( x) (x ) x + x (x ) x å) = x, óô) =. 4 6 0 8 40. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x x á) =, â) =, x x+ x x+ x+ 6 ã) 0, ä) =. + = x x x+ x+ x x 4
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 6 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á), â) =, x x x = x x + x x x+ x ã) =, ä) =. 4x + 4 (x ) 6x 6 x x x 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: 4 x + x+ x x x + 6 á) + + = 0, â) + =. 4 x+ x x x + x x x x x. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x (x + ) 4(x + ) = 0, â) x(x ) (x ) = 0, ã) x x x + = 0, ä) x 4 x 9x + 9 = 0. 6. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x (x 4) + x (x 4) + (x 4) = 0, â) x (x ) x + x = 0, ã) (x + ) + x = 0, ä) x (x ) = x 4x + 4, 7. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x ) ( x)(4 + x) = 0, â) (x 4)(x ) = (x )(x ), ã) x x x + = 0, ä) x x (x )(x ) = 0. 8. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x =, â) 4 x =, ã) 7 + x =. 9. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) 7x =, â) x =. 0. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + =, â) x + =, x x + ã) + =, ä) =. 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + 7 = x, â) x = x, x ã) x + x =0, ä) =. x +. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = x, â) + x = + x.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = + x, â) + x = + x. 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) + x =, â) x + =.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + = x + 7, â) x + = x, x x + ã) + = x, ä) + = x +. 6
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 7 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 6. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + 4 = x + 4, â) ( ù +) = ù +, x 4 x 4 x y ã) = +, ä) y =. 7. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + = x, â) 7 x + = x 7 6, x 7 x x + 9 ã) + =, ä) + = x +. 6 4 6 8. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x + 4 6x + 8 á) =, â) x 4x + 6x =. 9. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x x + = 0, â) x 4x =. 0. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + 7 x =8, â) x + + x =7, ã) x + +x = x, ä) x x + = x.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + x = + x, â) x + + x = x.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x 6x+ 9 =, â) 9x + 6x + 4x 0x + = 0, ã) 0 x x + = x +.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (ë + ) x = ë +, â) (ë + 4) x = ë 4 6. 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (ë )x = ë, â) (ë )x = ë, ã) ìx + ì = x, ä) (ì + )x = ì.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) ë x ë = x 4ë +, â) (ë + )x + 9 = (ë + x) + ë(ë ), ã) ë x ë = 4ëx +, ä) xë ë = ëx, å) ì x 4x = ì 4ì + 4. 6. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (ë 4ë) x = ë + ë, â) (ë + ) x = ë +, ë 4x ëx+ ëx + 8ë x + x ã) + = x ë, ä) + =. 4 7. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) ë (x ) = 4 (4x + ) ë, â) ë (x ) = x, ã) ë(ëx + 6) = x + + ë (ë ), ä) ë (ë 6 x + ë 4 ë ) = x ë 4 ( ë ). 7
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 8 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 8. Íá ëýóåôå ôéò áêüëïõèåò åîéóþóåéò ãéá êüèå ôéìþ ôùí ë, ì : á) (ë ì) x = ë + ì, â) (ë 4ì )x = ë + ìë, ã) ëx + ì = ìx + ë (x + ), x ë x+ ì x ä) (ë + ) x + ì = ìx + (ë ) (x ), å) + =. 0 9. Áí ç åîßóùóç (4 á)x + á = 6 Ý åé äýï ëýóåéò, íá âñåßôå ôïí á. 0. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ë þóôå ç åîßóùóç (ë + 4)x ë 4 = (x ë) + ë(ë ) íá Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôï ìçäýí.. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ë þóôå ç åîßóùóç ë(x ) = (x + ) + (ë + ) íá Ý åé ëýóç ôïí áñéèìü x =.. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïõò ë, ì þóôå ç åîßóùóç ë(x + ) + = x ì íá éó ýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü x.. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç åîßóùóç ë( x) = 7ì x + åßíáé ôáõôüôçôá, ç åîßóùóç ì (x ) + 4ëx = (ë ì) + 0x åßíáé áäýíáôç. 4. Áí ç åîßóùóç (4ë ) x = ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç, íá âñåßôå ôéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ëx = x +.. óôù ôåôñüãùíï ÁÂÃÄ ìå ðëåõñü ìþêïõò 4 cm. Íá âñåßôå åóùôåñéêü óçìåßï Ì ôçò ðëåõñüò ÁÄ ôýôïéï þóôå: á) Å ÁÂÌ + Å ÌÂà = Å ÌÃÄ, â) Å ÁÂÌ = Å ÌÃÄ. 6. Ôï ìþêïò êáé ôï ðëüôïò åíüò ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ åßíáé 0 m êáé 6 m áíôßóôïé á. Áí áõîçèåß ôï ìþêïò ôïõ êáôü m, íá âñåßôå ðüóï ðñýðåé íá áõîçèåß ôï ðëüôïò ôïõ þóôå íá äéðëáóéáóôåß ôï åìâáäüí ôïõ. 7. Ìéá ìçôýñá åßíáé 4 åôþí êáé ç êüñç ôçò åßíáé 7 åôþí. ÌåôÜ áðü ðüóá ñüíéá ç çëéêßá ôçò ìçôýñáò èá åßíáé ôñéðëüóéá áðü ôçí çëéêßá ôçò êüñçò ôçò; 8. Íá åðéëýóåôå ôïõò áêüëïõèïõò ôýðïõò: á) P V = n R T ùò ðñïò P êáé ùò ðñïò R, â) Q = m c Äè ùò ðñïò Äè. m 9. Íá åðéëýóåôå ôïõò áêüëïõèïõò ôýðïõò: á) d = ùò ðñïò m êáé ùò ðñïò V, V m m â) õ = õ 0 + át ùò ðñïò t, ã) F= G ùò ðñïò m êáé ùò ðñïò d. d 40. Ìå ôç âïþèåéá ôùí ôýðùí S= õ0t+ át êáé õ = õ 0 + át íá áðïäåßîåôå üôé õ+ õ S= 0 t.  ÏìÜäá 4. ÊáôáèÝôïõìå óå ìéá ôñüðåæá äýï êåöüëáéá, ðïõ äéáöýñïõí êáôü.00 åõñþ, ìå åðéôüêéï % ãéá ôï ìåãáëýôåñï êåöüëáéï êáé 7% ãéá ôï ìéêñüôåñï. Áí ìåôü áðü 8
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 9 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ Ýíá ñüíï ôá äýï êåöüëáéá åîéóþíïíôáé, íá âñåßôå ôá áñ éêü ðïóü ðïõ êáôáèýóáìå. 4. íáò çìéêüò ðñýðåé íá áíáìåßîåé äýï äéáëýìáôá ôïõ ßäéïõ ïîýïò, ôï Á ðåñéåêôéêüôçôáò 7% êáé ôï  ðåñéåêôéêüôçôáò 4% óå ïîý, ãéá íá ðñïêýøåé Ýíá ìåßãìá 0 ëßôñùí ðåñéåêôéêüôçôáò % óå ïîý. Ðüóá ëßôñá áðü êüèå äéüëõìá ðñýðåé íá ñçóéìïðïéþóåé; 4. íá ôìþìá ôçò Á Ëõêåßïõ ðïõ áðïôåëåßôáé áðü 0 áãüñéá êáé êïñßôóéá Ýãñáøå Ýíá ôåóô óôá ÌáèçìáôéêÜ, ìå ìýóï üñï âáèìïëïãßáò,6. Áí ï ìýóïò üñïò âáèìïëïãßáò ôùí ãñáðôþí ôùí êïñéôóéþí Þôáí 4,6 êáé ôùí áãïñéþí 7, íá âñåßôå ðüóá Þôáí ôá êïñßôóéá êáé ðüóá ôá áãüñéá. 44. Óå ìéá ãéïñôþ âñßóêïíôáé 40 Üôïìá. Áí öýãïõí 8 áãüñéá êáé Ýñèïõí êïñßôóéá, ôüôå ï áñéèìüò ôùí áãïñéþí åßíáé ßóïò ìå ôïí áñéèìü ôùí êïñéôóéþí. Íá âñåßôå ôïí áñ éêü áñéèìü ôùí áãïñéþí êáé ôùí êïñéôóéþí. 4. Äýï áõôïêßíçôá îåêéíïýí áðü ôï ßäéï óçìåßï êáé êéíïýíôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëü, ôï Ýíá áíáôïëéêü ìå ôá ýôçôá u = 60 km/h êáé ôï Üëëï äõôéêü ìå ôá ýôçôá u = 80 km/h. Íá âñåßôå ìåôü áðü ðüóç þñá ôá áõôïêßíçôá èá Ý ïõí áðüóôáóç 770 km. 46. Ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôùí ê, ë íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç (x ê)(x ë) = (x ë)(x ê). 47. Ãéá ðïéá ôéìþ ôïõ á ç åîßóùóç (x ) + (x + ) + x = x(x á + ) åßíáé ôáõôüôçôá; x x 48. Áí á, â 0, íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç =. 004 00 00 004 00 00 á â á â â á x+ x x 49. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x x+ =, â) = x. x+ + + x + x 0. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x + â) + (x + â) + (x + â) = (x + â) (x + â) (x + â), â) (x + á + â) + (x + á + â) + (x á) = (x + á + â)(x + á + â)(x á).. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x á + â) + (á + â + x) = (4x + â), â) (x + â) (x 6â) = (â + x).. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç + = 0. x x+ x+ x x+ ë x + ë. Íá äéåñåõíþóåôå ôçí åîßóùóç = ãéá üëåò ôéò ôéìýò ôïõ ë. x ë x 9ë 9
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 0 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + =ë, â) (ë ) x + =.. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x x =. 6. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x = 4. 7. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç y+ y + y y+ y+ y+ =. 8. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = 4, â) 7 x =, óã) x = x +, ä) 4 x = x, å) + 4+ x =, óô) x+ =, æ) 4 x 4 =. 9. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò éó ýåé y+ =, üôáí y = x (x ) + (x + ). 60. Äßíïíôáé ïé ðáñáóôüóåéò Á = x + x êáé Â = x +x. Áí < x <, íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç A Â x = 0. x Õðïäåßîåéò ÁðáíôÞóåéò ÁðáíôÞóåéò Ó-Ë:. Ë,. Ó,. Ó, 4. Ó,. Ë, 6. Ó. ÁðáíôÞóåéò Á:. Ã,. Á,. Â, 4. Å. ÁðáíôÞóåéò Ð-Å:. Ã,. Ä,. Â, 4. Ã,. Á, 6. Â, 7. Á, 8. Ã.. á) x = 9, â) x =, ã) x =, ä) x = 4, å) x = 7, óô) x =. 96. á) x = 8, â) x =, ã) x =, Üñá áäýíáôç, ä) x = 6. 4. á) x =, â) áäýíáôç, ã) x =, ä) x =. 4. á) x = ±, â) áäýíáôç.. á) x = Þ x =, â) x = Þ x = ±, ã) x = Þ x = ±, ä) x = ± Þ x = ±. 6. á) x = 4 Þ x =, â) x = 0 Þ x =, ã) x = 0 Þ x =, ä) x = Þ x =. 7. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =, ã) x = Þ x =±, ä) x = Þ x =. 7 8. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =, 8 ã) x = Þ x =. 9. á) Áäýíáôç, â) x = Þ x = 4. 7 0. á) x = 6 Þ x = 0, â) x = Þ x =, 9 ã) x = Þ x =, ä) x = Þ x =. 6 6 4. á) x = Þ x =, â) x = ±, ã) x = 6 Þ x =, ä) x =.. á) Áüñéóôç, â) x =. 7. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =. 4 4. á) x = 0 Þ x = 4, 7 9 â) x = Þ x = Þ x = Þ x =. 0
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 4 0. á) x = Þ x =, â) x = Þ x = 4, ã) x = Þ x =, ä) x = Þ x =. 4 4 6. á) x = Þ x =, â) áäýíáôç, ã) x = ±, 49 ä) áäýíáôç. 9 7 7. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =, ã) áäýíáôç, ä) áäýíáôç. 9 8. á) x = 7 Þ x =, â) x = Þ x = 0. 9 9. á) x =, â) x = Þ x =. 0 4 0. á) x = Þ x =, â) x = 0 Þ x =, ã) x =, 7 7 4 ä) x = Þ x =. 9. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =. 4. á) x = 8 Þ x =, â) x = 6 Þ x =, ã) x = Þ x = Þ x =. ë+. á) x =, â) x = ë 4. ë + 4. á) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, ôáõôüôçôá. ë â) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç. ë ì ã) Áí ì, ôüôå x =, áí ì =, áäýíáôç. ì ä) Áí ì, ôüôå x =, áí ì =, ôáõôüôçôá. ë. á) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç, áí ë + ë =, ôáõôüôçôá. â) Áí ë, ôüôå x = ë +, áí ë =, ôáõôüôçôá. ã) Áí ë 0, ±, ôüôå x =, áí ë = Þ ë = 0, ë(ë ) áäýíáôç, áí ë =, ôáõôüôçôá. ä) Áí ë 0,, ôüôå x =, áí ë = 0, áäýíáôç, áí ë =, ë ôáõôüôçôá. ì å) Áí ì ±, ôüôå x =, áí ì =, áäýíáôç, áí ì + ì =, ôáõôüôçôá. 6. á) Áí ë 0, ±, ôüôå x =, áí ë = 0 Þ ë =, ë ôáõôüôçôá, áí ë =, áäýíáôç. ë + â) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç. ë+ 4 ë 8ë 4 ã) Áí ë, ôüôå x =, áí ë = ë 4 áäýíáôç. ë ä) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç. 6(ë ) ë 7. á) Áí ë ±4, ôüôå x =, áí ë = 4, ôáõôüôçôá, áí ë + 4 ë = 4, áäýíáôç. â) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë =±, ôáõôüôçôá. (ë )(ë 4) ã) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë =±, áäýíáôç. (ë )(ë + ) ä) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë = ±, ôáõ 4 (ë + )(ë + ) ôüôçôá. ë+ ì 8. á) Áí ë ì, ôüôå x =, áí ë = ì = 0, ôáõôüôçôá, ë ì áí ë = ì 0, áäýíáôç. ë â) Áí ë ±ì, ôüôå x =, áí ë = ì, ôáõôüôçôá, ë ì áí ë = ì = 0, ôáõôüôçôá, áí ë = ì 0, áäýíáôç. ì 6ë ã) Áí ì ë, ôüôå x =, áí (ì, ë) = (0, 0) Þ ë + ì (ì, ë) =,, ôáõôüôçôá, áí ì = ë 0 Þ ì = ë, áäýíáôç. ì 6ë ä) Áí ì ë, ôüôå x =, ë ì áí (ì, ë) = 7,, ôáõôüôçôá, áí ì = ë 7, áäýíáôç. ë ì å) x =. 8 9. Áñêåß ç åîßóùóç íá åßíáé ôáõôüôçôá, á = 4. 0. ë = 4. 7. ë =. 0 9. Áñêåß íá åßíáé ôáõôüôçôá êáé (ë,ì) =,. 6. (ë, ì) = (, ). 4. ë ±, ïðüôå x =. ë 4 8. á) AM = cm, â) AM = cm. 6. m. 7. 6, Ýôç. nrt PV Q 8. á) P =, R =, â) Äè =. V nt mc m õ õ 9. á) m = d V, V =, â) t = 0, d á Fd m m ã) m =, d= G. Gm F õ õ 40. ñþóç ôïõ á = 0 êáé ðñüîåéò. t 4..70 åõñþ êáé.0 åõñþ. 4. Á : 0 ëßôñá êáé  : 40 ëßôñá. 4. Áãüñéá:, êïñßôóéá: 8. 44. Áãüñéá:, êïñßôóéá:. 4., þñåò.
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ êë 46. Áí ë ±ê, ôüôå x =, áí ë = ê 0, áäýíáôç, ë + ê áí ë = ê, ôáõôüôçôá. 47. á =. 00 00 á â 48. Áí á â, ôüôå x =, á â áí á = â 0, ôáõôüôçôá. 49. á) x =, â) x = Þ x =. á â 0. á) x = â, â) x = Þ ôáõôüôçôá áí á = â = 0. á â â. á) x = Þ x = á â Þ x =, â â) x = Þ x = â Þ x = â.. x = 6, Üñá áäýíáôç.. Áí ë 0, ôüôå x = ë, áí ë = 0, ëýóç êüèå x 0. 4. á) Áí ë <, áäýíáôç, áí ë, ôüôå ± (ë ) x =, â) áí ë, áäýíáôç, áí ë >, ôüôå ± x=. ë 7. x = Þ x =. 4 4 6. x = 0 Þ x = 6. 7. y = Þ y =. 7 9 7 8. á) x =, â) x =, ã) x = 4, ä) x =, å) x =, 69 óô) x =, æ) x =. 4 9. y = 4, x =, x =. 4 60. A = x, B =, x = ± Þ x =.