ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΙΚΑ ΟΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΘΡΩΠΟΥ-ΡΟΜΠΟΤ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΑΜ: 7888 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Ασπράγκαθος Νικόλαος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα 2016

[2]

Πνευματικά δικαιώματα Copyright Χαράλαμπος Παπακωνσταντίνου, [2016] Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και μόνο. [3]

Πρόλογος-Ευχαριστίες Η συγκεκριμένη εργασία αποτελεί τη διατριβή μου για την ολοκλήρωση των σπουδών και του διπλώματος στο τμήμα «Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών» του Πανεπιστημίου Πατρών. Θα ήθελα καταρχήν να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κύριο Νικόλαο Ασπράγκαθο για την βοήθεια του καθ όλη τη διάρκεια της ενασχόλησης μου με την διπλωματική εργασία και την εμπιστοσύνη που μου έδειξε καθώς φοιτώ σε διαφορετικό τμήμα από αυτό που διδάσκει. Επίσης, πρέπει να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον υποψήφιο διδάκτορα Φώτη Δημέα για την εξαιρετική συνεργασία που είχαμε και που πάντα ήταν διαθέσιμος να ασχοληθεί με κάθε απορία μου σχετική με ακαδημαϊκά ζητήματα, εντός και εκτός των πλαισίων της παρούσας εργασίας. Τον ευχαριστώ θέρμα για τις ιδέες, τις γνώσεις και την καθοδήγηση που μου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της εργασίας και για όλες τις ερευνητικές συζητήσεις που πραγματοποιήθηκαν. Έπειτα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον διδάκτορα Βασίλη Μουλιανίτη για όλη την βοήθεια που μου έδωσε και για την άριστη συνεργασία που είχαμε. Τέλος, πρέπει να εκφράσω τις πιο θερμές ευχαριστίες στην οικογένειά μου που με στήριξε και μου συμπαραστάθηκε ανελλιπώς σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Πάτρα Σεπτέμβριος/2016 Χαράλαμπος Παπακωνσταντίνου [4]

Περίληψη Οι σύγχρονοι ρυθμοί ζωής και η ανάπτυξη της τεχνολογίας έχουν δημιουργήσει την ανάγκη της χρήσης των ρομπότ για διεκπεραίωση διάφορων εργασιών πέρα από τις κλασσικές βιομηχανικές εφαρμογές. Όμως, οι περιπτώσεις που ο άνθρωπος έρχεται σε επαφή με το ρομπότ είναι πολύ περιορισμένες και σε κάποιες περιπτώσεις επικίνδυνες. Αυτό συνήθως οφείλεται στην απουσία κάποιας μορφής αλληλεπίδρασης μεταξύ του ρομπότ και του χειριστή. Η συγκεκριμένη εργασία στοχεύει στην ανάπτυξη συστήματος ανάδρασης προς τον χειριστή σχετικά με τη διαμόρφωση του ρομπότ. Η μέθοδος που προτείνεται στην παρούσα εργασία αφορά στον περιορισμό της κίνησης του βραχίονα όταν ο χειριστής οδηγεί το άκρο εργασίας σε διαμορφώσεις χαμηλής απόδοσης. Χρησιμοποιώντας ελεγκτή ενδοτικότητας με είσοδο την δύναμη που εφαρμόζεται από τον χειριστή και μετράται από αισθητήρα δύναμης τοποθετημένο στο άκρο του ρομπότ, παίρνουμε ως έξοδο την ταχύτητα του άκρου. Όταν ο χειριστής οδηγήσει το ρομπότ κοντά σε τέτοιες διαμορφώσεις, τότε το ρομπότ ασκεί δυνάμεις και ροπές στον χειριστή, εκφρασμένες στον καρτεσιανό χώρο, ώστε να περιοριστεί η μεταφορική και περιστροφική κίνηση του άκρου του ρομπότ σε περιοχές του χώρου εργασίας με υψηλή αποδοτικότητα. Οι δυνάμεις και ροπές υπολογίζονται κατά την λειτουργία του βραχίονα (online) με τη βοήθεια κάποιου δείκτη επιδεξιότητας και ενός αλγορίθμου που αναπτύσσεται στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Για την δημιουργία του απωστικού διανύσματος μελετώνται τρείς διαφορετικοί δείκτες, ο Manipulability, ο Minimum Singular Value(MSV) και ο δείκτης Local Condition Index(LCI). Προσεγγίζοντας αριθμητικά την βάθμωση κάθε δείκτη ως προς τους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων τοποθετημένο στο άκρο εργασίας, υπολογίζεται το μέτρο και η διεύθυνση των δυνάμεων και των ροπών που πρέπει να εφαρμοστούν για τον αναφερθέντα περιορισμό. Αρχικά γίνεται η μαθηματική μοντελοποίηση του συστήματος, επιλέγεται ο νόμος ελέγχου και αφού σχεδιαστεί ο ελεγκτής ακολουθεί προσομοίωση σε περιβάλλον Matlab, όπου μελετώνται σε συνδυασμό αλλά και ξεχωριστά η μεταφορική και η περιστροφική κίνηση του άκρου. Αφού κριθεί η ορθότητα των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης, η μέθοδος δοκιμάζεται και πειραματικά στο ρομπότ LWR (Kuka 7-DOF) του εργαστηρίου για την μεταφορική κίνηση του άκρου, αρχικά στη μία και έπειτα στις δύο διευθύνσεις. Τα πειράματα έδειξαν πως η μέθοδος [5]

είναι αρκετά αποτελεσματική περιορίζοντας την κίνηση του βραχίονα μέσα στην επιθυμητή περιοχή. Abstract The modern pace of life and the development of technology have created the need for even more robots to complete various tasks. However, the cases that the human interacts by contact with robots are very limited and sometimes dangerous. This is usually due to the absence of some form of interaction between the manipulator and the operator. This project aims to generate a method for the manipulator s performance feedback to the operator. The method proposed in this thesis aims to limit the joints velocities of robotic arm when operator guides the end effector to low performance configurations. Using an admittance controller in Cartesian space, we consider as input the force applied by operator as calculated from a force sensor placed on the end effector, and we define as output the end effector s velocity. When the operator guides the manipulator to such configurations, then, the robot applies forces and torques to operator, expressed in the Cartesian space which restrict the translational and rotational motion of the end effector in the high performance regions. These forces and torques are calculated online using a dexterity index and the algorithm developed in this project. To generate these repulsive forces and torques three different indices are studied: Manipulability, Minimum Singular Value(MSV) and Local Condition Index(LCI). Calculating the gradient each index numerically in each axis of Cartesian coordinate system attached to the end effector, the magnitude and direction for the restriction can be computed. Firstly, we design the mathematical model of the system. Afterwards, we select the control law, the contoller design and we use the simulation in Matlab to study the translational and rotational motion of the end effector. Finally, after the result assessment, we test the method on the lab robot LWR (Kuka 7-DOF) only for the end effector s translational motion in one and two directions.the experiment showed that the method is quite effective permitting the motion of the arm only in the desirable region. [6]

Περιεχόμενα Πρόλογος-Ευχαριστίες... 4 Περίληψη... 5 Abstract... 6 Περιεχόμενα... 7 Πίνακας Συμβόλων... 9 Πίνακας εικόνων... 12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή... 16 1.1 Αντικείμενο εργασίας... 16 1.2 Ανασκόπηση βιβλιογραφίας... 16 1.2.1 Αναγνώριση των ιδιαζουσών διαμορφώσεων... 16 1.2.2 Εικονικά όρια... 20 1.2.3 Συνεργασία ανθρώπου ρομπότ... 21 1.3 Στόχοι εργασίας... 22 1.4 Μεθοδολογία... 23 Κεφάλαιο 2. Μελέτη και σχεδιασμός συστήματος για την αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων 24 2.1 Παρουσίαση του ρομπότ - ΚUKA LWR IV 7-DOF... 24 2.2 Μελέτη δεικτών... 25 2.3 Νόμος ελέγχου αλληλεπίδρασης... 31 2.4 Υπολογισμός απωστικής δύναμης... 33 Κεφάλαιο 3. Παρουσίαση αποτελεσμάτων... 39 3.1 Προσδιορισμός παραμέτρων διαδικασίας... 39 3.2 Προσομοίωση 1 η Μεταφορικές κινήσεις... 40 3.2.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών... 41 3.2.2 Με εφαρμογή περιορισμών... 49 3.2.2.1 Μελέτη Manipulability... 49 3.2.2.2 Μελέτη MSV... 56 3.2.2.3 Μελέτη LCI... 62 3.3 Προσομοίωση 2 η Περιστροφικές κινήσεις... 68 [7]

3.3.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών... 68 3.3.2 Με εφαρμογή περιορισμών... 78 3.3.2.1 Μελέτη Manipulability... 78 3.3.2.2 Μελέτη MSV... 84 3.3.2.3 Μελέτη LCI... 90 3.4 Προσομοίωση 3 η - Συνδυασμός κινήσεων... 96 3.4.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών... 96 3.4.2 Με εφαρμογή περιορισμών... 101 3.4.2.1 Μελέτη Manipulability... 101 3.4.2.2 Μελέτη MSV... 104 3.4.2.3 Μελέτη LCI... 107 Κεφάλαιο 4. Πείραμα Εφαρμογή αλγορίθμου στο ρομπότ... 111 4.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών... 112 4.2 Με εφαρμογή περιορισμών... 117 Κεφάλαιο 5. Συμπεράσματα... 122 Βιβλιογραφία... 124 Παράρτημα Α. Αναπτυχθέν πρόγραμμα- Μοντέλο προσομοίωσης σε Matlab... 126 Παράρτημα Β. Συμπληρωματικές οδηγίες της προσομοίωσης... 135 [8]

Πίνακας Συμβόλων D JRA JMRP JVM q q q ± T s J J T J R J T aug J R aug μ μ Τ μ R μ Τ strong μ R strong μ d Dexterity index Joint Range Availability index Joint Mid-Range Proximity index Joint Velocity Measure index Πίνακας που περιέχει τις γωνίες των αρθρώσεων Πίνακας που περιέχει τις ταχύτητες των αρθρώσεων Πίνακας που περιέχει τις γειτονικές θέσεις-γωνίες των αρθρώσεων τις οποίες θα είχε το ρομπότ εάν αποκτούσε την εικονική ταχύτητα v ± Περίοδος δειγματοληψίας ελέγχου/αλγορίθμου Ιακωβιανός πίνακας Υποπίνακας του Ιακωβιανού πίνακα που αφορά στις μεταφορικές κινήσεις του άκρου του ρομπότ αγνοώντας τις περιστροφικές Υποπίνακας του Ιακωβιανού πίνακα που αφορά στις περιστροφικές κινήσεις του άκρου του ρομπότ αγνοώντας τις μεταφορικές Υποπίνακας του Ιακωβιανού πίνακα που αφορά στις μεταφορικές κινήσεις του άκρου του ρομπότ θεωρώντας τον προσανατολισμό του σταθερό Υποπίνακας του Ιακωβιανού πίνακα που αφορά στις περιστροφικές κινήσεις του άκρου του ρομπότ θεωρώντας τη θέση του σταθερή Manipulability index Translational Manipulability index (weak) Rotational Manipulability index (weak) Translational Manipulability index (strong) Rotational Manipulability index (strong) Dynamic Manipulability index [9]

M ss MSV MSV Τ MSV R MSV T aug MSV R aug Σ κ LCI V m F F Τr F Rot F avoid F av,tr F av,rot v v prev V Tr V Rot v v ± M Πίνακας αδράνειας Minimun Singular Value index Translational Minimun Singular Value index Rotational Minimun Singular Value index Translational Minimun Singular Value index (augmented) Rotational Minimun Singular Value index (augmented) Πίνακας του οποίου τα διαγώνια στοιχεία αποτελούν τις τιμές του Ιακωβιανού πίνακα Condition Number index Local Condition index Απωστικό πεδίο κατά Ott Διάνυσμα που περιέχει τις εξωτερικές δυνάμεις και ροπές (Εφαρμόζεται από τον χειριστή στον βραχίονα) Διάνυσμα που περιέχει τις εξωτερικές δυνάμεις Διάνυσμα που περιέχει τις εξωτερικές ροπές Διάνυσμα που περιέχει τις απωστικές δυνάμεις και ροπές (Εφαρμόζεται από τον αλγόριθμο/ρομπότ στον χειριστή) Διάνυσμα που περιέχει τις απωστικές δυνάμεις Διάνυσμα που περιέχει τις απωστικές ροπές Διάνυσμα που περιέχει τη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του άκρου Διάνυσμα που περιέχει τη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του άκρου στον προηγούμενο κύκλο σάρωσης του αλγορίθμου Διάνυσμα που περιέχει τη γραμμική ταχύτητα του άκρου Διάνυσμα που περιέχει τη γωνιακή ταχύτητα του άκρου Διάνυσμα που περιέχει τη γραμμική και γωνιακή επιτάχυνση του άκρου Διάνυσμα που περιέχει τις εικονικές γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες του άκρου Επιθυμητή αδράνεια του ρομπότ [10]

C A Tr A Rot Κ Tr Κ Rot w Tr w Rot w Tr,x± w Rot,x± w Tr± w Rot± x Tr x Rot w th,tr Επιθυμητή απόσβεση του ρομπότ Πίνακας που καθορίζει τη διεύθυνση των απωστικών δυνάμεων Πίνακας που καθορίζει τη διεύθυνση των απωστικών ροπών DC κέρδος του ελεγκτή για τις μεταφορικές κινήσεις του άκρου DC κέρδος του ελεγκτή για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου Υπο μελέτη δείκτης για τις μεταφορικές κινήσεις του άκρου Υπο μελέτη δείκτης για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου Βάθμωση του w Tr ως προς τον Χ άξονα Βάθμωση του w Rot ως προς τον Χ άξονα Διαφορά της τιμής του υπο μελέτη δείκτη υπολογισμένο στη τρέχουσα θέση από τιμή του στην γειτονική θέση για μετατόπιση του άκρου Διαφορά της τιμής του υπο μελέτη δείκτη υπολογισμένο στη τρέχουσα θέση από τιμή του στην γειτονική θέση για περιστροφή του άκρου Στιγμιαία μετατόπιση στον Χ άξονα (μήκος) Στιγμιαία περιστροφή γύρω από τον Χ άξονα (γωνία) Επιτρεπτό όριο για τον δείκτη w Tr w th,rot Επιτρεπτό όριο για τον δείκτη w Rot w crit,tr Κρίσιμο σημείο για τον δείκτη w Tr w crit,rot Κρίσιμο σημείο για τον δείκτη w Rot λ Tr λ Rot DC κέρδος του Κ Tr DC κέρδος του Κ Rot [11]

Πίνακας εικόνων Εικόνα 1.1 Αναπαραστάσεις ορίων. (α)σημειακά. (b)γραμμικά. (c)παραμετρικής καμπύλης. (d)επιπέδου. (e)παραμετρικής επιφάνειας. (f)πολυγωνικού πλέγματος. (g)νέφους σημείων. (h)συνδυασμού γεωμετρικών σχημάτων. (i)ρητά ορισμένα[2]...20 Εικόνα 1.2 Σχεδιασμός νόμου ελέγχου του C.Ott...21 Εικόνα 2.1 Kuka LWR IV 7-DOF...24 Εικόνα 2.2 Αρχικό σύστημα συντεταγμένων Σύστημα βάσης...27 Εικόνα 2.3 Δείκτης Manipulability-Μη κανονικοποιημένο...28 Εικόνα 2.4 Δείκτης Manipulability-Κανονικοποιημένο...28 Εικόνα 2.5 Δείκτης MSV- Μη κανονικοποιημένο...29 Εικόνα 2.6 Δείκτης MSV- Κανονικοποιημένο...29 Εικόνα 2.7 Δείκτης LCI-Μη κανονικοποιημένο...30 Εικόνα 2.8 Δείκτης LCI Κανονικοποιημένο...30 Εικόνα 2.9 Σχηματικό διάγραμμα του ελεγκτή ενδοτικότητας...33 Εικόνα 2.10 Μεταβολή του κέρδους KTr σε σχέση με τον δείκτη Translational Manipulability για διαφορετικές τιμές του λtr....35 Εικόνα 2.11 Αναζήτηση του βέλτιστου δείκτη στην διεύθυνση Χ του άκρου εργασίας....37 Εικόνα 2.12 Σημείο για το οποίο η Favoid δεν βελτιώνει τον δείκτη, στην διεύθυνση Χ του άκρου εργασίας....38 Εικόνα 3.1 Αρχική διαμόρφωση του ρομπότ...40 Εικόνα 3.2 Κίνηση βραχίονα για μετακίνηση του άκρου μόνο στον Χ άξονα...42 Εικόνα 3.3 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα...42 Εικόνα 3.4 Δείκτες Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα...43 Εικόνα 3.5 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα...44 Εικόνα 3.6 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα...45 Εικόνα 3.7 Κίνηση βραχίονα για μετακίνηση του άκρου στον Χ και στον Y άξονα...46 Εικόνα 3.8 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα...46 Εικόνα 3.9 Δείκτες Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα...47 Εικόνα 3.10 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα...48 Εικόνα 3.11 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα...49 Εικόνα 3.12 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....51 Εικόνα 3.13 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....52 Εικόνα 3.14 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....53 [12]

Εικόνα 3.15 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....54 Εικόνα 3.16 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....55 Εικόνα 3.17 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....56 Εικόνα 3.18 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....57 Εικόνα 3.19 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....58 Εικόνα 3.20 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα...59 Εικόνα 3.21 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....60 Εικόνα 3.22 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....61 Εικόνα 3.23 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....62 Εικόνα 3.24 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....63 Εικόνα 3.25 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα....64 Εικόνα 3.26 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα...65 Εικόνα 3.27 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....66 Εικόνα 3.28 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....67 Εικόνα 3.29 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα....68 Εικόνα 3.30 Κίνηση βραχίονα για περιστροφή του άκρου γύρω από τον Χ άξονα...69 Εικόνα 3.31 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με άσκηση ροπής μόνο στον Υ άξονα....70 Εικόνα 3.32 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....71 Εικόνα 3.33 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....72 Εικόνα 3.34 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....73 Εικόνα 3.35 Κίνηση βραχίονα για περιστροφή του άκρου γύρω από τους Χ και Υ άξονες...74 Εικόνα 3.36 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα...75 Εικόνα 3.37 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα...76 Εικόνα 3.38 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....77 [13]

Εικόνα 3.39 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....78 Εικόνα 3.40 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....79 Εικόνα 3.41 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....80 Εικόνα 3.42 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....81 Εικόνα 3.43 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....82 Εικόνα 3.44 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....83 Εικόνα 3.45 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....84 Εικόνα 3.46 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....85 Εικόνα 3.47 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....86 Εικόνα 3.48 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα...87 Εικόνα 3.49 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....88 Εικόνα 3.50 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....89 Εικόνα 3.51 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....90 Εικόνα 3.52 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....91 Εικόνα 3.53 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....92 Εικόνα 3.54 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα....93 Εικόνα 3.55 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....94 Εικόνα 3.56 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα....95 Εικόνα 3.57 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα...96 Εικόνα 3.58 Διαμορφώσεις βραχίονα για μεταφορική και περιστροφική κίνηση του άκρου...97 Εικόνα 3.59 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....98 Εικόνα 3.60 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....99 Εικόνα 3.61 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....100 Εικόνα 3.62 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....101 Εικόνα 3.63 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή ορίων με άσκηση δυνάμεων και ροπών....102 [14]

Εικόνα 3.64 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....103 Εικόνα 3.65 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....104 Εικόνα 3.66 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....105 Εικόνα 3.67 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....106 Εικόνα 3.68 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....107 Εικόνα 3.69 Μελέτη LCI -Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....108 Εικόνα 3.70 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....109 Εικόνα 3.71 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών....110 Εικόνα 4.1 Μεταβολή του άκρου εργασίας με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ....112 Εικόνα 4.2 Δείκτες χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF....113 Εικόνα 4.3 Δείκτης Manipulability συναρτήσει της μετατόπισης, χωρίς την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF....114 Εικόνα 4.4 Μεταβολή του άκρου εργασίας με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα ώστε να διαγράψει έλλειψη....115 Εικόνα 4.5 Δείκτες χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον X και στον Υ άξονα στο KUKA LWR IV 7DOF....116 Εικόνα 4.6 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης στον X και στον Υ άξονα στο KUKA LWR IV 7DOF....117 Εικόνα 4.7 Δείκτες με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF....118 Εικόνα 4.8 Δείκτης Manipulability συναρτήσει της μετατόπισης, με την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF....119 Εικόνα 4.9 Δείκτες με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον X και στον Υ άξονα στο KUKA LWR IV 7DOF....120 Εικόνα 4.10 Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης στον X και στον Υ άξονα στο KUKA LWR IV 7DOF....121 [15]

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 1.1 Αντικείμενο εργασίας Στις μέρες μας, στη βιομηχανία ολοένα και περισσότερο ο αυτοματισμός από ρομπότ και μηχανές αντικαθιστά το ανθρώπινο δυναμικό. Ρομποτικοί βραχίονες βρίσκονται συχνά σε γραμμές παραγωγής εκτελώντας εργασίες που είναι δύσκολες ή και αδύνατες να εκτελεστούν από τον άνθρωπο. Παρ όλα αυτά, η ανθρώπινη ευφυΐα και ευελιξία δεν μπορεί ακόμη να αντικατασταθεί από τα ρομπότ γι αυτό και συχνά για την εκτέλεση μιας εργασίας χρειάζεται ο άνθρωπος να συνεργαστεί με τις μηχανές και πολλές φορές απαιτείται η καθοδήγηση του ρομπότ από τον χειριστή. Αυτό προϋποθέτει τον κοινό χώρο εργασίας μεταξύ των δύο, πράγμα που κάτω από τις κατάλληλες προδιαγραφές μπορεί να εξασφαλίσει την ομαλή συνεργασία ανθρώπου-ρομπότ. Θα ήταν εξαιρετικά σημαντική η δημιουργία ενός συστήματος ασφαλείας με σκοπό τον περιορισμό της κίνησης του ρομπότ σε ένα συγκεκριμένο χώρο εργασίας. Πρόκειται λοιπόν για τον σχεδιασμό εικονικών ορίων των οποίων ο υπολογισμός και η εφαρμογή γίνεται είτε κατά την λειτουργία του ρομπότ είτε έχει γίνει από πριν. Ζητείται δηλαδή να σχεδιαστεί ένας πλήρης νόμος ελέγχου και στην συνέχεια η προσομοίωση του στο ρομπότ ώστε να κρίνεται ασφαλής η συνύπαρξη του με τον άνθρωπο. Έπειτα, ο μέθοδος θα εφαρμοστεί σε πραγματικό βραχίονα επτά βαθμών ελευθερίας όπου θα κριθεί και η απόδοση του. 1.2 Ανασκόπηση βιβλιογραφίας 1.2.1 Αναγνώριση των ιδιαζουσών διαμορφώσεων Η πρώτη ερευνητική δραστηριότητα για τον περιορισμό ενός ρομποτικού βραχίονα αφορούσε τoν προσδιορισμό κατάλληλων δεικτών για την ένδειξη προσέγγισης σε ιδιάζουσες διαμορφώσεις. Οι Patel και Sobh [1] έκαναν εκτεταμένη αναφορά χωρίζοντας τους δείκτες σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη ανήκουν εκείνοι που σχετίζονται με τη μεταβολή των γωνιών των αρθρώσεων του ρομπότ όπως: Dexterity index, JRA-Joint range availability index, JMRP-Joint Mid-Range Proximity index και JVM-Joint velocity measure index. Ο δείκτης Dexterity εκφράζει την ικανότητα του βραχίονα να φτάσει σε ένα σημείο του χώρου εργασίας με διάφορους προσανατολισμούς και εξαρτάται από τη δομή του ρομπότ (βαθμοί ελευθερίας, μήκος συνδέσμων). Αν ο προσανατολισμός του άκρου για κάθε σημείο στον χώρο προσδιορίζεται από τις τρείς μεταβλητές yaw, pitch και roll, τότε ο δείκτης Dexterity υπολογίζεται απο την παρακάτω εξίσωση: D = 1 3 (Δγ 2π + Δβ 2π + Δα 2π ) (1.1) [16]

όπου Δα, Δβ και Δγ το εύρος των yaw, pitch και roll για ένα σημείο στο χώρο. Συνεπώς, στα σημεία τα οποία το αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα έχει πολλαπλές λύσεις, θα έχουμε μεγαλύτερη τιμή του δείκτη σε σχέση με εκείνα που έχουν μοναδική λύση. Οι τιμές του κυμαίνονται στο διάστημα [0,1]. Ο δείκτης JRA αποτελεί μια σχέση μεταξύ της τρέχουσας έκτασης του βραχίονα ως προς την μέγιστη έκταση που μπορεί να φτάσει και συνήθως χρησιμοποιείται για την αναγνώριση της πλήρους έκτασης του. Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιείται η παρακάτω εξίσωση: Ν JRA = ( q 2 i q c,i ) q max,i i=1 (1.2) όπου q i η μεταβολή της άρθρωσης i, με i=1,2..ν και Ν ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας του ρομπότ. Οι μεταβλητές q c,i και q max,i αποτελούν τη μεταβολή κάθε άρθρωσης στο μέσο του εύρους έκτασης και στη μέγιστη δυνατή έκταση αντίστοιχα. Όταν επιπρόσθετοι περιορισμοί εφαρμόζονται στο ρομπότ με στόχο τον περιορισμό της κίνησης του γύρω από τη μέση τιμή της κάθε άρθρωσης τότε χρησιμοποιείται ο δείκτης JMRP που υπολογίζεται από την εξίσωση: JMRP = 1 2 (q q c) T W(q q c ) (1.3) και χρησιμοποιούνται τα διανύσματα q, q c R N όπως φαίνεται στη εξίσωση 1.4: q 1 q 2 q 3 q = [ q Ν ] και q c = q c,1 q c,2 q c,3 [ q c,ν ] (1.4) Ο πίνακας W είναι ένας διαγώνιος θετικά ορισμένος πίνακας που αναπαριστά την επιτρεπτή απόκλιση κάθε άρθρωσης από το μέσο του εύρους έκτασης της. Ο δείκτης JVM αποτελεί μια μετρική του μέτρου των γωνιακών ταχυτήτων των αρθρώσεων χρησιμοποιώντας για τον υπολογισμό του την επιθυμητή q des,i με i=1,2..ν και την τρέχουσα q i μεταβολή των αρθρώσεων (εξίσωση 1.5): N JVM = (q des,i q i ) 2 i=1 (1.5) Στη δεύτερη κατηγορία βρίσκονται αυτοί που περιγράφουν την επιδεξιότητα του ρομπότ με συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο τον Manipulability index για τον οποίο γίνεται εκτεταμένη αναφορά από τον Yoshikawa [2] και δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: [17]

μ = de t[j(q)j(q) T ] (1.6) Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιείται ο Ιακωβιανός πίνακας J(q) R 6xN ο οποίος εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής της μετατόπισής του άκρου σε κάθε έναν από τους μεταφορικούς και περιστροφικούς άξονες ως προς τη ταχύτητα κάθε άρθρωσης του βραχίονα (Ασπράγκαθος [3]). Από τον Ιακωβιανό πίνακα προκύπτουν και οι υποπίνακες J Τ R 3xN και J R R 3xN οι οποίοι αφορούν στις μεταφορικές και τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου αντίστοιχα. Για ρομπότ με έξι βαθμούς ελευθερίας ο Ιακωβιανός πίνακας είναι τετραγωνικός και ο δείκτης Manipulability δίνεται από την εξίσωση: μ = de t[j(q)] (1.7) Καθώς η τιμή της ορίζουσας του Ιακωβιανού μικραίνει, η τιμή του δείκτη και η επιδεξιότητα του ρομπότ μειώνονται. Όταν η ορίζουσα γίνει ίση με μηδέν, η τάξη του πίνακα μειώνεται, ο δείκτης ισούται με μηδέν και ο βραχίονας βρίσκεται σε ιδιάζουσα διαμόρφωση. Ο δείκτης μ εξαρτάται από όλους τους βαθμούς ελευθερίας του βραχίονα καθώς και από την δομή τους με εξαίρεση τον πρώτο και τον τελευταίο βαθμό. Επίσης, η μέγιστη τιμή του είναι διαφορετική για διαφορετικό ρομπότ και για διαφορετικές μονάδες μέτρησης του μήκους των συνδέσμων και της μεταβολής των αρθρώσεων. Γι αυτό το λόγο το εύρος του πρέπει να είναι γνωστό προκειμένου εκτιμηθεί η επιδεξιότητα του ρομπότ. Το πλεονέκτημα αυτού του δείκτη σε σχέση με τους υπόλοιπους στην ίδια κατηγορία είναι πως η βάθμωση του εκφράζεται αναλυτικά με χρήση του Ιακωβιανού πίνακα και λόγω της χαμηλής επεξεργαστικής ισχύος που απαιτεί συνηθέστερα προτιμάται για εφαρμογές πραγματικού χρόνου (Ficuciello et al.[4]). Ακόμα, ένας δείκτης κατά τον υπολογισμό του οποίου λαμβάνεται υπόψιν και η δυναμική του ρομποτικού βραχίονα είναι ο Dynamic Manipulability index (εξίσωση 1.8) και λαμβάνει υπόψιν του τον πίνακα αδράνειας M ss R NxN (εξίσωση 1.9) του ρομπότ : μ d = det [J(M ss. Μ Τ ss ) 1 J T ] (1.8) m 1 m 1,2 m 1,N m 2,1 m 2 Μ ss = [ m N,1 m N ] (1.9) Ο δείκτης Dynamic Manipulability εξαρτάται επίσης απο τα χαρακτηριστικά του βραχίονα και εκφράζει την ικανότητα του να επιταχύνει όταν εφαρμόζονται σε αυτόν δυνάμεις στο χώρο των αρθρώσεων. Για βραχίονες με έξι βαθμούς ελευθερίας η εξίσωση 1.8 απλοποιείται όπως φαίνεται παρακάτω: [18]

det (J) μ d = det (M ss ) (1.10) Ακόμα, οι Klein και Blaho [5] περιγράφουν τη μέθοδος εύρεσης ελάχιστης ιδιάζουσας τιμής (MSV-minimum singular value) κατά την οποία ο Ιακωβιανός πίνακας J αναλύεται ως εξής: J = UΣV T (1.11) όπου U ένας m m πραγματικός ή μιγαδικός ορθομοναδιαίος πίνακας, Σ ένας m n ορθογώνιος διαγώνιος πίνακας με μη αρνητικές τιμές στην διαγώνιο και V T ένας n n πραγματικός ή μιγαδικός ορθομοναδιαίος πίνακας. Συνεπώς τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Σ: σ 1 0 0 0 σ Σ = [ 2 0 ] (1.12) 0 0 0 0 σ m αποτελούν τις ιδιάζουσες τιμές του Ιακωβιανού πίνακα και η τιμή: MSV = min{σ i }, i = 1,2,.., n (1.13) δίνει μια εκτίμηση για την απόσταση του ρομπότ από ιδιάζουσες διαμορφώσεις. Ο δείκτης MSV εκφράζει, επίσης, την ικανότητα του άκρου του βραχίονα να κινηθεί προς μία κατεύθυνση αγνοώντας όλες τις υπόλοιπες κατευθύνσεις και σχετίζεται με τη μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να κινηθεί το ρομπότ προς όλες τις διευθύνσεις. Επίσης, από τους Salisbury και Craig [6] αναφέρεται ο Condition number που δίνεται από την εξίσωση: κ = σ max σ min (1.14) και αποτελεί μονάδα μέτρησης της ανεξαρτησίας των στηλών του Ιακωβιανού πίνακα. Ο δείκτης Condition number παίρνει τιμές στο διάστημα [1, ) και οι διαμορφώσεις για τις οποίες ισούται με την μονάδα ονομάζονται ισοτροπικές. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι ιδιάζουσες τιμές του Ιακωβιανού πίνακα είναι ίσες μεταξύ τους ενώ όταν ο Ιακωβιανός χάσει μία τάξη τότε η ελάχιστη ιδιάζουσα τιμή ισούται με μηδέν και ο δείκτης τείνει στο άπειρο. Ο δείκτης κ αποτελεί, επίσης, ένα μέτρο της ακρίβειας με την οποία ένας βραχίονας μετατρέπει τις ταχύτητες από τον χώρο των αρθρώσεων στο άκρο εργασίας και εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του βραχίονα καθώς και από τις μονάδες των μετρούμενων μεγεθών όπως και στη περίπτωση του δείκτη Manipulability. Συνηθέστερα χρησιμοποιείται ο Local Condition index: [19]

LCI = 1 κ (1.15) ώστε ο LCI να τείνει στο μηδέν καθώς ο Ιακωβιανός χάνει μια τάξη, δηλαδή ο βραχίονας πλησιάζει σε ιδιάζουσα διαμόρφωση και το σ min τείνει στο μηδέν. Από τους παραπάνω δείκτες για τον υπολογισμό της απόδοσης μιας διαμόρφωσης σε βραχίονες με περισσότερους από έξι βαθμούς ελευθερίας (redundant manipulators) χρησιμοποιείται συνηθέστερα ο δείκτης Manipulability επειδή η βάθμωση του εκφράζεται αναλυτικά με χρήση του Ιακωβιανού πίνακα. 1.2.2 Εικονικά όρια Έρευνα στο αντικείμενο του περιορισμού της κίνησης ενός ρομποτικού βραχίονα έγινε από τους Bowyer et al. [7] οι οποίοι αναφέρονται τόσο σε διάφορα είδη ελέγχου όσο και σε διάφορα είδη εικονικών ορίων. Περιγράφουν τους impedance και admittance ελεγκτές και αναλύουν μεθόδους εφαρμογής περιορισμών του χώρου εργασίας όπως σημειακά, γραμμικά, παραμετρικών καμπυλών και υπερεπιπέδων όρια ή ακόμα και νευρωνικά τεχνητά δίκτυα που δημιουργούν περιορισμούς στον χώρο εργασίας του ρομπότ (εικόνα 1.1). Η επίλογή της κατάλληλης μεθόδου περιορισμού εξαρτάται από τις διαστάσεις και τον τρόπο με τον οποίο πρέπει ο περιορισμός να εφαρμόζεται αλλά και από τους πόρους που διατίθενται. Συνεπώς, κάθε μέθοδος χαρακτηρίζεται από πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Εικόνα 1.1 Αναπαραστάσεις ορίων. (α)σημειακά. (b)γραμμικά. (c)παραμετρικής καμπύλης. (d)επιπέδου. (e)παραμετρικής επιφάνειας. (f)πολυγωνικού πλέγματος. (g)νέφους σημείων. (h)συνδυασμού γεωμετρικών σχημάτων. (i)ρητά ορισμένα[2] Τα σημειακά όρια έχουν μικρές απαιτήσεις σε υπολογιστική μνήμη όμως οι εφαρμογή τους είναι σπάνια. Το ίδιο ισχύει και στα γραμμικά καθώς οι περιπτώσεις στις οποίες τα όρια είναι σε μια ευθεία γραμμή είναι πολύ περιορισμένες. Αντίθετα, τα όρια που ορίζονται από παραμετρικές καμπύλες είναι γεωμετρικά πιο ευέλικτα και γι αυτό είναι πιο δύσκολο να υπολογιστούν. Όρια ορισμένα από υπερεπίπεδες επιφάνειες χρησιμοποιούνται σε συγκεκριμένες περιπτώσεις και ιδιαίτερα στους ρομποτικούς βραχίονες που εκτελούν χειρουργικές επεμβάσεις. Τέλος, τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα περιορίζουν τον χώρο με τρόπο υπολογιστικά αρκετά αποδοτικό όμως απαιτούνται πολλές δοκιμές και επαναλήψεις ώστε να εκπαιδευτούν σωστά. Όταν για κάποια διεργασία απαιτείται η εναλλαγή μεταξύ δύο ή [20]

περισσοτέρων μεθόδων, τότε ο περιορισμός καλείται δυναμικός σε αντίθεση με τον στατικό περιορισμό, όπου μόνο ένα είδος ορίου χρησιμοποιείται. Περιγράφονται, επίσης, μέθοδοι επιβολής των περιορισμών για την κίνηση του ρομπότ όπως η μονόπλευρη ή αμφίπλευρη και η ελκτική ή απωστική μέθοδος. Όταν ο περιορισμός εφαρμόζεται εκατέρωθεν της επιθυμητής διαδρομής τότε αποκαλείται αμφίπλευρος και αντίθετα ονομάζεται μονόπλευρος όταν εφαρμόζεται από την μία μόνο πλευρά. Κατά την χρήση της ελκτικής μεθόδου το άκρο εργασίας δέχεται δυνάμεις αφού ξεπεράσει κάποια επιτρεπτά όρια στον χώρο ώστε να διαγράψει την επιθυμητή διαδρομή ενώ κατά την απωστική μέθοδο δέχεται δυνάμεις πριν ξεπεράσει αυτά τα όρια για να διατηρεί συνεχώς την επιθυμητή τροχιά. 1.2.3 Συνεργασία ανθρώπου ρομπότ Για την ασφαλή συνεργασία ανθρώπου-ρομπότ συνηθέστερα χρησιμοποιούνται δύο είδη ελεγκτών (Hogan [8]). Ο πρώτος ονομάζεται ελεγκτής σύνθετης μηχανικής ενδοτικότητας (Admittance Controller) και ως είσοδο δέχεται τις δυνάμεις που εφαρμόζονται στον ρομποτικό βραχίονα και ως έξοδο δίνει την ταχύτητα ή την θέση του άκρου. Σε αντίθεση με τον πρώτο, ο δεύτερος ελεγκτής ονομάζεται ελεγκτής σύνθετης μηχανικής αντίστασης (Impedance Controller) και ως είσοδο δέχεται την θέση του ρομπότ είτε στο χώρο των αρθρώσεων είτε στου άκου και ως έξοδο δίνει την ασκούμενη δύναμη. Μελέτη των ιδιαζουσών διαμορφώσεων πραγματοποιήθηκε από τον Ott [9], χωρίς όμως πειραματική υλοποίηση, ο οποίος αναφέρεται στην αποφυγή τους με τρόπο γενικό που δεν θα απαιτεί την εκ των προτέρων γνώση αυτών. Χρησιμοποιεί τον συνδυασμό δύο ελεγκτών, τον Impedance Controller και τον Singularity Avoidance (εικόνα 1.2). Εικόνα 1.2 Σχεδιασμός νόμου ελέγχου του C.Ott Με τον πρώτο ελεγκτή υπολογίζονται οι ροπές που θα ασκηθούν στο ρομπότ για κάθε θέση του άκρου ενώ ο δεύτερος αφορά την αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων χρησιμοποιώντας τον δείκτη μ(q), που προκύπτει από την εξίσωση 1.6 και ορίζει πόσο κοντά βρίσκεται το ρομπότ σε μια τέτοια διαμόρφωση. Στην συνέχεια χρησιμοποιεί τον συγκεκριμένο δείκτη για να δημιουργήσει ένα απωστικό πεδίο V m : [21]

V m = { k s(μ(q) μ 0 ) 2 0 μ(q) μ 0 μ(q) > μ 0 (1.16) όπου k s είναι ένα σταθερό κέρδος ώστε η τάξη μεγέθους του δείκτη να είναι ίδια με την τάξη των δυνάμεων που εφαρμόζονται και μ 0 το επιτρεπτό όριο κάτω από το οποίο θεωρείται πως το ρομπότ βρίσκεται σε ιδιάζουσα διαμόρφωση. Συνεπώς, ο ρυθμός μεταβολής του πεδίου V m (q) ως προς τις γωνίες των αρθρώσεων του ρομπότ δημιουργεί την απαραίτητη δύναμη/ροπή για να κρατήσει το ρομπότ μακριά από αυτές τις διαμορφώσεις. Το μειονέκτημα του συγκεκριμένου νόμου ελέγχου είναι πως εφαρμόζεται στο χώρο των αρθρώσεων και γι αυτό δεν μπορεί να εφαρμοστεί για έλεγχο στο καρτεσιανό σύστημα του άκρου. Αντίθετα με την προηγούμενη προσέγγιση, σε έρευνα που έγινε από τους Abbort et al.[10] για ένα σύστημα δύο ρομπότ με σχέση κύριου-εξαρτημένου (master-slave), για τον κύριο χρησιμοποιείται ελεγκτής σύνθετης μηχανικής ενδοτικότητας (admittance) που όμως σαν είσοδο δεν χρησιμοποιείται αισθητήρας δύναμης αλλά η μετατόπιση του άκρου x error του ρομπότ από ένα σημείο αναφοράς. Εκτιμάται έτσι η ασκούμενη δύναμη μέσω της εξίσωσης 1.17 όπου K p ένα σταθερό κέρδος f hum = K p x error (1.17) και με την χρήση της εξίσωσης 1.18 υπολογίζεται η ταχύτητα αναφοράς v ref : v ref = K A f hum (1.18) η οποία μετά από αριθμητική ολοκλήρωση δίνει ένα νέο σημείο αναφοράς (setpoint), που χρησιμοποιείται από το εξαρτημένο ρομπότ για να εκτελέσει την απαιτούμενη κίνηση. 1.3 Στόχοι εργασίας Στόχος της συγκεκριμένης εργασίας είναι ο περιορισμός του άκρου ενός βραχίονα επτά βαθμών ελευθερίας σε έναν συγκεκριμένο χώρο εργασίας καθώς ο χειριστής μετακινεί το άκρο του. Επειδή η συνεργασία ανθρώπου-ρομπότ θα πρέπει να πραγματοποιείται με ασφάλεια απαιτείται επίσης η αναγνώριση και αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων στις οποίες μπορεί να βρεθεί το ρομπότ. Συνεπώς, το πρώτο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει τη μελέτη των διάφορων δεικτών ώστε να επιλεγεί ο καταλληλότερος για την ένδειξη προσέγγισης σε μια τέτοια διαμόρφωση και στην συνέχεια γίνεται η επιλογή του νόμου ελέγχου μέσω του οποίου ο χειριστής μετακινεί τον βραχίονα. Έπειτα κατασκευάζεται ο αλγόριθμος με τον οποίο γίνεται η αποφυγή των παραπάνω διαμορφώσεων, ακολουθεί η προσομοίωση του σε υπολογιστικό περιβάλλον και τελικά αφού [22]

κριθεί η ορθότητα και η απόδοση των παραπάνω υλοποιούνται και πειραματικά στο ρομπότ ΚUKA LWR IV 7-DOF. 1.4 Μεθοδολογία Αρχικά, ο νόμος ελέγχου επιλέγεται έχοντας λάβει υπόψιν ότι το άκρο εργασίας του βραχίονα διαθέτει έναν αισθητήρα δύναμης. Συνεπώς δημιουργούμε έναν ελεγκτή ενδοτικότητας (admittance controller), δηλαδή έναν ελεγκτή που δέχεται ως είσοδο δυνάμεις και ως έξοδο δίνει την ταχύτητα του άκρου ως προς το σύστημα συντεταγμένων αυτού. Στη συνέχεια, σε υπολογιστικό περιβάλλον (MATLAB) κατασκευάζεται ο αλγόριθμος για την αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων με τη χρήση διάφορων δεικτών. Όταν η τιμή του δείκτη πέσει κάτω από ένα όριο, δηλαδή όταν το ρομπότ πλησιάζει σε μια τέτοια διαμόρφωση, τότε χρησιμοποιώντας την βάθμωση του δείκτη ως προς τους μεταφορικούς και περιστροφικούς άξονες του συστήματος συντεταγμένων τοποθετημένο στο άκρο εργασίας, το ρομπότ ασκεί δυνάμεις και ροπές στον χειριστή που εμποδίζουν τη κίνηση του. Οι δυνάμεις αυτές δεν έχουν υπολογιστεί από πριν για κάθε σημείο στον χώρο αλλά υπολογίζονται online από τον προτεινόμενο αλγόριθμο. Ολόκληρη η ανάλυση που πραγματοποιείται στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας αφορά στην κινηματική και όχι στη δυναμική μελέτη του ρομποτικού βραχίονα και δεν απαιτεί την ύπαρξη της βάθμωσης του κάθε δείκτη σε αναλυτική μορφή καθώς αυτή προσεγγίζεται αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη λύση του αντίστροφου κινηματικού προβλήματος του βραχίονα μέσω του Ιακωβιανού πίνακα. Γι αυτό τον λόγο, ο αλγόριθμος που υλοποιείται μπορεί να λειτουργήσει επίσης και με άλλους δείκτες όπως Dynamic Manipulability index, MSV και LCI όπου η αναλυτική τους έκφραση δεν έχει υπολογιστεί όπως συμβαίνει με τον δείκτη Manipulability. Στα πειράματα που πραγματοποιούνται στο περιβάλλον προσομοίωσης μελετώνται σε συνδυασμό αλλά και ξεχωριστά η μεταφορική και η περιστροφική κίνηση του άκρου με τους δείκτες Manipulability, MSV και LCI ώστε να εκτιμηθεί η απόδοση τους. Στο πραγματικό πείραμα μελετάται μόνο η μεταφορική κίνηση του άκρου αρχικά στη μία και έπειτα στις δύο διευθύνσεις με τη χρήση του δείκτη Manipulability. [23]

Κεφάλαιο 2. Μελέτη και σχεδιασμός συστήματος για την αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων 2.1 Παρουσίαση του ρομπότ - ΚUKA LWR IV 7-DOF Το ρομπότ που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία είναι ένας βραχίονας της εταιρίας Kuka προορισμένος κυρίως για ερευνητικούς σκοπούς και αποτελείται από επτά περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας (εικόνα 2.1). Εικόνα 2.1 Kuka LWR IV 7-DOF Οι Denavit Hartenberg (standard) παράμετροι όπως αυτό μοντελοποιήθηκε στο υπολογιστικό περιβάλλον Matlab φαίνονται στον πίνακα 2.1. Πίνακας 2.1 Denavit-Hartenberg παράμετροι Joint 1 Joint 2 Joint 3 Joint 4 Joint 5 Joint 6 Joint 7 θ θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 d 0.3105 0 0.4 0 0.4 0 0.078 a 0 0 0 0 0 0 0 α -pi/2 pi/2 pi/2 -pi/2 -pi/2 pi/2 0 offset pi -pi/2 0 0 0 0 0 [24]

Στο άκρο του βραχίονα υπάρχει τοποθετημένος ένας αισθητήρας δύναμης/ροπής ATI nano25 F/T που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση των εξωτερικών δυνάμεων/ροπών. Ο χειρισμός του ρομπότ γίνεται μέσω του εργοστασιακού του controller ο οποίος σε συνδυασμό με ένα πάνελ χειρισμού και το γραφικό περιβάλλον KUKA.HMI (KUKA Ηuman Μachine Ιnterface) επιτρέπουν τόσο την κίνηση του ρομπότ με διάφορους τρόπους όσο και την εισαγωγή και εκτέλεση ενός προγράμματος-κώδικα. 2.2 Μελέτη δεικτών Για να μελετήσουμε τους διάφορους δείκτες λοιπόν, πρέπει να φέρουμε το άκρο εργασίας σε όλα τα σημεία στο χώρο, που το ρομπότ είναι ικανό να προσεγγίσει και να μετρήσουμε την τιμή του κάθε δείκτη στο σημείο αυτό. Οι επτά βαθμοί ελευθερίας όμως δίνουν στο ρομπότ την δυνατότητα να προσεγγίζει ένα συγκεκριμένο σημείο με σταθερό προσανατολισμό με άπειρες διαμορφώσεις (configurations) λόγω του πλεονάζοντα βαθμού ελευθερίας (Dimeas και Aspragathos [11]). Συνεπώς, οι δείκτες που θέλουμε να μελετήσουμε σχετικά με τις ιδιάζουσες διαμορφώσεις του ρομπότ δεν εξαρτώνται αποκλειστικά από το σημείο που βρίσκεται το άκρο εργασίας στον καρτεσιανό χώρο αλλά και από τον προσανατολισμό και τη διαμόρφωση με την οποία έχει φτάσει το ρομπότ στο δεδομένο σημείο. Θα μπορούσαμε περιστρέφοντας κάθε άρθρωση χωριστά την μία μετά την άλλη να σαρώσουμε όλο τον χώρο που περνά το άκρο και να βρούμε τους δείκτες που ζητάμε. Εξοικονομούμε ωστόσο αρκετό χρόνο και υπολογιστικό βάρος λαμβάνοντας υπόψιν ότι η πρώτη άρθρωση δεν θα αλλάξει την κατανομή των δεικτών (Patel και Sobh[1]) αφού εκ περιστροφής της θα πάρουμε τις ίδιες μετρήσεις όπως επίσης και η τελευταία άρθρωση δεν επηρεάζει τους δείκτες μας. Γι αυτό τον λόγο, αρκεί να προβάλουμε τον χώρο στο επίπεδο ΧΖ για την αναπαράσταση των δεδομένων από τις τρεις στις δύο διαστάσεις, λαμβάνοντας τις εικόνες 2.3 έως 2.8 με το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται να φαίνεται στην εικόνα 2.2. Παράλληλα, η κατανομή των δεικτών στο επίπεδο ΧΖ κάνει πιο κατανοητή τη σχέση των δεικτών με την κίνηση του βραχίονα, για παράδειγμα στις διαμορφώσεις που ο βραχίονας βρίσκεται κοντά στην μέγιστη έκταση του οι δείκτες τείνουν σε χαμηλές τιμές. Οι δείκτες που μελετήθηκαν είναι: ο δείκτης Manipulability, ο δείκτης MSV και ο δείκτης LCI. Ο υπολογισμός του δείκτη Manipulability πραγματοποιήθηκε μετακινώντας την δεύτερη, την τρίτη και την τέταρτη άρθρωση του ρομπότ με βήμα 0.1 rad ενώ την πέμπτη και την έκτη με βήμα 0.2 rad. Για την δεύτερη, τρίτη και τέταρτη αντίστοιχα άρθρωση κατά τον υπολογισμό των άλλων δύο δεικτών χρησιμοποιήθηκε βήμα ίσο με 0.3 rad και για την πέμπτη και έκτη βήμα 0.6 rad. Ο τρόπος που υπολογίζουμε τον δείκτη Translational Manipulability (weak) (Yoshikawa[2]) μέσω του Ιακωβιανού πίνακα λαμβάνει υπόψιν μόνο την μεταφορική κίνηση του άκρου εργασίας και αγνοεί τον προσανατολισμό καθώς χρησιμοποιούνται μόνο οι τρείς πρώτες γραμμές του Ιακωβιανού. Έτσι, ο δείκτης δίνεται από τον τύπο: [25]

μ Τ = J T J T T (2.1) Αντίστοιχα, αν μελετούσαμε την ικανότητα της άκρης του ρομπότ να περιστρέφεται αγνοώντας την θέση που βρίσκεται τότε θα χρησιμοποιούσαμε μόνο τις τρεις τελευταίες γραμμές του Ιακωβιανού πίνακα και ο Rotational Manipulability (weak) δείκτης θα υπολογιζόταν από την εξίσωση: μ R = J R J R T (2.2) Στην περίπτωση όμως στην οποία για ένα συγκεκριμένο σημείο του άκρου μας ενδιαφέρει ο προσανατολισμός να παραμείνει σταθερός τότε υπολογίζουμε τον δείκτη της εξίσωσης 2.1 με όρισμα τον επαυξημένο Ιακωβιανό πίνακα J Τ aug και βρίσκουμε τον Translational Manipulability (strong): J T aug = J T (I NxN J R J R ) (2.3) μ T strong = J T aug J T aug T (2.4) Αντίστοιχα αν για συγκεκριμένο προσανατολισμό μας ενδιαφέρει το άκρο να παραμείνει σε σταθερό σημείο υπολογίζουμε τον δείκτη της εξίσωσης 2.2 με όρισμα τον πίνακα J R aug και βρίσκουμε τον Rotational Manipulability (strong): J R aug = J R (I NxN J T J T ) (2.5) μ R strong = J R aug J R aug T (2.6) Όμοια ορίζονται και οι δείκτες : MSV T = min(svd(j T )) και MSV R = min(svd(j R )) (2.7) MSV T aug = min (svd(j T aug )) και MSV R aug = min (svd(j R aug )) (2.8) Εξαιτίας των εμφωλευμένων επαναλήψεων με τις οποίες μεταβάλλονται σταδιακά οι αρθρώσεις ώστε να σαρωθεί όλος ο προσβάσιμος από το άκρο χώρος και να υπολογιστούν οι δείκτες για κάθε διαμόρφωση, κοντά σε διαμορφώσεις υψηλής απόδοσης (κόκκινα σημεία) θα βλέπαμε στις εικόνες 2.3 έως 2.8 να υπάρχουν και διαμορφώσεις χαμηλής απόδοσης (μπλε σημεία) λόγω των επτά βαθμών ελευθερίας του βραχίονα. Ωστόσο κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει διότι τα παραπάνω γραφήματα έχουν προκύψει αφού πρώτα χωρίσαμε τα αρχικά γραφήματα [26]

σε μικρές περιοχές (grids) επιλέγοντας από την κάθε μία την καλύτερη/μέγιστη τιμή του δείκτη ώστε να έχουμε μια ομοιόμορφη εικόνα για την κατανομή των δεικτών. Προκειμένου ο βραχίονας να μην αναπτύσσει ταχύτητες που είναι επικίνδυνες για τον χειριστή, επιθυμούμε το άκρο εργασίας να κινείται πάντα σε σημεία στον καρτεσιανό χώρο για τα οποία ο δείκτης που μελετάμε δεν βρίσκεται κάτω από ένα επιτρεπτό όριο που εμείς ορίζουμε. Θέλουμε, δηλαδή, ο χειριστής να μπορεί να κινεί ελεύθερα το άκρο όσο αυτό βρίσκεται στην κόκκινη και πορτοκαλί περιοχή (εικόνα 2.3) αλλά ο νόμος ελέγχου να δημιουργεί κατάλληλες δυνάμεις επαναφοράς όταν ο δείκτης ξεπεράσει το επιτρεπτό όριο, δηλαδή όταν το άκρο βρεθεί στην κίτρινη και μπλε περιοχή. Εικόνα 2.2 Αρχικό σύστημα συντεταγμένων Σύστημα βάσης [27]

Εικόνα 2.3 Δείκτης Manipulability-Μη κανονικοποιημένο Εικόνα 2.4 Δείκτης Manipulability-Κανονικοποιημένο [28]

Εικόνα 2.5 Δείκτης MSV- Μη κανονικοποιημένο Εικόνα 2.6 Δείκτης MSV- Κανονικοποιημένο [29]

Εικόνα 2.7 Δείκτης LCI-Μη κανονικοποιημένο Εικόνα 2.8 Δείκτης LCI Κανονικοποιημένο [30]

Για κάθε δείκτη αναπαριστούμε τις τιμές του πριν και μετά την κανονικοποίηση των τιμών του. Προτιμάμε να χρησιμοποιούμε τις τιμές που δεν έχουν κανονικοποιηθεί καθώς με αυτό τον τρόπο δεν χάνουμε πληροφορία εξαιτίας της κανονικοποίησης. Συγκρίνοντας τις εικόνες 2.3 έως 2.8 παρατηρούμε ότι κοινό χαρακτηριστικό όλων είναι το σχήμα της περιοχής μέσα στο οποίο απαιτούμε να κινείται το άκρο του ρομπότ ώστε αυτό να βρίσκεται σε μια διαμόρφωση υψηλής απόδοσης. Ωστόσο, ο δείκτης Manipulability παρουσιάζει δύο περιοχές με σχετικά υψηλή τιμή σε αντίθεση με τους άλλους δύο δείκτες όπου υπάρχει μία ενιαία περιοχή με υψηλές τιμές σε όλο το επίπεδο ΧΖ. Επίσης, παρατηρούμε πως ο ωφέλιμος χώρος εργασίας στην περίπτωση των δεικτών MSV και LCI συγκεντρώνεται περισσότερο κοντά στο σώμα/βάση του ρομπότ σε σχέση με τον δείκτη Manipulability που αποκτά υψηλές τιμές καθώς το άκρο του ρομπότ εκτείνεται προς τα αρνητικά του άξονα Χ. Ακόμα, υπάρχουν διαφορές ως προς το εύρος των τιμών που δίνουν οι δείκτες μεταξύ τους, γεγονός που σημαίνει πως η χρήση του κάθε ένα απαιτεί και ξεχωριστό επιτρεπτό όριο λειτουργίας του ρομπότ. Κατά τη συνεργασία του ανθρώπου με το ρομπότ, είναι επιθυμητό ο χειριστής να βρίσκεται σε μια ικανοποιητική απόσταση από το κυρίως σώμα του βραχίονα έχοντας όμως την δυνατότητα να μετακινεί το άκρο του όσο το δυνατόν με περισσότερη ευελιξία. Θεωρούμε συνεπώς, τον δείκτη Manipulability πιο αποδοτικό καθώς προσφέρει περισσότερο ωφέλιμο χώρο εργασίας που δεν συγκεντρώνεται κοντά στο σώμα του ρομπότ γι αυτό και θα τον χρησιμοποιήσουμε τόσο στο περιβάλλον προσομοίωσης όσο και στο πείραμα στο ρομπότ Kuka LWR. 2.3 Νόμος ελέγχου αλληλεπίδρασης Η επιλογή του νόμου ελέγχου εξαρτάται άμεσα από τα χαρακτηριστικά του συστήματος μας. Εκμεταλλευόμενοι την ύπαρξη του αισθητήρα δύναμης/ροπής στο άκρο εργασίας του βραχίονα επιλέγεται ο έλεγχος ενδοτικότητας (admittance control) κατά τον οποίο σαν είσοδος θεωρείται το διάνυσμα F R 6 που περιέχει τις δυνάμεις και τις ροπές που εφαρμόζει ο χειριστής στο άκρο σε κάθε μεταφορικό και περιστροφικό άξονα: F = [ F x F y F z τ x τ y τz ] = [ F Tr F Rot ] R3 R 3 (2.9) ενώ σαν έξοδος το διάνυσμα που περιέχει τη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του άκρου v R 6 : [31]

v = V x V y V z ω x ω y [ ω z ] = [ V Tr V Rot ] R3 R 3 (2.10) Μέσω του admittance ελεγκτή επιλέγουμε το ρομπότ να έχει μια επιθυμητή αδράνεια M R 6x6 και έναν καθορισμένο συντελεστή απόσβεσης C R 6x6 και τα δύο μεγέθη εκφρασμένα ως προς το άκρο εργασίας και διαφορετικά από τα πραγματικά χαρακτηριστικά του ρομπότ. F = Mv + Cv + F avoid (2.11) Τα τρία πρώτα στοιχεία του διανύσματος της δύναμης εκφράζουν την ασκούμενη δύναμη ως προς την X, Y και Z διεύθυνση αντίστοιχα ενώ τα τρία τελευταία την ασκούμενη ροπή ως προς τους ίδιους άξονες. Για την ταχύτητα τα τρία πρώτα στοιχεία δηλώνουν την γραμμική ταχύτητα ενώ τα υπόλοιπα την γωνιακή ταχύτητα του άκρου ως προς κάθε έναν από τους τρείς άξονες. Το ίδιο ισχύει και για τους πίνακες M και C που εκφράζουν την επιθυμητή αδράνεια και απόσβεση του ρομπότ και είναι διαγώνιοι, θετικά ορισμένοι πίνακες, δηλαδή τα τρία πρώτα διαγώνια στοιχεία τους αφορούν στις μεταφορικές κινήσεις και αντίστοιχα τα υπόλοιπα τρία στις περιστροφικές κινήσεις του άκρου. Όπως φαίνεται, χρησιμοποιείται ακόμα ο όρος F avoid R 6 για την αποφυγή των διαμορφώσεων χαμηλής απόδοσης ο οποίος όμως θα αναλυθεί περισσότερο στο επόμενο κεφάλαιο. Η δύναμη που ασκείται μετατρέπεται σε ταχύτητα του άκρου λύνοντας τη εξίσωση 2.11 ως προς το διάνυσμα της ταχύτητας v R 6 (εξίσωση 2.10) και της επιτάχυνσης v R 6 (εξίσωση 2.12): v = v v prev T s (2.12) όπου v prev το διάνυσμα ταχύτητας στον προηγούμενο κύκλο σάρωσης του αλγορίθμου και T s η περίοδος δειγματοληψίας ελέγχου. Ο νόμος ελέγχου που προκύπτει είναι: v = [( M 1 + C) ] ( Mv prev + F F T s T avoid ) (2.13) s Χρησιμοποιούμε τον Ιακωβιανό πίνακα του ρομπότ για να μετατρέψουμε την ταχύτητα του άκρου κάθε χρονική στιγμή σε ταχύτητα στις αρθρώσεις q R 7 (εξίσωση 2.14). [32]

q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 [ q 7] = J (q)v (2.14) όπου J ο ψευδοαντίστροφος, καθώς ο Ιακωβιανός δεν είναι τετραγωνικός πίνακας. O προσδιορισμός της θέσης του ρομπότ επιτυγχάνεται μέσω της εύρεσης του διανύσματος q που περιέχει τη γωνία που πρέπει να περιστραφεί η κάθε μία από τις επτά αρθρώσεις χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση Euler (εξίσωση 2.15) q = T s q + q prev, (2.15) Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, εξαιτίας των επτά βαθμών ελευθερίας, το αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα μπορεί να μας δώσει περισσότερες από μία ή και άπειρες λύσεις. Σχηματικά ο προτεινόμενος νόμος ελέγχου φαίνεται στην εικόνα 2.9. Εικόνα 2.9 Σχηματικό διάγραμμα του ελεγκτή ενδοτικότητας 2.4 Υπολογισμός απωστικής δύναμης Όπως παρουσιάζεται και στο προηγούμενο κεφάλαιο, για την αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων ο ελεγκτής λαμβάνει υπόψιν τον όρο F avoid R 6 που πρόκειται για ένα διάνυσμα που περιλαμβάνει δυνάμεις και ροπές και εφαρμόζεται από το ρομπότ στον χειριστή όταν αυτός μετακινεί το άκρο εργασίας σε σημείο όπου ο υπο μελέτη δείκτης πέφτει κάτω από το επιτρεπτό όριο που εμείς ορίζουμε. Επειδή είναι αναγκαίο το ρομπότ να αποφευχθεί να βρεθεί σε ιδιάζουσα διαμόρφωση ακόμα και σε περίπτωση που ο χειριστής ασκεί μεγάλες δυνάμεις ή ροπές προς μια διαμόρφωση χαμηλής απόδοσης, επιλέγουμε το μέτρο του διανύσματος επαναφοράς να είναι συνάρτηση του δείκτη. Χρησιμοποιούνται τα μεγέθη [33]

w Tr (q) και w Rot (q) που εκφράζουν τον υπό μελέτη δείκτη για τις μεταφορικές και τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου και είναι ίσοι με: w Tr (q) = μ T strong w Rot (q) = μ R strong Μελέτη Manipulability (2.16) ή w Tr (q) = w Rot (q) = min{σ i } i = 1,2,..,6 Μελέτη MSV (2.27) ή w Tr (q) = w Rot (q) = ( σ min σ max ) Μελέτη LCI (2.18) Χρησιμοποιούνται επίσης, τα μεγέθη w th,tr και w th,rot που εκφράζουν το επιτρεπτό όριο για κάθε δείκτη κάτω από το οποίο θα αρχίζουν να εφαρμόζονται οι απωστικές δυνάμεις και ροπές στον χειριστή. Όταν ο υπό μελέτη δείκτης είναι ο δείκτης Manipulability τότε τα μεγέθη w th,tr και w th,rot εκφράζουν πιο συγκεκριμένα τα επιτρεπτά όρια για τους δείκτες μ T strong και μ R strong. Στο εξής οι δείκτες μ T strong και μ R strong θα αναφέρονται ως Translational Manipulability και Rotational Manipulability αντίστοιχα. Για τους δύο άλλους δείκτες τα όρια αυτά είναι ίσα μεταξύ τους καθώς τόσο οι δυνάμεις όσο και οι ροπές του διανύσματος F avoid υπολογίζονται από τον ίδιο δείκτη. Η μέθοδος περιλαμβάνει ακόμα, τα κέρδη Κ Tr και Κ Rot για τα μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Στην πρώτη, τα κέρδη δεν μεταβάλλονται συναρτήσει του υπό μελέτη δείκτη αλλά έχουν μια σταθερή τιμή ώστε η τάξη μεγέθους της απωστικής δύναμης και ροπής να ισοδυναμεί με την τάξη μεγέθους της ασκούμενης δύναμης και ροπής αντίστοιχα. Όταν μελετάται ο δείκτης Manipulability τότε τα δύο κέρδη είναι διαφορετικά μεταξύ τους και αφορούν ξεχωριστά τις μεταφορικές και τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου ενώ στην περίπτωση των δύο άλλων δεικτών τα δύο κέρδη είναι ίδια όπως συμβαίνει αντίστοιχα και με τα μεγέθη w th,tr και w th,rot. Εξαιτίας της διαφοράς που υπάρχει στις μονάδες των ασκούμενων ροπών σε σχέση με τις δυνάμεις αλλά και στο Translational Manipulability σε σχέση με το Rotational Manipulability μελετάμε όπως φαίνεται τις μεταφορικές κινήσεις ξεχωριστά από τις περιστροφικές. Συνεπώς, εφαρμόζοντας για παράδειγμα μια εξωτερική δύναμη μεγαλύτερη από αυτή που δίνει ο αλγόριθμος με δεδομένο το κέρδος K Tr ο βραχίονας είναι δυνατόν να βρεθεί σε διαμόρφωση χαμηλής απόδοσης. Καθώς υπολογίζουμε τη μέγιστη τιμή της δύναμης και της ροπής που [34]

μπορεί να δημιουργήσει ο αλγόριθμος για δεδομένο κέρδος, οι εξωτερικές δυνάμεις και ροπές που εφαρμόζονται στο άκρο απαιτείται να είναι πάντα μικρότερες. Στην δεύτερη προσέγγιση το κέρδη επιλέγονται ώστε να μεταβάλλονται ασυμπτωτικά ώστε πάντα να εξουδετερώνεται η εξωτερική δύναμη και ροπή του χειριστή σύμφωνα με τις εξισώσεις 2.19 και 2.20: 1 1 K Tr ( w Tr (q)) = λ Tr [( ) ( )] (2.19) w Tr (q) w crit,tr w th,tr w crit,tr 1 1 K Rot ( w Rot (q)) = λ Rot [( ) ( )] (2.20) w Rot (q) w crit,rot w th,rot w crit,rot όπου τα κέρδη λ Tr και λ Rot έχουν σταθερές τιμές και τα μεγέθη w crit,tr και w crit,rot εκφράζουν το σημείο στο οποίο η απωστική δύναμη και ροπή αντίστοιχα τείνει στο άπειρο. Σχηματικά, η μεταβολή του κέρδους K Tr σε σχέση με τον δείκτη Translational Manipulability για διαφορετικές τιμές του λ Tr φαίνεται στην εικόνα 2.10. Εικόνα 2.10 Μεταβολή του κέρδους K Tr σε σχέση με τον δείκτη Translational Manipulability για διαφορετικές τιμές του λ Tr. Για τα πειράματα που έγιναν στο περιβάλλον προσομοίωσης επιλέγεται η πρώτη προσέγγιση καθώς είναι πιο απλή και είναι γνωστές οι εξωτερικές δυνάμεις και ροπές που πρόκειται να εφαρμοστούν στο ρομπότ. Αντίθετα, στο πείραμα που γίνεται στο ρομπότ όπου ο χειριστής είναι ελεύθερος να εφαρμόσει δυνάμεις και ροπές μεγαλύτερες από αυτές που ο αλγόριθμος με την πρώτη προσέγγιση θα μπορούσε να εξουδετερώσει, για τον πιο πλήρη περιορισμό του χειριστή επιλέγεται η δεύτερη προσέγγιση για τον υπολογισμό των κερδών. Λαμβάνοντας υπόψιν τις παραπάνω μεταβλητές προκύπτει τελικά, το διάνυσμα F avoid : [35]

F avoid = [F av,x F av,y F av,z τ av,x τ av,y τ av,z] T = [ F av,tr F av,rot ] R3 R 3 (2.21) και αναλύεται για τις μεταφορικές και τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου ως: F av,tr = { A TrK Tr (w Τr (q) w th,tr ) 0 w Τr (q) w th,tr w Τr (q) > w th,tr (2.22) F av,rot = { A RotK Rot (w Rot (q) w th,rot ) 0 w Rot (q) w th,rot w Rot (q) > w th,rot (2.23) όπου F av,tr R 3 και F av,rot R 3 είναι διανύσματα που περιέχουν τις απωστικές δυνάμεις και τις απωστικές ροπές αντίστοιχα. Το πρώτο στοιχείο του F av,tr αφορά στη δύναμη που θα εφαρμοστεί στον χειριστή στον άξονα Χ ενώ το πρώτο στοιχείο του F av,rot αφορά στη ροπή που θα εφαρμοστεί γύρω από τον άξονα Χ. Αντίστοιχα, για τις δυνάμεις και τις ροπές στους άξονες Υ και Ζ έχουμε τα στοιχεία που βρίσκονται στη δεύτερη και στην τρίτη θέση. Μέχρι τώρα, η αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων εστιάζει στη σχεδίαση του μέτρου των απωστικών δυνάμεων και ροπών του διανύσματος F avoid χωρίς να προσδιορίζεται καθόλου η κατεύθυνση τους. Αυτό συμβαίνει γιατί η κατεύθυνση προσδιορίζεται αποκλειστικά από τα διανύσματα A Tr R 3 και A Rot R 3. Επειδή δεν έχουμε τη συνάρτηση των δεικτών που χρησιμοποιούμε σε κλειστή μορφή ώστε να υπολογίσουμε τη βάθμωση τους σε κάθε διεύθυνση, χρησιμοποιείται ένας αλγόριθμος που προσεγγίζει τη βάθμωση αριθμητικά. Για μια συγκεκριμένη διαμόρφωση του ρομπότ q 0 υπολογίζονται οι γειτονικές θέσεις-γωνίες των αρθρώσεων q ± τις οποίες θα είχε το ρομπότ εάν αυτό αποκτούσε μια εικονική ταχύτητα v ± : v ± = ±1 0 0 0 0 [ 0 ] v ± = 0 ±1 0 0 0 [ 0 ] v ± = 0 0 ±1 0 0 [ 0 ] (2.24) x-axis y-axis z-axis και σαν αποτέλεσμα θα είχε μια στιγμιαία μετατόπιση σε κάθε μεταφορικό άξονα. Έτσι το διάνυσμα q ± δίνεται τώρα από την παρακάτω εξίσωση: q ± = q 0 + J (q ± ) v ± T s (2.25) [36]

Η διαδικασία του υπολογισμού των γειτονικών θέσεων του ρομπότ γενικεύεται και για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου όπου αντίστοιχα το άκρο αποκτά μια εικονική γωνιακή ταχύτητα σε κάθε περιστροφικό άξονα και σαν αποτέλεσμα έχει μια στιγμιαία περιστροφή. Για τα νέα configurations q ± υπολογίζουμε τη βάθμωση στον μεταφορικό και περιστροφικό άξονα Χ ως εξής: w Tr,x± w Tr± / x Tr (2.26) w Rot,x± w Rot± / x Rot (2.27) όπου η απόσταση x Tr θεωρείται ίδια και σταθερή για όλους τους μεταφορικούς άξονες και η απόσταση x Rot ίδια και σταθερή για τους περιστροφικούς άξονες αντίστοιχα. Έτσι, οι αποστάσεις αυτές μπορούν να παραληφθούν στις επόμενες εξισώσεις καθώς αντισταθμίζονται μέσα στις σταθερές Κ Tr και Κ Rot. Προκύπτει συνεπώς, ότι η βάθμωση είναι ανάλογη των διαφορών w Tr±, w Rot± για την οποίες ισχύουν οι εξισώσεις 2.28, 2.29 και σχηματικά η αναζήτηση του βέλτιστου γειτονικού δείκτη για την μεταφορική κίνηση του άκρου πάνω στον άξονα Χ φαίνεται στην εικόνα 2.11. w Tr± = w Tr (q ± ) w Tr (q 0 ) (2.28) w Rot± = w Rot (q ± ) w Rot (q 0 ) (2.29) Εικόνα 2.11 Αναζήτηση του βέλτιστου δείκτη στην διεύθυνση Χ του άκρου εργασίας. Επειδή επιθυμούμε ο βραχίονας να κινηθεί προς την περιοχή με τον μεγαλύτερο δείκτη, δηλαδή να απομακρυνθεί από την ιδιάζουσα διαμόρφωση, επιλέγεται για κάθε άξονα η μεγαλύτερη τιμή ανάμεσα στα w Tr+, w Tr για τις μεταφορικές κινήσεις και στα w Rot+, w Rot για τις [37]

περιστροφικές κινήσεις του άκρου. Έτσι, το πρώτο στοιχείο του διανύσματος A Tr που αφορά την μεταφορική κίνηση του άκρου στη Χ διεύθυνση ορίζεται ως: 0 w Tr (q ± ) w Tr (q 0 ) & w Tr (q ± ) w Tr (q 0 ) A Tr,x = max{ w Tr+, w Tr } argmax{ w Tr+, w Tr } { sign(v x ± ) else (2.30) και το πρώτο στοιχείο του διανύσματος A Rot ορίζεται με όμοιο τρόπο ως: 0 w Rot (q ± ) w Rot (q 0 ) & w Rot (q ± ) w Rot (q 0 ) A Rot,x = max{ w Rot+, w Rot } argmax{ w Rot+, w Rot } { sign(v x± ) else (2.31) Αντίστοιχα υπολογίζονται τα μεγέθη A Tr,y, A Tr,z και A Rot,y, A Rot,z για τους άξονες Υ και Ζ και τα διανύσματα A Tr και A Rot δίνονται τελικά από τις εξισώσεις 2.32, 2.33 όπως φαίνεται παρακάτω: Α Tr = [A Tr,x A Tr,y A Tr,z] T (2.32) Α Rot = [A Rot,x A Rot,y A Rot,z] T (2.33) Σε περίπτωση που καμία γειτονική θέση σε κάποιον άξονα δεν βελτιώνει τον δείκτη που μελετάμε τότε ο δείκτης έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο αυτό (εικόνα 2.12) και δεν δημιουργούνται δυνάμεις/ροπές επαναφοράς καθώς το αντίστοιχο A Tr Rot,x/y/z ισούται με μηδέν. Εικόνα 2.12 Σημείο για το οποίο η F avoid δεν βελτιώνει τον δείκτη, στην διεύθυνση Χ του άκρου εργασίας. [38]

Κεφάλαιο 3. Παρουσίαση αποτελεσμάτων Για να κριθεί η αποτελεσματικότητα όσων αναφέρθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια κρίνεται απαραίτητη αρχικά η προσομοίωση τους και στη συνέχεια η πειραματική εφαρμογή τους πάνω στο ρομπότ. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται η προσομοίωση του ρομποτικού βραχίονα στο υπολογιστικό περιβάλλον Matlab με τη βοήθεια του πακέτου Robotic Toolbox 1 και τα αποτελέσματα που προέρχονται από διάφορες εικονικές δυνάμεις και ροπές που εφαμόζονται στο άκρο του, με τη χρήση του admittance ελεγκτή. Αρχικά, μελετάμε ξεχωριστά τις μεταφορικές κινήσεις του άκρου από τις περιστροφικές και σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις το άκρο καθοδηγείται χωρίς και με την εφαρμογή των εικονικών περιορισμών. Τέλος, τα δύο είδη κινήσεων συνδυάζονται ώστε να αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητα του μηχανισμού αποφυγής των διαμορφώσεων χαμηλής απόδοσης που οφείλονται τόσο στις περιστροφικές όσο και στις μεταφορικές κινήσεις του άκρου. 3.1 Προσδιορισμός παραμέτρων διαδικασίας Αρχικά, ο έλεγχος και η εφαρμογή των εικονικών δυνάμεων ανανεώνονται με συχνότητα f s = 1 T s = 1kHz. Οι παράμετροι Denavit-Hartenberg όπως αυτοί ορίζονται στο Matlab φαίνονται στον πίνακα 2.1 και η επιθυμητή αδράνεια και απόσβεση του ρομπότ επιλέγονται ώστε να διευκολύνουν τον χειριστή να μετακινεί το άκρο του βραχίονα με ευκολία χωρίς να εμφανίζονται όμως μεγάλες ταλαντώσεις και είναι οι εξής : C = M = 2kg 0 0 0 0 0 0 2kg 0 0 0 0 0 0 2kg 0 0 0 0 0 0 0.1kgm 2 0 0 0 0 0 0 0.1kgm 2 0 [ 0 0 0 0 0 0.1kgm 2 ] 50Ns/m 0 0 0 0 0 0 50Ns/m 0 0 0 0 0 0 50Ns/m 0 0 0 0 0 0 0.5Nsm/rad 0 0 0 0 0 0 0.5Nsm/rad 0 0 0 0 0 0 0.5Nsm/rad] [ (3.1) (3.2) Τα όρια για κάθε δείκτη που μελετάμε ορίζονται έτσι ώστε ο επιθυμητός χώρος εργασίας του άκρου να είναι κυρίως η κόκκινη και πορτοκαλί περιοχή όπως φαίνεται στις εικόνες 2.3 έως 2.8 του 2 ου κεφαλαίου. Για τον δείκτη Manipulability θέτουμε το επιτρεπτό όριο ίσο με 0.03 για τις μεταφορικές και ίσο με 0.2 για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου. Για τους δείκτες 1 http://petercorke.com/robotics_toolbox.html [39]

MSV και LCI έχουμε το ίδιο όριο και για δύο είδη κινήσεων και ισούται με 0.1 και 0.05 αντίστοιχα. Τα κέρδη K Tr και K Rot επιλέγονται με βάση τη μέγιστη εξωτερική δύναμη και ροπή που απαιτούμε να δημιουργεί ο αλγόριθμος με δεδομένο το επιτρεπτό όριο. Για την περίπτωση του δείκτη Manipulability και LCI η τιμή αυτή είναι περίπου τα 90N και για τον δείκτη MSV τα 100N, ενώ αντίστοιχα υπολογίζονται και τα κέρδη για τις περιστροφικές κινήσεις. Έτσι, τα κέρδη K Tr και K Rot για τον δείκτη Manipulability ισούνται με 10 6 και 2*10 3 και για τους δείκτες MSV και LCI ισούνται με 10 5 και 10 4. Θεωρούμε ότι η αρχική διαμόρφωση του ρομπότ δίνεται από τις γωνίες q = [0 0.3491 0 1.3963 0 1.3963 0] T εκφρασμένες σε ακτίνια. Είναι μια τυχαία διαμόρφωση με υψηλή επιδεξιότητα με τους άξονες X και Υ του συστήματος συντεταγμένων του άκρου να είναι παράλληλοι στο οριζόντιο επίπεδο ενώ τον άξονα Ζ κάθετο σε αυτό όπως φαίνεται στην εικόνα 3.1: Εικόνα 3.1 Αρχική διαμόρφωση του ρομπότ 3.2 Προσομοίωση 1 η Μεταφορικές κινήσεις Εφαρμόζοντας μια εικονική δύναμη σταθερού μέτρου με κατεύθυνση αρχικά σε κάθε άξονα του άκρου χωριστά και στη συνέχεια σε όλους μαζί και γνωρίζοντας πως αν δύο ή παραπάνω άξονες του ρομπότ ταυτιστούν τότε αυτό βρίσκεται ιδιάζουσα διαμόρφωση, παρατηρούμε τη συμπεριφορά του βραχίονα και των διάφορων δεικτών. Κατά την προσομοίωση των παρακάτω μεταφορικών κινήσεων του άκρου θέτουμε την τιμή K Rot = 0 διότι θέλουμε να μηδενίζονται [40]

οι ροπές που προκύπτουν από τον αλγόριθμο ώστε να διατηρείται σταθερός ο προσανατολισμός του άκρου. 3.2.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών Αρχικά, δεν εφαρμόζονται καθόλου δυνάμεις επαναφοράς με αποτέλεσμα όταν το ρομπότ φτάνει σε μια ιδιάζουσα διαμόρφωση οι ταχύτητες των αρθρώσεων να μεγαλώνουν υπερβολικά ξεπερνώντας κατά πολύ τα επιτρεπτά όρια που δίνει ο κατασκευαστής, το οποίο επικίνδυνο τόσο για τον χειριστή όσο και για το ρομπότ. Στην πράξη, προκαλείται μια απότομη κίνηση η οποία διακόπτεται εξαιτίας της άμεσης ενεργοποίησης των φρένων έκτακτης ανάγκης που διαθέτει ο βραχίονας LWR, κάτι που δεν συμβαίνει στην προσομοίωση. Εφαρμόζουμε δύναμη στο άκρο του βραχίονα ίση με 10Ν μόνο στον άξονα Χ, ( F = [10Ν 0 0 0 0 0] T ) για χρόνο τριών δευτερολέπτων και σταματάμε την προσομοίωση όταν ο τρίτος άξονας του ρομπότ ευθυγραμμίζεται με τον πέμπτο και το ρομπότ βρίσκεται σε ιδιάζουσα διαμόρφωση. Η διακοπή της προσομοίωσης πραγματοποιείται ώστε να μην λάβουμε στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, μετρήσεις όταν το ρομπότ περάσει από την ιδιάζουσα διαμόρφωση και σε αυτή οφείλεται η απότομη πτώση των ταχυτήτων και των δεικτών στο μηδέν. Στο σημείο της διακοπής, οι δείκτες Translational Manipulability, MSV και LCI έχουν φτάσει στην κατώτατη τιμή τους, όπως φαίνεται με διακεκομμένη πράσινη γραμμή στις εικόνες 3.4.α, 3.5, 3.6 και ισούνται με 0.01, 0.03 και 0.017 αντίστοιχα, την οποία ορίζουμε ως Singular point για κάθε δείκτη. Παρατηρούμε πως τα όρια που έχουμε θέσει για τους Translational Manipulability, MSV και LCI βρίσκονται πάνω από το Singular point. Αυτό σημαίνει πως το ρομπότ ασκεί δυνάμεις στον χειριστή προτού αυτό φτάσει πολύ κοντά στην ιδιάζουσα διαμόρφωση, δηλαδή υπάρχει ένα περιθώριο σφάλματος/βελτίωσης για κάθε δείκτη. Ο δείκτης Manipulability έχει περιθώριο ίσο με 0.02, ο δείκτης MSV ίσο με 0.07 και ο δείκτης LCI ίσο με 0.03. Αντίθετα, παρατηρούμε πως ο δείκτης Rotational Manipulability (εικόνα 3.4.β) εκείνη τη χρονική στιγμή έχει Singular point πάνω από το επιτρεπτό όριο που θέτουμε και ίσο με 0.4 που σημαίνει ότι δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον δείκτη Translational Manipulability για την αναγνώριση των ιδιαζουσών διαμορφώσεων που οφείλονται στις περιστροφικές κινήσεις του άκρου. Ωστόσο, κύριο χαρακτηριστικό όλων των δεικτών είναι η πτώση που παρουσιάσουν καθώς το ρομπότ πλησιάζει σε αυτές τις διαμορφώσεις όπου η ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα τείνει στο μηδέν. Η κίνηση του βραχίονα φαίνεται στην εικόνα 3.2 όπου για t=1 sec το ρομπότ πλησιάζει σε διαμόρφωση πολύ χαμηλής απόδοσης και οι ταχύτητες των αρθρώσεων (εικόνα 3.3) ξεπερνούν κατά πολύ τις επιτρεπτές ταχύτητες λειτουργίας. Όπως φαίνεται, μόνο η δεύτερη, η τέταρτη και η έκτη άρθρωση αποκτούν ταχύτητες λόγω της μεταφορικής κίνησης του άκρου στην διεύθυνση Χ, οι οποίες ισούνται με 2.4 rad/sec, 4.6 rad/sec και 2.2 rad/sec αντίστοιχα. [41]

Εικόνα 3.2 Κίνηση βραχίονα για μετακίνηση του άκρου μόνο στον Χ άξονα Εικόνα 3.3 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα [42]

0.11 0.09 0.07 0.05 Translational Manipulability (weak) Strong Threshold Singular point 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) 3.4 3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 0.6 Rotational Manipulability R (weak) R Strong Threshold Singular point 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.4 Δείκτες Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα [43]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Singular point 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.5 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα [44]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Singular point 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.6 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα Στην περίπτωση που η κίνηση γίνεται σε δύο άξονες όπου εφαρμόζουμε στο άκρο δύναμη ίση με 7Ν στον άξονα Χ και 7Ν στον άξονα Υ ( F = [7Ν 7Ν 0 0 0 0] T ) για χρόνο τριών δευτερολέπτων, η προσομοίωση διακόπτεται όπως προηγουμένως και τα Singular points και τα περιθώρια των Translational Manipulability, MSV και LCI είναι ίδια με αυτά που υπολογίσαμε και στην κίνηση του άκρου στον έναν άξονα (εικόνες 3.9.α, 310, 311). Ομοιότητα επίσης υπάρχει στο Singular point του δείκτη Rotational Manipulability (εικόνα 3.9.β) το οποίο πάλι βρίσκεται πάνω από το επιθυμητό όριο αλλά και στη πτώση όλων των δεικτών καθώς το ρομπότ πλησιάζει σε ιδιάζουσα διαμόρφωση όπου ο τρίτος άξονας τείνει να ευθυγραμμιστεί με τον πέμπτο. Η ομοιότητες αυτές οφείλονται κυρίως στον τρόπο που εκτελείται η κίνηση στους άξονες ΧΥ, διότι η συνδυαστική κίνηση πραγματοποιείται περιστρέφοντας την πρώτη άρθρωση και εκτείνοντας παράλληλα τον υπόλοιπο βραχίονα όπως στην κίνηση στον έναν άξονα. Η κίνηση του ρομπότ φαίνεται στην εικόνα 3.7 καθώς αυτό πλησιάζει την ιδιάζουσα διαμόρφωσησε για t=1.3 sec ενώ σε σχέση με τη μεταφορική κίνηση του άκρου σε έναν άξονα, τώρα όλες οι αρθρώσεις αποκτούν ταχύτητα διαφορετική του μηδενός με μέγιστη αυτή της τέταρτης άρθρωσης που φτάνεις έως τα 3.8 rad/sec (εικόνα 3.8). [45]

Εικόνα 3.7 Κίνηση βραχίονα για μετακίνηση του άκρου στον Χ και στον Y άξονα Εικόνα 3.8 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα [46]

0.11 0.09 0.07 0.05 Translational Manipulability (weak) Strong Threshold Singular point 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) 3.4 3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 0.6 Rotational Manipulability R (weak) R Strong Threshold Singular point 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.9 Δείκτες Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα [47]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Singular point 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.10 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα [48]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Singular point 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.11 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Y άξονα 3.2.2 Με εφαρμογή περιορισμών Για να παρατηρήσουμε την συμπεριφορά του βραχίονα όταν εφαρμόζεται ο αλγόριθμος για τον περιορισμό της κίνησης του άκρου, διατηρούμε σταθερές τις αρχικές συνθήκες (δυνάμεις και χρόνο εφαρμογής) και μελετάμε το τρόπο με τον οποίο εφαρμόζονται στον χειριστή οι απωστικές δυνάμεις του διανύσματος F avoid, όταν η τιμή του υπό μελέτη δείκτη πέφτει κάτω από το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει και ο τρίτος άξονας του ρομπότ τείνει να ευθυγραμμιστεί με τον πέμπτο. Στα τρίτα πρώτα δευτερόλεπτα, στο άκρο εφαρμόζεται η εξωτερική δύναμη από τον χειριστή. Μετά τα τρία δευτερόλεπτα, η εξωτερική δύναμη παύει να εφαρμόζεται και οι απωστικές δυνάμεις επαναφέρουν το άκρο σε τέτοια θέση, ώστε η τιμή του δείκτη να βρίσκεται πάλι πάνω από το επιτρεπτό όριο. Τόσο στον έναν άξονα όσο και στους δύο, ο αλγόριθμος όταν το ρομπότ πλησίασει σε κάποια ιδιάζουσα διαμόρφωση δημιουργεί απωστικές δυνάμεις που περιορίζουν σε σχέση με πριν τις ταχύτητες των αρθρώσεων του ρομπότ. 3.2.2.1 Μελέτη Manipulability Πιο συγκεκριμένα, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.12β, οι δυνάμεις επαναφοράς εφαρμόζονται σταδιακά στον χειριστή περιορίζοντας την κίνηση του και παρατηρούμε πως παρ ότι στο ρομπότ ασκείται δύναμη μόνο στον άξονα Χ, εφαρμόζεται απωστική δύναμη και στη διεύθυνση Ζ έως 5Ν κατά απόλυτη τιμή. Αυτό είναι αναμενόμενο, καθώς ο αλγόριθμος δημιουργεί το απωστικό διάνυσμα F avoid έτσι ώστε να μετατοπίσει το άκρο του ρομπότ στο [49]

γειτονικό σημείο με τον καλύτερο δείκτη υπολογίζοντας μια συνιστώσα δύναμη και ροπή (η οποία στις μεταφορικές κινήσεις του άκρου μηδενίζεται) για κάθε άξονα. Ακόμα, παρατηρούμε πως για t=3sec όπου παύει να εφαρμόζεται η εξωτερική δύναμη, οι δυνάμεις επαναφοράς συνεχίζουν να εφαρμόζονται από τον αλγόριθμο, ώστε η τιμή του δείκτη να βρεθεί πάλι πάνω από το επιτρεπτό όριο. Στην εικόνα 3.12α, βλέπουμε επίσης, την τάξη μεγέθους των στοιχείων του A Tr που δικαιολογεί τη μεγάλη τιμή της σταθεράς K Tr, ώστε οι δυνάμεις του αλγορίθμου να έχουν την ίδια τάξη μεγέθους με τις εξωτερικές δυνάμεις που εφαρμόζονται από τον χειριστή στο άκρο. Κατά τη διάρκεια της κίνησης, η μέγιστη κατά απόλυτη τιμή ταχύτητα των αρθρώσεων, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.13 και σημειώνεται με κύκλο, αφορά στην τέταρτη άρθρωση και ισούται με 1.19rad/sec ενώ την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη ταχύτητα την έχει η δεύτερη άρθρωση και ισούται με 0.7rad/sec. Για t=3sec, όπου παύει να εφαρμόζεται η εξωτερική δύναμη, παρατηρούμε πως οι ταχύτητες των αρθρώσεων αποκτούν απότομα αρνητικές τιμές γιατί ο βραχίονας επαναφέρεται σε διαμόρφωση υψηλής απόδοσης. Ωστόσο, οι τιμές αυτές είναι και πάλι αρκετά χαμηλότερες από εκείνες που απέκτησε το ρομπότ όταν δεν εφαρμοζόταν ο αλγόριθμος. Σχετικά με τους δείκτες Manipulability, παρατηρούμε (εικόνες 3.14α, 3.14β) πως οι weak δείκτες δεν αποτελούν καλή ένδειξη για προσέγγιση σε ιδιάζουσα διαμόρφωση αφού παραμένουν σχεδόν αμετάβλητοι, είτε το ρομπότ βρίσκεται κοντά, είτε μακριά από αυτήν. Γι αυτό το λόγο, χρησιμοποιούνται οι δείκτες strong για την δημιουργία του απωστικού διανύσματος καθώς μεταβάλλονται περισσότερο κοντά σε τέτοιου είδους διαμορφώσεις. Βλέπουμε επίσης, πως οι δείκτες Translational και Rotational Manipulability αποκτούν την ίδια χρονική στιγμή, t=0.97sec, τις ελάχιστες τιμές τους, όπως σημειώνονται με «*», και ισούνται με 0.026 και 0.849 αντίστοιχα. Για t=3sec, όπου παύει η εφαρμογή της δύναμης απο τον χειριστή, η τιμή του δείκτη Translational Manipulability αρχίζει να αυξάνεται μέχρι να φτάσει το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει. Ακόμα, υπολογίζουμε την διαφορά της ελάχιστης τιμής από το επιθυμητό όριο που έχουμε θέσει για να συγκρίνουμε κατά πόσο ο αλγόριθμος, για διαφορετικούς δείκτες επιτρέπει στον βραχίονα να προσεγγίσει διαμορφώσεις χαμηλής απόδοσης. Σε αυτή την περίπτωση η διαφορά αυτή για τον Translational Manipulability ισούται με 0.004. [50]

Εικόνα 3.12 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. [51]

Εικόνα 3.13 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. [52]

Translational Manipulability 0.11 0.09 0.07 (weak) Strong Threshold Minimum 0.05 0.03 (min,t min )=(0.025893,0.97) 3.4 3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 0.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) (min,t min )=(0.84886,0.97) Rotational Manipulability R (weak) R Strong Threshold Minimum 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.14 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. Στην περίπτωση της κίνησης σε δύο άξονες Χ και Υ, ο αλγόριθμος δημιουργεί δυνάμεις και στις τρείς διευθύνσεις παρ ότι ασκείται δύναμη μόνο στις δύο από αυτές (εικόνες3.15α, 3.15β). Οι μέγιστες δυνάμεις που εφαρμόζονται στον χειριστή στους άξονες Χ, Υ και Ζ είναι αντίστοιχα 7.7Ν, 3.8Ν και -3.8Ν ενώ παρόμοια με την κίνηση σε έναν άξονα, την χρονική στιγμή t=3sec ο αλγόριθμος συνεχίζει να εφαρμόζει δυνάμεις ώστε το ρομπότ να βρεθεί σε διαμόρφωση καλύτερης απόδοσης. Κατά τη διάρκεια της κίνησης, η τέταρτη άρθρωση αποκτά την μεγαλύτερη ταχύτητα για t=0.9sec και ισούται με 0.98rad/sec, ενώ την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη ταχύτητα την αποκτά η δεύτερη άρθρωση και ισούται με 0.58rad/sec (εικόνα 3.16). Όπως και στην κίνηση σε έναν άξονα, για t=3sec οι ταχύτητες των αρθρώσεων αποκτούν απότομα αρνητικές τιμές γιατί στο άκρο του ρομπότ εφαρμόζονται μόνο οι δυνάμεις που προκύπτουν από τον αλγόριθμο και το ρομπότ επαναφέρεται σε διαμόρφωση υψηλής/επιτρεπτής απόδοσης. Αντίστοιχα με την προηγούμενη περίπτωση, οι δείκτες weak δεν υποδεικνύουν την προσέγγιση του ρομπότ σε ιδιάζουσα διαμόρφωση (εικόνες 3.17α,3.17β) ενώ ο δείκτης Translational Manipulability (εικόνα 3.17α) παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με 0.026 τη χρονική στιγμή t=1.2sec [53]

που βρίσκεται κάτω από το επιτρεπτό όριο κατά 0.004. Ο δείκτης Rotational Manipulability (εικόνα 3.17β) παρουσιάζει ελάχιστο την ίδια χρονική στιγμή με τον δείκτη Translational Manipulability και ισούται με 0.86 όμως δεν υποδηλώνει ότι το ρομπότ βρίσκεται σε ιδιάζουσα διαμόρφωση που οφείλεται σε περιστροφή του άκρου γιατί βρίσκεται πιο πάνω από το επιθυμητό όριο. Εικόνα 3.15 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. [54]

Εικόνα 3.16 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. [55]

Translational Manipulability 0.11 0.09 0.07 (weak) Strong Threshold Minimum 0.05 0.03 (min,t min )=(0.026474,1.21) 3.4 3 2.6 2.2 1.8 1.4 1 0.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Rotational Manipulability (min,t min )=(0.85619,1.21) R (weak) R Strong Threshold Minimum 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.17 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. 3.2.2.2 Μελέτη MSV Στην περίπτωση που για την εφαρμογή των περιορισμών στο βραχίονα χρησιμοποιείται ο δείκτης MSV, παρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t=0.86sec όπου ο δείκτης πέφτει κάτω από το όριο που έχουμε ορίσει (εικόνα 3.20) εκτός από τα A Tr,x και A Tr,y που περιέχουν μη μηδενικές τιμές και αφορούν στις δυνάμεις που πρόκειται να εφαρμοστούν στον Χ και Υ άξονα αντίστοιχα, το στοιχείο A Rot,y έχει και αυτό μη μηδενική τιμή και σημαίνει πως ο αλγόριθμος δημιουργεί απωστική ροπή ώστε το άκρο να περιστραφεί γύρω από τον άξονα Υ (εικόνα 3.18α). Ωστόσο, για να διατηρήσουμε τη μεταφορική κίνηση του άκρου επειδή εδώ μελετάμε χωριστά τις μεταφορικές από τις περιστροφικές κινήσεις, η ροπή αυτή τελικά δεν εφαρμόζεται λόγω του κέρδους K Rot = 0. Η μέγιστη απωστική δύναμη στον άξονα Χ που εφαρμόζεται στον χειριστή φτάνει τα 13Ν την χρονική στιγμή t=0.94sec και ξεπερνά τη μέγιστη απωστική δύναμη στον άξονα Υ που ισούται με -5.8Ν την ίδια χρονική στιγμή (εικόνα 3.18β). Ακόμα, παρατηρούμε πως οι δυνάμεις σε αυτή την περίπτωση παρουσιάζουν μεγαλύτερες ταλαντώσεις σε σχέση με αυτές που προέκυψαν χρησιμοποιώντας τον δείκτη Translational Manipulability. Επίσης, περισσότερες ταλαντώσεις παρουσιάζονται και στις ταχύτητες των αρθρώσεων με μέγιστη τιμή αυτή της τέταρτης άρθρωσης που ισούται με 1.48rad/sec τη χρονική στιγμή [56]

t=0.86sec ενώ για t=3sec οι ταχύτητες αποκτούν όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις απότομα αρνητικές τιμές (εικόνα 3.19). Ακόμα, παρατηρούμε (εικόνα 3.20) ότι ο δείκτης MSV που χρησιμοποιείται για τον περιορισμό της κίνησης ταυτίζεται με τον δείκτη MSV T aug για τις μεταφορικές κινήσεις του άκρου και η ελάχιστη τιμή του είναι ίση με 0.089 τη χρονική στιγμή t=0.95sec και βρίσκεται κάτω από το επιτρεπτό όριο κατά 0.011. Συμπεραίνουμε πως ο δείκτης MSV μπορεί να λειτουργήσει εξίσου αποτελεσματικά με τον δείκτη Manipulability καθώς αποτρέπει τον χειριστή να οδηγήσει τον βραχίονα σε διαμορφώσεις χαμηλής απόδοσης και περιορίζει τις ταχύτητες των αρθρώσεων σε σχέση με την περίπτωση που δεν εφαρμόζονται οι περιορισμοί στο ρομπότ. Παρ όλα αυτά, προκύπτουν περισσότερες ταλαντώσεις στις δυνάμεις που εφαρμόζει ο αλγόριθμος στον χειριστή και στις ταχύτητες των αρθρώσεων ενώ παράλληλα από τη διαφορά της ελάχιστης τιμής του δείκτη από το επιτρεπτό όριο συμπεραίνουμε ότι ο δείκτης MSV επιτρέπει στο ρομπότ να βρεθεί πιο κοντά σε ιδιάζουσα διαμόρφωση σε σχέση με τον δείκτη Translational Manipulability. Εικόνα 3.18 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. [57]

Εικόνα 3.19 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. [58]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Minimum 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 (min,t min )=(0.089467,0.95) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.20 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. Στην περίπτωση της κίνησης σε δύο άξονες παρατηρούμε πως όταν η τιμή του δείκτη MSV βρεθεί κάτω από το όριο που θέσαμε, δηλαδή για t=1.1sec (εικόνα 3.23) ο αλγόριθμος ξεκινά να δημιουργεί τόσο απωστικές δυνάμεις στους άξονες Χ,Υ,Ζ όσο και ροπές γύρω από τους Χ και Υ όπως φαίνεται στην εικόνα 3.21α από τις τιμές των στοιχείων των A Tr και A Rot. Παρατηρούμε επίσης, πως εφαρμόζοντας εξωτερική δύναμη μόνο σε δύο άξονες η δυνάμεις που εφαρμόζονται στον χειριστή είναι όπως και στην περίπτωση του δείκτη Translational Manipulability, στους τρείς άξονες Χ,Υ,Ζ (εικόνα 3.21β). Οι ταχύτητες των αρθρώσεων περιορίζονται σημαντικά σε σχέση με τις ταχύτητες που προέκυψαν από την κίνηση του βραχίονα όταν δεν εφαρμόζονταν οι περιορισμοί με την μέγιστη ταχύτητα να εμφανίζεται στην τέταρτη άρθρωση και να ισούται με 1.22rad/sec τη χρονική στιγμή t=1.1sec (εικόνα 3.22). Εφόσον οι απωστικές δυνάμεις αρχίζουν να εφαρμόζονται στον χειριστή οι ταχύτητες των αρθρώσεων περιορίζονται σημαντικά, σε τιμές κοντά στο 0.1rad/sec. Ο δείκτης MSV ξεκινώντας από την τιμή 0.2 όταν το ρομπότ βρίσκεται στην αρχική διαμόρφωση αποκτά την ελάχιστη τιμή του, που ισούται με 0.09, για t=1.19sec η οποία βρίσκεται κάτω από το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει κατά 0.01. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη χρήση του δείκτη Translational Manipulability, για την κίνηση του άκρου σε δύο άξονες, σε σχέση με αυτά που προέκυψαν από τον δείκτη MSV, παρατηρούμε πως στη δεύτερη περίπτωση παρουσιάζονται περισσότερες ταλαντώσεις στο [59]

απωστικό διάνυσμα και στις ταχύτητες των αρθρώσεων ενώ παράλληλα το ρομπότ πλησιάζει περισσότερο σε ιδιάζουσα διαμόρφωση όπως φαίνεται από τη διαφορά της ελάχιστης τιμής κάθε δείκτη από το επιτρεπτό του όριο. Εικόνα 3.21 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. [60]

Εικόνα 3.22 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. [61]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Minimum 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 (min,t min )=(0.091161,1.19) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.23 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. 3.2.2.3 Μελέτη LCI Σε αυτή την περίπτωση, ο αλγόριθμος για την αποφυγή των ιδιαζουσών διαμορφώσεων χρησιμοποιεί τον δείκτη LCI και όπως φαίνεται στην εικόνα 3.24β οι δυνάμεις επαναφοράς που εφαρμόζονται στον χειριστή μετά τη χρονική στιγμή t=0.89sec όπου ο δείκτης πέφτει κάτω από το επιτρεπτό όριο (εικόνα 3.26) φτάνουν έως τα 10.5Ν και -4.5Ν τη χρονική στιγμή t=1.03sec στον Χ και στον Ζ άξονα αντίστοιχα, ενώ παρουσιάζεται παράλληλα ροπή γύρω από τον άξονα Υ που δεν εφαρμόζεται τελικά στον χειριστή εξαιτίας του όρου K Rot = 0 (εικόνα 3.24α). Επίσης, οι ταχύτητες των αρθρώσεων (εικόνα 3.25) παρουσιάζουν απότομες μεταβολές όταν ο δείκτης αποκτά την ελάχιστη τιμή του (t=1.04sec) και όταν η εξωτερική δύναμη παύει να ασκείται (t=3sec) οπότε το άκρο επιστρέφει σε διαμόρφωση υψηλής απόδοσης. Η μέγιστη ταχύτητα αφορά στην τέταρτη άρθρωση και ισούται με 1.6rad/sec τη χρονική στιγμή t=0.9sec, δηλαδή τη στιγμή που ο δείκτης περάσει το επιτρεπτό όριο του. Στην εικόνα 3.26 βλέπουμε πως ο δείκτης έχει την τιμή 0.113 όταν το ρομπότ βρίσκεται στην αρχική διαμόρφωση ενώ φτάνει σε ελάχιστο που ισούται με 0.028 τη χρονική στιγμή t=1.04sec, [62]

το οποίο βρίσκεται κάτω από το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει κατά 0.012. Συνεπώς, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν με την χρήση του δείκτη LCI με τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τους δύο προηγούμενους δείκτες συμπεραίνουμε πως όταν ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί τον δείκτη Translational Manipulability ο βραχίονας πλησιάζει λιγότερο σε ιδιάζουσα διαμόρφωση και οι ταλαντώσεις που εμφανίζονται στις απωστικές δυνάμεις και στις ταχύτητες των αρθρώσεων είναι μικρότερες σε σχέση με τους άλλους δύο δείκτες ενώ παράλληλα η μέγιστη ταχύτητα που παρουσιάζεται είναι μικρότερη. Ωστόσο, παρά τις διαφορές, οι ομοιότητες στα αποτελέσματα είναι μεγάλες τόσο στην κίνηση του βραχίονα και στον τρόπο που εφαρμόζονται οι απωστικές δυνάμεις όσο και στις χρονικές στιγμές που οι ταχύτητες και οι δείκτες παρουσιάζουν τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές τους. Εικόνα 3.24 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. [63]

Εικόνα 3.25 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. [64]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Minimum 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (min,t min )=(0.038158,1.04) 0.03 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.26 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον Χ άξονα. Όταν στο άκρο εφαρμόζεται δύναμη ώστε να κινείται στον Χ και στον Υ άξονα, ο αλγόριθμος και πάλι δημιουργεί δυνάμεις και ροπές επαναφοράς για τον περιορισμό του άκρου όπως διακρίνουμε από τις μη μηδενικές τιμές των στοιχείων των A Tr και A Rot (εικόνα 3.27α). Εφαρμόζονται μόνο οι δυνάμεις, στους τρείς άξονες Χ,Υ,Ζ και η μέγιστη τιμή στον κάθε έναν ισούται με 8.36Ν, 3.72Ν και -3.7Ν αντίστοιχα (εικόνα 3.27β). Παρατηρούμε πως το μέγιστο των δυνάμεων στους άξονες Χ και Υ παρουσιάζεται την ίδια χρονική στιγμή (t=1.28sec) ενώ το μέγιστο της δύναμης στην διεύθυνση Ζ παρουσιάζεται όταν παύει να εφαρμόζεται η εξωτερική δύναμη από τον χειριστή (t=3sec). Κατά τη διάρκεια της κίνησης, όπως φαίνεται από την εικόνα 3.28, η τέταρτη άρθρωση είναι εκείνη που αποκτά την μεγαλύτερη ταχύτητα και ισούται με 1.34rad/sec για t=1.14sec ενώ ακολουθεί η δεύτερη άρθρωση που την ίδια χρονική στιγμή περιστρέφεται με 0.75rad/sec. Επίσης, παρατηρούμε, όπως και με τη χρήση των προηγούμενων δεικτών, την απότομη αλλαγή στην κατεύθυνση των ταχυτήτων για t=3sec. [65]

Σχετικά με τον δείκτη LCI βλέπουμε (εικόνα 3.29) πως όταν ο βραχίονας βρίσκεται στην αρχική διαμόρφωση, έχει την τιμή 0.113 και για t=1.3sec αποκτά την ελάχιστη τιμή του που ισούται με 0.04 και βρίσκεται κάτω από το επιτρεπτό όριο κατά 0.01. Όταν η εξωτερική δύναμη παύει να εφαρμόζεται αρχίζει να αυξάνεται και φτάνει την τιμή 0.051 όπου και σταθεροποιείται καθώς οι απωστικές δυνάμεις που δημιουργεί ο αλγόριθμος για τον περιορισμό του βραχίονα μηδενίζονται. Συγκρίνοντας τον δείκτη LCI με τους δείκτες Translational Manipulability και MSV συμπεραίνουμε ότι ο δείκτης LCI στην περίπτωση της κίνησης του άκρου σε δύο άξονες δίνει τις πιο υψηλές ταχύτητες στις αρθρώσεις και ο βραχίονας πλησιάζει σε ιδιάζουσα διαμόρφωση όσο και με τη χρήση του δείκτη MSV. Αντίθετα, ο δείκτης Translational Manipulability όπως και στην κίνηση του άκρου σε έναν άξονα μας δίνει πιο χαμηλές ταχύτητες στις αρθρώσεις και δεν επιτρέπει στον βραχίονα να πλησιάσει τόσο κοντά σε τέτοιου είδους διαμορφώσεις. Εικόνα 3.27 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. [66]

Εικόνα 3.28 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. [67]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Minimum 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (min,t min )=(0.039836,1.3) 0.03 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.29 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα. 3.3 Προσομοίωση 2 η Περιστροφικές κινήσεις Αντίστοιχα με τις μεταφορικές κινήσεις, ασκείται ροπή σταθερού μέτρου αρχικά σε έναν μόνο άξονα περιστροφής και στην συνέχεια σε δύο άξονες ώστε να μελετηθούν οι ιδιάζουσες διαμορφώσεις του βραχίονα που οφείλονται στις περιστροφικές κινήσεις του άκρου εργασίας. 3.3.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών Αρχικά, εφαρμόζουμε στο άκρο του ρομπότ ροπή ίση με 0.2Nm ( F = [0 0 0 0 0.2Nm 0] T ) ώστε να περιστραφεί μόνο γύρω από τον άξονα Υ για χρόνο τριών δευτερολέπτων και διακόπτουμε την κίνηση του όταν το ρομπότ πλησιάσει πολύ κοντά σε ιδιάζουσα διαμόρφωση όπου ο πέμπτος άξονας ευθυγραμμίζεται με τον έβδομο (εικόνα 3.30). Τότε, οι δείκτες Rotational Manipulability, MSV και LCI έχουν την τιμή 0.16, 0.06 και 0.03 αντίστοιχα, την οποία ορίζουμε ως Singular point για κάθε δείκτη όπως και στις μεταφορικές κινήσεις και φαίνεται με διακεκομμένη πράσινη γραμμή στις εικόνες 3.32β, 3,33 και 3.34 αντίστοιχα για κάθε δείκτη. Τα επιτρεπτά όρια που έχουμε θέσει για κάθε δείκτη είναι πάνω από το Singular point όπως και στις μεταφορικές κινήσεις επιτρέποντας και εδώ ένα περιθώριο σφάλματος/βελτίωσης της διαμόρφωσης του ρομπότ προτού δύο ή παραπάνω άξονες του ευθυγραμμιστούν. Το περιθώριο αυτό για τους δείκτες Rotational Manipulability, MSV και LCI είναι ίσο με 0.04, 0.14, 0.17 αντίστοιχα. Ακόμα, παρατηρούμε πως τη στιγμή που διακόπτεται η προσομοίωση το Singular point για τον δείκτη Translational Manipulability [68]

είναι κάτω από το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει και παράλληλα ο δείκτης τείνει στο μηδέν (εικόνα 3.32α). Ωστόσο, αυτό δεν αποτελεί ένδειξη πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον δείκτη Rotational Manipulability και για τις μεταφορικές κινήσεις του άκρου διότι η αύξηση ή η μείωση του δείκτη Rotational Manipulability δεν συνεπάγεται την αύξηση ή την μείωση αντίστοιχα του δείκτη Translational Manipulability. Επίσης, παρατηρούμε πως ο δείκτης MSV T aug ταυτίζεται με τον δείκτη MSV και αποτελεί το ίδιο καλή ένδειξη για προσέγγιση του βραχίονα σε ιδιάζουσα διαμόρφωση για τις περιστροφές με τον δείκτη MSV R aug (εικόνα 3.33), γι αυτό χρησιμοποιείται ο δείκτης MSV για τον περιορισμό του ρομπότ και στα δύο είδη κινήσεων. Η κίνηση του βραχίονα για την περιστροφή του άκρου γύρω από τον Υ άξονα φαίνεται στην εικόνα 3.30 και οι αρθρώσεις που περιστρέφονται είναι η δεύτερη, η τέταρτη και η έκτη, με την τελευταία να έχει την μέγιστη κατά απόλυτο τιμή και ίση με 0.5 rad/sec (εικόνα 3.31). Εικόνα 3.30 Κίνηση βραχίονα για περιστροφή του άκρου γύρω από τον Χ άξονα [69]

Εικόνα 3.31 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με άσκηση ροπής μόνο στον Υ άξονα. [70]

Εικόνα 3.32 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [71]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Singular point 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.33 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [72]

0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 LCI=1/condition number LCI Threshold Singular point 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.34 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. Στη συνέχεια, εφαρμόζονται ροπές ίσες με 0.1Νm και 0.3Nm ώστε το άκρο του ρομπότ να περιστραφεί γύρω από τους άξονες Χ και Υ (F = [0 0 0 0.1Nm 0.3Nm 0] T ) όπως φαίνεται στην εικόνα 3.35, για χρόνο τριών δευτερολέπτων και η προσομοίωση διακόπτεται όπως και στην κίνηση γύρω από τον έναν άξονα όταν ο πέμπτος και ο έβδομος άξονας ευθυγραμμιστούν. Η έβδομη και η πέμπτη άρθρωση αποκτούν τις μεγαλύτερες ταχύτητες σε σχέση με τις υπόλοιπες και ξεπερνούν τα 3 rad/sec κατά απόλυτη τιμή (εικόνα 3.36). Σχετικά με τους δείκτες που υπολογίζουμε, βλέπουμε πως καθώς οι άξονες του ρομπότ τείνουν να ευθυγραμμιστούν όλοι οι δείκτες τείνουν στο μηδέν (εικόνες 3.37α, 3.37β, 3.38, 3.39). Τα Singular points των Rotational Manipulability (εικόνα 3.37β), MSV και LCI είναι ίσα με 0.16, 0.05 και 0.02 για τον κάθε έναν και βρίσκονται και σε αυτή την περίπτωση κάτω από τα επιτρεπτά όρια που έχουμε ορίσει. Έτσι, τα περιθώρια των τριών δεικτών τώρα είναι 0.04, 0.15 και 0.18 ενώ συγκεκριμένα για τον δείκτη MSV παρατηρούμε πως ο δείκτης MSV T aug ταυτίζεται και πάλι με τον δείκτη MSV. [73]

Εικόνα 3.35 Κίνηση βραχίονα για περιστροφή του άκρου γύρω από τους Χ και Υ άξονες [74]

Εικόνα 3.36 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [75]

Εικόνα 3.37 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [76]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Singular point 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.38 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [77]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Singular point 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.39 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. 3.3.2 Με εφαρμογή περιορισμών Για τις ίδιες αρχικές συνθήκες (ροπές και χρόνο εφαρμογής) επαναλαμβάνονται η προσομοίωση όταν εφαρμόζονται τα εικονικά όρια, δηλαδή οι απωστικές ροπές στο άκρο ώστε να μελετηθεί η επάρκεια του αλγορίθμου και για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου. Αντίστοιχα με την περίπτωση των μεταφορικών κινήσεων, οι δυνάμεις που δημιουργούνται από τον αλγόριθμο δεν εφαρμόζονται στον χειριστή εξαιτίας του όρου Κ T = 0 και τελικά ο αλγόριθμος δεν εγγυάται την ασφαλή συνεργασία του ανθρώπου με το ρομπότ όταν στο άκρο εφαρμόζονται ροπές. 3.3.2.1 Μελέτη Manipulability Εφαρμόζοντας ροπή ίση με 0.2Nm ώστε το άκρο του βραχίονα να περιστραφεί γύρω από τον άξονα y παρατηρούμε πως τη χρονική στιγμή t=2.8sec ο δείκτης Rotational Manipulability πέφτει κάτω από το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει (εικόνα 3.42β). Εκείνη τη χρονική στιγμή αρχίζουν να εφαρμόζονται οι απωστικές ροπές από τον αλγόριθμο στον χειριστή όπως φαίνεται στην εικόνα 3.40α. Ροπές δημιουργούνται μόνο στους άξονες Χ και Υ με μέγιστες τιμές τα 0.005rad/sec και 0.3rad/sec αντίστοιχα ενώ παρατηρούμε ακόμα από το A Tr πως δημιουργούνται δυνάμεις οι οποίες τελικά δεν εφαρμόζονται λόγω του όρου Κ T = 0 (εικόνα 3.40α). [78]

Κατά τη διάρκεια της κίνησης η έκτη άρθρωση αποκτά τη μεγαλύτερη κατά απόλυτο τιμή, σε σχέση με τις υπόλοιπες, για t=2.8sec δηλαδή τη χρονική στιγμή που αρχίζει η δράση του αλγορίθμου και ισούται με 0.48rad/sec (εικόνα 3.41). Παρατηρούμε πως οι ταχύτητες των αρθρώσεων έχουν μικρή διαφορά σε σχέση με την περίπτωση που τα εικονικά όρια δεν εφαρμόζονται παρ ότι ο δείκτης Rotationl Mnaipulability μας δείχνει ότι το ρομπότ προσεγγίζει σε ιδιάζουσα διαμόρφωση και ο αλγόριθμος εφαρμόζεται. Η ελάχιστη τιμή του Rotational Manipulability είναι 0.169 την χρονική στιγμή t=3.06sec (εικόνα 3.42β) ενώ παράλληλα την ίδια χρονική στιγμή και ο δείκτης Translational Manipulability παρουσιάζει ελάχιστο που ισούται με 0.007 (εικόνα 3.42α). Βλέπουμε πως με την εφαρμογή του αλγορίθμου η πτώση του Rotational Manipulability περιορίζεται και ο δείκτης επανέρχεται σε τιμή πάνω από το επιτρεπτό όριο που ισούται με 0.23. Αντίθετα, ο δείκτης Translational Manipulability που πέφτει κάτω από το όριο του νωρίτερα από τον Rotational Manipulability δεν επανέρχεται ακόμα και μετά την παύση της εξωτερικής ροπής. Όπως στην προηγούμενη προσομοίωση, υπολογίζουμε την διαφορά της ελάχιστης τιμής από το επιθυμητό όριο που έχουμε θέσει για να συγκρίνουμε κατά πόσο ο αλγόριθμος, για διαφορετικούς δείκτες επιτρέπει στον βραχίονα να προσεγγίσει διαμορφώσεις χαμηλής απόδοσης. Η διαφορά αυτή για τον δείκτη Rotational Manipulability ισούται με 0.031. Εικόνα 3.40 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [79]

Εικόνα 3.41 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [80]

Εικόνα 3.42 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά και την απόδοση του αλγορίθμου όταν το άκρο του ρομπότ κινείται σε δύο άξονες εφαρμόζουμε τις ίδιες ροπές όπως και στη περίπτωση που τα εικονικά όρια δεν εφαρμόζονται. Παρατηρούμε (εικόνα 3.43β) ότι απωστικές ροπές ξεκινούν να εφαρμόζονται την χρονική στιγμή t=2.0.7sec και στους τρείς άξονες με τη μέγιστη ροπή να εφαρμόζεται στον άξονα Χ με τιμή ίση με -0.37Nm. Όπως και στην κίνηση του άκρου σε έναν αξονα δημιουργούνται δυνάμεις επαναφοράς οι οποίες τελικά δεν εφαρμόζονται στον χειριστή (εικόνα 3.43α). Βλέπουμε (εικόνα 3.44) πως η έβδομη άρθρωση αποκτά την μέγιστη κατά απόλυτο τιμή, τη χρονική στιγμή t=2.1sec και ισούται με -2.68rad/sec. Η αμέσως μεγαλύτερη ταχύτητα αφορά στην πέμπτη άρθρωση και ισούται με 2.49rad/sec την ίδια χρονική στιγμή. Συμπεραίνουμε πως παρ ότι ο αλγόριθμος έχει ως στόχο να απομακρύνει το ρομπότ από διαμορφώσεις χαμηλής απόδοσης, όταν για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου χρησιμοποιείται ο δείκτης Rotational Manipulability οι ταχύτητες των αρθρώσεων αποκτούν τιμές λίγο μικρότερες από αυτές που προκύπτουν όταν o αλγόριθμος δεν εφαρμόζεται. Σχετικά με τους δείκτες, παρατηρούμε στην εικόνα 3.45(α & β) ότι οι δείκτες weak δεν μεταβάλλονται καθώς το άκρο μετακινείται. Γι αυτό το λόγο, χρησιμοποιείται ο δείκτης Rotational Manipulability για την δημιουργία των απωστικών ροπών, ο οποίος αποκτά την [81]

ελάχιστη τιμή του τη χρονική στιγμή t=2.19sec η οποία βρίσκεται κάτω από το επιτρεπτό όριο που έχουμε θέσει κατά 0.026 (εικόνα 3.45β). Εικόνα 3.43 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [82]

Εικόνα 3.44 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [83]

Εικόνα 3.45 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. 3.3.2.2 Μελέτη MSV Διαλέγοντας τον δείκτη MSV για τον περιορισμό της κίνησης του άκρου του βραχίονα, αρχίζει να εφαρμόζεται απωστική ροπή μόνο στον άξονα Y τη χρονική στιγμή t=2.65sec (εικόνα 3.46β) παρ ότι ο αλγόριθμος δημιουργεί δυνάμεις στον Χ και Ζ άξονα (εικόνα 3.46α). Όταν ο δείκτης αποκτά την ελάχιστη τιμή του, δηλαδή για t=2.89sec (εικόνα 3.48), έχουμε τη μέγιστη ροπή που ισούται με 0.39Nm. Κατά τη διάρκεια της κίνησης, η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται τη χρονική στιγμή t=2.65sec στην έκτη άρθρωση όπως και στο δείκτη Rotational Manipulability (εικόνα 3.47). Οι ταχύτητες των αρθρώσεων όπως και πριν την εφαρμογή των περιορισμών δεν έχουν επηρεαστεί ουσιαστικά. Ο δείκτης MSV όπως φαίνεται στην εικόνα 3.48 παρ ότι δεν ταυτίζεται με τον δείκτη MSV R aug μεταβάλλεται όπως αυτόν και αποτελεί ένδειξη για προσέγγιση του βραχίονα σε ιδιάζουσα διαμόρφωση. Γι αυτό τον λόγο τον χρησιμοποιούμε τόσο στις μεταφορικές όσο και στις περιστροφικές κινήσεις του άκρου. Παρατηρούμε ότι η ελάχιστη τιμή του ισούται με 0.085 για t=2.89sec και βρίσκεται κάτω από επιτρεπτό όριο κατά 0.015. Συγκρίνοντας αυτή τη διαφορά με τη διαφορά του δείκτη Rotational Manipulability συμπεραίνουμε πως ο δείκτης MSV εμποδίζει πιο αποτελεσματικά τον βραχίονα από το να πλησιάσει σε ιδιάζουσα [84]

διαμόρφωση. Μετά την παύση της εξωτερικής ροπής, ο αλγόριθμος επαναφέρει τον δείκτη πάνω από το όριο στην τιμη 0.11. Εικόνα 3.46 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [85]

Εικόνα 3.47 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [86]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Minimum 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 (min,t min )=(0.08541,2.89) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.48 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. Στην περίπτωση της εφαρμογής εξωτερικών ροπών στο άκρο σε δύο άξονες, ο αλγόριθμος δημιουργεί όπως και πριν απωστικές δυνάμεις που δεν εφαρμόζονται. Αυτό το συμπεραίνουμε από την εικόνα 3.49α επειδή τα στοιχεία του A Tr έχουν μη μηδενικές τιμές. Δημιουργούνται επίσης, ροπές στους άξονες Χ, Υ και Ζ που αποκτούν τις μέγιστες τιμές τους ταυτόχρονα για t=2sec και ισούνται αντίστοιχα με 0.48rad/sec, -0.008rad/sec και -0.24rad/sec (εικόνα 3.49β). Παρατηρούμε ακόμα ότι οι απωστικές ροπές μηδενίζονται πριν παύσουν οι εξωτερικές ροπές να εφαρμόζονται καθώς ο δείκτης τη χρονική στιγμή t=2.34sec αποκτά τιμή μεγαλύτερη από 0.1 που είναι το όριο που έχουμε θέσει. Οι ταχύτητες των αρθρώσεων δεν ξεπερνούν αυτές που προκύπτουν όταν ο αλγόριθμος για τον περιορισμό του βραχίονα δεν εφαρμόζεται και μοιάζουν αρκετά με αυτές από τον δείκτη Rotational Manipulability που σημαίνει ότι ο βραχίονας εκτελεί περίπου την ίδια κίνηση, δηλαδή οι δύο δείκτες περιορίζουν με παρόμοιο τρόπο την κίνηση του χειριστή. Η έβδομη άρθρωση αποκτά τη μεγαλύτερη ταχύτητα σε σχέση με τις υπόλοιπες η οποία ισούται με - 1.57rad/sec για t=1.92sec (εικόνα 3.50). [87]

Ο δείκτης MSV φτάνει την κατώτατη τιμή του για t=2.06sec (εικόνα 3.51) η οποία ισούται με 0.082 και βρίσκεται κάτω από το όριο που έχουμε θέσει κατά 0.018 σε αντίθεση με τον δείκτη Rotational Manipulability του οποίου η διαφορά ισούται με 0.026 όπου το ρομπότ πλησιάζει περισσότερο σε ιδιάζουσα διαμόρφωση. Παρ όλα αυτά, οι δύο δείκτες παρουσιάζουν ομοιότητα στις χρονικές στιγμές και στον τρόπο που εφαρμόζονται οι απωστικές ροπές. Εικόνα 3.49 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [88]

Εικόνα 3.50 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [89]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Minimum 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 (min,t min )=(0.082453,2.06) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.51 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. 3.3.2.3 Μελέτη LCI Χρησιμοποιούμε τον δείκτη LCI για την εφαρμογή των εικονικών περιορισμών και παρατηρούμε (εικόνα 3.52β) πως απωστική ροπή αρχίζει να εφαρμόζεται στον χειριστή τη χρονική στιγμή t=2.7sec στον άξονα Υ, όπως συμβαίνει και με τους δύο προηγούμενους δείκτες ενώ δημιουργούνται παράλληλα απωστικές δυνάμεις στους άξονες Χ και Ζ (εικόνα 3.52α) οι οποίες τελικά δεν εφαρμόζονται. Η μέγιστη τιμή της απωστικής ροπής φτάνει τα 0.16Nm για t=3.12sec όταν δηλαδή ο δείκτης εμφανίζει ελάχιστο (εικόνα 3.54). Κατά τη διάρκεια της κίνησης η έκτη άρθρωση για t=2.7sec αποκτά ταχύτητα ίση με 0.48rad/sec κατα απόλυτη τιμή, η οποία είναι η μέγιστη από τις ταχύτητες των αρθρώσεων (εικόνα 3.53). Παρατηρούμε δηλαδή πως μόλις η απωστική ροπή αρχίζει να εφαρμόζεται τότε ξεκινά να περιορίζεται και η ταχύτητα της άρθρωσης. Οι ταχύτητες των υπόλοιπων αρθρώσεων παραμένουν σε τιμές κάτω των 0.11rad/sec. Όπως φαίνεται στην εικόνα 3.54, η τιμή του δείκτη αρχικά αυξάνεται έως την t=1.6sec και έπειτα πέφτει απότομα κάτω από το επιτρεπτό όριο και εμφανίζει την ελάχιστη τιμή του για t=3.12sec. Η τιμή αυτή ισούται με 0.036 και βρίσκεται κάτω από το όριο κατά 0.014. [90]

Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν χρησιμοποιώντας τον δείκτη LCI για τον περιορισμό του βραχίονα, με αυτά που προέκυψαν από τους δύο προηγούμενους δείκτες, παρατηρούμε ότι και οι τρείς δείκτες δημιουργούν την απωστική ροπή στον Υ άξονα, η οποία ξεκινά να εφαρμόζεται την ίδια σχεδόν χρονική στιγμή. Αυτό σημαίνει πως οι δείκτες πέφτουν κάτω από το επιτρεπτό όριο τους ταυτόχρονα και ότι τα επιτρεπτά όρια που έχουμε θέσει είναι ανεξάρτητα των μονάδων του δείκτη. Συγκρίνοντας τη διαφορά της ελάχιστης τιμής κάθε δείκτη από το όριο του, βλέπουμε πως ο δείκτης Rotational Manipulability επιτρέπει στον βραχίονα να αποκτήσει διαμόρφωση χαμηλότερης απόδοσης σε σχέση με τους άλλους δείκτες. Ακόμα, παρατηρούμε ότι οι τιμές των MSV και LCI αρχικά αυξάνονται έως την χρονική στιγμή στιγμή t=1.6sec κάτι που δεν συμβαίνει με τον Rotational Manipulability. Τέλος, οι ταχύτητες των αρθρώσεων του ρομπότ είναι παρόμοιες και στους τρείς δείκτες που σημαίνει ότι η κίνηση που διαγράφει το σώμα του ρομπότ είναι παρόμοια, ενώ δεν έχουν περιοριστεί σε σχέση με την περίπτωση που δεν εφαρμόζονταν ο αλγόριθμος. Εικόνα 3.52 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [91]

Εικόνα 3.53 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. [92]

0.13 0.12 LCI=1/condition number LCI Threshold Minimum 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (min,t min )=(0.036047,3.12) 0.03 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.54 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής μόνο στον Υ άξονα. Όταν το άκρο του βραχίονα κινείται σε δύο άξονες βλέπουμε πως οι απωστικές ροπές εμφανίζονται τη χρονική στιγμή t=1.91sec στους άξονες Χ, Υ και Ζ. Οι μέγιστη κατά απόλυτο τιμή σε κάθε άξονα ισούται με 0.2Nm, 0.23Nm και 0.004Nm για t=2.25sec, t=2.15sec και t=2.17sec αντίστοιχα. Παρατηρούμε επίσης, ότι οι απωστικές ροπές σταματούν να εφαρμόζονται πριν τη παύση των εξωτερικών ροπών όπως συνέβει και με τους δείκτες MSV και Rotational Manipulability. Σχετικά με τις ταχύτητες των αρθρώσεων του βραχίονα, βλέπουμε ότι η μέγιστη τιμή αφορά στην έβδομη άρθρωση για t=2.1sec και ισούται με 2.12rad/sec (μέτρο) ενώ την ίδια χρονική στιγμή και η πέμπτη άρθρωση εμφανίζει μέγιστο ίσο με 1.97rad/sec. Ο δείκτης LCI αρχικά αυξάνεται έως τη χρονική στιγμή t=0.9sec και στη συνέχεια μειώνεται έως τη τιμή 0.034 για t=2.21sec η οποία βρίσκεται κάτω από το όριο κατά 0.016. Πριν την παύση της εξωτερικής ροπής, ξεπερνά το επιτρεπτό όριο την t=2.5sec και τελικά φτάνει έως την τιμή 0.1. Συγκρίνοντας τους τρείς δείκτες μεταξύ τους για την περίπτωση της κίνησης του άκρου σε δύο άξονες βλέπουμε πως οι απωστικές ροπές εμφανίζονται και μηδενίζονται σχεδόν τις ίδιες [93]

χρονικές στιγμές για τον LCI και τον MSV ενώ η συνολική διάρκεια εφαρμογής τους με τον Rotational Manipulability είναι μικρότερη. Γι αυτό το λόγο, το μέτρο τους όταν χρησιμοποιούμε τον Rotational Manipulability είναι μεγαλύτερο σε σχέση με τους άλλους δύο. Ακόμα, οι ελάχιστες τιμές των LCI και MSV βρίσκονται πιο κοντά στα επιτρεπτά όρια που έχουμε θέσει σε σχέση με την ελάχιστη τιμή του δείκτη Rotational Manipulability. Παρά τις ομοιότητες που εμφανίζονται μεταξύ του LCI και MSV οι ταχύτητες των αρθρώσεων και συνεπώς η κίνηση του βραχίονα στην περίπτωση του LCI μοιάζει περισσότερο με αυτή που πήραμε όταν χρησιμοποιήθηκε ο δείκτης Rotational Manipulability. Κοινό χαρακτηριστικό και των τριών είναι ότι οι ταχύτητες περιορίζονται σε μικρότερες τιμές σε σχέση με αυτές που προέκυψαν όταν ο αλγόριθμος δεν εφαρμοζόταν. Εικόνα 3.55 Μελέτη LCI-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [94]

Εικόνα 3.56 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. [95]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Minimum 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (min,t min )=(0.034214,2.21) 0.03 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.57 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή ροπής στον Χ και στον Υ άξονα. 3.4 Προσομοίωση 3 η - Συνδυασμός κινήσεων Για το συνδυασμό των κινήσεων του άκρου θεωρούμε Κ Tr, Κ Rot = 0 χωρίς την εφαρμογή περιορισμών και Κ Tr, Κ Rot 0 με την εφαρμογή των περιορισμών, όπως ορίστηκαν στο υποκεφάλαιο 3.1. Αντίστοιχα με τις παραπάνω κινήσεις, θεωρούμε ότι ο χειριστής μετακινεί το άκρο του ρομπότ και οι δυνάμεις και οι ροπές που εφαρμόζονται αναπαριστώνται από το διάνυσμα F = [7N 7N 0 0.1Nm 0.3Nm 0] T. 3.4.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών Αρχικά, χωρίς να εφαρμόζονται καθόλου δυνάμεις και ροπές επαναφοράς, εφαρμόζονται κατά τους άξονες Χ και Υ του άκρο εργασίας, εξωτερικές δυνάμεις ίσες με 7Ν στον κάθε έναν ενώ παράλληλα εφαρμόζονται ροπές ίσες με 0.1Νm και 0.3Nm ώστε το άκρο του ρομπότ να περιστραφεί γύρω από τους άξονες Χ και Υ για χρόνο τριών δευτερολέπτων. Έτσι, το άκρο διαγράφει μια σύνθετη κίνηση και ο βραχίονας προσεγγίζει μια ιδιάζουσα διαμόρφωση καθώς πλησιάζει στη μέγιστη έκταση του. Η κίνηση του φαίνεται στην εικόνα 3.58 και η προσομοίωση διακόπτεται όταν ο τρίτος άξονας ευθυγραμμίζεται με τον πέμπτο την t=1.6 sec, [96]

γι αυτό στις παρακάτω εικόνες όλα τα μεγέθη μηδενίζονται στο χρόνο αυτόν. Η δεύτερη και η τέταρτη άρθρωση του ρομπότ, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.59, αποκτούν μεγαλύτερες ταχύτητες σε σχέση με τις υπόλοιπες και στο σημείο που διακόπτεται η κίνηση είναι ίσες με 2.9 rad/sec και 1.4 rad/sec αντίστοιχα. Σχετικά με τους δείκτες, παρατηρούμε πως τόσο ο δείκτης Translational (εικόνα 3.60α) όσο και ο Rotational Manipulability (εικόνα 3.60β) τείνουν στο μηδέν καθώς ο τρίτος άξονας του ρομπότ τείνει να ευθυγραμμιστεί με τον πέμπτο άξονα ενώ ένδειξη πως το ρομπότ πλησιάζει σε ιδιάζουσα διαμόρφωση έχουμε μόνο από τον δείκτη Translational που πέφτει κάτω απο το επιθυμητό όριο για t=0.9 sec. Οι δείκτες MSV (εικόνα 3.61) και LCI (εικόνα 3.62) δείχνουν, επίσης, την προσέγγιση του ρομπότ σε τέτοιου είδους διαμόρφωση και πέφτουν κάτω τα επιτρεπτά όρια για t=1.34 sec και t=1.38 sec. Ακόμα, παρατηρούμε πως ο δείκτης MSV T aug ταυτίζεται όπως και στις προηγούμενες κινήσεις με τον δείκτη MSV και αποτελεί το ίδιο καλή ένδειξη, για προσέγγιση του ρομπότ σε ιδιάζουσα διαμόρφωση για τις περιστροφικές κινήσεις του άκρου, με τον δείκτη MSV R aug σε αντίθεση με τους Translational και Rotational Manipulability (weak δείκτες) που δεν αποτελούν καλή ένδειξη αφού παραμένουν σχεδόν αμετάβλητοι, είτε το ρομπότ βρίσκεται κοντά, είτε μακριά από αυτήν (εικόνα 3.60α&β). Το Singular point για τους δείκτες Translational Manipulability, MSV και LCI βρίσκεται πιο χαμηλά από το επιθυμητο όριο που έχει τεθεί για κάθε δείκτη και αντίστοιχα ισούται με 0.01, 0.03 και 0.018 ενώ το περιθώριο ισούται με 0.02, 0.07, 0.032. Το Singular point του Rotational Manipulability, αντίθετα, βρίσκεται πάνω από το όριο και ισούται με 0.4. Εικόνα 3.58 Διαμορφώσεις βραχίονα για μεταφορική και περιστροφική κίνηση του άκρου [97]

Εικόνα 3.59 Ταχύτητες αρθρώσεων χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [98]

Εικόνα 3.60 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [99]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Singular point 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.61 Δείκτης MSV χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [100]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Singular point 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.62 Δείκτης LCI χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. 3.4.2 Με εφαρμογή περιορισμών Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο, δηλαδή το απωστικό διάνυσμα F avoid για τον περιορισμό του χειριστή, βλέπουμε την συμπεριφορά του βραχίονα για κάθε μία από τις παρακάτω αναπαραστάσεις και παρατηρούμε τη μείωση των ταχυτήτων των αρθρώσεων καθώς οι δείκτες υποδεικνύουν ότι το ρομπότ πλησιάζει σε ιδιάζουσα διαμόρφωση. 3.4.2.1 Μελέτη Manipulability Για την εφαρμογή του απωστικού διανύσματος F avoid χρησιμοποιείται ο δείκτης Translational Manipulability για τις δυνάμεις και ο δείκτης Rotational Manipulability για τις ροπές στους τρεις άξονες Χ, Υ και Ζ. Παρατηρούμε (εικόνα 3.65α&β) ότι έως τη χρονική στιγμή t=0.93sec κανένας από τους δύο δείκτες δεν έχει βρεθεί κάτω από το όριο του και ο χειριστής μετακινεί το άκρο ελεύθερα. Αμέσως μετά ο Translational Manipulability αποκτά τιμή μικρότερη από 0.03 ενώ φτάνει σε ελάχιστο την t=2.6sec που ισούται με 0.021 και βρίσκεται κάτω απο το όριο του κατά 0.009 (εικόνα 3.65α). Αντίθετα, ο Rotational Manipulability βρίσκεται πάνω από το επιτρεπτό όριο καθ όλη τη διάρκεια της κίνησης (εικόνα 3.65β) και γι αυτό το λόγο τα στοιχεία του A Rot είναι ίσα με μηδέν (εικόνα 3.63α) δηλαδή δεν εμφανίζονται καθόλου απωστικές ροπές. Στον χειριστή αρχίζουν να εφαρμόζονται οι δυνάμεις που φαίνονται στην εικόνα 3.63β και παρατηρούμε ότι η μέγιστη δύναμη εμφανίζεται στον Χ άξονα με τιμή 6.3Ν τη χρονική στιγμή t=1.6sec. Προκύπτουν επίσης, δυνάμεις στους άλλους δύο άξονες και [101]

περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η δύναμη στον άξονα Υ γιατί μηδενίζεται στο διάστημα t=3.2sec έως t=3.3sec καθώς για καμία μεταβολή στην διεύθυνση Υ δεν βελτιώνεται ο δείκτης. Βλέπουμε επίσης ότι η τιμή του δείκτη Translational Manipulability ξαναβρίσκεται πάνω από το όριο του μετά τη χρονική στιγμή t=5sec, γι αυτό σε αυτή την περίπτωση η απεικόνιση των αποτελεσμάτων γίνεται έως την t=15sec όπου ο δείκτης πλησιάζει αλλά δεν αποκτά την τιμή του ορίου του. Αν θέλουμε να ξεπεράσει το όριο, τότε αρκεί να αυξήσουμε το κέρδος K Tr μία ή δύο τάξεις μεγέθους. Σχετικά με τις ταχύτητες των αρθρώσεων βλέπουμε στην εικόνα 3.64 πως έχουν περιοριστεί σε χαμηλότερες τιμές σε σχέση με την περίπτωση που δεν εφαρμόζονται οι περιορισμοί ενώ η έβδομη άρθρωση αποκτά την μεγαλύτερη ταχύτητα και ισούται κατά απόλυτη τιμή με 0.97rad/sec για t=3.1sec. Εικόνα 3.63 Μελέτη Manipulability-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή ορίων με άσκηση δυνάμεων και ροπών. [102]

. Εικόνα 3.64 Μελέτη Manipulability-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [103]

Εικόνα 3.65 Μελέτη Manipulability-Δείκτης Manipulability με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. 3.4.2.2 Μελέτη MSV Για την εφαρμογή του απωστικού διανύσματος F avoid χρησιμοποιείται ο δείκτης MSV τόσο για τις δυνάμεις όσο και για τις ροπές. Από την εικόνα 3.68 βλέπουμε πως την χρονική στιγμή t=1.3sec ο δείκτης MSV αποκτά τιμή μικρότερη του ορίου που έχουμε θέσει οπότε στον χειριστή ξεκινούν να εφαρμόζονται οι δυνάμεις και οι ροπές όπως φαίνονται στην εικόνα 3.66β και φτάνει έως την τιμή 0.088 την t=2.85sec. Παρατηρούμε πως η μέγιστη απωστική δύναμη εμφανίζεται την t=1.4sec στον Χ άξονα και ισούται με 9Ν ενώ η μέγιστη ροπή εμφανίζεται στον Υ άξονα την ίδια χρονική στιγμή και ισούται με 0.07Νm κατά απόλυτη τιμή. Μετά τα 3.6sec ο δείκτης ξεπερνά την τιμή 0.1 οπότε παύει η εφαρμογή των δυνάμεων και των ροπών στον χειριστή. Κατά τη διάρκεια της κίνησης παρατηρούμε, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.67, πως η έβδομη άρθρωση αποκτά την μεγαλύτερη ταχύτητα σε σχέση με τις υπόλοιπες, για t=3.04sec και ισούται με -1rad/sec. Συγκρίνοντας τέλος, τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τον δείκτη MSV σε σχέση με αυτά από τους δείκτες Translational και Rotational Manipulability παρατηρούμε πως επειδή τώρα χρησιμοποιείται ένας μόνο δείκτης, αρκεί να η τιμή του πέσει κάτω από το όριο ώστε να εφαρμοστούν τόσο δυνάμεις όσο και ροπές. Αυτό βέβαια δεν συμβαίνει με τους δείκτες Manipulability, γιατί η εφαρμογή των απωστικών δυνάμεων και ροπών εξαρτάται ξεχωριστά από την τιμή των Translational και Rotational Manipulability αντίστοιχα. Επίσης, υπάρχει μεγάλη διαφορά στον χρόνο που χρειάζονται οι δύο δείκτες ώστε [104]

να επανέρθουν πάλι στο επιτρεπτό όριο τους μετά την προσέγγιση του ρομπότ σε διαμόρφωση χαμηλής απόδοσης. Παρά τις διαφορές υπάρχουν και μερικές ομοιότητες, που εμφανίζονται στην κίνηση που εκτελεί ο βραχίονας όταν εφαρμόζονται οι περιορισμοί και στη διαφορά της ελάχιστης τιμής του κάθε δείκτη από το επιτρεπτό όριο του (0.012 για τον MSV, 0.09 για τον Translational Manipulability). Εικόνα 3.66 Μελέτη MSV-Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [105]

Εικόνα 3.67 Μελέτη MSV-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [106]

0.9 0.8 0.7 Minimum Singular Value MSV MSV T aug MSV R aug Threshold Minimum 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 (min,t min )=(0.088255,2.85) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.68 Μελέτη MSV-Δείκτης MSV με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. 3.4.2.3 Μελέτη LCI Χρησιμοποιούμε τον δείκτη LCI για να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του βραχίονα και τον τρόπο που οι απωστικές δυνάμεις και ροπές εφαρμόζονται. Αφού ο χειριστής ξεκινήσει να εφαρμόζει εξωτερική δύναμη τότε τη χρονική στιγμή t=1.4sec η τιμή του δείκτη LCI πέφτει κάτω από το όριο που έχουμε θέσει (εικόνα 3.71) και όπως στην περίπτωση του δείκτη MSV αρχίζουν να εμφανίζονται τόσο απωστικές δυνάμεις όσο και ροπές (εικόνα 3.69β). Δυνάμεις εφαρμόζονται και στους τρείς άξονες ενώ ροπές μόνο στον Χ και Υ. Η μεγαλύτερη δύναμη που ασκείται στον χειριστή είναι στην διεύθυνση Χ την t=1.55sec και ισούται με 6.7Ν ενώ την ίδια χρονική στιγμή εμφανίζεται και η μέγιστη ροπή που εφαρμόζεται στην διεύθυνση Υ και ισούται με -0.05Nm. Παρατηρούμε ότι ο LCI εμφανίζει ελάχιστο την t=3sec το οποίο είναι ίσο με 0.037 και απέχει από το όριο του κατά 0.013, δηλαδή όσο περίπου και ο δείκτης MSV και Translational Manipulability. Σχετικά με τις ταχύτητες των αρθρώσεων βλέπουμε (εικόνα 3.70) ότι επίσης μοιάζουν αρκετά με αυτές των προηγούμενων δεικτών και η μέγιστη ταχύτητα που ανήκει στην έβδομη άρθρωση ισούται κατά απόλυτη τιμή με -1.19rad/sec για t=3.05sec [107]

Εικόνα 3.69 Μελέτη LCI -Απωστικό διάνυσμα και διάνυσμα Α με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [108]

Εικόνα 3.70 Μελέτη LCI-Ταχύτητες αρθρώσεων με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. [109]

LCI=1/condition number 0.11 LCI Threshold Minimum 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (min,t min )=(0.03691,3.01) 0.03 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 time (sec) Εικόνα 3.71 Μελέτη LCI-Δείκτης LCI με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δυνάμεων και ροπών. Από τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων συμπεραίνουμε πως για τις μεταφορικές κινήσεις, ο δείκτης Translational Manipulability δημιουργεί πιο ομαλές μεταβολές στις ταχύτητες των αρθρώσεων και πιο ομαλή απωστική δύναμη στο χειριστή σε σχέση με τους δείκτες MSV και LCI οι οποίοι δημιουργούν περισσότερες ταλαντώσεις. Παρ όλα αυτά, το πρόβλημα των ταλαντώσεων θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί αν αυξανόταν η επιθυμητή απόσβεση που δίνεται σαν είσοδος στον αλγόριθμο μέσω του νόμου ελέγχου. Έτσι, οι τρείς δείκτες εγγυώνται την ασφαλή συνεργασία του ανθρώπου με το ρομπότ, με κατάλληλη ρύθμιση της επιθυμητής αδράνειας και μάζας καθώς και του ορίου w th,tr και του κέρδους K Tr ανάλογα τη φύση και το σκοπό της διεργασίας που πρέπει να διεκπεραιωθεί. Στην περίπτωση των περιστροφικών κινήσεων του άκρου, όταν ο αλγόριθμος για τον περιορισμό εφαρμόζεται με τη χρήση των δεικτών Rotational Manipulability και LCI, οι ταχύτητες των αρθρώσεων δεν εμφανίζουν διαφορά με την περίπτωση που δεν εφαρμόζεται ενώ μόνο με τη χρήση του δείκτη MSV προκύπτουν μικρότερες ταχύτητες. Συνεπώς, οι δείκτες Rotational Μanipulability και LCI δεν μπορούν να εξασφαλίσουν την ασφάλεια της συνεργασίας του ρομπότ με τον άνθρωπο. [110]

Η περίπτωση του συνδυασμού των κινήσεων είναι η μόνη περίπτωση στην οποία όλες οι δυνάμεις και οι ροπές που δημιουργούνται από τον αλγόριθμο εφαρμόζονται τελικά πάνω στον βραχίονα. Γι αυτό το λόγο, η μέγιστη ταχύτητα του ρομπότ δεν είναι απαγορευτική. Παρ όλα αυτά, τα δύο είδη ενικοτήτων (singularities) δεν είναι τελείως ανεξάρτητα μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει πως όταν ο βραχίονας βρεθεί σε μια διαμόρφωση όπου ο δείκτης Rotational Manipulability έχει τιμή κάτω του επιτρεπτού ορίου τότε είναι δυνατόν και ο δείκτης Translational Manipulability να πέσει κάτω από το επιθυμητό όριο. Το ίδιο ιχύει και αντίστροφα, όπου η βελτίωση του ενός δείκτη δεν συνεπάγεται την βελτίωση του άλλου. Σε μια τέτοια περίπτωση οι δυνάμεις και οι ροπές που θα εφαρμοστούν και πάλι δεν εξασφαλίζουν την ομαλή και ασφαλή συνεργασία του ρομπότ με τον άνθρωπο. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι η κατεύθυνση στην οποία θα ασκείται η δύναμη προσδιορίζεται από τα διανύσματα Α Tr και Α Rot τα οποία θα μπορούσαν να περιέχουν μόνο τις τιμές -1,1 ή 0 που να ορίζουν προς ποια κατεύθυνση ή αν θα ασκηθούν οι απωστικές δυνάμεις και ροπές σε κάθε άξονα. Παρ όλα αυτά, μια τέτοια υλοποίηση επιφέρει αρκετά απότομες μεταβολές στην εφαρμογή των δυνάμεων και των ροπών από έναν άξονα σε έναν άλλον γι αυτό επιλέγεται αυτές να είναι ανάλογες των τιμών w Tr± και w Rot±. Κεφάλαιο 4. Πείραμα Εφαρμογή αλγορίθμου στο ρομπότ Με σκοπό να αξιολογηθεί όχι μόνο θεωρητικά αλλά και πειραματικά η ορθότητα του αλγορίθμου για την αποφυγή των ιδιάζουσων διαμορφώσεων μέσω της εφαρμογής εικονικών ορίων, είναι αναγκαία η εφαρμογή του στο ρομπότ του εργαστηρίου KUKA LWR IV 7DOF. Μελετώνται μόνο οι μεταφορικές κινήσεις του άκρου εργασίας με τον δείκτη Translational Manipulability καθώς με αυτόν στην προσομοίωση προέκυψαν οι μικρότερες ταχύτητες στις αρθρώσεις και μας δίνει επίσης τον μεγαλύτερο χώρο εργασίας ο οποίος δεν περιορίζεται κοντά στο σώμα του ρομπότ. Το επιτρεπτό όριο που επιλέχθηκε για τις μεταφορικές κινήσεις του άκρου ισούται με w th,tr = 0.025 ενώ η τιμή του ορίου για τις περιστροφικές κινήσεις δεν έχει σημασία εξαιτίας του μηδενισμού του κέρδους K Rot = 0 ώστε οι απωστικές ροπές να μηδενίζονται και ο προσανατολισμός του να παραμένει σταθερός κατά τη διάκρεια της κίνησης. Για το κέρδος K Τr επιλέγεται η δεύτερη προσέγγιση όπως αναφέρθηκε στο 2 ο κεφάλαιο και δίνεται από τον τύπο 2.22 όπου w crit,tr = 0.01 και κέρδος λ Tr = 100. Η αρχική διαμόρφωση του βραχίονα είναι αυτή που χρησιμοποιήθηκε στην προσομοίωση, δηλαδή δίνεται από τις γωνίες q = [0 0.3491 0 1.3963 0 1.3963 0] T εκφρασμένες σε ακτίνια και εφαρμόζονται στο άκρο δυνάμεις αρχικά μόνο σε μία διεύθυνση (άξονα Χ) και στη συνέχεια σε δύο (άξονες Χ και Υ) ώστε το άκρο να διαγράψει μία έλλειψη. [111]

4.1 Χωρίς εφαρμογή περιορισμών Αρχικά, ασκούμε στο άκρο δύναμη ίση με περίπου 4Ν μόνο στην διεύθυνση Χ (εικόνα 4.1) ενώ μηδενίζουμε μέσω λογισμικού τις δυνάμεις που μετρά ο αισθητήρας στους άλλους δύο άξονες ώστε να μην επηρεάζεται η κίνηση. Παρ όλα αυτά, εξαιτίας της μικρής ολίσθησης που έχει ο αισθητήρας δύναμης, εμφανίζονται ακόμα κάποιες μικρές δυνάμεις και στους άλλους δύο άξονες, όχι όμως ικανές για να επηρεάσουν τα μετρούμενα αποτελέσματα (εικόνα 4.2α). Χωρίς να εφαρμοζονται οι περιορισμοί και όπως συμβαίνει και στην προσομοίωση δεν ασκούνται απωστικές δύναμεις (εικόνα 4.2γ) και τα στοιχεία του A Tr ισούνται με μηδέν (εικόνα 4.2δ). Επίσης στην εξωτερική δύναμη εμφανίζεται θόρυβος που οφείλεται τόσο στο σύστημα μέτρησης όσο και στις μικροκινήσεις του χεριού του χειριστή. Καθώς μετακινείται το άκρο, ο βραχίονας προσεγγίζει τη μέγιστη έκταση του με αποτέλεσμα ο τρίτος και ο πέμπτος άξονας να ευθυγραμμίζονται. Εξαιτίας των τιμών του Ιακωβιανού πίνακα σε αυτή τη διαμόρφωση οι ταχύτητες των αρθρώσεων αποκτούν μεγάλες τιμές. Σε αυτό το σημείο, ενεργοποιούνται αυτόματα τα φρένα του ρομπότ ώστε να μην προκληθεί κάποια βλάβη από την απότομη κίνηση που πρόκειται να εκτελέσει και η κίνηση διακόπτεται. Από την εικόνα 4.2β βλέπουμε επίσης, πως η μεγαλύτερη ταχύτητα εμφανίζεται στην τέταρτη άρθρωση όπως έγινε και στην προσομοίωση και ισούται με 3.2rad/sec τη χρονική στιγμή t=2.8sec όπου διακόπτεται η κίνηση και οι μετρήσεις. Εικόνα 4.1 Μεταβολή του άκρου εργασίας με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ. Τέλος, καθώς το άκρο κινείται προς τα αρνητικά του άξονα Χ, όταν βρίσκεται σε απόσταση 14cm από το σημείο εκκίνησης (t=2.28sec), ο δείκτης Translational Manipulability πέφτει κάτω από το όριο που έχουμε θέσει. Όσο το άκρο συνεχίζει να απομακρύνεται από την αρχική θέση, ο δείκτης μικραίνει ακόμα περισσότερο και φτάνει έως την τιμή 0.005, πολύ χαμηλότερα δηλαδή από το επιθυμητό όριο που ισούται 0.025 (εικόνα 4.3). [112]

Εικόνα 4.2 Δείκτες χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF. [113]

Εικόνα 4.3 Δείκτης Manipulability συναρτήσει της μετατόπισης, χωρίς την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF. Στη συνέχεια, ξεκινώντας πάλι με την ίδια αρχική διαμόρφωση εφαρμόζουμε στο άκρο δύναμη στους άξονες Χ και Υ τέτοια ώστε το άκρο να διαγράψει μια έλλειψη. Χρησιμοποιείται ένα λέιζερ τοποθετημένο στο άκρο του ρομπότ στη Ζ διεύθυνση ως προς το σύστημα συντεταγμένων του άκρου με φορά προς τα κάτω και μια έλλειψη σχεδιασμένη κάτω από το άκρο όπως φαίνεται στην εικόνα 4.4. Με αυτό τον τρόπο μετακινούμε το άκρο ώστε η ακτίνα του λειζερ να κινείται πάνω στη έλλειψη. Διαλέγοντας το σχήμα της έλλειψης γίνεται καλύτερα κατανοητό όχι μόνο το μέτρο και η φορά των απωστικών δυνάμεων αλλά και ο τρόπος με τον οποίο ο χειριστής αντιλαμβάνεται την εναλλαγή της εφαρμογής τους από τον έναν άξονα στον άλλον στην περίπτωση που εφαρμόζονται οι περιορισμοί. Καθώς κινούμε το άκρο, μόλις αυτό ξεπεράσει τα 17cm (t=3.8sec) στα αρνητικά του άξονα Χ σε σχέση με το σημείο εκκίνησης τότε ο δείκτης αποκτά τιμή μικρότερη του ορίου που έχουμε θέσει όπως φαίνεται στην εικόνα 4.6 με «x». Στη συνέχεια ο βραχίονας θα βρεθεί στη μέγιστη έκταση του (όπου ο τρίτος άξονας τείνει να ευθυγραμμιστεί με τον πέμπτο) και τότε ο δεκτης εμφανίζει ελάχιστο, ίσο με 0.006. Τη χρονική στιγμή t=5.2sec όπου το άκρο περνά για δεύτερη φορά από το σημείο με τετμημένη -17cm αλλά με αντίθετη φορά απο πρίν, ο δείκτης επανέρχεται σε τιμές άνω του επιτρεπτού ορίου. Στην εικόνα 4.5α φαίνονται οι δυνάμεις που πρέπεί να εφαρμοστούν ώστε το άκρο να κινηθεί πάνω σε μια έλλειψη και στην εικόνα 4.5β οι ταχύτητες των αρθρώσεων του ρομπότ κατά τη διάρκεια της κίνησης. Η τέταρτη άρθρωση αποκτά τη μεγαλύτερη κατά απόλυτο τιμή για t=4.6sec που ισούται με 1.1rad/sec (μέτρο). Παρ ότι δεν είναι υψηλή αυτή η ταχύτητα, η [114]

εφαρμογή περιορισμών είναι απαραίτητη καθώς για μεγαλύτερη μετατόπιση του άκρου για παράδειγμα προς τα αρνητικά του άξονα Χ, το ρομπότ θα είναι ελεύθερο να αναπτύξει μεγαλύτερες ταχύτητες. Στις εικόνες 4.5γ&δ βλέπουμε ότι οι απωστικές δυνάμεις και τα στοιχεία του A Tr είναι ίσα με μηδέν αφού δεν εφαρμόζεται ο αλγόριθμος για τον περιορισμό. Εικόνα 4.4 Μεταβολή του άκρου εργασίας με εφαρμογή δύναμης στον Χ και στον Υ άξονα ώστε να διαγράψει έλλειψη. [115]

Εικόνα 4.5 Δείκτες χωρίς την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης στον X και στον Υ άξονα στο KUKA LWR IV 7DOF. [116]

Εικόνα 4.6 Δείκτης Manipulability χωρίς την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης στον X και στον Υ άξονα στο KUKA LWR IV 7DOF. 4.2 Με εφαρμογή περιορισμών Επαναλαμβάνουμε το προηγούμενο πείραμα με την εφαρμογή εξωτερικής δύναμης μόνο στον άξονα Χ τοποθετώντας το ρομπότ στην ίδια αρχική διαμόρφωση όπως προηγουμένως. Όπως φαίνεται στην εικόνα 4.7α στο άκρο αρχικά ασκείται εξωτερική δύναμη ίση περίπου με 3Ν μόνο στη διεύθυνση Χ ενώ εμφανίζονται πάλι μικρές δυνάμεις στους Υ και Ζ άξονες λόγω της ολίσθησης του αισθητήρα που δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα. Καθώς το άκρο κινείται, τη χρονική στιγμή t=2.8sec, έχει μετατοπιστεί από την αρχική θέση κατά 14cm, προς τα αρνητικά του άξονα Χ και ο δείκτης Translational Manipulability πέφτει κάτω από το όριο που έχει τεθεί (εικόνα 4.8) έως την τιμή 0.02. Οι απωστικές δυνάμεις τότε αρχίζουν να εφαρμόζονται στον χειριστή στις διευθύνσεις Χ και Ζ (εικόνα 4.7γ) όπως έγινε και στην προσομοίωση στο υποκεφάλαιο 3.2.2.1. Παρατηρούμε πως μετά την πτώση της τιμής του δείκτη και την εφαρμογή των απωστικών δυνάμεων, ο χειριστής πρέπει να ασκήσει μεγαλύτερη δύναμη στον άξονα Χ (11Ν) σε σχέση με πριν (3Ν), ώστε να εξουδετερώσει τις απωστικές δυνάμεις και να διατηρήσει το ρομπότ σε διαμόρφωση χαμηλής απόδοσης έως την χρονική στιγμή t=5.6sec την οποία αφήνει το άκρο. Η μέγιστη απωστική δύναμη στον Χ άξονα ισούται με 11Ν και στον Ζ άξονα με -4.5Ν και εμφανίζεται επίσης μία δύναμη στον άξονα Υ με αμελητέα τιμή καθώς ο αλγόριθμος δημιουργεί τις απωστικές δυνάμεις ώστε να μετατοπίσει το άκρο του ρομπότ στο γειτονικό σημείο με τον καλύτερο δείκτη υπολογίζοντας μια συνιστώσα δύναμη για κάθε [117]

άξονα. Παρατηρουύμε επίσης στην εικόνα 4.7β ότι η τέταρτη άρθρωση, όπως προηγουμένως, αποκτά τη μεγαλύτερη ταχύτητα, όμως τώρα περιορίζεται στην τιμή 0.5rad/sec την t=2.7sec και σε αντίθεση με την περίπτωση της κίνηση χωρίς την εφαρμογή των περιορισμών, δεν διακόπτεται η λειτουργία του ρομπότ. Εικόνα 4.7 Δείκτες με την εφαρμογή περιορισμών με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF. [118]

Εικόνα 4.8 Δείκτης Manipulability συναρτήσει της μετατόπισης, με την εφαρμογή περιορισμών, με εφαρμογή δύναμης μόνο στον άξονα Χ στο KUKA LWR IV 7DOF. Στη συνέχεια, στο άκρο ασκείται δύναμη στους άξονες Χ και Υ ώστε να διαγράψει έλλειψη με τους περιορισμούς να εφαρμόζονται (εικόνα 4.9α). Παρατηρούμε στην εικόνα 4.10 ότι καθώς το άκρο κινείται προς τα αρνητικά του άξονα Χ, όταν απομακρυνθεί από την αρχική θέση κατά 17cm (t=3.6sec) τότε ο δείκτης πέφτει κάτω από το όριο και αρχίζουν να εφαρμόζονται απωστικές δυνάμεις στον χειριστή στον Χ και στον Υ άξονα με μέγιστες τιμές τα 14Ν και 0.3 Ν αντίστοιχα, τις χρονικές στιγμές t=4sec και t=4.3sec (εικόνα 4.9γ). Παρότι στο διάνυσμα A Tr δημιουργείται ακόμα μια δύναμη στον άξονα Ζ (εικόνα 4.9δ), αυτή δεν υπολογίζεται στο απωστικό διάνυσμα F avoid ώστε να είναι πιο εύκολο για τον χειριστή να διαγράψει την έλλειψη. Στην περίπτωση που υπολογιζόταν, θα άλλαζε την θέση του άκρου στο χώρο χωρίς να αλλάξουν σημαντικά τα μετρούμενα αποτελέσματα. Επίσης την t=4.3sec ο δείκτης εμφανίζει ελάχιστο το οποίο ισούται με 0.02 και το μέτρο της εξωτερικής δύναμης αυξάνεται στον Χ άξονα ώστε να διατηρηθεί η κίνηση του άκρου (εικόνα 4.9α), έως την χρονική στιγμή t=5.3sec όπου ο δείκτης επανέρχεται πάνω από το όριο. Οι ταχύτητες των αρθρώσεων όπως φαίνονται στην εικόνα 4.9β περιορίζονται σημαντικά σε σχέση με την περίπτωση που δεν εφαρμόζονται οι περιορισμοί και η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στην τέταρτη άρθρωση και ισούται με 0.5rad/sec την t=3.6sec. [119]