Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ ο Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Ο απόλυτος, αληθής, μαθηματικός χρόνος, από τη φύση του και αφεαυτού, ρέει ανεξάρτητα από οτιδήποτε άλλο και δεν είναι αντιληπτό αντικείμενο Και ο απόλυτος χώρος, χωρίς καμία σχέση με οτιδήποτε άλλο, από τη φύση του παραμένει μόνιμα αναλλοίωτος και ακίνητος Isaac Newon Philosophiæ Nauralis Principia Mahemaica Κάθε επιστηµμονική θεωρία, είτε αναφέρεται στο χρόνο και το χώρο, είτε σε οποιαδήποτε άλλη έννοια, διαµμορφώνεται βασιζόµμενη σε µμαθηµματικά πρότυπα Ένα µμαθηµματικό πρότυπο δεν θα πει τι είναι ο χρόνος και ο χώρος, αλλά προσ- φέρει τη δυνατότητα κωδικοποίησης των παρατηρήσεων και λογικής συναγω- γής προβλέψεων που επιζητούν την πειραµματική τους επιβεβαίωση στη φυσική πραγµματικότητα Το πρώτο µμαθηµματικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο δόθηκε από τον Νεύ- τωνα στις Μαθηµματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας Στο πρότυπο αυτό ο χρόνος και ο χώρος είναι διαχωρισµμένοι και συγκροτούν το υπόβαθρο όπου διαδραµματίζονται τα γεγονότα Ένα γεγονός συµμβαίνει κάποια στιγµμή στο χρό- νο, σε κάποιο σηµμείο στο χώρο, και η αντιληπτική ανάγκη υποδεικνύει ότι για τον εντοπισµμό του απαιτούνται τέσσερις πληροφορίες, µμια χρονική και τρεις χωρικές Σε αντίθεση όµμως µμε αυτό που πίστευαν από την αρχαιότητα, καµμία Ο χρόνος νοείται ως µια ανεξάρτητη γραµµή, κάτι σαν σιδηροδροµική γραµµή, που εκτείνεται επ άπειρο προς τις δυο κατευθύνσεις και θεωρείται παντοτινός υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπάρχει για πάντα Sephen Hawking, Χρονικό του Χρόνου, 988

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ στιγµμή του χρόνου και κανένα σηµμείο του χώρου δεν ξεχωρίζουν από τις άλλες στιγµμές και τα άλλα σηµμεία ώστε να υπάρξει µμια απόλυτα αποδεκτή χωρο- χρονική αρχή ως προς την οποία να εντοπίζονται τα γεγονότα Το µμαθηµματικό πρότυπο του χρόνου και του χώρου οφείλει λοιπόν να ανταποκρίνεται στην ανυπαρξία χωροχρονικής αρχής και επιπλέον να δίνει τη δυνατότητα ορισµμού των ταυτόχρονων γεγονότων Στην αριθµμητική αναπαράσταση αυτού του προ- τύπου δεν υφίσταται µμετρική µμε φυσική υπόσταση που να προσµμετρά από κοι- νού τις χρονικές και χωρικές αποστάσεις των γεγονότων Μόνο η µμέτρηση των χωρικών αποστάσεων µμεταξύ ταυτόχρονων γεγονότων έχει φυσικό νόηµμα και αυτή επιτυγχάνεται µμε τη χρήση της ευκλείδειας µμετρικής Στο µμαθηµματικό αυτό πρότυπο προσαρτάται η οµμάδα των γαλιλαϊκών µμετασχη- µματισµμών, η δράση της οποίας αναδεικνύει τις φυσικές συµμµμετρίες του χρόνου και του χώρου, δηλαδή την οµμογένεια του χρόνου, την οµμογένεια και ισοτροπία του χώρου και την αδρανειακή φύση του χώρου που αποκάλυψε ο Γαλιλαίος Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί είναι ακριβώς αυτοί που, όπως θα διαπιστώ- σουµμε λίγο αργότερα, διατηρούν αναλλοίωτη τη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνη- σης την οποία εισήγαγε ο Νεύτωνας Αυτά ακριβώς τα πρωταρχικά δεδοµμένα συγκροτούν το ορθολογικό υπόβαθρο στο οποίο ορίζονται αξιωµματικά οι θεµμελιακές αρχές της Κλασικής Μηχανικής Η κατασκευή του μαθηματικού προτύπου του χρόνου και του χώρου Το µμαθηµματικό πρότυπο αναπαράστασης του χωροχρόνου, πριν τη διάσπασή του σε χώρο και χρόνο, εκφράζεται µμε έναν τετραδιάστατο αφινικό χώρο E 4 Τα στοιχεία του καλούνται γεγονότα και κανένα δεν ξεχωρίζει από τα άλλα ώστε να εκληφθεί ως απόλυτη χωροχρονική αρχή Η µμετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο εκτελείται, όπως υπαγορεύει η θεωρία των αφινικών χώρων, µμε τα δια- νύσµματα του προσαρτηµμένου πραγµματικού διανυσµματικού χώρου 4 Συγκεκριµμένα, σε κάθε ζεύγος γεγονότων a,b E 4 χωροχρονικής µμεταφοράς v ab 4 διαµμέσου µμιας απεικόνισης: E 4 E 4 4 έτσι ώστε να πληρούνται τα εξής αξιώµματα: προσαρτάται το διάνυσµμα ü Αν δοθεί ένα διάνυσµμα v 4 τότε στο γεγονός a E 4 µμοναδικό γεγονός b E 4 τέτοιο ώστε: v ab = v προσαρτάται ένα Βλ Παράρτηµμα : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΦΙΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 5 ü Για κάθε τριάδα γεγονότων a,b,c E 4 ισχύει: v ab + v bc = v ac Το πρώτο αξίωµμα διασφαλίζει τη δυνατότητα χωροχρονικών µμεταφορών στο χωροχρόνο αξιοποιώντας οµμοπαραλληλικά τη δοµμή του προσαρτηµμένου πραγ- µματικού διανυσµματικού χώρου και από το δεύτερο αξίωµμα απορρέει ότι: v aa και v ab = v ba Η µμετάβαση από ένα γεγονός a E 4 σε ένα γεγονός b E 4 συµμβολίζεται: b = a + v ab Τα διανύσµματα που εκτελούν τις µμεταφορές των γεγονότων στο χωροχρόνο συγκροτούν από αλγεβρική άποψη µμια οµμάδα αλλά και έναν τετραδιάστατο πραγµματικό διανυσµματικό χώρο V ισόµμορφο προς τον 4 Ο χρόνος ορίζεται ως γραµμµμική απεικόνιση από τον τετραδιάστατο χώρο V των χωροχρονικών µμεταφορών στην πραγµματική ευθεία η οποία, εφόσον προσανατολιστεί, καλείται χρονικός άξονας: τ : V Σε κάθε ζεύγος γεγονότων προσαρτάται το διάνυσµμα χωροχρονικής µμεταφοράς και η γραµμµμική αυτή απεικόνιση αποδίδει τη χρονική απόσταση αυτών των γε- γονότων η οποία προσµμετράται στον χρονικό άξονα ως εξής: τ (b a) τ ( v ab ), a,b E 4 Η γραµμµμικότητα του χρόνου υποδεικνύει ότι: τ ( v ab + v bc ) = τ ( v ab ) +τ ( v bc ), a,b,c E 4 Τα γεγονότα που έχουν µμεταξύ τους µμηδενική χρονική απόσταση καλούνται ταυτόχρονα και οι χωροχρονικές τους µμεταφορές συγκροτούν τον τρισδιάστα- το πυρήνα της γραµμµμικής απεικόνισης του χρόνου: Kerτ ={ v V / τ ( v) = } Το τετραδιάστατο αφινικό πρότυπο του χωροχρόνου διασπάται µμε τον τρόπο αυτό σε καρτεσιανό γινόµμενο του τρισδιάστατου αφινικού χώρου των ταυτό- χρονων γεγονότων και του µμονοδιάστατου αφινικού χρονικού άξονα: E 4 = E 3 E Στο διασπασµμένο αυτό αφινικό πρότυπο του χωροχρόνου προσαρτάται οµμο- παραλληλικά ο διασπασµμένος αριθµμητικός χώρο- χρόνος: 4 = 3

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Μετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο γεγονός στον κλασικό χώρο- χρόνο 2 Η γαλιλαϊκή δομή του χωροχρόνου και η ευκλείδεια δομή του χώρου Η µμαθηµματική δοµμή του χωροχρόνου χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά του, τη γραµμµμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δοµμή του χώρου και καλείται γαλιλαϊκή δοµμή Η αφινικότητα του χωροχρόνου υποδηλώνει την ανυπαρξία απόλυτης χωροχρονικής αρχής Η γραµμµμικότητα του χρόνου δίνει τη δυνατότη- τα ορισµμού των ταυτόχρονων γεγονότων και οδηγεί στον διαχωρισµμό του χώ- ρου και του χρόνου µμέσα στον χωροχρόνο Η ευκλείδεια δοµμή του χώρου υπο- δηλώνει ότι στον αφινικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων προσαρτάται ο τρισδιάστατος ευκλείδειος αριθµμητικός χώρος που είναι εφοδιασµμένος µμε την πραγµματική διανυσµματική δοµμή του και την πράξη του εσωτερικού γινοµμένου Στην Κλασική Μηχανική δεν υπάρχει µμετρική µμε φυσικό νόηµμα που να προσ- µμετρά συγχρόνως χρονικά διαστήµματα και χωρικές αποστάσεις µμεταξύ των γε- γονότων του χωροχρόνου Η µμέτρηση χωρικών αποστάσεων µμεταξύ των γεγο- νότων έχει φυσικό νόηµμα µμόνο στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Στον ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων η µμέτρηση των χωρικών αποστάσεων πραγµματοποιείται µμε την ευκλείδεια µμετρική που απορρέει από το εσωτερικό γινόµμενο και επίσης ορίζονται τα χωρικά συστήµματα αναφοράς Ένα σύστηµμα αναφοράς είναι ένα τρισορθογώνιο σύστηµμα αξόνων ορισµμένο από µμια θετικά προσανατολισµμένη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου Στον αφινικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων το σύστηµμα αναφοράς τοπο- θετείται οπουδήποτε αφού κανένα σηµμείο δεν ξεχωρίζει από τα άλλα σηµμεία Κάθε σύστηµμα αναφοράς έχει το δικό του σύστηµμα καρτεσιανών συντεταγµμέ- νων και τα σηµμεία του χώρου αποκτούν αριθµμητικές συντεταγµμένες σε αυτό το σύστηµμα µμέσα από τις ορθογώνιες προβολές στους αντίστοιχους τρεις άξονες: π i : 3, i =, 2,3 Στην Κλασική Μηχανική η μη ύπαρξη φυσικής μετρικής που να προσμετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις και χρονικά διαστήματα οφείλεται στην ανυπαρξία παγκόσμιας σταθεράς με διαστά- σεις ταχύτητας, όπως συμβαίνει με την ταχύτητα του φωτός στη θεωρία της Σχετικότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 53 Εντοπισµμός της θέσης ενός σηµμείου στο χώρο από ένα σύστηµμα αναφοράς 3 Η σχετικότητα του εντοπισμού της θέσης ενός σημείου στο χώρο Στον αριθµμητικό χωροχρόνο 3 τα γεγονότα αποκτούν χωρικές και χρονι- κές συντεταγµμένες που καταγράφονται αντίστοιχα στο χωρικό σύστηµμα ανα- φοράς και στον χρονικό άξονα Το διάνυσµμα χωροχρονικής µμεταφοράς από το γεγονός a = ( x, ) στο b = ( x, ) υπολογίζεται ως εξής: υab = x x, x2 x2, x3 x3, ( ) Το χρονικό διάστηµμα που µμεσολαβεί µμεταξύ δύο γεγονότων προσµμετράται από την προβολή του διανύσµματος χωροχρονικής µμεταφοράς στον χρονικό άξονα : τ : V 4, τ ( υab ) = Η χωρική απόσταση µμεταξύ ταυτόχρονων γεγονότων υπολογίζεται στο ευκλεί- δειο σύστηµμα αναφοράς ως εξής: ( d(x, x ) = x x = ( x x )2 + ( x2 x2 )2 + ( x3 x3 )2 ) /2 Ο ευκλείδειος αριθµμητικός χώρος των ταυτόχρονων γεγονότων διαθέτει την δική του απόλυτη αρχή όπου τοποθετείται το ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς Όµμως, η ανυπαρξία απόλυτης αρχής στο φυσικό χώρο αφήνει ανοιχτό το εν- δεχόµμενο τοποθέτησης του συστήµματος αναφοράς οπουδήποτε στον αφινικό χώρο, οπότε κάθε σηµμείο αυτού του χώρου εντοπίζεται στα διάφορα συστήµμα- τα αναφοράς µμε διαφορετικές αριθµμητικές συντεταγµμένες Εντούτοις, η χωρική απόσταση δυο ταυτόχρονων γεγονότων προσµμετράται από το µμέτρο της δια- νυσµματικής διαφοράς των θέσεών τους και προφανώς η απόσταση αυτή δεν εξαρτάται από την επιλογή του συστήµματος αναφοράς Η σχετική χωρική από- σταση µμεταξύ ταυτόχρονων γεγονότων µμπορεί λοιπόν να λογιστεί ανεξάρτητα από το που είναι τοποθετηµμένο το σύστηµμα αναφοράς στο χώρο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Εντοπισµμός της θέσης ενός σηµμείου στο χώρο από διαφορετικά συστήµματα αναφοράς 4 Οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί και οι συμμετρίες του χώρο- χρόνου Οι µμετασχηµματισµμοί του χώρο- χρόνου που αφήνουν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δοµμή του και ανταποκρίνονται σε αυτό που οι φυσικοί αποκαλούν συµμµμετρίες του χρόνου και του χώρου καλούνται γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί Οι φυσικές αυτές συµμµμετρίες δηλώνουν την οµμογένεια του χρόνου, την οµμογένεια και την ισοτροπία του χώρου και την αδρανειακή µμετατόπιση στο χώρο που πρώτος αντιλήφθηκε και περιέγραψε ο Γαλιλαίος Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί ορίζονται στον διασπασµμένο χώρο- χρόνο και διατηρούν αναλλοίωτες τις χρονικές αποστάσεις των γεγονότων, τις χωρικές αποστάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων και τον προσανατολισµμό του χώρου : g : E3 E E3 E Συνεπώς, πρόκειται για τις χρονικές ισοµμετρίες και τις χωρικές ισοµμετρίες που δεν επηρεάζουν τον προσανατολισµμό του χώρου Αυτό σηµμαίνει ότι στον αριθ- µμητικό χώρο- χρόνο οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί προκύπτουν ως σύνθεση των ακόλουθων βασικών χωροχρονικών µμετασχηµματισµμών: Χρονικές µμεταφορές: 3 3, ( x, ) = (x, + o ), o, Χωρικές µμεταφορές: 3 3, ( x, ) = (x + xo, ), xo 3, Χωρικές στροφές: 3 3, ( x, ) = (S x,), S SO(3), Αδρανειακές µμετατοπίσεις: 3 3, ( x, ) = (x + vo, ), vo 3 Οι χρονικές µμεταφορές εκφράζουν τη χρονική οµμογένεια, οι χωρικές µμεταφορές τη χωρική οµμογένεια, οι χωρικές στροφές τη χωρική ισοτροπία και οι αδρανει- ακές µμετατοπίσεις την αδρανειακή συµμπεριφορά της φύσης Κάθε γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός προκύπτει λοιπόν αφενός από µμια χρονική µμεταφορά και Βλ Παράρτημα 2: ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 55 αφετέρου από µμια χωρική στροφή, µμια χωρική µμεταφορά και µμια αδρανειακή µμετατόπιση όπου ο χρόνος υπεισέρχεται ως παράµμετρος : g : 3 3 g(x, ) = ( x, ) = (S x + x o + v o, + o ) Το σύνολο των γαλιλαϊκών µμετασχηµματισµμών, εφοδιασµμένο µμε την πράξη της σύνθεσης των µμετασχηµματισµμών, αποκτά δοµμή µμη αντιµμεταθετικής οµμάδας που καλείται γαλιλαϊκή οµμάδα Κάθε στοιχείο της γαλιλαϊκής οµμάδας διαθέτει το αντίστροφό του και από τη σύνθεσή τους προκύπτει το ουδέτερο στοιχείο της Ο αντίστροφος ενός γαλιλαϊκού µμετασχηµματισµμού υπολογίζεται ως εξής: x = S x + v o + x o, = + o x = S x S (v o + x o ), = o Κάθε στοιχείο της γαλιλαϊκής οµμάδας ορίζεται µμε αριθµμητικές παραµμέτρους, µμια που καθορίζει τη µμεταφορά των γεγονότων στο χρόνο, τρεις που καθορί- ζουν την αδρανειακή µμετατόπιση των ταυτόχρονων γεγονότων στο χώρο, τρεις που καθορίζουν τη µμεταφορά των ταυτόχρονων γεγονότων στο χώρο και τρεις που καθορίζουν τη στροφή των ταυτόχρονων γεγονότων στο χώρο: o, v o = (v o,v o2,,v o3 ) 3, x o = (x o,x o2,x o3 ) 3, S SO(3) 5 Η αριθμητική έκφραση των γαλιλαϊκών μετασχηματισμών Στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο, όταν δοθούν οι δέκα αριθµμητικές τιµμές των γαλι- λαϊκών παραµμέτρων, ορίζεται ένας µμοναδικός γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός, ο οποίος µμετασχηµματίζει κάθε γεγονός σε άλλο γεγονός, όχι οπωσδήποτε ταυτό- χρονό του, και στην κανονική βάση εκφράζεται ως εξής: v o S v o2 = v o3 + x o x o2 x o3 o Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί που δεν εκτελούν µμεταφορά στο χρόνο ( o=) συγκροτούν µμια υποοµμάδα της γαλιλαϊκής οµμάδας και δρουν αποκλειστικά στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκτελώντας χωρικές στροφές, χωρικές µμε- ταφορές και αδρανειακές χωρικές µμετατοπίσεις Εκφράζονται ως εξής: = S + x o + v o x o2 + v o2 x o3 + v o3

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οι στροφές στον ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων συγκροτούν µμια αντιµμεταθετική υποοµμάδα της γαλιλαϊκής οµμάδας Πρόκειται για υποοµμάδα της οµμάδας των ορθογώνιων µμετασχηµματισµμών του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και οι πίνακες που εκφράζουν τα στοιχεία της χαρακτηρίζονται ως εξής: S SO(3) Τ S S = I 3 & de S = Η στροφή εκτελείται γύρω από τον ιδιοάξονα που αντιστοιχεί στη µμοναδιαία ιδιοτιµμή2 και του οποίου ο προσανατολισµμός ορίζεται µμε την επιλογή ενός από τα δυο µμοναδιαία ιδιοδιανύσµματα αυτού του µμετασχηµματισµμού Αν η χωρική στροφή γωνίας θ εκτελείται γύρω από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο άξονα του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς, προκύπτουν οι αντίστοιχες εκφράσεις: S = cosθ sinθ cosθ sinθ S2 = cosθ sinθ cosθ sinθ S3 = sinθ cosθ sinθ cosθ Η χωρική στροφή γωνίας θ γύρω από έναν οποιονδήποτε άξονα µμοναδιαίου διανύσµματος ξ o= (ξ,ξ 2,ξ 3 ) εκφράζεται στην κανονική βάση µμε τον πίνακα:3 ( cosθ)ξ2 + cosθ ( cosθ)ξξ 2 (sinθ)ξ 3 ( cosθ)ξξ 3 + (sinθ)ξ 2 S = ( cosθ)ξξ 2 + (sinθ)ξ 3 ( cosθ)ξ 22 + cosθ ( cosθ)ξ 2 ξ 3 (sinθ)ξ ( cosθ)ξξ 3 (sinθ)ξ 2 ( cosθ)ξ 2 ξ 3 + (sinθ)ξ ( cosθ)ξ 32 + cosθ Στροφή στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Η αριθµμητική τιµμή της ορίζουσας των ορθογώνιων µμετασχηµματισµμών είναι ± και αυτοί που έχουν ορίζουσα + συγκροτούν την οµμάδα στροφών του ευκλείδειου χώρου: Τ S S = I 3 de( Τ S S ) = (de Τ S )(de S ) = (de S )2 = de S = ± 2 Οι µμετασχηµματισµμοί στροφής, µμε εξαίρεση την περίπτωση µμηδενικής γωνίας στροφής, έχουν µμια απλή πραγµματική µμοναδιαία ιδιοτιµμή και δυο συζυγείς µμιγαδικές και στη µμοναδιαία ιδιοτιµμή αντι- στοιχεί ένας µμονοδιάστατος ιδιόχωρος, µμια ευθεία που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: S Χ = Χ 3 Βλ Παράρτημα 2: ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 57 Ας υποθέσουµμε τώρα ότι ο πίνακας χωρικής στροφής έχει δοθεί εξαρχής, στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, µμε την ακόλουθη αριθµμητική έκφραση: s s 2 s 3 S ( e, e 2, e = s 3 ) 2 s 22 s 23 s 3 s 32 s 33 Ο άξονας γύρω από τον οποίο εκτελείται η στροφή, αφού µμένει αναλλοίωτος, είναι ο ιδιοάξονας της µμοναδιαίας ιδιοτιµμής, προσανατολισµμένος µμε ένα από τα δυο µμοναδιαία ιδιοδιανύσµματα Η γωνία της στροφής υπολογίζεται λαµμβάνον- τας υπόψη ότι το ίχνος των πινάκων δεν αλλάζει κατά τις αλλαγές βάσης Έτσι, συγκροτούµμε µμια θετικά προσανατολισµμένη ορθοκανονική βάση, αποτελούµμενη από δυο µμοναδιαία διανύσµματα ζ και ζ του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου Π και το εξαρχής επιλεγµμένο µμοναδιαίο ιδιοδιάνυσµμα ξ µμε το οποίο έχει προσανατολιστεί ο άξονας στροφής Το νέο σύστηµμα αναφοράς προκύπτει στρέφοντας το αρχικό έτσι ώστε ο τρίτος άξονάς του να ταυτιστεί µμε τον ιδιο- άξονα γύρω από τον οποίο εκτελείται η στροφή Προφανώς, ο µμετασχηµματισµμός αυτής της στροφής εκφράζεται στη νέα ορθοκανονική βάση µμε τον πίνακα: S ( ζ, ζ, ξ) = cosθ sinθ sinθ cosθ και υπολογίζοντας τα αντίστοιχα ίχνη προκύπτει: rs ( ζ, ζ, ξ) = rs ( e, e 2, e 2cosθ += rs cosθ = (rs ) 3 ) 2 Έτσι, προσδιορίζεται η γωνία στροφής αλλά όχι ο προσανατολισµμός της που προφανώς εξαρτάται από την επιλογή του µμοναδιαίου ιδιοδιανύσµματος που προσανατολίζει τον ιδιοάξονα Ο προσανατολισµμός της γωνίας αποκαλύπτεται εξετάζοντας υπολογιστικά τη φορά µμε την οποία θα στραφεί στο επίπεδο Π ένα οποιοδήποτε διάνυσµμά του ή από τη σχέση αλλαγής βάσης ή µμε απευθείας εφαρµμογή του τύπου που ισχύει για κάθε µμοναδιαίο διάνυσµμα του επιπέδου Π : ζ Π sinθ = de[ ζ, S ζ, ξ], Σηµμειώνουµμε ότι οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί που εκτελούν µμόνο αδρανεια- κές µμετατοπίσεις στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων συγκροτούν µμια αντι- µμεταθετική υποοµμάδα της γαλιλαϊκής οµμάδας και διατυπώνονται ως εξής: ή = + v o, = + v o2, = + v o3, =, = v o, = v o2, = v o3, =

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 6 Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του ου μαθήματος Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε την αλγεβρική και γεωµμετρική πρακτική των γαλιλαϊκών µμετασχηµματισµμών στον αριθµμητικό χωρο- χρόνο Η σηµμασία της γαλιλαϊκής οµμάδας θα αναδειχθεί αργότερα όταν διαπιστώσουµμε ότι οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί είναι αυτοί που αφήνουν αναλλοίωτη την εξίσωση του Νεύτωνα Ø Παράδειγμα Στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο δίνεται ο µμετασχηµματισµμός που στην κανονική βάση εκφράζεται ως εξής: = 2 / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 + Θέλουµμε να µμάθουµμε αν ο µμετασχηµματισµμός αυτός ανήκει στη γαλιλαϊκή οµμάδα και, αν ναι, να προσδιοριστούν οι αριθµμητικές τιµμές των δέκα παραµμέτρων του Καταρχάς, η αριθµμητική του έκφραση υποδεικνύει ότι η χρονική παράµμετρος είναι µμηδενική, άρα ο χώρος των ταυτόχρονων γεγονότων δεν υφίσταται χρο- νική µμεταφορά και κάθε γεγονός µμετασχηµματίζεται σε ταυτόχρονό του Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων έχουµμε λοιπόν την ακόλουθη έκφραση: 2 2 = 2 2 3 2 2 + Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, όπως δηλώνουν οι αριθµμητικές τιµμές των παραµμέτρων, εκτελείται αδρανειακή µμετατόπιση και χωρική µμεταφορά: v o = (v o =, v o2 =, v o3 = ) και x o = (x o =, x o2 =, x o3 = ), αλλά και χωρική στροφή αφού, όπως θα διαπιστώσετε, ισχύουν οι συνθήκες: όπου Τ S S = I 3 & de S = 2 / 3 / 3 2 / 3 S = 2 / 3 2 / 3 / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 Άρα, ο χωροχρονικός αυτός µμετασχηµματισµμός ανήκει στη γαλιλαϊκή οµμάδα και αποµμένει ο προσδιορισµμός του άξονα και της γωνίας της χωρικής του στροφής

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 59 Η ευθεία γύρω από την οποία εκτελείται η χωρική στροφή είναι, όπως πάντα, ο µμονοδιάστατος ιδιόχωρος της ιδιοτιµμής λ= και υπολογίζεται ως εξής: S Χ = Χ = = Επιλέγοντας ένα από τα δυο µμοναδιαία ιδιοδιανύσµματα, η ευθεία αυτή προσα- νατολίζεται και προκύπτει ο άξονας της χωρικής στροφής Για να υπολογίσουµμε τη γωνία στροφής γύρω από αυτό τον άξονα, λαµμβάνοντας υπόψη ότι η αλλαγή βάσης δεν επηρεάζει το ίχνος των πινάκων, συγκροτούµμε µμια θετικά προσανα- τολισµμένη ορθοκανονική βάση, αποτελούµμενη από το µμοναδιαίο ιδιοδιάνυσµμα ξ που προσανατολίζει τον ιδιοάξονα και δυο κάθετα µμεταξύ τους µμοναδιαία δι- ανύσµματα ζ, ζ που επιλέγουµμε στο ορθογώνιο προς τον ιδιοάξονα επίπεδο: Π = {(,, ) 3 / + + = } Προφανώς, η νέα θετικά προσανατολισµμένη ορθοκανονική βάση: ζ, ζ, ξ ζ, ζ Π, { }, προέκυψε στρέφοντας την κανονική βάση έτσι ώστε ο τρίτος άξονας της να συµμπέσει µμε τον ιδιοάξονα και στη βάση αυτή ο πίνακας εκφράζεται ως εξής: S ( ζ, ζ, ξ) = cosθ sinθ sinθ cosθ Η γωνία της χωρικής στροφής υπολογίζεται εξισώνοντας τα ίχνη των πινάκων: rs ( ζ, ζ, ξ) = rs ( e, e 2, e 2cosθ + = 2 cosθ = / 2 θ = ± π / 3 3 ) Ο προσανατολισµμός της γωνίας στροφής προκύπτει από τον τύπο: 2 sinθ = de[ ζ, S ζ, ξ], ζ Π sinθ = 3 /2 θ = π / 3 Ενδεικτικά παραθέτουµμε µμια επιλογή της νέας ορθοκανονικής βάσης στον ευκλείδειο χώρο: ξ : S ξ = ξ, ζ, ζ Π : < ζ, ζ > =, ζ ζ = ξ, ζ = ( 2 / 2, 2 / 2, ), ζ = ( 6 / 6, 6 / 6, 6 / 3), ξ = ( 3 / 3, 3 / 3, 3 / 3) 2 Η φορά της στροφής αποκαλύπτεται ελέγχοντας τη στροφή ενός οποιουδήποτε διανύσµματος στο επίπεδο Π Επίσης, η γωνία µμαζί και η φορά της προκύπτουν απευθείας από την αλλαγή βάσης: T P S ( e, e 2, e P = S 3 ) ( ζ, ζ, ξ) 2 / 2 2 / 2 6 /6 6 /6 6 /3 3/3 3/3 3/3 2/3 /3 2/3 2 / 3 2 / 3 / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 cosθ = / 2 & sinθ = 3 / 2 θ = π /3 2 / 2 6 /6 3/3 / 2 3/2 2 / 2 6 /6 3/3 = 3/2 / 2 6 /3 3/3

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στη γαλιλαϊκή οµμάδα µμπορούµμε να αναζητήσουµμε τον αντίστροφο γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό που υπολογίζεται ως εξής: x = Sx + v o + x o, = x = T S x T S(v o + x o ), = Ο µμηδενισµμός της χρονικής παραµμέτρου δηλώνει ότι ο αντίστροφος γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός δεν µμετατοπίζει χρονικά το χώρο των ταυτόχρονων γεγονό- των Κατά την ανάγνωση των άλλων παραµμέτρων, ας προσέξουµμε ότι στο χώ- ρο των ταυτόχρονων γεγονότων η στροφή εκτελείται γύρω από τον ίδιο άξονα µμε αντίθετη όµμως φορά και τη στροφή αυτή υφίστανται και οι παράµμετροι της αδρανειακής µμετατόπισης και της χωρικής µμεταφοράς του αρχικού γαλιλαϊκού µμετασχηµματισµμού Εκτελώντας έναν απλό υπολογισµμό προκύπτει: 2 2 = 2 2 3 2 2 4 + 2 3 2 Έτσι, καταλήγουµμε στις αριθµμητικές τιµμές των παραµμέτρων της αδρανειακής µμετατόπισης και της χωρικής µμεταφοράς που υπεισέρχονται στον αντίστροφο γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων: v o = ( v o = / 3, v o2 = 2 / 3, v o3 = 2 / 3) και x o = ( x o = 4 / 3, x o2 = / 3, x o3 = / 3) Ø Παράδειγμα 2 Στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο δίνεται ο µμετασχηµματισµμός που στην κανονική βάση εκφράζεται ως εξής: 2 / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 / 3 = / 3 2 / 3 2 / 3 + Το ερώτηµμα που τίθεται είναι αν ο µμετασχηµματισµμός αυτός ανήκει στη γαλιλα- ϊκή οµμάδα και, αν ναι, ποιες είναι οι αριθµμητικές τιµμές των δέκα παραµμέτρων Η έκφρασή του υποδεικνύει ότι ο χώρος των ταυτόχρονων γεγονότων υφίσταται χρονική µμεταφορά κατά µμια χρονική µμονάδα, αφού o = Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων παρατηρούµμε, από τα αριθµμητικά δε- δοµμένα, ότι εκτελείται αδρανειακή µμετατόπιση και χωρική µμεταφορά που ορί- ζονται αντίστοιχα από τις αριθµμητικές τιµμές των παραµμέτρων: v o = (v o =, v o2 =, v o3 = ) και x o = (x o =, x o2 =, x o3 = ) Από τη σύνθεση αυτού γαλιλαϊκού µμετασχηµματισµμό µμε τον αρχικό γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό προκύπτει το ουδέτερο στοιχείο της γαλιλαϊκής οµμάδας

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 6 Επίσης, εκτελείται χωρική στροφή αφού πληρούνται οι συνθήκες: όπου Τ S S = I 3 & de S = 2 / 3 / 3 2 / 3 S ( e, e 2, e = 3 ) 2 / 3 2 / 3 / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 Άρα, ο χωροχρονικός αυτός µμετασχηµματισµμός ανήκει στη γαλιλαϊκή οµμάδα και αποµμένει ο προσδιορισµμός του άξονα και της γωνίας της χωρικής του στροφής Η χωρική στροφή εκτελείται γύρω από το µμονοδιάστατο ιδιόχωρο που αντι- στοιχεί στη µμοναδική πραγµματική ιδιοτιµμή λ=, δηλαδή γύρω από την αναλλοί- ωτη ευθεία που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: S Χ = Χ = = Η ευθεία αυτή προσανατολίζεται επιλέγοντας ένα από τα δυο µμοναδιαία ιδιο- διανύσµματα και έτσι ορίζεται ο άξονας στροφής γύρω από τον οποίο περιστρέ- φονται τα ταυτόχρονα γεγονότα Για να υπολογιστεί η γωνία στροφής, συγκρο- τούµμε µμια ορθοκανονική βάση, θετικά προσανατολισµμένη, αποτελούµμενη από το επιλεγµμένο µμοναδιαίο ιδιοδιάνυσµμα ξ και δυο µμοναδιαία διανύσµματα ζ, ζ, κάθετα µμεταξύ τους, που ανήκουν στο ορθογώνιο προς τον ιδιοάξονα επίπεδο: Π = (,, ) 3 / + = ζ, ζ, ξ ζ Π { } : { }, ζ, Αυτή η αλλαγή βάσης σηµμαίνει ότι το σύστηµμα αναφοράς που ορίζεται από την κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου στράφηκε έτσι ώστε ο τρίτος άξονας να ταυτιστεί µμε τον ιδιοάξονα της χωρικής στροφής, οπότε στη νέα ορθοκανονική βάση ο πίνακας της χωρικής στροφής θα έχει τη µμορφή: S ( ζ, ζ, ξ) = cosθ sinθ sinθ cosθ Λαµμβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος ενός πίνακα διατηρείται αναλλοίωτο κατά τις αλλαγές βάσης, η γωνία στροφής µμπορεί να υπολογιστεί εξισώνοντας τα ίχνη των πινάκων µμε τους οποίους εκφράζεται η χωρική στροφή, αφενός στη νέα ορθοκανονική βάση και αφετέρου στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου: Ενδεικτικά παραθέτουµμε µμια επιλογή της νέας ορθοκανονικής βάσης στον ευκλείδειο χώρο: ξ : S ξ = ξ, ζ, ζ Π : < ζ, ζ > =, ζ ζ = ξ, ζ = ( 2 / 2,, 2 / 2), ζ = ( 6 / 6, 6 / 3, 6 / 6), ξ = ( 3 / 3, 3 / 3, 3 / 3)

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ rs ( ζ, ζ, ξ) = rs ( e, e 2, e 2cosθ + = 2 cosθ = / 2 θ = ± π / 3 3 ) Η φορά της στροφής γύρω από τον ιδιοάξονα αποκαλύπτεται κάνοντας χρήση του κλασικού τύπου που ισχύει για κάθε µμοναδιαίο διάνυσµμα ζ Π : sinθ = de[ ζ, S ζ, ξ] sinθ = 3 /2 θ = π / 3 Στη γαλιλαϊκή οµμάδα µμπορούµμε να αναζητήσουµμε τον αντίστροφο γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό που υπολογίζεται ως εξής: x = Sx + v o + x o, = + o x = T S x T S(v o ( o ) + x o ), = o Κατά την ανάγνωση των παραµμέτρων του αντίστροφου γαλιλαϊκού µμετασχη- µματισµμού, ας προσέξουµμε ότι η στροφή εκτελείται στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων γύρω από τον ίδιο άξονα αλλά µμε αντίθετη φορά και τη στροφή αυ- τή υφίστανται οι παράµμετροι της αδρανειακής µμετατόπισης και της χωρικής µμεταφοράς του αρχικού γαλιλαϊκού µμετασχηµματισµμού Επίσης, ο χώρος των ταυτόχρονων γεγονότων µμετατοπίζεται στο χρόνο κατά µμια αρνητική χρονική µμονάδα Εκτελώντας έναν απλό υπολογισµμό προκύπτει: x 2 / 3 2 / 3 / 3 2 / 3 x / 3 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x = 2 5 / 3 + 2 / 3 / 3 2 / 3 / 3 / 3 Έτσι, καταλήγουµμε στον αριθµμητικό προσδιορισµμό των παραµμέτρων της αδρα- νειακής µμετατόπισης και της χωρικής µμεταφοράς στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων που υπεισέρχονται στον αντίστροφο γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό: 2 v o = ( v o = 2 / 3, v o2 = 2 / 3, v o3 = / 3) και x o = ( x o = / 3, x o2 = 5 / 3, x o3 = / 3) Καταλήγουµμε στο ίδιο αποτέλεσµμα ελέγχοντας απευθείας το πώς στρέφεται ένα οποιουδήποτε διάνυσµμα του επιπέδου Π Πχ, ελέγχουµμε τη φορά της γωνίας µμεταξύ των διανυσµμάτων: ζ Π και S ζ Π Μπορούµμε επίσης να υπολογίσουµμε τη γωνία στροφής και τη φορά της µμε έναν απλό συλλογισµμό Στους ορθογώνιους µμετασχηµματισµμούς, όπου ανήκουν οι χωρικές στροφές, οι πίνακες αλλαγής βάσης είναι ορθογώνιοι και ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα συµμπίπτει µμε τον ανάστροφό του, οπότε εύκολα υπολογίζουµμε τη γωνία στροφής εκτελώντας την αλλαγή βάσης: T P S ( e, e 2, e P = S 3 ) ( ζ, ζ, ξ) 2 / 2 2 / 2 2/3 /3 2/3 6 /6 6 /3 6 /6 2 / 3 2 / 3 / 3 3/3 3/3 3/3 / 3 2 / 3 2 / 3 cosθ = / 2 & sinθ = 3 /2 θ = π /3 2 / 2 6 /6 3/3 / 2 3/2 6 /3 3/3 = 3/2 / 2 2 / 2 6 /6 3/3 2 Από τη σύνθεση αυτού γαλιλαϊκού µμετασχηµματισµμό µμε τον αρχικό γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό προκύπτει το ουδέτερο στοιχείο της γαλιλαϊκής οµμάδας

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 63 Ø Παράδειγμα 3 Στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο δίνεται ο µμετασχηµματισµμός που στην κανονική βάση εκφράζεται ως εξής: = + Θέλουµμε να µμάθουµμε αν ο µμετασχηµματισµμός αυτός ανήκει στη γαλιλαϊκή οµμάδα και, αν ναι, να προσδιοριστούν οι αριθµμητικές τιµμές των δέκα παραµμέτρων του Καταρχάς, η αριθµμητική του έκφραση υποδεικνύει ότι η χρονική παράµμετρος είναι µμηδενική, άρα ο χώρος των ταυτόχρονων γεγονότων δεν υφίσταται χρο- νική µμεταφορά και κάθε γεγονός µμετασχηµματίζεται σε ταυτόχρονό του Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων έχουµμε λοιπόν την ακόλουθη έκφραση: = + + + Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, όπως υποδεικνύουν οι αριθµμητικές τι- µμές των γαλιλαϊκών παραµμέτρων, εκτελείται αδρανειακή µμετατόπιση και χωρι- κή µμεταφορά που ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: v o = (v o =, v o2 =, v o3 = ) και x o = (x o =, x o2 =, x o3 = ) Αλλά, ο πίνακας που υπεισέρχεται σε αυτό το µμετασχηµματισµμό ανήκει µμεν στην ορθογώνια οµμάδα αλλά όχι στην υποοµμάδα στροφών του ευκλείδειου χώρου, αφού όπως µμπορείτε να διαπιστώσετε: Τ S S = I 3 & de S = Άρα, ο χωροχρονικός αυτός µμετασχηµματισµμός δεν ανήκει στη γαλιλαϊκή οµμάδα Ο πίνακας αυτός έχει µμια πραγµματική ιδιοτιµμή λ= στην οποία αντιστοιχεί ο µμονοδιάστατος ιδιόχωρος που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: S Χ = Χ = = Τα σηµμεία του χώρου υφίστανται στροφή γύρω από την αναλλοίωτη αυτή ευ- θεία, αλλά και συµμµμετρία ως προς το ορθογώνιο προς την ευθεία επίπεδο: { } Π = (,, ) 3 / = Η συµμµμετρία αναστρέφει τον προσανατολισµμό στο χώρο και εδώ βρίσκεται ο λόγος που ο µμετασχηµματισµμός αυτός δεν εντάσσεται στη γαλιλαϊκή οµμάδα Η

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ αναστροφή του προσανατολισµμού γίνεται αντιληπτή συγκροτώντας µμια ορθο- κανονική βάση, θετικά προσανατολισµμένη, αποτελούµμενη από ένα µμοναδιαίο ιδιοδιάνυσµμα ξ και δυο κάθετα µμεταξύ τους µμοναδιαία διανύσµματα ζ και ζ του επιπέδου Π Στη νέα ορθοκανονική βάση προκύπτει η ακόλουθη έκφραση: S ( ζ, ζ, ξ) = cosθ sinθ cosθ sinθ sinθ cosθ = sinθ cosθ που υποδεικνύει την εκτέλεση στροφής και συµμµμετρίας στον ευκλείδειο χώρο Η γωνία της χωρικής στροφής υπολογίζεται εξισώνοντας τα ίχνη των πινάκων: rs ( ζ, ζ, ξ) = rs ( e, e 2, e 2cosθ = cosθ = / 2 θ = ± π / 3 3 ) και η φορά της αποκαλύπτεται µμε εφαρµμογή του κλασικού τύπου: sinθ = de[ ζ, S ζ, ξ] sinθ = 3 /2 θ = π / 3 Ø Παράδειγμα 4 Στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο δίνεται ο µμετασχηµματισµμός που στην κανονική βάση εκφράζεται ως εξής: = 3 2 2 a 2 b 3 2 c 3 + Στην έκφρασή του υπεισέρχονται τρεις πραγµματικές παράµμετροι και θέτουµμε ως ζητούµμενο τον αριθµμητικό προσδιορισµμό τους ώστε ο µμετασχηµματισµμός να ανήκει στη γαλιλαϊκή οµμάδα Η χρονική παράµμετρος είναι µμηδενική, άρα ο χώ- Η γωνία στροφής και η φορά της µμπορούν επίσης να προσδιοριστούν απευθείας από την αλλαγή βάσης Ενδεικτικά παραθέτουµμε µμια επιλογή της νέας ορθοκανονικής βάσης: ξ : S ξ = ξ, ζ = ( 2 / 2,, 2 / 2), ζ, ζ Π : < ζ, ζ > =, ζ ζ = ξ, ζ = ( 6 / 6, 6 / 3, 6 / 6), ξ = ( 3 / 3, 3 / 3, 3 / 3), και εκτελώντας την αλλαγή βάσης καταλήγουµμε στο συµμπέρασµμα: T P S ( e, e 2, e P = S 3 ) ( ζ, ζ, ξ) cosθ = / 2 & sinθ = 3 / 2 θ = π /3 2 / 2 2 / 2 6 /6 6 /3 6 /6 3/3 3/3 3/3 2 / 2 6 /6 3/3 6 /3 3/3 2 / 2 6 /6 3/3 = / 2 3/2 3/2 / 2

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 65 ρος των ταυτόχρονων γεγονότων δεν υφίσταται χρονική µμεταφορά και ο µμετα- σχηµματισµμός µμπορεί να διατυπωθεί στην κανονική βάση ως εξής: 2 2 a = 2 b 3 2 c + + Οι αριθµμητικές τιµμές των γαλιλαϊκών παραµμέτρων υποδεικνύουν ότι στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκτελείται αδρανειακή µμετατόπιση και χωρική µμεταφορά που ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: v o = (v o =, v o2 =, v o3 = ) και x o = (x o =, x o2 =, x o3 = ) Προκειµμένου ο πίνακας που υπεισέρχεται σε αυτό το µμετασχηµματισµμό να ορίζει χωρική στροφή πρέπει και αρκεί να πληρούνται οι συνθήκες: όπου Τ S S = I 3 & de S = 2 2 a S = 2 b 3 2 c Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει τις αριθµμητικές τιµμές των παραµμέτρων που διασφαλίζουν ότι ο πίνακας αυτός εκφράζει µμετασχηµματισµμό στροφής: a =, b= 2, c= 2 Η ευθεία γύρω από την οποία εκτελείται η στροφή ορίζεται ως εξής: S Χ = Χ = & = Αν επιλέξουµμε να την προσανατολίσουµμε µμε το ιδιοδιάνυσµμα ξ = ( 2 /2,, 2 /2) τότε, όπως είδαµμε στα προηγούµμενα παραδείγµματα, υπολογίζουµμε τη γωνία: rs ( ζ, ζ, ξ) = rs ( e, e 2, e 2cosθ += 5 / 3 cosθ = / 3 θ = ± Arccos(/ 3) 3 ) και καταλήγουµμε στον προσδιορισµμό της γωνίας της χωρικής στροφής: θ = Arccos(/ 3) Μπορούµμε επίσης να πούµμε ότι αφού τα διανύσµματα που εµμφανίζονται στις δυο πρώτες στήλες του πίνακα συγκροτούν ορθοκανονική οικογένεια, ο πίνακας εκφράζει χωρική στροφή εφόσον: 3 2 2 3 2 2 = 3 a b c a b c = 2 2

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 7 Ερωτήματα, προβληματισμοί και ασκήσεις του ου μαθήματος Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την εξοικείωση µμε τις έννοιες και τις υπολογιστικές τεχνικές στις οποίες βασίστηκε το µμάθηµμα Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή κατανόηση βασικών εννοιών και γνώση τεχνικών της Γραµμµμικής Άλγεβρας, της Άλγεβρας και της Γεωµμετρίας Στην Κλασική Μηχανική η δοµμή του χώρο- χρόνου χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά της, τη γραµμµμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δοµμή του χώρου Τι σηµμαίνουν οι µμαθηµματικοί αυτοί όροι και ποιο είναι το φυσικό νόηµμά τους; Ανταποκρίνονται πράγµματι στο σκεπτικό που ανέπτυξε ο Νεύτωνας για το χρόνο και το χώρο στις Μαθηµματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας; 2 Οι χωροχρονικές µμεταφορές των γεγονότων εκτελούνται µμε τα διανύσµματα του προσαρτηµμένου τετραδιάστατου πραγµματικού διανυσµματικού χώρου και το σύνολό τους διαθέτει δοµμή οµμάδας και διανυσµματικού χώρου Διευκρινίστε τα χαρακτηριστικά αυτών των δοµμών και τα ειδικότερα χαρακτηριστικά των µμεταφορών που διασφαλίζουν τη µμετάβαση µμεταξύ ταυτόχρονων γεγονότων 3 Ποιο είναι το φυσικό και µμαθηµματικό νόηµμα των δέκα παραµμέτρων µμε τις οποίες διακρίνονται τα στοιχεία της οµμάδας των γαλιλαϊκών µμετασχηµματισµμών; Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο αυτής της οµμάδας και πώς αντιστρέφονται τα στοιχεία της; Ποιος είναι ο λόγος της µμη αντιµμεταθετικότητάς της; 4 Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις χρονικές και τις χωρικές αποστάσεις των γεγονότων, την ορθοκανονικότητα και τον προσα- νατολισµμό στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Για ποιο λόγο στην οµμάδα των γαλιλαϊκών µμετασχηµματισµμών δεν συµμπεριλαµμβάνονται όλοι οι ορθογώνιοι µμετασχηµματισµμοί του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων; 5 Στον ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων ένας γαλιλαϊκός µμετα- σχηµματισµμός έστρεψε το γεγονός a(,,) κατά γωνία π/4 γύρω από τον τρίτο άξονα του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς και κατόπιν εκτέλεσε µμεταφορά καταλήγοντας στο γεγονός b(,,) Εξετάστε αν οι πληροφορίες αυτές αρκούν για να συµμπληρωθεί η αριθµμητική αναπαράσταση του µμετασχηµματισµμού: = + Τι θα συµμπληρώνατε στον πίνακα αν σας έλεγαν ότι ο γαλιλαϊκός µμετασχηµμα- τισµμός εκτελεί επιπλέον αδρανειακή µμετατόπιση παραµμέτρου v o = (,, ) ;

ΜΑΘΗΜΑ ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 67 6 Στον ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων υπολογίστε τη χωρική απόσταση και τη γωνιακή απόκλιση των δυο γεγονότων a(,,) και b(,,) Προβλέψτε και κατόπιν υπολογίστε τη χωρική απόσταση και τη γωνιακή από- κλιση των αντίστοιχων γεγονότων που θα προκύψουν όταν εκτελεστεί ο µμετα- σχηµματισµμός που ορίζεται στην κανονική βάση ως εξής: = + + 7 Στον ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων ζητάµμε να αποφανθείτε ποιοι από τους ακόλουθους µμετασχηµματισµμούς ανήκουν στη γαλιλαϊκή οµμάδα και να προσδιορίστε τις παραµμέτρους τους και αυτές των αντιστρόφων τους: = S + ) S = 3 2 2 2 2 2 2 2) S = 3 2 2 2 2 2 2 3) S = 7 2 6 3 6 3 2 3 2 6 4) S = 8 Στον αριθµμητικό χωροχρόνο δίνονται οι ακόλουθοι µμετασχηµματισµμοί δια- τυπωµμένοι στην κανονική βάση και ζητάµμε να εντοπίσετε αυτούς που ανήκουν στη γαλιλαϊκή οµμάδα και να προσδιορίσετε τις τιµμές των παραµμέτρων τους και τις τιµμές των παραµμέτρων των αντιστρόφων τους: = = + = = +

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΑΛΟΓΟΣ : ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Αν και δεν είναι εύκολο να δοθούν από ένα φοιτητή πειστικές εξηγήσεις ως προς τη λο- γική της κατασκευής ενός µμαθηµματικού προτύπου είναι σηµμαντικό να επιχειρήσετε να αναπτύξετε τους προβληµματισµμούς σας και ίσως τον σκεπτικισµμό σας ως προς την αποδοχή των θεµμελιωδών αρχών που δόθηκαν στο µμάθηµμα Ένας διάλογος µμεταξύ ενός φυσικού και ενός µμαθηµματικού έχει πάντα ενδιαφέρον: Ερωτήµματα ενός φυσικού προς ένα µμαθηµματικό : Λες ότι η µμαθηµματική δοµμή του κλασικού χωροχρόνου χαρακτηρίζεται από την αφι- νικότητά του, τη γραµμµμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δοµμή του χώρου Γιατί οι µμαθηµματικοί αυτοί όροι ανταποκρίνονται στο σκεπτικό του Νεύτωνα; 2 Λες ότι οι χωροχρονικές µμεταφορές συγκροτούν από αλγεβρική άποψη µμια αντιµμε- ταθετική οµμάδα και από γεωµμετρική άποψη ένα διανυσµματικό χώρο Πες µμου, γιατί οι µμαθηµματικές αυτές δοµμές πρέπει να µμου προκαλούν ενδιαφέρον; 3 Όρισες το χρόνο ως προβολή των χωροχρονικών µμεταφορών στο χρονικό άξονα και λες ότι, κάθε χρονική στιγµμή, ο πυρήνας αυτής της προβολής ορίζει το χώρο των ταυτό- χρονων γεγονότων Πες µμου, τι ακριβώς σηµμαίνουν αυτοί οι µμαθηµματικοί όροι ώστε να αντιληφθώ το φυσικό τους νόηµμα 4 Λες ότι οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί συγκροτούν οµμάδα και µμάλιστα µμη αντιµμετα- θετική Γιατί αυτό πρέπει να µμου προκαλεί ενδιαφέρον; Πού οφείλεται η µμη αντιµμεταθε- τικότητα και ποιο είναι το φυσικό της αντίκρισµμα; Γιατί σε αυτή την οµμάδα δεν συµμπε- ριλαµμβάνεις όλες τις χωρικές ισοµμετρίες; Τι σηµμαίνει ότι οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί αφήνουν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δοµμή του χωροχρόνου; Ερωτήµματα ενός µμαθηµματικού προς ένα φυσικό : Λες ότι ο χρόνος είναι γραµμµμικός, αλλά ποια είναι τα φυσικά σου επιχειρήµματα που πείθουν για τη γραµμµμικότητά του; Πώς θα όριζες εσύ αυτή τη γραµμµμικότητα; 2 Πώς αντιλαµμβάνεσαι το νόηµμα των ταυτόχρονων γεγονότων και πώς θα έδινες τον ορισµμό τους; Γιατί λες ότι φυσικό νόηµμα έχει η απόσταση µμόνο των ταυτόχρονων γεγο- νότων και όχι οποιωνδήποτε γεγονότων; 3 Λες ότι o χρόνος είναι οµμογενής και ο χώρος είναι οµμογενής και ισότροπος; Τι σηµμαί- νουν για σένα αυτά τα χαρακτηριστικά και πώς τα ορίζεις; Γιατί θέλεις να συµμπεριλη- φθούν στους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς οι αδρανειακές µμετατοπίσεις στο χώρο; 4 Τελικά, πώς αντιλαµμβάνεσαι και πώς θα όριζες εσύ το χώρο και το χρόνο;