C (3) (4) R 3 R 4 (2)

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 29/03/2016 Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχανικών Συντελεστής Βαρύτητας: 40%/ Χρόνος Εξέτασης: 3 Ώρες Γραπτή Ενδιάμεση Εξέταση στο Μάθημα: «ΜΜ604, Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Θέμα 1 ο (Βαθμοί: 4,0) Για το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος, δίνονται: v t 2 600 sin t s, =15mH, =100μF, R 1 =2,5Ω, R 2 =8Ω, R 3 =R 4 =R 5 =10Ω, R 6 =5Ω, f=50hz. Ζητείται να υπολογιστούν: (1) Η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του δικτυώματος του φορτίου (Βαθμοί: 1,5). (2) Το ρεύμα πηγής, η μιγαδική ισχύς που απορροφά το φορτίο και ο συντελεστής ισχύος φορτίου (Βαθμοί: 1,0). (3) Η χωρητικότητα πυκνωτή που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα προς το φορτίο, ώστε ο συντελεστής ισχύος του φορτίου να ανέλθει στο 95%. Ποια είναι η ενεργός τιμή του ρεύματος της πηγής μετά την τοποθέτηση του πυκνωτή αντιστάθμισης; (Βαθμοί: 1,5). Πηγή i S (ωt) (1) Δικτύωμα φορτίου R 2 (3) (4) R 3 R 4 v S (ωt) R 5 R 6 R 1 (2) Σχήμα 1.1. Λύση (1) Σύνθετη αντίσταση δικτυώματος φορτίου Οι αντιστάσεις R 3, R 4, R 5 συνιστούν αστέρα και μπορεί να μετατραπεί σε συνδεσμολογία τριγώνου. Είναι, R 3 = R 4 =R 5 =R Y και R Δ : R ab R R R R R R R a b b c c a 2 3 R R 3R31030 R R R R R 30. 12 14 42 c Το δικτύωμα του φορτίου (Σχ.1.1) απλοποιείται στη μορφή του Σχ.1.2 Σελίδα 1 από 11

Πηγή (1) Δικτύωμα φορτίου i S (ωt) R 2 (4) R 1-4 v S (ωt) R 1-2 R 4-2 R 6 R 1 (2) Σχήμα 1.2. Συνδυάζοντας τις παράλληλα συνδεδεμένες αντιστάσεις προκύπτει: ZR1R1 j2,5 j4,7124 5,334562,05 ZR1 R12 ZR1// R12 2,8779 j3,93264,873253,8 ZR1 R12 1 ZR2 R2 8 j31,83132,820975,89 j ZR2 R14 ZR2// R14 16,0818 j11,6587 19,8633 35,94 Z R R R R R2 14 42 6 426 R42 R6 4, 2857. Και απλοποιώντας περεταίρω το κύκλωμα, υπολογίζεται η ισοδύναμη αντίσταση του δικτυώματος του φορτίου, ZR2// R14, R426 ZR2// R14 R426 20,3675 j11,6587 23, 468329,79 ZR1// R12 ZR2// R14, R426 Zeq. 3, 4476 j3,1482 4,668842, 4. Z Z R1// R12 R2// R14, R426 (2) Ρεύμα πηγής, μιγαδική ισχύς και συντελεστής ισχύος φορτίου Ρεύμα πηγής: VS 6000 I S 94,9002 j86,6584 128,513642,4 A( rms). Z 4,668842,4 eq. Μιγαδική ισχύς που προσφέρεται στο φορτίο: SVS IS 6000 128,513642,4 S 56.940 j51.99577.10842,4 VA. Σελίδα 2 από 11

Συντελεστής ισχύος φορτίου: PF 0,7384. P S (3) Χωρητικότητα πυκνωτή αντιστάθμισης Η διάταξη μετά την τοποθέτηση του πυκνωτή αντιστάθμισης παρουσιάζεται στο Σχ.1.3. Πηγή Πυκνωτής αντιστάθμισης i S (ωt) (1) Δικτύωμα φορτίου i (ωt) R 1-4 R 2 (4) v S (ωt) cmp. R 1-2 R 4-2 R 6 R 1 (2) Σχήμα 1.3. Ο συντελεστής ισχύος του φορτίου είναι και συντελεστής ισχύος της πηγής. Απαιτούμενη χωρητικότητα πυκνωτή: Q P tan tan 1 2 1 2 1 cs (0,7384) 42, 4 1 cs (0,95) 18,2 tan 0,9132 1 tan 0,3287 2 Q P tan tan 33.280VAr 1 2 Q 33.280 F F 2 2 V 2 50600 4 2,9426 10 294, 26. Ενεργός τιμή ρεύματος πυκνωτή αντιστάθμισης, VS VS I Z j 6000 I 0 j55,4662 55,466290 A( rms). 90 4 314 2,942610 Ενεργός τιμή ρεύματος πηγής μετά την αντιστάθμιση, Σελίδα 3 από 11

IS, cmp. IS, with. cmp. I I Scmp,. 128,513642,4 55,466290 I 94,9002 j31,1922 99,9018,2 A( rms). Scmp,. Παρατήρηση Το ρεύμα πηγής μειώνεται κατά: 99,90 128,5136 10022,26% μετά την 128,5136 αντιστάθμιση άεργης ισχύος. Αυτό συνεπάγεται και μείωση της φαινόμενης και άεργης ισχύος που παρέχει η πηγή στο φορτίο. Θέμα 2 ο (Βαθμοί: 3,0) Τριφασικό συμμετρικό φορτίο συνδέεται σε τρίγωνο και τροφοδοτείται μέσω τριφασικής γραμμής από συμμετρικό τριφασικό σύστημα τάσεων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δίνονται: ενεργός τιμή φασικών τάσεων δικτύου 560V, συχνότητα 50Hz, σύνθετη αντίσταση φορτίου και γραμμής ανά φάση Z 3,5 j2, 2 και Zl 0,35 j0,85αντίστοιχα. Ζητούνται: (1) οι εντάσεις ρεύματος στις γραμμές IA, IB, I και στις φάσεις του φορτίου IAB, IB, IA(Βαθμοί: 1,5). (2) Η μιγαδική ισχύς που απορροφά το φορτίο, ο συντελεστής ισχύος του φορτίου και το ισοζύγιο ισχύων στο τριφασικό δίκτυο (Βαθμοί: 1,0). (3) Το διανυσματικό διάγραμμα των ρευμάτων και τάσεων στο φορτίο (Βαθμοί: 0,5). I A I B I Z l Z l I B Z I AB Z I A Z Z l Σχήμα 2.1. Λύση (1) Υπολογισμός ρευμάτων γραμμών και στις φάσεις του τριγώνου Μετατροπή του τριγώνου σε αστέρα, επίλυση του κυκλώματος και εύρεση των ρευμάτων για τη φάση Α και στη συνέχεια εύρεση των αντίστοιχων μεγεθών για τις φάσεις B και. Από τη μετατροπή του τριγώνου σε αστέρα προκύπτει το ισοδύναμο κύκλωμα του Σχ. 2.2. Σελίδα 4 από 11

α Z la Α V I A I A VAn Y Z Y Z 3 n Σχήμα 2.2. Υπολογισμός ρεύματος γραμμής Α, Z 3,5 j2, 2 1,1667 0,7333 1,378 32,15 Z j 3 3 VA 5600 I A Zl Z 0,35 j0,851,1667 j0,7333 I 367,06 j28, 235368,14324,39 A( rms). A Ρεύματα γραμμής στις φάσεις B και, IB 368,14324,39 120 368,1432124,39 A( rms) I 368,1432 4,39 240 368,1432244,39 368,1432115,61 Arms ( ). Υπολογισμός φασικής τάσης μεταξύ φάσης Α και ουδέτερου κόμβου n στο φορτίο στην ισοδύναμη συνδεσμολογία αστέρα, VAn Y IA ZY 368,14324, 39 1,37832,15 V 407,53 j302,12 507,302036,55 V( rms). AnY Πολική τάση μεταξύ των φάσεων Α και Β, VAB, VAn Y 3 30 507,302036,55 3 30 V 878,67286,55 V( rms). AB, Φασικές και πολικές τάσεις για τις άλλες φάσεις, VBn Y 507,302036,55 120 507,3020156,55 V( rms) Vn Y 507,302036,55 240 507,3020276,55 507,302083, 45 V( rms) VB, 878,67286,55 120 878,6728126,55 V( rms) V 878,6728 6,55 240 878,6728 246,55 878,6728 113,455 V( rms). A, Οι πολικές τάσεις στο φορτίο παραμένουν σταθερές είτε το φορτίο συνδέεται σε τρίγωνο είτε σε αστέρα. Επομένως, με γνωστές τις πολικές τάσεις και με εφαρμογή του νόμου του Ohm, υπολογίζονται τα φασικά ρεύματα εντός του τριγώνου του φορτίου (Σχ.2.1), Σελίδα 5 από 11

VAB 878,67286,55 IAB 191,68 j91,843212,547625,60 A( rms) Z 4,13432,15 IB 212,5476 25,60 120 212,547694, 4 A( rms) I 212,5476 25,60 240 212,5476214, 4 212,5476145,6 Arms ( ). A Εναλλακτικά, τα ρεύματα στο βρόχο του τριγώνου μπορούν να υπολογιστούν και από τα ρεύματα γραμμής, τα οποία έχουν την ίδια τιμή κατά μέτρο και όρισμα είτε το φορτίο είναι συνδεδεμένο σε τρίγωνο είτε σε ισοδύναμου αστέρα. Είναι, 1 1 IAB IA 30 368,14324,39 30 212,54754,39 30 3 3 IAB 212,547525,61 A( rms) IB 212,5475 25,61 120 212,547594,39 A( rms) I 212,5475 25,61 240 212,5475214,39 212,5475145,61 Arms ( ). A (2) Μιγαδική ισχύς και συντελεστής ισχύος φορτίου Μονοφασική και τριφασική μιγαδική ισχύς, Sph, VABIAB 878,67286,55 212,547625,60 Sph, 158.120 j99.388186.76032,15 VA S 474.350 j298.160560.28032,15 VA.,3 Συντελεστής ισχύος φορτίου, cs(32,15) 0,847. Μιγαδική ισχύς της τριφασικής πηγής, Ss,3 3VAIA3 5600 368,14324,39 S 616.660 j47.435618.480175,6 VA. s,3 Μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στην τριφασική γραμμή, 2 2 Sl,3 3IARl jxl3368,1432 0,35 j0,85 S 142.310 j345.600373.75067,62 VA. l,3 Ισοζύγιο ισχύων, 3 i1 3 i1 P 0 i P 616.660474.350142.3100. i Σελίδα 6 από 11

3 i1 3 i1 Q 0 i Q 47.435298.160345.60050. i (3) Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων και τάσεων στο φορτίο Το διανυσματικό διάγραμμα των ρευμάτων και τάσεων στο φορτίο παρουσιάζεται στο Σχ.2.3. V, A I I A I AB 25,6 I B I B I A V A V AB, -4,39-6,55 A.A. V B, Σχήμα 2.3. Θέμα 3 ο (Βαθμοί: 2,0) Οι κυματομορφές του ρεύματος και της τάσης στα άκρα στοιχείου κυκλώματος δίνονται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογιστεί το R και X του στοιχείου (X ή X ;), η φαινόμενη, πραγματική και άεργη ισχύς, καθώς και ο συντελεστής ισχύος του στοιχείου. Λύση Περίοδος και συχνότητα τάσης και ρεύματος, Σελίδα 7 από 11

T 10,990,01sec 1 1 f 100 Hz. T 0,01 Η κυματομορφή του ρεύματος προπορεύεται της κυματομορφής της τάσης και επομένως πρόκειται για στοιχείο με ωμικό-χωρητική συμπεριφορά. Μέτρο της σύνθετης αντίστασης του στοιχείου, V 495 Z Z 1,968. I 251,5 0 Γωνία μεταξύ των κυματομορφών τάσης και έντασης, 360 0,99 0,9893 360 t 25,2 T 0,01 Συντελεστής ισχύος στοιχείου. cs cs 25,2 0,905. Αντιστάσεις R και X του στοιχείου, R Z cs 1,9680,9051,7811,8 X Z 2 2 1 cs 1,968 1 0,905 0,837. Χωρητικότητα στοιχείου, 1 1 F F mf X 0,8372 100 Τάση και ρεύμα στο πεδίο του χρόνου, V V0 V, I IA V 4950 V, I 251,525, 2 A. Μιγαδική ισχύς στοιχείου, 3 1,91 10 1910 2,0. VI 495251,5 SV I 25,2 2 2 S56.322 j26.50362.24625, 2 VA S 62.246VA P 56.322W Q 26.503 VAr. Θέμα 4 ο (Βαθμοί: 2,0) (4.1) Να διατυπώσετε τη σχέση της στιγμιαίας ισχύος στο μονοφασικό εναλλασσόμενο ρεύμα και να εξηγήσετε τη σημασία των όρων που τη διαμορφώνουν. Τι συμβαίνει όταν η στιγμιαία ισχύς αποκτά αρνητική και θετική τιμή; Η στιγμιαία ισχύς αποκτά υψηλότερες θετικές ή αρνητικές τιμές και γιατί; (Βαθμοί: 0,5) Σελίδα 8 από 11

Απάντηση Στιγμιαία ισχύς στο μονοφασικό εναλλασσόμενο ρεύμα, cs cs2 pt VI VI t Ο όρος VI V I V I cs V I αντιπροσωπεύει την πραγματική, μέση ή ενεργό, ισχύ (W) που μεταφέρεται σταθερά από την πηγή στο φορτίο. Ο δεύτερος όρος VI t cs 2 V I αντιπροσωπεύει μια ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενη ισχύ με διπλάσια συχνότητα, άρα η μέση, πραγματική, ισχύς είναι μηδέν και μεταφέρει την αναγκαία άεργη ισχύ στο φορτίο. Συγκεκριμένα, κατά την αρνητική ημιπερίοδο [p(t) < 0] άεργη ισχύς ρέει από το φορτίο προς την πηγή, ενώ κατά τη θετική ημιπερίοδο [p(t)>0] πραγματική και άεργη ισχύς ρέει από την πηγή προς το φορτίο. Λόγω αυτής της λειτουργίας, οι θετικές τιμές της στιγμιαίας ισχύος είναι υψηλότερες από τις αρνητικές, αφού κατά τη θετική ημιπερίοδο μεταφέρεται πραγματική και άεργη ισχύς, ενώ κατά την αρνητική ημιπερίοδο μεταφέρεται μόνο άεργη ισχύς. (4.2) Πως συμπεριφέρεται ο πυκνωτής και το πηνίο στο συνεχές και στο εναλλασσόμενο ρεύμα στις χαμηλές και υψηλές συχνότητες; Να αιτιολογήσετε τις απόψεις σας (Βαθμοί: 0,5). Απάντηση Στιγμιαία τιμή ρεύματος πυκνωτή, dq dv t i t dt dt Στο ΣΡ, ρεύμα κυκλοφορεί στο κύκλωμα μόνο κατά τη διάρκεια φόρτισης ή εκφόρτισης του πυκνωτή dv t dt κύκλωμα μηδενίζεται 0. Μετά τη φόρτισή του στη σταθερή τάση της πηγής, το ρεύμα στο dv t dt 0και ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως ανοικτός διακόπτης. Στο ΕΡ, ο πυκνωτής εμφανίζει χωρητική αντίσταση με μέτρο 1/ω, δηλαδή για συγκεκριμένη χωρητικότητα η αντίστασή του είναι μικρή για υψηλές συχνότητες και μεγάλη για χαμηλές dv t συχνότητες. Αυτό συμβαίνει διότι στο ΕΡ ισχύει dt στη διαρκή φόρτιση και εκφόρτιση του πυκνωτή. 0, δηλαδή η κυκλοφορία οφείλεται Στο πηνίο, τάση από αυτεπαγωγή στα άκρα του υφίσταται μόνο όσο υπάρχει χρονική μεταβολή του ρεύματος μέσα από αυτό, Σελίδα 9 από 11

d t d t di t v t N. Επομένως, στο ΣΡ dt dt dt di t dt 0το ρεύμα μέσα από το πηνίο περιορίζεται μόνο από την πολύ μικρή ωμική αντίσταση του πηνίου, δηλαδή το πηνίο στο ΣΡ συνιστά βραχυκύκλωμα. Στο ΕΡ, το πηνίο παρουσιάζει επαγωγική αντίδραση με μέτρο ω, δηλαδή για πηνίο με σταθερό συντελεστή αυτεπαγωγής η επαγωγική του αντίδραση είναι ανάλογη της συχνότητας. (4.3) Πότε ένα τριφασικό φορτίο σε συνδεσμολογία αστέρα είναι συμμετρικό και πότε μη συμμετρικό; Να αναφέρεται από ένα παράδειγμα για τις δύο περιπτώσεις φορτίων παραθέτοντας και διανύσματα τάσεων και εντάσεων. Σε ποια από τις δυο περιπτώσεις φορτίων απαιτείται ουδέτερος αγωγός στην τροφοδοσία του φορτίου; Να αιτιολογήσετε την άποψή σας. (Βαθμοί: 0,5) Απάντηση Σε ένα συμμετρικό φορτίο τα ρεύματα σε κάθε φάση έχουν το ίδιο μέτρο, το ίδιο όρισμα και το ίδιο είδος φορτίου. Επιπλέον, τα τρία ρεύματα παρουσιάζουν διαφορά φάσης μεταξύ τους 120 ο. Στην αντίθετη περίπτωση, όπου τα φασικά ρεύματα διαφέρουν κατά μέτρο και όρισμα το τριφασικό φορτίο είναι ασύμμετρο. Παράδειγμα συμμετρικού φορτίου: τριφασικός κινητήρας, τριφασικός φούρνος θέρμανσης με ωμικές αντιστάσεις, τριφασικός θερμοσίφωνας κ.λπ. (Σχ.4.3.1). Παράδειγμα μη συμμετρικού φορτίου: η φόρτιση παροχής ηλεκτρικού πίνακα μετά την κατανομή των φορτίων στις τρεις φάσεις (Σχ.4.3.2). Στο συμμετρικό σύστημα δεν απαιτείται ουδέτερος αγωγός διότι είναι, I I I I 0, I I I 0, I 0. A B N A B N V N I A I V AN V BN I B Σχήμα 4.3.1. Σελίδα 10 από 11

V N I B I I A V AN V BN Σχήμα 4.3.2. Στο μη συμμετρικό σύστημα πρέπει να προβλέπεται ουδέτερος αγωγός διότι ισχύει, I I I I 0. N A B (4.4) Στη διαστασιολόγηση των πυκνωτών πρέπει να αναφέρονται η χωρητικότητα και η ηλεκτρική τάση λειτουργίας του πυκνωτή. Σε τι αποσκοπεί η παροχή αυτών των στοιχείων κατά την επιλογή του πυκνωτή; Να αιτιολογήσετε την άποψή σας. (Βαθμοί: 0,5) Απάντηση Η ενέργεια που αποθηκεύεται ως ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι ανάλογη προς το τετράγωνο της τάσης στα άκρα του, t q W t v t i t dt v t t 2 1 1 2 2 2 t0. Αυτό σημαίνει ότι, για σταθερή χωρητικότητα του πυκνωτή, εάν αυξηθεί η τάση στα άκρα του πάνω από την ονομαστική τιμή, τότε η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου αυξάνεται απότομα. Η ενέργεια αυτή προσδίδεται στα ηλεκτρόνια σθένους του διηλεκτρικού, τα οποία μπορεί τώρα να καταστούν ελεύθερα ηλεκτρόνια (αγωγιμότητας), με αποτέλεσμα το διηλεκτρικό να απολέσει τις μονωτικές του ιδιότητες και να καταστεί αγώγιμο. Το αποτέλεσμα είναι η καταστροφή του πυκνωτή, αφού υπό αυτές τις συνθήκες οι οπλισμοί του βραχυκυκλώνονται. Σελίδα 11 από 11