Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 /
Εισαγωγή Διδάσκων: Αντώνιος Συμβώνης ΣΕΜΦΕ, κτίριο Ε, 3.8 symvonis@math.ntua.gr www.math.ntua.gr/ symvonis mycourses ΗΜΜΥ/ΕΜΦΕ Βοηθός Διδασκαλίας: Χρυσάνθη Ραυτοπούλου Κτίριο Ε, 2.22 } Διαλέξεις: Τετάρτη 0:45-2:30 Παρασκευή 9:00-0:30 Σύγγραμμα: Θεωρία Γραφημάτων Αλέξανδρος Παπαϊωάννου Πανεπιστημιακές εκδόσεις ΕΜΠ Αξιολόγηση: Γραπτές Ασκήσεις: 5% Γραπτό Διαγώνισμα: 85% Αίθουσα 00 Νέο κτίριο ΣΕΜΦΕ Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 2 /
Θεματικές ενότητες. Εισαγωγή, βασική ορολογία v v 5 v 6 v 0 2. Βαθμοί κορυφών 3. Μονοπάτια, κύκλοι, αποστάσεις 4. Συνεκτικότητα 5. Δένδρα v 4 v 3 v 2 v 5 v 7 v 8 v 9 v 6. Eulerian γραφήματα 7. Hamiltonian γραφήματα v 2 v 3 v 4 v 6 8. Χρωματισμός κορυφών v 7 9. Ταιριάσματα (matchings) 0. Χρωματισμός ακμών. Επίπεδα γραφήματα Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 3 /
Γράφημα v 2 v 5 e e 2 e 4 e 7 G = (V, E) V = {v, v 2,..., v n} n 0 v e 3 v 3 e 6 v 4 e 5 v9 e8 E = {e, e 2,..., e m} m 0 e i = (u, v) i=...m u,v V u v Τάξη: Μέγεθος: n = V = V (G) e = E = E(G) Γειτονιά κορυφής: N(u) N(u) = {v (u, v) E} N(W ) = {v (u, v) E, u W, v V \W } W V Βαθμός κορυφής: Ελάχιστος βαθμός: Μέγιστος βαθμός: d G (u) = N(u) δ(g) = min d G (u) u V (G) = max u V d G(u) v 7 v 6 V = {v, v 2,..., v 7 } E = {e, e 2,..., e 9 } Τάξη: 7 Μέγεθος: 9 N(v ) = {v 2, v 3, v 7 } N(v 5 ) = {v 4, v 6 } N({v 2, v 4 }) = {v, v 3, v 5, v 6 } d(v ) = 3, d(v 3 ) = 4 δ(g) = 2 (G) = 4 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 4 /
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ακμών ενός γραφήματος με n κορυφές; n = 5 Πόσα γραφήματα υπάρχουν με n κορυφές; Έστω γράφημα G = (V, E). Τότε, ισχύει: d(v) = 2 E () v V Κάθε γράφημα έχει άρτιο αριθμό από κορυφές περιττού βαθμού. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 5 /
Περίπατοι-περιηγήσεις v 2 v 3 v 4 v v 5 Ακολουθία κορυφών u u 2... u k όπου (u i, u i+ ) E, i =,..., k v v 2 v 8 v 3 v 2 v 7 Μπορεί να επαναλαμβάνονται κορυφές. Περίπατος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές. v 8 v 7 v 6 Περίπατος με ταυτόσημη πρώτη και τελευταία κορυφή. u u 2... u k = u v v 2 v 8 v 3 v 2 v Περιήγηση χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές (με εξαίρεση την v ). Εναλλακτικά: Περίπατος Περιήγηση Μονοπάτι Κύκλος Μονοπάτι Κύκλος Απλό Μονοπάτι Απλός Κύκλος Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 6 /
Μήκος περιπάτου περιήγησης μονοπατιού κύκλου u u 2... u k = k = ο αριθμός των ακμών που περιλαμβάνει. Τα γραφήματα που περιέχουν κύκλο μήκους V. Κύκλος/μονοπάτι Hamilton A A Τα γραφήματα που περιέχουν περιήγηση μεγέθους E η οποία περιλαμβάνει όλες τις ακμές. C D C D Κύκλος/μονοπάτι Euler B B Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 7 /
Υπάρχει μονοπάτι ανάμεσα σε κάθε ζεύγος κορυφών του. Μεγιστοτικό συνεκτικό υπογράφημα. Συνεκτικό γράφημα χωρίς κύκλους. Κάθε δένδρο έχει τουλάχιστον μια κορυφή βαθμού. Έστω δένδρο T (V, E). Τοτε, ισχύει: E = V Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 8 /
Ειδικά γραφήματα K 5 V (K n) = n E(K n) = n(n ) 2 d Kn (u) = n, u V (K n) G = (A B, E) : e = (u, v) E : (u A AND v A) OR (u B AND v B) a b c 2 3 4 5 6 a b c d d 2 3 4 5 6 K 4,3 V (K m,n) = m + n E(K m,n) = mn Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 9 /
Να δειχθεί ότι ένα διμερές γράφημα έχει μόνο άρτιου μήκους κύκλους/περιηγήσεις. Να δειχθεί (με χρήση γραφημάτων) ότι ( m + n ) ( m ) ( n ) = + + mn 2 2 2 Γραφήματα με ίδιο βαθμό για όλες τις κορυφές τους. k-κανονικό: d G (v) = k, v V (G) k V (G) G k-κανονικό E(G) = 2 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 0 /
Γενικεύσεις του ορισμού του γραφήματος παράλληλες \ πολλαπλές ακμές βρόγχος Χωρίς βρόγχους. Χωρίς πολλαπλές ακμές. 2 3 4 Κάθε ακμή είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος κορυφών. 8 7 6 5 Έσω-βαθμός: d (v) = {e : e = (u, v) E} Έξω-βαθμός: d + (v) = {e : e = (v, u) E} d (v) = d + (v) = E v V v V Πόσα κατευθυνόμενα γραφήματα n κορυφών υπάρχουν; Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 /
Αναπαράσταση γραφημάτων G Πίνακας γειτνίασης 2 2 3 4 5 3 2 4 3 4 5 5 2 3 4 5 G Λίστα γειτνίασης 2 3 5 3 2 3 3 G 2 2 5 3 G 3 2 5 3 4 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 2 2 2 2 3 4 5 2 5 2 3 5 G 2 2 2 3 3 2 4 5 4 3 4 5 3 2 3 4 5 G 3 3 4 3 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 2 /
Δύο γραφήματα G και H είναι αν υπάρχει και επί απεικόνιση σ : V (G) V (H) τέτοια ώστε u, v V (G), u v να ισχύει (u, v) E(G) (σ(u), σ(v)) E(H). G H: Το G είναι ισομορφικό με το H. Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας. Σχέση ισοδυναμίας: Αντανακλαστική Συμμετρική Μεταβατική G G G H H G G H H F G F Ένα γράφημα είναι ισόμορφο με άπειρο πλήθος γραφημάτων (που ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας). Γραφήματα αντιπρόσωποι (χωρίς ονόματα στις κορυφές). K n: Πλήρες γράφημα n κορυφών. K m,n: Πλήρες διμερές γράφημα K m,n = (A B, E) με A = m και B = n. P n: C n: Μονοπάτι με n κορυφές. Κύκλος με n κορυφές. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 3 /
Πράξεις και τοπικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων G = {V (G), {(u, v) : u, v V (G) (u, v) / E(G)}} G = G [G \ v] G \ v = {V (G) \ v, E(G) \ {(u, v) : (u, v) E(G)}} G \ S, όπου S V (G) [G \ e] G \ e = (u, v) = {V (G), E(G) \ (u, v)} G \ A, όπου A E(G) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 4 /
G/e = (u, v) G/e = (u, v) = {V (G) \ {u, v} {v N }, E(G) \ (u, v) {(v N, x) : x N(u) N(v)}} G G/e u e v v N v d G (v) = 2 [G/v] G/v = {V (G) \ {v}, E(G) \ {(u, v), (v, x)} {(u, x)} : (u, v), (v, x) E(G)} G G/v u v x u x Έστω N G (v) = {u, x}. Τότε G/v = G/(v, u) = G/(v, x) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 5 /
[G e] e = (u, v) G (u, v) = {V (G) {v N }, E(G) \ {(u, v)} {(u, v N ), (v, v N )}} G u e G (u, v) u v N v v Το γράφημα H είναι υποδιαίρεση του γραφήματος G αν το H προκύπτει από το G με διαδοχικές υποδιαιρέσεις ακμής. G, H είναι εάν V (G) V (H) = G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) G + H αν G, H διακεκριμένα. G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 6 /
[G H] G H = {V (G) V (H), E(G) E(H) {(u, v) : u V (G), v V (H)}} G H G H [G H] G H : V (G H) = {(u, v) : u V (G), v V (H)} E(G H) = {{((u, x), (v, x)) : (u, v) E(G), x V (H)} {((u, x), (u, y)) : u V (G), (x, y) E(H)}} G H G H Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 7 /
Η ένωση, η σύνδεση και το γινόμενο γραφημάτων είναι πράξεις προσεταιριστικές και αντιμεταθετικές (a b) c = a (b c) a b = b a kg def = G} G {{ G} k φορές G (k) def = G} G{{ G} k φορές G [k] def = G G G }{{} k φορές Για τις πράξεις της ένωσης και της σύνδεσης υποθέτουμε ότι συμμετέχουν k διακεκριμένα ισομορφικά με το G γραφήματα. [H G] H G εάν V (H) V (G) και E(H) E(G) Το G είναι υπεργράφημα του H. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 8 /
Το γράφημα H είναι του G εάν V (H) V (G) και u, v V (H), (u, v) E(H) (u, v) E(G). Κάθε επαγόμενο υπογράφημα προκύπτει από διαγραφές κορυφών. G H Το γράφημα H είναι του G εάν V (H) = V (G) και E(H) E(G). Κάθε παραγόμενο υπογράφημα προκύπτει από διαγραφές ακμών. G H Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 9 /
Πλέγμα R p,q V (R p,q) = {{u, u 2..., u p} {v, v 2,..., v q}} E(R p,q) = {{ ((u i, v j ), (u i, v j )) } : i i + j j = } V (R p,q) = pq E(R p,q) = p(q ) + q(p ) R 3,4 R p,q = P p P q Torus: T p,q = C p C q Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 20 /
Υπερκύβος Q n (Hyper-cube) Q 0 0 Q 0 Q n = P 2 Q n V (Q n) = 2 n E(Q n) = n2 n διάμετρος(q n) = n Q 2 00 0 0 Q 3 00 0 000 00 0 00 0 Είναι ο υπερ-κύβος Q n Hamiltonian; Είναι ο υπερ-κύβος Q n Eulerian; Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 2 /
Σε ένα δένδρο προσθέτουμε k ακμές έτσι ώστε να προκύψει ένα απλό γράφημα. Δείξτε ότι το γράφημα περιέχει k κύκλους. Έστω G ένα απλό συνεκτικό γράφημα με n κορυφές και m 2n 2 ακμές. Δείξτε ότι το G περιέχει δύο κύκλους ίσου μήκους. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Φεβρουάριος 207 22 /