Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει δύο ανεξάρτητων παραγόντων (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους από έναν παράγοντες) Για τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων όρων ανεξάρτητων δειγμάτων, τα οποία διαφοροποιούνται βάσει περισσοτέρων του ενός παραγόντων, πραγματοποιείται ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα. Όταν η διαφοροποίηση του συνολικού δείγματος πραγματοποιείται βάσει δύο παραγόντων, πρόκειται για ανάλυση διακύμανσης ως προς δύο παράγοντες (Two-Way ANOVA). Παράδειγμα: Καταγράφεται η επίδοση μιας ομάδας αθλητών στο κατακόρυφο άλμα (countermovement jump). Η μεταβλητή «επίδοση στο κατακόρυφο άλμα» (jump1) αποτελεί την εξαρτημένη μεταβλητή. Το συνολικό δείγμα ωστόσο διαχωρίζεται σε υποομάδες βάσει δύο παραγόντων (ανεξάρτητων μεταβλητών): Ο πρώτος παράγοντας αφορά το «φύλο» του κάθε αθλητή και εκφράζεται μέσω της ανεξάρτητης μεταβλητής sex. Ανάλογα με το «φύλο» τους οι αθλητές διακρίνονται σε δύο υποομάδες: 1= άντρες (male), 2= γυναίκες (female). Ο δεύτερος παράγοντας αφορά το «επίπεδο της τεχνικής» τους, που εκφράζεται μέσω της ανεξάρτητης μεταβλητής technique. Ανάλογα με το «επίπεδο της τεχνικής» τους τα άτομα του αρχικού συνολικού δείγματος διακρίνονται σε τρεις υποομάδες: 1= υψηλό επίπεδο τεχνικής (high), 2= μέτριο επίπεδο τεχνικής (medium) και 3= χαμηλό επίπεδο τεχνικής (low). Για να ελεγχθεί αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές στην επίδοση των αθλητών στο κατακόρυφο άλμα (εξαρτημένη μεταβλητή), ανάλογα με το «φύλο» (πρώτος παράγοντας ανεξάρτητη μεταβλητή) και το επίπεδο της τεχνικής τους (δεύτερος παράγοντας - ανεξάρτητη μεταβλητή), θα πρέπει να εφαρμοστεί ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς δύο παράγοντες. Τα δείγματα είναι ανεξάρτητα γιατί σε κάθε υποκατηγορία (άντρες ή γυναίκες με υψηλό επίπεδο τεχνικής, με μέτριο επίπεδο τεχνικής, με χαμηλό επίπεδο τεχνικής) ανήκουν διαφορετικά υποκείμενα (αθλητές). 1
Διεξαγωγή της ανάλυσης διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους από έναν παράγοντες (ANOVA) Από το μενού «Analyze» επιλέγουμε «General Linear Model» και στη συνέχεια, «Univariate» (Εικ. 1). Εικ. 1. 2
Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω στην επιλογή «Univariate» εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Univariate» το οποίο στην αριστερή του πλευρά περιέχει ένα πεδίο με όλες τις μεταβλητές του αρχείου και στην δεξιά του πλευρά πέντε πεδία διαφορετικού μεγέθους (Εικ. 2). Εικ. 2 Στο αριστερό πεδίο του πλαισίου διαλόγου «Univariate», «μαρκάρουμε» την εξαρτημένη μεταβλητή που επιθυμούμε (κάνοντας με το ποντίκι αριστερό κλικ πάνω σ αυτήν). Η μεταβλητή «μαρκάρεται» και γίνεται σκούρο χρώμα. Π.χ. η μεταβλητή jump1 (countermovement jump). Στη συνέχεια κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω στο επάνω βελάκι ( 4 ), που αντιστοιχεί πεδίο «Dependent Variable:», εισάγουμε την εξαρτημένη μεταβλητή στο πεδίο «Dependent Variable:» (Εικ. 3). Εικ. 3. 3
Στο αριστερό πεδίο του πλαισίου διαλόγου «Univariate», «μαρκάρουμε» την πρώτη ανεξάρτητη μεταβλητή (Factor- παράγοντας) που επιθυμούμε (κάνοντας με το ποντίκι αριστερό κλικ πάνω σ αυτήν) και η οποία διαχωρίζει το συνολικό δείγμα σε δύο ή περισσότερες κατηγορίες (Εικ. 4). Η μεταβλητή «μαρκάρεται» και γίνεται σκούρο χρώμα. Π.χ. η μεταβλητή sex (sex), η οποία διαχωρίζει το συνολικό δείγμα σε δύο κατηγορίες: στους «άντρες» (1= male) και στις «γυναίκες» (2= females). Εικ. 4. Κάνοντας αριστερό «κλικ» με το ποντίκι πάνω στο δεύτερο βελάκι ( 4 ), που αντιστοιχεί πεδίο «Fixed Factor(s):», εισάγουμε την πρώτη ανεξάρτητη μεταβλητή στο πεδίο «Fixed Factor(s):» (Εικ. 5). Εικ. 5. 4
Στο αριστερό πεδίο του πλαισίου διαλόγου «Univariate», «μαρκάρουμε» την δεύτερη ανεξάρτητη μεταβλητή (Factor- παράγοντας) που επιθυμούμε (κάνοντας με το ποντίκι αριστερό κλικ πάνω σ αυτήν) και η οποία διαχωρίζει το συνολικό δείγμα σε δύο ή περισσότερες κατηγορίες. Η μεταβλητή «μαρκάρεται» και γίνεται σκούρο χρώμα. Π.χ. η μεταβλητή technique, η οποία διαχωρίζει το συνολικό δείγμα σε τρεις κατηγορίες: σε αθλητές με υψηλό επίπεδο τεχνικής (= 1), σε αθλητές με μέτριο επίπεδο τεχνικής (= 2) και σε αθλητές με χαμηλό επίπεδο τεχνικής (= 3) (Εικ. 6). Εικ. 6. Κάνοντας αριστερό «κλικ» με το ποντίκι πάνω στο δεύτερο βελάκι ( 4 ), που αντιστοιχεί πεδίο «Fixed Factor(s):», εισάγουμε και την δεύτερη ανεξάρτητη μεταβλητή στο πεδίο «Fixed Factor(s):» (Εικ. 7). Εικ. 7. 5
Η ίδια διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί και για την εισαγωγή περισσότερων από δύο ανεξάρτητων μεταβλητών (παραγόντων), ανάλογα με τον πειραματικό σχεδιασμό. Στη συνέχεια, κάνοντας αριστερό «κλικ» με το ποντίκι πάνω στον διακόπτη «Options», του πλαισίου διαλόγου «Univariate», εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Univariate: Options» (Εικ. 8), μέσω του οποίου μπορούμε να επιλέξουμε, κάνοντας αριστερό κλικ πάνω στην αντίστοιχη επιλογή να εμφανίζονται «περιγραφικά στατιστικά στοιχεία» ( Descriptive ), όπως μέσοι όροι, τυπικές αποκλίσεις κλπ. να πραγματοποιείται έλεγχος ομοιογένειας των διακυμάνσεων ( Homogeneity tests ) Εικ. 8. 6
Για να εντοπιστεί μεταξύ ποιών μέσων όρων υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές, στις περιπτώσεις των παραγόντων όπου έχουμε περισσότερες από δύο υποομάδες, θα πρέπει να πραγματοποιηθεί κάποιο τεστ πολλαπλών συγκρίσεων. Για να επιλεγεί κάποιο τεστ πολλαπλών συγκρίσεων ενεργοποιούμε το διακόπτη «Post Hoc», μέσω του πλαισίου διαλόγου «Univariate» (Εικ. 7), κάνοντας αριστερό κλικ πάνω σ αυτόν, οπότε εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Univariate: Post Hoc Multiple Comparisons for Observed Means». Εφόσον έχουμε μόνο έναν παράγοντα με περισσότερες από δύο βαθμίδες, τον παράγοντα technique, εισάγουμε στο αριστερό πεδίο (Post Hoc Tests for:) μόνο τη συγκεκριμένη μεταβλητή και στη συνέχεια μαρκάρουμε κάνοντας κλικ μέσα στο αντίστοιχο τετραγωνάκι το τεστ πολλαπλών συγκρίσεων που θέλουμε να πραγματοποιήσουμε (Εικ. 9). Εικ. 9 Το πλέον διαδεδομένο τεστ πολλαπλών συγκρίσεων είναι το τεστ Scheffe, το οποίο ωστόσο μπορεί να εφαρμοστεί μόνο στις περιπτώσεις όπου υπάρχει ισότητα (ομοιογένεια) διακυμάνσεων μεταξύ των επιμέρους δειγμάτων (Equal Variances Assumed) και η οποία ελέγχεται μέσω του ελέγχου ομοιογένειας των διακυμάνσεων ( Homogeneity tests ), από την επιλογή «Options». 7
Ενεργοποιώντας τον διακόπτη Plots, από το πλαίσιο διαλόγου Univariate, εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Univariate: Profile Plots (Εικ. 10). Για να προκύψει ένα γράφημα των μέσων όρων των βαθμίδων του παράγοντα technique για κάθε βαθμίδα του παράγοντα sex, επιλέγουμε από το αριστερό πεδίο Factors την ανεξάρτητη μεταβλητή sex και την εισάγουμε στο πεδίο «Horizontal Axis, κάνοντας αριστερό κλικ στο αντίστοιχο βελάκι ( 4 ). Στη συνέχεια επιλέγουμε από το αριστερό πεδίο Factors την δεύτερη ανεξάρτητη μεταβλητή technique και την εισάγουμε στο πεδίο «Separate Lines, κάνοντας αριστερό κλικ στο αντίστοιχο βελάκι ( 4 ). Για να δημιουργηθεί το συγκεκριμένο γράφημα ενεργοποιείται το πλήκτρο Add και στο κάτω πεδίο εισάγεται ο «συνδυασμός» των δύο μεταβλητών sex * techniq. Εικ. 10 Αφού γίνουν όλες οι απαραίτητες επιλογές που αναφέρθηκαν παραπάνω, πατώντας των διακόπτη OK στο πλαίσιο διαλόγου «Univariate», πραγματοποιείται η ανάλυση. 8
Αρχικά εμφανίζεται o πίνακας Between-Subjects Factors, όπου παρουσιάζεται ο αριθμός των ατόμων για κάθε βαθμίδα του κάθε παράγοντα. Π.χ. στην πρώτη βαθμίδα (1) του παράγοντα sex, δηλαδή στα αγόρια (male) υπάρχουν 12 άτομα, ενώ στην δεύτερη βαθμίδα (2) του παράγοντα technique, δηλαδή στην ομάδα με μέτριο (medium) επίπεδο τεχνικής υπάρχουν 6 άτομα. Μέσω αυτού του πίνακα μπορεί να ελεγχθεί αν σε κάποια βαθμίδα κάποιου παράγοντα δεν υπάρχουν άτομα. Between-Subjects Factors Value Label N sex 1 male 12 2 female 14 technique 1 high 8 2 medium 6 3 low 12 Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο πίνακας Descriptive Statistics, o οποίος περιλαμβάνει τα στατιστικά των επιμέρους δειγμάτων: Descriptive Statistics Dependent Variable: counter-movement jump sex technique Mean Std. Deviation N male high 43.0000 2.0000 5 medium 39.0000 2.0000 3 low 34.5000 1.2910 4 Total 39.1667 4.1524 12 female high 37.0000 2.6458 3 medium 33.0000 5.0000 3 low 31.5000 3.2071 8 Total 33.0000 3.9419 14 Total high 40.7500 3.7321 8 medium 36.0000 4.7329 6 low 32.5000 3.0302 12 Total 35.8462 5.0493 26 N = το μέγεθος του κάθε δείγματος, τόσο για τους συνδυασμούς των βαθμίδων των διαφόρων παραγόντων, όσο και συνολικά για τον κάθε παράγοντα. Mean = ο μέσος όρος της εξαρτημένης μεταβλητής (jump1) τόσο για τους συνδυασμούς των βαθμίδων των διαφόρων παραγόντων, όσο και συνολικά για τον κάθε παράγοντα. Std. Deviation = η τυπική απόκλιση της εξαρτημένης μεταβλητής (jump1) τόσο για τους συνδυασμούς των βαθμίδων των διαφόρων παραγόντων, όσο και συνολικά για τον κάθε παράγοντα. 9
Στη συνέχεια εμφανίζεται ο πίνακας Levene's Test of Equality of Error Variances, μέσω του οποίου ελέγχεται η ομοιογένεια (ισότητα) των διακυμάνσεων των μέσων όρων των επιμέρους δειγμάτων, μέσω του στατιστικού του Levene. Levene's Test of Equality of Error Variances Dependent Variable: counter-movement jump F df1 df2 Sig..958 5 20.466 Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups. a Design: Intercept+SEX+SPORT+SEX * SPORT Αν το επίπεδο σημαντικότητας (Sig) της F τιμής του στατιστικού του Levene είναι μεγαλύτερο από 0.05 (Sig > 0.05) γίνεται αποδεκτή η μηδενική υπόθεση σύμφωνα με την οποία: «Ηο: οι διακυμάνσεις των επιμέρους δειγμάτων είναι ίσες μεταξύ τους». Στην αντίθετη περίπτωση, όπου το επίπεδο σημαντικότητας (Sig) της F τιμής είναι μικρότερο από 0.05 (Sig < 0.05) απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση και γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική υπόθεση σύμφωνα με την οποία: «Η Α : οι διακυμάνσεις των επιμέρους δειγμάτων δεν είναι ίσες μεταξύ τους». Απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρμογή της «ανάλυσης διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους από έναν παράγοντες» (ANOVA), είναι η ισότητα των διακυμάνσεων. Στην αντίθετη περίπτωση θα πρέπει να εφαρμοστεί κάποιο μη παραμετρικό τεστ. 10
Η κατεξοχήν ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους από έναν παράγοντες (ANOVA) παρουσιάζεται στον αμέσως επόμενο πίνακα Tests of Between-Subjects Effects. Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: countermovement jump Source Type III Sum df Mean F Sig. of Squares Square Corrected Model 472.385 5 94.477 11.452.000 Intercept 30173.968 1 30173.968 3657.451.000 Sex 142.857 1 142.857 17.316.000 Technique 215.834 2 107.917 13.081.000 sex * technique 13.407 2 6.703.813.458 Error 165.000 20 8.250 Total 34046.000 26 Corrected Total 637.385 25 a R Squared =.741 (Adjusted R Squared =.676) Ο πίνακας της ανάλυσης διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους από έναν παράγοντες περιλαμβάνει: Source = την «πηγή» της διακύμανσης, όπου οφείλονται δηλαδή οι διαφορές μεταξύ των μέσων όρων: στην επίδραση του πρώτου παράγοντα (sex), στην επίδραση του δεύτερου παράγοντα (technique) στην αλληλεπίδραση μεταξύ του πρώτου παράγοντα και του δεύτερου παράγοντα (sex * technique) ή στην επίδραση τυχαίων παραγόντων (error), Sum of Squares = αθροίσματα τετραγώνων των διαφόρων πηγών διακύμανσης df = οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας Mean Square = μέσα τετράγωνα των αντίστοιχων πηγών διακύμανσης, τα οποία προκύπτουν από την διαίρεση των αντίστοιχων αθροισμάτων τετραγώνων με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. F = οι F τιμές, οι οποίες είναι το πηλίκο του μέσου τετραγώνου της συγκεκριμένης πηγής διακύμανσης προς το μέσο τετράγωνο των τυχαίων παραγόντων (Error) (107.917/ 8.250= 13.081) Sig = το επίπεδο σημαντικότητας των F τιμών. 11
Οι μηδενικές υποθέσεις που ελέγχονται αφορούν την αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των παραγόντων και την κύρια επίδραση των επιμέρους παραγόντων Η μηδενική υπόθεση κατά τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο παραγόντων διατυπώνεται ως εξής: «Δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων, οπότε η επίδραση του ενός παράγοντα θα είναι σταθερή (ίδια) για όλες τις βαθμίδες του άλλου παράγοντα». Στο συγκεκριμένο παράδειγμα εφόσον το επίπεδο σημαντικότητας (Sig) της F- τιμής της αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο παραγόντων (sex * technique) (F =.813) είναι μεγαλύτερο από 0.05 (Sig =.458 > 0.05 ), προκύπτει το συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο αυτών παραγόντων και κατά συνέπεια η επίδραση του παράγοντα «φύλο» (sex) θα είναι σταθερή για όλες τις βαθμίδες του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής» (technique). Εφόσον δεν διαπιστώνεται στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων, ελέγχεται η κύρια επίδραση του κάθε παράγοντα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα διαπιστώνεται στατιστικά σημαντική κύρια επίδραση τόσο του παράγοντα «φύλο» (sex), όσο και του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής» (technique), γιατί το επίπεδο σημαντικότητας της αντίστοιχης F-τιμής είναι μικρότερο από 0.05. Η ύπαρξη στατιστικά σημαντικής κύριας επίδρασης του παράγοντα «φύλο» (sex), εφόσον δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων, δηλώνει ότι σε όλες τις βαθμίδες του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής» υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ ανδρών και γυναικών. Σε όλες τις βαθμίδες του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής» οι άντρες παρουσιάζουν υψηλότερες επιδόσεις απ ότι οι γυναίκες. Η ύπαρξη στατιστικά σημαντικής κύριας επίδρασης του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής», εφόσον δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων, δηλώνει ότι τόσο στους άντρες, όσο και στις γυναίκες υπάρχουν διαφορές μεταξύ των επιδόσεων των αθλητών με υψηλό, μέτριο ή χαμηλό επίπεδο τεχνικής. Μέχρι το σημείο αυτό έχει απλά διαπιστωθεί η ύπαρξη στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων όρων των επιμέρους δειγμάτων. Στην περίπτωση του παράγοντα «φύλο», όπου υπάρχουν μόνο δύο βαθμίδες, έχει διαπιστωθεί η ύπαρξη στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ ανδρών και γυναικών. Στην περίπτωση ωστόσο του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής», όπου υπάρχουν περισσότερες από δύο βαθμίδες, έχει απλά διαπιστωθεί η ύπαρξη στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων όρων των επιμέρους δειγμάτων, ενώ ακόμη δεν έχουν εντοπιστεί αυτές οι διαφορές, δηλαδή ποιοι ακριβώς μέσοι όροι διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. Ο εντοπισμός των στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων όρων των επιμέρους δειγμάτων επιτυγχάνεται μέσω των τεστ πολλαπλών συγκρίσεων. Ένα τέτοιο 12
τεστ πολλαπλών συγκρίσεων είναι το τεστ Scheffe το οποίο παρουσιάζεται στο παρακάτω πίνακα Multiple Comparisons: Multiple Comparisons Dependent Variable: counter-movement jump Scheffe (I) (J) Mean Std. Error Sig. 95% Confidence technique technique Difference Interval (I-J) Lower Bound Upper Bound high medium 4.7500 * 1.551.021.6501 8.8499 low 8.2500 * 1.311.000 4.7849 11.7151 medium high -4.7500 * 1.551.021-8.8499 -.6501 low 3.5000 1.436.074 -.2958 7.2958 low high -8.2500 * 1.311.000-11.7151-4.7849 medium -3.5000 1.436.074-7.2958.2958 * The mean difference is significant at the.05 level. Στον πίνακα του τεστ πολλαπλών συγκρίσεων παρουσιάζονται οι διαφορές μεταξύ των μέσων όρων των επιμέρους δειγμάτων (Mean Difference) το επίπεδο σημαντικότητας (Sig) βάσει του οποίου ελέγχεται κατά πόσο οι διαφορές μεταξύ των μέσων όρων των επιμέρους δειγμάτων (ανά δύο) είναι στατιστικά σημαντικές, δηλαδή κατά πόσο διαφέρουν μεταξύ τους οι μέσοι όροι των πληθυσμών από τους οποίους προέρχονται τα επιμέρους δείγματα το 95% διάστημα εμπιστοσύνης της διαφοράς των μέσων όρων των πληθυσμών. Αν στο διάστημα εμπιστοσύνης της διαφοράς των μέσων όρων των πληθυσμών εμπεριέχεται η τιμή μηδέν (0), τότε δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο επιμέρους δειγμάτων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, ανεξάρτητα από το αν είναι άντρες ή γυναίκες, οι αθλητές με υψηλό επίπεδο τεχνικής έχουν στατιστικά σημαντικά καλύτερη επίδοση στο κατακόρυφο άλμα, σε σχέση με τους αθλητές που έχουν μέτρια και χαμηλή τεχνική, οι οποίοι δεν διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. 13
Τρόπος συγγραφής των αποτελεσμάτων: Από την ανάλυση διακύμανσης ως προς δύο ανεξάρτητους παράγοντες, τον παράγοντα «φύλο» και τον παράγοντα «επίπεδο τεχνικής», στην επίδοση στο κατακόρυφο άλμα δεν διαπιστώθηκε στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων (F 2,20 = 0.813; p= 0.458 >0.05). Διαπιστώθηκε όμως στατιστικά σημαντική κύρια επίδραση τόσο του παράγοντα «φύλο» (F 1,20 = 17.316; p<0.05), όσο και του παράγοντα «επίπεδο τεχνικής» (F 2,20 = 13.081; p< 0.05). Από το τεστ πολλαπλών συγκρίσεων Scheffe διαπιστώθηκε ωστόσο ότι, ανεξάρτητα από το αν είναι άντρες ή γυναίκες, μόνο οι αθλητές με υψηλό επίπεδο τεχνικής έχουν στατιστικά σημαντικά καλύτερη επίδοση στο κατακόρυφο άλμα, σε σχέση με τους αθλητές που έχουν μέτρια και χαμηλή τεχνική. Αντίθετα οι αθλητές με μέτριο και χαμηλό επίπεδο τεχνικής δεν διέφεραν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. 14
Στα όσα αναφέρθηκαν μέχρι τώρα δεν υπήρχε στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου διαπιστώνεται στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων. Στο ίδιο παράδειγμα, με διαφορετικές όμως επιδόσεις των αθλητών, διαπιστώνεται για παράδειγμα στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων (sex * technique): F = 4.117; p= 0.032 < 0.05. Dependent Variable: countermovement jump Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Corrected Model 318,240(a) 5 63,648 10,194,000 Intercept 30975,089 1 30975,089 4960,975,000 sex 93,343 1 93,343 14,950,001 technique 138,685 2 69,343 11,106,001 sex * technique 51,416 2 25,708 4,117,032 Error 124,875 20 6,244 Total 35521,000 26 Corrected Total 443,115 25 a R Squared =,718 (Adjusted R Squared =,648) Η ύπαρξη στατιστικά σημαντικής αλληλεπίδρασης σημαίνει ότι η επίδραση του ενός παράγοντα δεν είναι ίδια σε όλες τις βαθμίδες του άλλου παράγοντα. Εφόσον λοιπόν υπάρχει στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων, δεν μπορούμε να λάβουμε υπόψη τις κύριες επιδράσεις, αλλά θα πρέπει να αναλυθεί η αλληλεπίδραση, που σημαίνει ότι θα πρέπει να δούμε πια είναι η επίδραση του ενός παράγοντα, π.χ. του παράγοντα τεχνική (technique) σε κάθε βαθμίδα του άλλου παράγοντα, π.χ. του παράγοντα φύλο (sex). Για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο, θα πρέπει από το πλαίσιο διαλόγου «Univariate» και αφού έχουν εισαχθεί στα αντίστοιχα πεδία οι μεταβλητές που μας ενδιαφέρουν (Εικ. 7) να επιλεγεί ο διακόπτης «Options». Τότε εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Univariate: Options» (Εικ. 11). Στο αριστερό πεδίο με τίτλο «Factor(s) and Factor Interactions:» εμφανίζονται οι δύο ανεξάρτητες μεταβλητές (παράγοντες) και η αλληλεπίδραση μεταξύ τους. 15
Εικ. 11 Για να αναλυθεί η μεταξύ τους αλληλεπίδραση θα πρέπει να μαρκάρουμε τα ονόματα όλων των παραγόντων και της αλληλεπίδρασής τους, που βρίσκονται στο αριστερό πεδίο και πατώντας το βελάκι να εισαχθούν στο δεξί πεδίο με τίτλο «Display Means for:» (Εικ. 12). Εικ. 12 16
Παρατηρούμε ότι τώρα πλέον έχει ενεργοποιηθεί το πεδίο «Compare main effects». Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι μέσα στο τετραγωνάκι που βρίσκεται δίπλα στην επιλογή «Compare main effects» ενεργοποιείται η επιλογή «Confidence interval adjustment:» μέσω της οποίας μπορεί να επιλεγεί ένα τεστ πολλαπλών συγκρίσεων. Η δυνατότητα που παρέχεται αφορά το τεστ LSD, το τεστ Bonferroni και το τεστ Sidak. Έστω ότι επιλέγουμε το τεστ Bonferroni (Εικ. 13). Για να αποδεχθούμε τη συγκεκριμένη καταχώριση πατούμε το διακόπτη «Continue». Εικ. 13 17
Στη συνέχεια στο πλαίσιο διαλόγου «Univariate», πατούμε το διακόπτη «Paste» (Εικ. 14) και εμφανίζεται στην οθόνη το πλαίσιο διαλόγου «Syntax» (Εικ. 15), όπου είναι γραμμένες οι εντολές για την διεξαγωγή της ανάλυσης. Εικ. 14 Εικ. 15 18
Στο σημείο αυτό για να δούμε πια είναι η επίδραση του ενός παράγοντα, π.χ. του παράγοντα τεχνική (technique) σε κάθε βαθμίδα του άλλου παράγοντα, π.χ. του παράγοντα φύλο (sex), θα πρέπει να πληκτολογήσουμε στη συνέχεια της τελευταίας /EMMEANS = TABLES (sex * technique) την εντολή COMPARE (technique) ADJ (BONFERRONI) (Εικ. 16). Για να εκτελεστεί η ανάλυση πατούμε τον διακόπτη με το βελάκι κάτω από το μενού Τransform. Εικ. 16 19
Στο φύλλο των αποτελεσμάτων εμφανίζεται ο πίνακας Descriptive Statistics που περιλαμβάνει περιγραφικά στατιστικά για κάθε υποομάδα. Descriptive Statistics Dependent Variable: countermovement jump sex technique Mean Std. Deviation N male high 43,00 2,000 5 medium 39,00 2,000 3 low 34,50 1,291 4 Total 39,17 4,152 12 female high 37,00 2,646 3 medium 33,00 5,000 3 low 34,38 2,134 8 Total 34,64 3,054 14 Total high 40,75 3,732 8 medium 36,00 4,733 6 low 34,42 1,832 12 Total 36,73 4,210 26 Επιπλέον, εκτός από τους πίνακες που συναντήσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, όπου δεν υπήρχε αλληλεπίδραση, συναντάμε τώρα κάτω από τον γενικό τίτλο 3. sex * technique τον πίνακα με τίτλο Univariate Tests. Dependent Variable: countermovement jump sex male female Univariate Tests Sum of Squares df Mean Square F Sig. Contrast 160,667 2 80,333 12,866,000 Error 124,875 20 6,244 Contrast 25,339 2 12,670 2,029,158 Error 124,875 20 6,244 Each F tests the simple effects of technique within each level combination of the other effects shown. These tests are based on the linearly independent pairwise comparisons among the estimated marginal means. Από αυτόν τον πίνακα προκύπτει ότι ενώ στα αγόρια (male) υπάρχει στατιστικά σημαντική επίδραση του παράγοντα «τεχνική», γιατί το επίπεδο σημαντικότητας (Sig) της F τιμής 12.866 είναι μικρότερο από 0.05 (F 2, 20 = 12.866; p< 0.05), στα κορίτσια (female) δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική επίδραση του παράγοντα «τεχνική», γιατί το επίπεδο σημαντικότητας (Sig) της F τιμής 2.029 είναι 0.158, μεγαλύτερο από 0.05 (F 2, 20 = 2.029; p> 0.05). 20
Για τον εντοπισμό των στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των αθλητών διαφορετικής τεχνικής (μόνο για τα αγόρια, όπου υπάρχει στατιστικά σημαντική επίδραση του παράγοντα τεχνική) ανατρέχουμε στον αμέσως προηγούμενο πίνακα με τίτλο Pairwise Comparisons. Pairwise Comparisons Dependent Variable: countermovement jump sex male (I) technique (J) technique Mean Difference (I-J) Std. Error 95% Confidence Interval for Difference(a) Lower Upper Bound Bound Sig.(a) high medium 4,000 1,825,121 -,768 8,768 low 8,500(*) 1,676,000 4,121 12,879 medium high -4,000 1,825,121-8,768,768 low 4,500 1,908,086 -,486 9,486 low high -8,500(*) 1,676,000-12,879-4,121 medium -4,500 1,908,086-9,486,486 female high medium 4,000 2,040,192-1,330 9,330 low 2,625 1,692,409-1,795 7,045 medium high -4,000 2,040,192-9,330 1,330 low -1,375 1,692 1,000-5,795 3,045 low high -2,625 1,692,409-7,045 1,795 medium 1,375 1,692 1,000-3,045 5,795 Based on estimated marginal means * The mean difference is significant at the,05 level. a Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. Από τον πίνακα με τίτλο Pairwise Comparisons, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές μόνο μεταξύ των αθλητών με υψηλό και χαμηλό επίπεδο τεχνικής, καθώς μόνο σ αυτόν τον συνδυασμό το αντίστοιχο επίπεδο σημαντικότητας είναι μικρότερο από 0.05 (SIg. < 0.05). Τρόπος συγγραφής των αποτελεσμάτων: Από την ανάλυση διακύμανσης ως προς δύο ανεξάρτητους παράγοντες, τον παράγοντα «φύλο» και τον παράγοντα «επίπεδο τεχνικής», στην επίδοση στο κατακόρυφο άλμα διαπιστώθηκε στατιστικά σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο παραγόντων (F 2,20 = 4.117; p<0.05). Αναλύοντας την αλληλεπίδραση για κάθε βαθμίδα του παράγοντα «φύλο», στους άντρες διαπιστώθηκε στατιστικά σημαντική επίδραση του παράγοντα «τεχνική» (F 2,20 =12.86 6; p<0.05), ενώ αντίθετα δεν διαπιστώθηκε στις γυναίκες (F 2,20 = 2.029; p= 0.158 > 0.05). Από το τεστ πολλαπλών συγκρίσεων Bonferroni διαπιστώθηκε ωστόσο ότι, στους άντρες, διέφεραν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους μόνο οι αθλητές με υψηλό και χαμηλό επίπεδο τεχνικής. 21