Θεώρημα της αντιστροφής Ν. Παναγιωτίδης Ένα σημαντικό θεώρημα της ηλεκτροστατικής, γνωστό από το 1845, είναι το θεώρημα της αντιστροφής. Θα αναπτύξω πρώτα το θεώρημα και μετά θα το αποδείξω με έναν απλό τρόπο. Ορισμοί: έστω σημείο με διάνυσμα θέσεως ως προς το σημείο αναφοράς. Έστω σφαίρα με κέντρο το και ακτίνα. Ορίζουμε σαν εικόνα του ως προς τη σφαίρα το σημείο με διάνυσμα θέσης που ορίζεται από τη σχέση: (1) Αν στο σημείο υπάρχει φορτίο, ορίζουμε σαν εικόνα του το φορτίο που ορίζεται από τη σχέση: (2) Θεώρημα της αντιστροφής: Έστω το δυναμικό στο σημείο ενός φορτίου στο. Επίσης, έστω το δυναμικό στο σημείο ενός φορτίου στο. Ισχύει η εξίσωση: (3) Απόδειξη: η απόδειξη είναι απλή, δεν χρειάζονται συντεταγμένες, αρκεί να γίνει χρήση μιας ιδιότητας του μέτρου ενός αθροίσματος διανυσμάτων που αποδεικνύεται στοιχειωδώς: (4) όπου πραγματικοί αριθμοί και μοναδιαία διανύσματα. Το δίνεται από τη σχέση: (5) Τα και είναι στην ίδια κατεύθυνση. Έστω το μοναδιαίο σ αυτή την κατεύθυνση. Επίσης, έστω το μοναδιαίο στην κατεύθυνση των και. Τότε:
άρα, σύμφωνα με την ιδιότητα του μέτρου που αναπτύξαμε πιο πάνω: (6) Αλλά: (7) και: (8) Αντικαθιστώντας στην (6) και βγάζοντας κοινό παράγοντα: Η οποία μπορεί να γραφτεί και ως εξής: Ή: (9) Ας γυρίσουμε τώρα στην (5), η οποία, βάσει της σχέσης που συνδέει το στο με το στο γράφεται: (10) Αντικαθιστώντας το από την (9) έχουμε: (11) Το δυναμικό ενός φορτίου στο είναι:
(12) Αντικαθιστώντας την (12) στην (11): (13) και επειδή: η (13) γράφεται: που είναι το θεώρημα που έπρεπε να αποδείξουμε. Έστω τώρα ότι αντί για ένα έχουμε πολλά φορτία που συνεισφέρουν στο δυναμικά Σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης, το δυναμικό στο είναι: (14) Ομοίως, για τις εικόνες αυτών των φορτίων ισχύει η σχέση: (15) Όμως, επειδή τα συνδέονται με τα με τις σχέσεις: το θα συνδέεται με το με παρόμοια σχέση. Άρα το θεώρημα της αντιστροφής ισχύει και για πολλά φορτία, ακόμα και για μια συνεχή κατανομή φορτίων. Ειδική περίπτωση: Αν όλα τα φορτία είναι στην επιφάνεια της σφαίρας, τότε για κάθε ισχύει και για κάθε ισχύει. Η διατύπωση του θεωρήματος της αντιστροφής γι αυτή την περίπτωση είναι: Έστω το δυναμικό στο σημείο ενός φορτίου στο στην επιφάνεια της σφαίρας. Επίσης, έστω το δυναμικό στο σημείο του ίδιου φορτίου. Ισχύει η εξίσωση:
(16) Στην πρόσφατη ανάρτηση που έκανα στην ομάδα physical problems, http://api.ning.com/files/7c2qin6wackipx7f03*3cl03w0afgvlylzpsa0rq*pukburriqx7mwo3pqhm*auvgqjotj35*gifamrn5rtldgfmg14y0az/file.pdf απέδειξα αυτή τη σχέση για μια κατανομή φορτίου στην επιφάνεια μιας μεταλλικής σφαίρας. Στην επόμενη ανάρτηση στην ίδια ομάδα έδειξα τη χρησιμότητα του θεωρήματος. Το εφάρμοσα στον υπολογισμό του δυναμικού μιας φορτισμένης σφαίρας σε ένα ομογενές ΗΣ πεδίο. Για να καταλάβουμε τη σημασία του θεωρήματος της αντιστροφής και της ειδικής περίπτωσης που ανέπτυξα παραπάνω, θα τα εφαρμόσουμε στο πρόβλημα του δυναμικού πεδίου που δημιουργείται από μια αφόρτιστη μεταλλική σφαίρα, όταν κοντά σ αυτή υπάρχει σημειακό φορτίο. Έστω η ακτίνα της σφαίρας και το διάνυσμα θέσης του φορτίου ως προς το κέντρο της σφαίρας. Ζητάμε να βρούμε το δυναμικό στο σημείο. Ας θεωρήσουμε ότι η σφαίρα είναι γειωμένη, άρα έχει δυναμικό 0. Ως γνωστόν το φορτίο μιας μεταλλικής σφαίρας κατανέμεται στην επιφάνειά της. Δεν υπάρχουν φορτία στο εσωτερικό της. Το δυναμικό σε ένα σημείο του χώρου, είτε αυτό είναι στο εσωτερικό της σφαίρας είτε στο εξωτερικό της, είναι άθροισμα δυο συνεισφορών: αυτής του σημειακού φορτίου στο και αυτής των φορτίων που είναι κατανεμημένα στην επιφάνειά της. Το δυναμικό του σημειακού φορτίου είναι τύπου Coulomb. Ας συμβολίσουμε το δυναμικό στο σημείο που οφείλεται στα φορτία που είναι κατανεμημένα στην επιφάνειά της με. Η εικόνα του σημείου ως προς την επιφάνεια της σφαίρας είναι:
(17) Επειδή το είναι σημείο του εσωτερικού της σφαίρας, το δυναμικό σ αυτό είναι 0. Το δυναμικό όμως αυτό έχει δυο συνεισφορές: από το σημειακό φορτίο στο και από τη μεταλλική σφαίρα. Άρα: (18) Σύμφωνα όμως με την ειδική περίπτωση του θεωρήματος της αντιστροφής που αναφέραμε παραπάνω, το δυναμικό των κατανεμημένων φορτίων της σφαίρας στο και αυτό στο συνδέονται με τη σχέση: (19) Η (18) σε συνδυασμό με την (19) δίνει: (20) Η (20) δίνει μόνο τη συνεισφορά των κατανεμημένων φορτίων της σφαίρας στο. Το δυναμικό στο, λαμβανομένης υπ όψη και της συνεισφοράς του φορτίου στο, είναι: (21) Ή, αντικαθιστώντας το από την (17): η οποία καταλήγει στην: (22)
Δηλαδή το δυναμικό στο είναι το ίδιο με αυτό που θα προκαλούσαν δυο σημειακά φορτία: ένα φορτίο στο και ένα στο.