ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Τι είναι το υλικό σηµείο και σε τι διαφέρει από το στερεό σώµα; Γνωρίζουµε ότι αν σε υλικό σηµείο ασκηθούν δυνάµεις, τότε θα µεταβληθεί η κινητική του κατάσταση. Ποια επιπλέον συνέπεια έχει η δράση δυνάµεων σε ένα στερεό σώµα; 2. Ένα στερεό σώµα µπορεί να παραµορφωθεί προσωρινά (παροδικά) ή µόνιµα. Από τι νοµίζετε ότι εξαρτάται το είδος της παραµόρφωσης του στερεού; Μπορείτε να αναφέρετε από ένα παράδειγµα ελαστικής και µόνιµης παραµόρφωσης; 3. Στη συνέχεια του κεφαλαίου, θα ασχοληθούµε (κυρίως) µε την ισορροπία και την κίνηση µιας υποθετικής κατηγορίας στερεών σωµάτων που ονοµάζονται µηχανικά στερεά. Λέγοντας «στερεό» θα εννοούµε το «µηχανικό στερεό». Ποιο σώµα λέγεται µηχανικό στερεό σώµα; 4. Οι κινήσεις που έχουµε µελετήσει µέχρι τώρα, είτε ευθύγραµµες (µε ή χωρίς επιτάχυνση) είτε καµπυλόγραµµες, ήταν κινήσεις υλικών σηµείων. Αγνοήσαµε τελείως τις διαστάσεις των κινουµένων σωµάτων, τα αντιµετωπίσαµε ως υλικά σηµεία, αφού δεν µας απασχόλησε καθόλου ο προσανατολισµός τους στο χώρο. Είχαµε δηλαδή µόνο µεταφορά ενός υλικού σηµείου από µια θέση σε άλλη. Η αλλαγή του προσανατολισµού ενός σώµατος είναι µια νέα έννοια που συναντάµε µόνο στις κινήσεις στερεών σωµάτων. Φανταστείτε για παράδειγµα ότι έχουµε γυρίσει το ποδήλατό µας ανάποδα και περιστρέφουµε τη ρόδα του µε το χέρι. Παρόλο που τη βλέπουµε να κινείται, εν τούτοις δεν πάει πουθενά, συνέχεια βρίσκεται στο ίδιο µέρος! Αν εστιάσουµε την προσοχή µας σε κάποιο σηµείο της ρόδας (π.χ. ένα χαλικάκι στην περιφέρειά της), τότε µπορούµε να πούµε ότι αυτό κάνει κυκλική κίνηση, ότι µεταφέρεται δηλαδή κατά µήκος µιας περιφέρειας; Μπορούµε να πούµε για ολόκληρη τη ρόδα ότι µεταφέρεται; Μπορούµε να πούµε ότι αλλάζει προσανατολισµό; 5. Πότε λέµε ότι ένα στερεό εκτελεί µεταφορική κίνηση; Μπορεί να είναι καµπυλόγραµµη µια τέτοια κίνηση; Τι παρατηρείτε για τις τροχιές όλων των σηµείων του στερεού; Τι παρατηρείτε ακόµα για το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει δύο οποιαδήποτε σηµεία Α, Β του στερεού; Να αναφέρετε παραδείγµατα µεταφορικής κίνησης. 6. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου σε κάποιο σύστηµα αναφοράς; Πώς προσδιορίζουµε τη θέση ενός στερεού στο σύστηµα αναφοράς; 7. Τι ονοµάζουµε µετατόπιση υλικού σηµείου; Τι έχετε να παρατηρήσετε για τις µετατοπίσεις όλων των σηµείων ενός στερεού όταν αυτό κάνει µεταφορική κίνηση; Τι ονοµάζουµε µετατόπιση στερεού κατά τη µεταφορική του κίνηση; 8. Πότε λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί στροφική κίνηση; Τι είναι ο άξονας περιστροφής σε µια τέτοια κίνηση; Τι κίνηση κάνουν τα σηµεία του σώµατος που δεν βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής; Τι παρατηρείτε για τις τροχιές όλων των σηµείων του στερεού στην περίπτωση αυτή; Έχουν όλα τα σηµεία του στερεού κάθε στιγµή ίδια ταχύτητα υ κατά τη στροφική κίνηση; Να αναφέρετε παραδείγµατα στροφικής κίνησης. Σελίδα 1 από 9 1

9. Τι ονοµάζουµε επιβατική ακτίνα κατά την κυκλική κίνηση ενός υλικού σηµείου; Τι ονοµάζουµε γωνιακή µετατόπιση (ή γωνία στροφής) στην κίνηση αυτή; Τι ονοµάζουµε γωνιακή µετατόπιση στερεού όταν αυτό εκτελεί στροφική κίνηση; 10. Ποιο είναι το κατάλληλο φυσικό µέγεθος που χρησιµοποιούµε για να περιγράψουµε το «πόσο γρήγορα» στρέφεται ένα στερεό; 11. Πώς ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα ω ενός στρεφόµενου στερεού και ποια είναι τα χαρακτηριστικά της; Ποια η µονάδα της στο S.I.; Μπορούµε βλέποντας σχεδιασµένο το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας να συµπεράνουµε ποια είναι η φορά περιστροφής του στερεού; Ποιος από τους δύο τροχούς του Σχ.1 στρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού; Να σχεδιάσετε τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού στο Σχ.2. 12. Όπως είπαµε, ένα υλικό σηµείο µπορεί µόνο να µεταφέρεται, αφού λόγω µηδενικών διαστάσεων δεν έχει νόηµα ο προσανατολισµός. Ο χαρακτηρισµός λοιπόν «µεταφορική» για την κίνηση υλικού σηµείου είναι πλεονασµός, αλλά και εκφυλισµός, αφού κανονικά χρησιµοποιείται για να περιγράψει την κίνηση ενός συνόλου υλικών σηµείων (στερεό σώµα) και όχι ενός µόνο σηµείου. Ας υποθέσουµε τώρα ότι ένα υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά. Στην κυκλική κίνηση, όπως γνωρίζουµε, ορίζεται και έχει νόηµα η γωνιακή ταχύτητα. εν είναι λοιπόν σωστό να λέµε ότι το υλικό σηµείο «στρέφεται»; Μα εάν στρέφεται, δεν αλλάζει και προσανατολισµό; Σε τι διαφέρει τότε η κυκλική κίνηση υλικού σηµείου από τη στροφική κίνηση στερεού; Τι είναι αυτό που «στρέφεται» κατά την κυκλική κίνηση ενός υλικού σηµείου; 13. Ένα στερεό κάνει στροφική κίνηση. Όλα τα σηµεία του στερεού διαγράφουν τότε κυκλικές τροχιές. Πώς αντιλαµβανόµαστε ότι οι κυκλικές αυτές κινήσεις γίνονται όλες µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα, που συµπίπτει µε τη γωνιακή του στρεφόµενου στερεού; Πώς συνδέεται το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας του στερεού µε τα µέτρα των γραµµικών (ή επιτρόχιων) ταχυτήτων των διαφόρων σηµείων του; 14. Πότε λέµε ότι ένα στερεό κάνει οµαλή στροφική κίνηση; 15. Πώς ορίζεται η γωνιακή επιτάχυνση α γων και ποια είναι τα χαρακτηριστικά της. Ποια η µονάδα της στο S.I.; Αν το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας στους δύο τροχούς του διπλανού σχήµατος Σχ.3 µειώνεται, ποιος από τους δύο στρέφεται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού; 16. Πότε λέµε ότι η στροφική κίνηση ενός στερεού είναι οµαλά µεταβαλλόµενη; Να συµπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα που αναφέρεται σε οµαλά µεταβαλλόµενες κινήσεις: ω Σχ.2 α γων Σχ.1 Σχ.3 y y ω α γων ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ α = σταθ. υ = υ ο ± α t x = υ ο t ± ½ α t² ΣΤΡΟΦΙΚΗ Σελίδα 2 από 9 2

17. ίσκος, που µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, έχει γωνιακή ταχύτητα ω ο =+12r/s και τη στιγµή t=0 αποκτά γωνιακή επιτάχυνση που µεταβάλλεται σύµφωνα µε το διπλανό διάγραµµα Σχ.4. Να σχεδιάσετε το διάγραµµα γωνιακής ταχύτητας χρόνου από τη στιγµή t=0 µέχρι τη στιγµή που αντιστρέφεται η φορά κίνησης. Πόσες περιστροφές πρόλαβε να ολοκληρώσει µέχρι τη στιγµή αυτή; 18. Πότε λέµε ότι ένα σώµα κάνει σύνθετη κίνηση; Πώς µπορούµε να µελετήσουµε µια τέτοια κίνηση; Να αναφέρετε παραδείγµατα σύνθετων κινήσεων. 19. Η κίνηση ενός κυλιόµενου τροχού µπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσµα της επαλληλίας (α) µιας µεταφορικής κίνησης, κατά την οποία όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια ταχύτητα υ cm, και (β) µιας στροφικής κίνησης γύρω από τον άξονά του, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Πώς µπορούµε να προσδιορίσουµε κάθε στιγµή την ταχύτητα µε την οποία κινείται οποιοδήποτε σηµείο του τροχού; Με τι ταχύτητα κινούνται τα σηµεία του άξονα του τροχού; 20. Τι ονοµάζεται κέντρο µάζας ενός σώµατος; Πού βρίσκεται το κέντρο µάζας οµογενών και συµµετρικών σωµάτων; Μπορεί το κέντρο µάζας ενός σώµατος να βρίσκεται έξω από αυτό; Πότε συµπίπτει το κέντρο µάζας ενός σώµατος µε το κέντρο βάρους του; 21. Μπορούµε να λέµε ότι ένα στερεό σώµα έχει ορµή p =m υ σαν να ήταν υλικό σηµείο; Αν ναι, ποιο είναι το σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος p και ποια ακριβώς είναι η ταχύτητα υ ; Μπορούµε να λέµε το ίδιο ακόµα κι όταν το στερεό κάνει σύνθετη κίνηση; 22. Πότε λέµε ότι ένας τροχός κυλίεται (χωρίς ολίσθηση); Να δείξετε ότι κατά την κύλιση ενός τροχού ισχύουν οι σχέσεις: υ cm = ω R και α cm = α γων R. 23. Είναι δυνατόν να ικανοποιείται η προηγούµενη συνθήκη υ cm = ω R και ο τροχός να σπινάρει αντί να κυλίεται; 24. Ποιο χαρακτηριστικό µιας δύναµης περιγράφεται µέσω της ροπής της; +2 4 α γων (m/s²) 0 2 4 6 8 Σχ.4 t (s) 25. Πώς ορίζεται η ροπή τ µιας δύναµης F ως προς άξονα περιστροφής, όταν η δύναµη βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα; Τί ονοµάζουµε µοχλοβραχίονα της δύναµης; Ποια είναι η µονάδα ροπής στο S.I.; Τι κάνουµε στην περίπτωση που η δύναµη δεν βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα; 26. Πόση είναι η ροπή δύναµης ως προς άξονα, όταν η δύναµη (α) είναι παράλληλη προς αυτόν, (β) τέµνει τον άξονα. Να δώσετε σε κάθε περίπτωση εξηγήσεις. 27. Σε ένα σώµα ασκούνται πολλές οµοεπίπεδες δυνάµεις. Πώς βρίσκουµε τη συνολική ροπή τους ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό τους; 28. Ποιες ροπές θεωρούµε κατά σύµβαση θετικές και ποιες αρνητικές; Παρατηρήσεις σχετικά µε τα πρόσηµα: (α) Σύµφωνα µε το σχολικό, «θετικές θεωρούµε κατά σύµβαση τις ροπές που τείνουν να στρέψουν το σώµα αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού». Η πρόταση αυτή είναι µια συµβατική επιλογή, που την ακολουθούµε αν µας εξυπηρετεί. Συχνά όµως µπορεί να είναι προτιµότερο να επιλέξουµε κάποια άλλη φορά ως θετική. Καλό είναι να σηµειώνουµε πάντα στο σχήµα µας τη φορά περιστροφής που έχουµε επιλέξει ως θετική για να µην υπάρχει παρανόηση. Σελίδα 3 από 9 3

Ας δούµε τα παραδείγµατα που ακολουθούν. Στο Σχ.5 ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στη σελίδα, οπότε φαίνεται καθαρά ποια είναι «η φορά των δεικτών του ρολογιού» και ποια η αντίθετη, µε την προϋπόθεση ότι «κοιτάµε» το ρολόι. Στο τριδιάστατο Σχ.6 όµως δεν είναι αυτό τόσο ξεκάθαρο. τ + + + F + ω r F Τ στ Σχ.5 Σχ.6 Σχ.7 Σχ.8 Ακόµη, στο Σχ.7 o ακίνητος αρχικά τροχός επιταχύνεται στροφικά µέσω της ροπής της δύναµης F. Προτιµάµε τώρα να επιλέξουµε τη φορά των δεικτών του ρολογιού ως θετική, διότι διαφορετικά θα είναι αρνητικές όλες οι αλγεβρικές τιµές των σχετικών µεγεθών (τ, α γων, ω, κλπ.). Στο Σχ.8 τέλος ο τροχός έχει αρχική ταχύτητα (µεταφορική και στροφική) και, λόγω αδράνειας, ανεβαίνει κυλιόµενος στο κεκλιµένο. Στην περίπτωση αυτή επιβραδύνεται στροφικά από τη ροπή της στατικής τριβής και είναι πιο βολικό να θεωρήσουµε θετική τη φορά της αρχικής γωνιακής ταχύτητας. + υ + (β) Τα σχετικά µεγέθη της στροφικής κίνησης ορίζονται στο ω κεφάλαιο αυτό χωρίς τη χρήση διανυσµατικού λογισµού. Έτσι, όλες οι σχέσεις που τα συνδέουν µε γραµµικά µεγέθη, είναι R σχέσεις µέτρων. Π.χ. υ=ω r, τ=f l, L=m υ r, κλπ. Χρειάζεται Β x λοιπόν προσοχή στα λάθη, αν επιλέξουµε να χρησιµοποιούµε Σχ.9 αλγεβρικές τιµές. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα, ότι στο διπλανό Σχ.9, αποφασίσαµε να χρησιµοποιούµε τα σύµβολα Β x, T στ, κλπ. ως αλγεβρικές τιµές. Τότε, για τη µεταφορική κίνηση θα πρέπει να γράψουµε: Β x + T στ = m α cm (µε T στ <0). Μα τότε για τη στροφική κίνηση θα πρέπει να γράψουµε: T στ R = I α γων δυσκολεύοντας έτσι χωρίς λόγο την επίλυση. Μια πρακτική που απλοποιεί τα πράγµατα είναι να θεωρούµε τα σύµβολα ως µέτρα των µεγεθών. Οι προηγούµενες σχέσεις γράφονται τότε: Β x T στ = m α cm και T στ R = I α γων. 29. Τι θα κάνει ένα σώµα αν ασκηθεί πάνω του δύναµη που ο φορέας της δεν διέρχεται από το κέντρο µάζας του σώµατος; Πώς προσδιορίζεται ο άξονας ως προς τον οποίο θα περιστραφεί το σώµα στην περίπτωση αυτή; 30. Πώς ορίζεται η ροπή τ µιας δύναµης F ως προς σηµείο Ο; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της; 31. Τι ονοµάζουµε ζεύγος δυνάµεων; Να προσδιορίσετε τα στοιχεία της ροπής ενός ζεύγους δυνάµεων (διεύθυνση, φορά και µέτρο). Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ροπής ζεύγους; Πού εφαρµόζεται; 32. Ένα σώµα είναι αρχικά ακίνητο και µπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Ποια είναι η συνθήκη για να ισορροπεί; Να δώσετε εξηγήσεις. 33. Αν οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα στην προηγουµένη περίπτωση βρίσκονται όλες σε επίπεδο κάθετο στον άξονα, πώς µπορούµε να υπολογίσουµε τη δύναµη που δέχεται το σώµα από τον άξονα; Τ στ Σελίδα 4 από 9 4

34. Ένα σώµα είναι αρχικά ακίνητο και ελεύθερο να κινηθεί. Πάνω του ασκούνται οµοεπίπεδες δυνάµεις. Ποια είναι τώρα η συνθήκη ώστε να ισορροπεί; Να δώσετε εξηγήσεις. 35. Τι ονοµάζουµε ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα; Ποια είναι η µονάδα της στο S.I.; Από τι εξαρτάται η τιµή της; Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας ενός οµογενούς λεπτού δακτυλίου µάζας M, ακτίνας R και ασήµαντου πάχους, ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, είναι I=Μ R². Σηµείωση: Όπου σας χρειάζεται στα επόµενα, µπορείτε να χρησιµοποιείτε τις σχέσεις της σελ. 117 του σχολικού για τον υπολογισµό της ροπής αδράνειας. 36. Ο λεπτός δακτύλιος και ο δίσκος του διπλανού σχήµατος Σχ.10 είναι οµογενή σώµατα, µε ίσες µάζες και ίσες ακτίνες. Ποιό από τα δύο σώµατα έχει µεγαλύτερη ροπή αδράνειας ως προς τους σηµειούµενους άξονες και γιατί; 37. Αν η ροπή αδράνειας του δίσκου της προηγούµενης ερώτησης είναι 2kg m², να βρείτε τη ροπή αδράνειας του δακτυλίου. 38. Οι δύο κύλινδροι του διπλανού σχήµατος Σχ.11 είναι συµπαγείς, οµογενείς, από διαφορετικά υλικά, έχουν ίσες µάζες, ίσες ακτίνες και διαφορετικά ύψη. Να συγκρίνετε τις ροπές αδράνειάς τους ως προς τους σηµειούµενους άξονες. 39. Η λεπτή ράβδος του διπλανού σχήµατος Σχ.12 είναι συµπαγής, οµογενής, έχει µάζα M, µήκος L και µικρό πάχος. Να βρείτε τη ροπή αδράνειάς της ως προς τον σηµειούµενο διαµήκη άξονα. 40. Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Steiner (θεώρηµα παραλλήλων αξόνων). Σε τι µας χρησιµεύει στην πράξη; 41. Σφαίρα µάζας Μ και πολύ µικρής ακτίνας είναι στερεωµένη στο άκρο λεπτής ράβδου ίσης µάζας Μ και µήκους L. Τα δύο σώµατα είναι συµπαγή και οµογενή (Σχ. 13). Να Σχ.13 υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατός τους (i) ως προς τον άξονα κ που είναι κάθετος προς τη ράβδο και διέρχεται από το κέντρο µάζας της, (ii) ως προς τον άξονα α που είναι παράλληλος προς τον κ και διέρχεται από το άκρο της. (Απαντήσεις: (i) I κ = Μ L²/3, (ii) I α = 4 Μ L²/3 ). 42. Να διατυπώσετε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης για ένα σώµα που µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και να γράψετε την αντίστοιχη µαθηµατική σχέση. Τι εκφράζει η ροπή αδράνειας στην περιστροφή (σε αναλογία µε τη µάζα στη µεταφορική κίνηση); Έχει η ροπή αδράνειας ενός σώµατος σταθερή τιµή όπως και η µάζα του; Τι κάνει το σώµα στην περίπτωση που συνισταµένη ροπή ως προς τον άξονα αυτόν είναι µηδέν; 43. Αν το σώµα εκτελεί σύνθετη κίνηση τότε ο άξονας περιστροφής του µετατοπίζεται. Κάτω από ποιες προϋποθέσεις ισχύει στην περίπτωση αυτή ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης; 44. Αν αφήσουµε ένα σώµα να πέσει ελεύθερα, η ταχύτητά του dυ µεταβάλλεται, µε ρυθµό = g =10m/s 2 (ο ρυθµός αυτός είναι dt γνωστός και ως επιτάχυνση της βαρύτητας). Η λεπτή Σχ.10 Σχ.11 Σχ.12 Σελίδα 5 από 9 5 α x κ Σχ.14

οµογενής ράβδος του διπλανού σχήµατος Σχ.14 έχει µήκος l και µπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο σ αυτή, που περνάει από το άκρο της. Με τη βοήθεια νήµατος ισορροπεί σε οριζόντια θέση (χωρίς τη µικρή σφαίρα που φαίνεται στο σχήµα). Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα. (α) Να δείξετε ότι το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου, αµέσως µετά το κόψιµο του νήµατος, είναι α γων =3g/(2l). Από τι εξαρτάται ο ρυθµός µεταβολής της γραµµικής ταχύτητας των διαφόρων σηµείων της ράβδου; (β) Ακουµπάµε τώρα πάνω στη ράβδο µικρή σφαίρα προσεκτικά ώστε να ισορροπήσει και κόβουµε πάλι το νήµα. Να δικαιολογήσετε γιατί η σφαίρα θα χάσει αµέσως την επαφή της µε τη ράβδο, αν η απόσταση x από τον άξονα περιστροφής είναι πιο µεγάλη από ⅔l. 45. Η ράβδος του διπλανού σχήµατος Σχ. 15 έχει µήκος l και στρέφεται µε γύρω από σταθερό άξονα κάθετο προς αυτήν που διέρχεται από το άκρο της Ο. Κάποια στιγµή έχει γωνιακή ταχύτητα ω και γωνιακή επιτάχυνση α γων. Μπορούµε να θεωρήσουµε τη στροφική αυτή κίνηση ως σύνθετη κίνηση, παρόλο που ο άξονας περιστροφής της ράβδου µένει σταθερός; Επαλληλία δηλαδή µιας µεταφορικής κίνησης του κέντρου µάζας Κ και µιας στροφικής γύρω από αυτό; Αν ναι, να προσδιορίσετε (α) την ταχύτητα υ και την επιτάχυνση α του κέντρου µάζας και (β) τη γωνιακή ταχύτητα ω και γωνιακή επιτάχυνση α γων της ράβδου ως προς το Κ. 46. Η ράβδος του διπλανού σχήµατος Σχ. 16 αφήνεται από την οριζόντια θέση, χωρίς αρχική ταχύτητα, να στραφεί χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο σ αυτή που περνάει από το άκρο της Ο. m, l mg Αφού λάβετε υπ όψη τα συµπεράσµατα της προηγούµενης ερώτησης, να εφαρµόσετε τον θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για τη µεταφορική και για τη στροφική, ως προς Κ, κίνηση της ράβδου, τη στιγµή που βρίσκεται ακόµα στην οριζόντια θέση. Τι επιτάχυνση έχει το σηµείο Ο; Να προσδιορίσετε την µεταφορική και τη γωνιακή (ως προς Κ) επιτάχυνση της ράβδου τη στιγµή αυτή, καθώς και τη δύναµη που δέχεται από τον άξονα. Με τη βοήθεια πάλι του 2 ου νόµου του Νεύτωνα να υπολογίσετε (την ίδια στιγµή) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου ως προς Ο. Τι παρατηρείτε; 47. Να εξηγήσετε γιατί όταν ένα στερεό µε συµµετρικό κυλινδρικό ή σφαιρικό σχήµα δεχτεί κατάλληλη ώθηση ώστε να αρχίσει να κυλίεται ελεύθερα σε οριζόντιο επίπεδο, τότε δεν αναπτύσσεται τριβή παρόλο που το επίπεδο δεν είναι λείο. 48. Οµογενής σφαίρα µάζας M και ακτίνας R (ή και άλλο στερεό κατάλληλο για κύλιση) αφήνεται ελεύθερη στο πάνω µέρος κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ και παρατηρούµε ότι κυλίεται κατά µήκος του. Να εξηγήσετε γιατί είναι απαραίτητη η τριβή για να συµβεί αυτό. Να προσδιορίσετε τη φορά της. Αν η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι=λ Μ R² (όπου λ=0,4 για τη σφαίρα και γενικότερα 0<λ<1), να προσδιορίσετε τη Σελίδα 6 από 9 6 Κ Κ Ο Σχ.15 Σχ.16 Ο

µεταφορική της επιτάχυνση, καθώς και το µέτρο της τριβής. Από ποιους παράγοντες εξαρτώνται τα µέτρα τους; 49. Σε συνέχεια του προηγουµένου ερωτήµατος, να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιµή του απαιτούµενου συντελεστή οριακής τριβής µ ορ ώστε να µην έχουµε ολίσθηση. Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η τιµή αυτή; Αν ένας συµπαγής κύλινδρος κυλίεται στο κεκλιµένο µόλις αποφεύγοντας την ολίσθηση, τότε τι πιστεύετε ότι θα έκανε µία σφαίρα ή ένας κοίλος κύλινδρος από το ίδιο υλικό; 50. Οµογενής σφαίρα µάζας M και ακτίνας R κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητα υ και στη συνέχεια περνάει οµαλά στο κάτω µέρος κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ, όπου συνεχίζει να κυλίεται ανεβαίνοντας προς τα πάνω. Να εξηγήσετε και πάλι γιατί είναι απαραίτητη η τριβή στο κεκλιµένο και να προσδιορίσετε τη φορά της. 51. Υλικό σηµείο µάζας m κάνει κυκλική κίνηση κέντρου Ο και ακτίνας r, µε ταχύτητα µέτρου υ. Υποθέτουµε ότι από το σηµείο Ο διέρχεται άξονας zz, κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς. Τι ονοµάζουµε στροφορµή L του υλικού σηµείου ως προς τον άξονα αυτό, ποια είναι τα χαρακτηριστικά της και ποια η µονάδα της στο S.I.; 52. Ένα σώµα κάνει στροφική κίνηση γύρω από άξονα zz, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Τι είναι η στροφορµή L ενός σώµατος αυτού ως προς τον άξονα zz ; Ποια είναι η διεύθυνση και η φορά της; Θεωρώντας το σώµα ένα σύνολο στοιχειωδών µαζών m 1, m 2, m 3, που µπορούν να θεωρηθούν ως υλικά σηµεία, να βρείτε τη σχέση που συνδέει το µέτρο L της στροφορµής του σώµατος µε το µέτρο ω της γωνιακής του ταχύτητας. 53. Πώς ονοµάζουµε συχνά τη στροφορµή που σχετίζεται µε την περιστροφή ενός σώµατος γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του; Τι γνωρίζετε για το σπιν των ηλεκτρονίων; Τι µονάδα είναι το 1J s; 54. Πως βρίσκουµε τη συνολική στροφορµή L ενός συστήµατος σωµάτων; Πότε ισχύει η αλγεβρική σχέση L συστ = L 1 + L 2 + για την τιµή της στροφορµής του συστήµατος; 55. Να διατυπώσετε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης στη γενικευµένη µορφή του (2 ος νόµος του Newton για τη στροφική κίνηση) και να γράψετε την αντίστοιχη µαθηµατική σχέση. Να δείξετε ότι από τη γενικευµένη αυτή µορφή µπορεί να προκύψει και η µορφή Στ=I α γων. 56. Ισχύει ο νόµος αυτός για σύστηµα σωµάτων; Πώς διαµορφώνεται στην περίπτωση αυτή; 57. Πότε ισχύει η διατήρηση της στροφορµής σε ένα σώµα που κάνει στροφική κίνηση; Να αναφέρετε παραδείγµατα. 58. Να διατυπώσετε την αρχή διατήρησης της στροφορµής σε σύστηµα σωµάτων. Πώς εφαρµόζουµε στην πράξη την αρχή αυτή σε ένα πρόβληµα; Να αναφέρετε κι εδώ σχετικά παραδείγµατα. Η χορεύτρια που µαζεύει τα χέρια της για να αυξήσει τη γωνιακή της ταχύτητα αποτελεί στρεφόµενο σώµα ή σύστηµα σωµάτων; Και γιατί, όταν µαζεύει τα χέρια της, αυξάνεται η γωνιακή της ταχύτητα; 59. Γνωρίζουµε ότι ένας αστέρας, που στο τελευταίο στάδιο της ζωής του έχει µάζα περίπου από 1,5 έως 2,5 φορές τη µάζα του Ήλιου, µετατρέπεται σε αστέρα Σελίδα 7 από 9 7

νετρονίων ή pulsar µε ακτίνα µόλις 15 20km. Ποια είναι τα αίτια που προκαλούν αυτή τη συρρίκνωση; Γιατί δεν γίνεται τέτοια συρρίκνωση στα πρώτα στάδια της ζωής του αστέρα; Υποθέτοντας ότι η µάζα του αστέρα δεν άλλαξε κατά τη διάρκεια της συρρίκνωσης του και ότι η συχνότητα περιστροφής του πολλαπλασιάστηκε µε τον παράγοντα 10 10, να δώσετε µια εκτίµηση για την ακτίνα του αστέρα λίγο πριν την κατάρρευσή του. 60. Ένα σώµα εκτελεί στροφική κίνηση, γύρω από κάποιο άξονα, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Με τη βοήθεια της σχέσης µεταξύ των µέτρων γραµµικής και γωνιακής ταχύτητας (υ=ω r) και της σχέσης ορισµού της ροπής αδράνειας (Ι=Σm i r i 2 ), να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια Κ του σώµατος λόγω της περιστροφής του. 61. Πώς υπολογίζουµε την κινητική ενέργεια ενός σώµατος που εκτελεί σύνθετη κίνηση; 62. Πώς υπολογίζουµε το έργο της ροπής µιας δύναµης (α) γενικά, (β) όταν η ροπή της δύναµης παραµένει σταθερή. 63. Πώς ορίζεται η ισχύς P µιας δύναµης F και πώς µπορούµε να την υπολογίσουµε αν γνωρίζουµε (α) την ταχύτητα υ του σώµατος στο οποίο ασκείται, (β) την γωνιακή ταχύτητα ω του σώµατος αν αυτό στρέφεται. 64. Το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώµατος που κάνει µεταφορική κίνηση διατυπώνεται ως εξής: ½ m υ τελ ² ½ m υ αρχ ² = ΣW F (η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος είναι ίση µε την ενέργεια που µεταφέρεται προς ή από αυτό κατά τη διάρκεια της κίνησής του, µέσω του έργου των δυνάµεων που ασκούνται πάνω του). Να διατυπώσετε το θεώρηµα αυτό για ένα σώµα που κάνει στροφική κίνηση και να γράψετε την αντίστοιχη µαθηµατική σχέση. 65. Η σφαίρα µάζας M και ακτίνας R του διπλανού σχήµατος Μ,R Σχ.17 αφήνεται από την κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου υ ύψους h και κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) µέχρι τη βάση του. Να περιγράψετε τις µετατροπές ενέργειας που συµβαίνουν κατά την κάθοδό της. Μέσω ποιων έργων συµβαίνουν; Σχ.17 Ισχύει η διατήρηση της µηχανικής ενέργειας; Εµφανίζεται τριβή κατά την κάθοδο της σφαίρας; Τι είδους τριβή είναι και ποιο ρόλο παίζει στην κίνηση της σφαίρας; Να δείξετε ότι η σφαίρα φτάνει κάτω µε ταχύτητα 10 µέτρου υ = 7 gh. 66. Η ράβδος του διπλανού σχήµατος Σχ.18 µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον οριζόντιο άξονα που περνάει από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Από την οριζόντια θέση όπου τη συγκρατούµε, αφήνεται ελεύθερη. Το έργο της ροπής του βάρους µέχρι την κατακόρυφη θέση είναι: W = τ φ = (m g L/2) (π/2) W = π m g L/4 Η δυναµική ενέργεια λόγω θέσης ελαττώθηκε όµως κατά: U = m g L/2 Πού κάνουµε λάθος; 67. Η οµογενής συµπαγής σφαίρα του διπλανού σχήµατος Σχ.19 έχει µάζα Μ, ακτίνα R και ανεβαίνει σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας φ. Η τριβή είναι αρκετή ώστε η σφαίρα να κυλίεται (χωρίς ολίσθηση). Η µεταφορική της ταχύτητα στο κάτω Μ,R υο Σελίδα 8 από 9 8 Κ Ο mg L/2 Σχ.18 Σχ.19 h Η

µέρος είναι υ o και η γωνιακή ταχύτητα ω o κατάλληλη ώστε το σηµείο επαφής µε το κεκλιµένο να έχει µηδενική ταχύτητα. (α) Να υπολογίσετε το ύψος Η στο οποίο θα φτάσει µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία. Τι είδους κίνηση θα κάνει στη συνέχεια; Ποια είναι τα µέτρα της µεταφορικής και της γωνιακής ταχύτητας τη στιγµή που φτάνει κάτω; Ποια σχέση τα συνδέει; (β) Υποθέτοντας τώρα ότι το επίπεδο είναι λείο, να υπολογίσετε πάλι το ύψος Η στο οποίο θα φτάσει µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία. Τι είδους κίνηση θα κάνει στη συνέχεια; Ποια είναι τώρα τα µέτρα της µεταφορικής και της γωνιακής ταχύτητας τη στιγµή που φτάνει κάτω και ποια σχέση τα συνδέει; Να υπολογίσετε στη θέση αυτή τη γραµµική ταχύτητα του σηµείου επαφής της µε το επίπεδο. (γ) Να συγκρίνετε τους συνολικούς χρόνους κίνησης στις δύο περιπτώσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! ιονύσης Μητρόπουλος Σελίδα 9 από 9 9