Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην υποτείνουσα. Μονάδες 30 ΘΕΜΑ Ο Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε A= ˆ 90 o και Α το ύψος του. Αν Β = 9 και Γ = 16, να υπολογίσετε τα τµήµατα ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ, Α. Μονάδες 40 ΘΕΜΑ 3 Ο Στο διπλανό σχήµα είναι ΕΖ // ΑΒ και ΘΗ // Γ. Αν ισχύει η σχέση ME M Θ =, να αποδείξετε ότι EA Θ ΜΖ ΜΗ = ΖΒ ΗΓ Μονάδες 30 Καλή Επιτυχία!!!
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν µία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωµατική µε µία γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εµβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο των γινοµένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. (15 Μονάδες) Β. Να γράψετε στην κόλλα σας, για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις, αν είναι Σωστή ή Λάθος. ( Β+β) υ α. Το εµβαδόν του τραπεζίου είναι : E=. 3 β. Το εµβαδόν του τριγώνου δίνεται και από τον τύπο: Ε=τ ρόπου τ η ηµιπερίµετρος και ρ η ακτίνα του περιγγεγραµµένου κύκλου. γ. Το εµβαδόν του τριγώνου µε πλευρές α, β, γ δίνεται και από τον τύπο 1 Ε= α β συνγ. δ. Αν ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι 5, τότε ο λόγος των εµβαδών τους είναι 5. ε. Η ηµιπερίµετρος τ ενός τριγώνου µε πλευρές α=13, β=14, γ=15 είναι ίση µε 1. (10 Μονάδες) ΘΕΜΑ Ο ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= ˆ 90 ο ) µε ΑΒ=6 και ΑΓ=8. Να βρείτε: Α. το εµβαδόν του. (5 Μονάδες) Β. το ύψος του υ α Γ. την ακτίνα R του περιγεγραµµένου Κύκλου. (10 Μονάδες) (10 Μονάδες)
ΘΕΜΑ 3 Ο Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάµεσος του τριγώνου: Α. Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ είναι ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΜΓ. (15 Μονάδες) Β. Από την κορυφή Α να φέρετε τρεις ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τέσσερα ισεµβαδικά τρίγωνα. (10 Μονάδες) ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία και Ζ των προεκτάσεων των ΒΑ και ΓΑ 3 αντίστοιχα, προς το Α, ώστε Α = ΑΒ και ΑΖ= ΑΓ. Αν το εµβαδόν του τριγώνου 4 3 ΑΒΓ είναι 10m, να βρείτε το εµβαδόν του Α Ζ. (5 Μονάδες) Καλή Επιτυχία!!!
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 010 ΘΕΜΑ 1 Ο (Α) Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. o (Β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Â= 90 ) και ισοσκελές, να αποδειχθεί ότι α= β. ΘΕΜΑ Ο o (Α) Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â= 90 ) έχει ΑΒ=5 και ΑΓ=1. Ποιο το µήκος της διαµέσου ΑΜ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα; o (Β) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â= 90 ) φέρουµε το ύψος Α που που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Αν είναι ΑΒ=9 και ΑΓ=1, να υπολογισθούν τα µήκη των τµηµάτων ΒΓ, Β, Γ και Α. ΘΕΜΑ 3 Ο (Α) Να κατασκευασθεί τυχαίο αµβλυγώνιο τρίγωνο, να φέρετε τα ύψη του και στη συνέχεια να γράψετε τους τύπους της γενίκευσης του Πυθαγορείου Θεωρήµατος για κάθε πλευρά του µε δύο τρόπους. Στη συνέχεια να γίνει το ίδιο και µε το νόµο των συνηµιτόνων. (Β) Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει α=8, β=10 και γ=7. Είναι οξυγώνιο; ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=7cm και ΑΓ=8cm και Β το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του ΒΓ. ˆ 60 o ΑΒ = όπου Καλή Επιτυχία.
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΘΕΜΑ 1 Α. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο µιας πλευράς µε το αντίστοιχο ύψος. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Στη στήλη Α υπάρχουν ευθύγραµµα σχήµατα και στη στήλη Β εµβαδά. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε το εµβαδόν του στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. 8 a Β. 7 a Γ. 6 a. 4 a Ε. 3 a ΣΤ. a Ζ. a Η. 3a ΜΟΝΑ ΕΣ 5
ΘΕΜΑ Α. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ// Γ και ύψος ΑΕ = υ. Αν Α = 6, ΑΓ = 8, Ο ΑΓ= ˆ 90. Να υπολογίσετε : a) το εµβαδόν του τριγώνου Α Γ β) το ύψος υ γ) το εµβαδόν του ΑΒΓ ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Β.Να συµπληρωθούν τα κενά, ωστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Α) Αν το εµβαδόν ενός ισόπλευρού τριγώνου είναι είναι ίση µε... 36 3cm, τότε η πλευρά του Β) Το εµβαδόν ενός ρόµβου µε διαγώνιες δ 1, δ είναι ίσο µε... Γ) Ισοδύναµα λέγονται δυο σχήµατα όταν έχουν... ΜΟΝΑ ΕΣ 3 ΘΕΜΑ 3 Σε τραπέζιο ΑΒΓ ˆ ˆ ο A= = 90, Α = ΑΒ = 3 και ΒΓ = 5. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου. ΜΟΝΑ ΕΣ 3
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. Μονάδες 16 β) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ. Να συµπληρώσετε µε το κατάλληλο σύµβολο τα παρακάτω κενά. i) β. α + γ o Β = 90 ii) α > β + γ o A... 90 iii) γ. α + β o Γ<90 Μονάδες 6 Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) µε αιτιολόγηση i) Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ για το οποίο να ισχύουν ταυτόχρονα : β > α + γ και α > β + γ ii) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : α = 14, β = 10 και γ = 7. Η γωνία Β είναι οξεία iii) Αν για τις πλευρές α, β, γ τριγώνου ΑΒΓ έχουµε α = 7, β = 5 και γ = 4, τότε το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο. iv) Η παρακάτω τριάδα αριθµών 3, 4, 5 αποτελεί µήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε α = 8, β = 6, γ = 5 Α) να βρείτε το είδος του τριγώνου Β) να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ πάνω στην ΑΓ Γ) να βρείτε το συνηµίτονο της γωνίας Α Μονάδες 10 Μονάδες 15 Μονάδες 15
ΘΕΜΑ 3 ο Α) Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνω το ύψος Α. Να αποδείξετε ότι ΑΓ - ΑΒ = Γ Β. Μονάδες 15 Β) Οι προβολές των κάθετων προβολών ενός ορθογωνίου τριγώνου στην υποτείνουσα είναι και 8. Να υπολογίσετε το µήκος του ύψους πάνω στην υποτείνουσα και τις δυο κάθετες πλευρές. Μονάδες 15
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΘΕΜΑ 1 Ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο σηµείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Οι ΒΟ και ΓΟ τέµνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηµεία Λ και Μ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι ΒΟ=ΓΟ και ΟΛ=ΟΜ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ Ο Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και I το σηµείο τοµής των διχοτόµων των γωνιών B ɵ, Γ. Να αποδείξετε ότι : I. Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές II. η ΑΙ είναι διχοτόµος της A.
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) Θέµα 1 ο 1. Να υπολογιστεί το εµβαδό τριγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Κ,R). (Τύπος και απόδειξη). Να αποδειχθεί ότι ο λόγος των εµβαδών δύο τριγώνων µε κοινή γωνία Α είναι ίσος µε το λόγο του γινοµένου των πλευρών που περιέχουν την κοινή γωνία. Θέµα ο 1. Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε ένα σηµείο Κ ώστε να είναι ΑΚΒ=ΓΚΑ=10 ο και ΚΑ=, ΚΒ=6, ΚΓ=10. Να υπολογιστούν τα εµβαδά των τριγώνων ΚΒΓ και ΑΒΓ.. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ µε ΑΓ κάθετη στην Β. Αν Ο είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων και ΑΟ=3, ΑΒ=5, Ο=8 και Γ =10 να βρεθεί το εµβαδό του τετραπλεύρου. Θέµα 3 ο 1. Απο τις κορυφές ενός τετραπλεύρου φέρνουµε παράλληλες προς τις διαγώνιες του. Να δειχθεί ότι το περιγεγραµµένο στο τετράπλευρο παραλληλόγραµµο έχει διπλάσιο εµβαδό από το εµβαδό του τετραπλέυρου.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι Ε ΑΒΕ=Ε ΑΒΓ Ε Α Ε. Θέµα 4 ο ΒΓ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στη ΒΓ παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε Β = και πάνω στην Α 3 Α σηµείο Μ ώστε Μ=. Να υπολογιστούν τα εµβαδά των τριγώνων ΜΒΓ, ΜΑΒ, ΝΓΑ συναρτήσει 4 του εµβαδού του ΑΒΓ.