Παράκτια Υδραυλική & Τεχνολογία

Παράκτια Υδραυλική & Τεχνολογία Διεργασίες Μεταφοράς και Διάχυσης Ρύπων στο Παράκτιο Περιβάλλον Δρ. Γιώργος Συλαίος Ωκεανογράφος Επ. Καθηγητής ΤΜΠ-ΔΠΘ

Εσωτερικές Φυσικές & Βιογεωχημικές Διεργασίες 1. Δεδομένα Πεδίου (Βαθμονόμηση, Πιστοποίηση Ομοιώματος) 2. Χρήση Μαθηματικών Ομοιωμάτων Τι είναι ένα Μαθηματικό Ομοίωμα ; Ορίζεται ως η διαδικασία αναπαράστασης φυσικών, χημικών ή/και βιολογικών διεργασιών με τη μορφή μαθηματικών εξισώσεων, καταστρωμένων με τρόπο ώστε αυτές να περιγράφουν τις διεργασίες του υδατικού συστήματος επαρκώς και με ακρίβεια.

Ποια είναι τα χαρακτηριστικά του Μαθηματικού Ομοιώματος? 1. Αντικείμενο & Στόχοι ανάπτυξης (βασική έρευνα, εφαρμογή, περιγραφή διεργασιών, πρόγνωση συμπεριφοράς συστήματος, κλπ.) 3. Μεταβλητές και Διεργασίες που προσομοιώνονται 4. Διαστάσεις Μ.Ο. -0 διάσταση χώρου (box models) -1 διάσταση χώρου (1D steady state model) -1 διάσταση χώρου + χρόνος (1D dynamic model) -2διαστάσεις χώρου (2D steady state model) -2διαστάσεις χώρου (x, y ή x, z) + χρόνος (2D dynamic model) -3 διαστάσεις χώρου (3D steady state model) 5. Μέθοδος Επίλυσης (αναλυτική, αριθμητική)

Μαθηματικό Ομοίωμα 1-διάστασης Βήμα 1 Διακριτοποίηση Περιοχής Μελέτης ΔΧ

Μαθηματικό Ομοίωμα 1-διάστασης Βήμα 1 Διακριτοποίηση Περιοχής Μελέτης

Wind stress Cooling Heating Μαθηματικό Ομοίωμα 1-διάστασης Κατακόρυφη διάσταση Tidally-oscillating slope n n-1 n-2 Δz z=h Χρονική μεταβολή στρωματοποίησης αποστρωματοποίησης υδάτινης στήλης velocities and scalars z vertical turbulent mixing coefficients 3 2 1 z=0 Seabed friction and nutrient source

N Neuse River Swift Creek 0 W S Scale 5km E 10 km Μαθηματικό Ομοίωμα 2-διαστάσεων Οριζόντιων διαστάσεων Bachelor Creek Pamlico Sound Upper Broad Creek Goose Creek Broad Creek Trent River Beard Creek Dawson Creek Greens Creek Slocum Creek Hancock Creek Clubfoot Creek Adams Creek South River

depth (m) 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

Μαθηματικό Ομοίωμα 2-διαστάσεων Οριζόντιας Διαμήκους Κατακόρυφης Διάστασης 60 Απόστασηαπό Στόμιο (km) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 40 ñïþ ðïôáìïý Πλάτος (m) 20 0 θαλάσσιο όριο ποτάμιο όριο -20-40 z x -60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Αριθμός Διατομής y óôüìéï åêâïëþò ðáëßññïéá

Μαθηματικό Ομοίωμα 3-διαστάσεων

Τρισδιάστατο Μαθηματικό Ομοίωμα Βήμα 1 Χωρική Διακριτοποίηση

Μονοδιάστατη ροή - σύστημα: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Όταν το σύστημα (ποτάμι ποταμο-εκβολή) θεωρούνται επαρκώς αναμιγμένα τόσο κατά τη πλευρική όσο και κατά την κατακόρυφη διάσταση Τα ποτάμια τυπικά εμφανίζουν μονοδιάσταστη συμπεριφορά Υπάρχουν διαμήκεις βαθμίδες στη ροή Οι ρύποι θεωρούνται πλήρως αναμεμιγμένοι σε κάθε διατομή Δεν υπάρχουν κατακόρυφες βαθμίδες θερμοκρασίας

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Διδιάστατη ροή σύστημα (Οριζόντια) Θεωρούμε ότι το παράκτιο σύστημα είναι πλήρως αναμεμιγμένο Οι ρύποι είναι κατακόρυφα αναμιγμένοι Δεν υπάρχουν κατακόρυφες βαθμίδες θερμοκρασίας αλατότητας - πυκνότητας Οι μεταβολές των παραμέτρων συμβαίνουν μόνο κατά το οριζόντιο επίπεδο σε όλη τη περιοχή μελέτης Η ταχύτητα ροής θεωρείται ομοιόμορφη με το βάθος

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Freshwater Διδιάστατη ροή σύστημα (Κατακόρυφο) Saltwater Θεωρούμε ότι το παράκτιο σύστημα είναι κατακόρυφα στρωματοποιημένο Οιρύποιδενείναικατακόρυφααναμιγμένοι Υπάρχουν κατακόρυφες βαθμίδες θερμοκρασίας αλατότητας - πυκνότητας Σημαντικές μεταβολές στην ένταση και τη διεύθυνση της ροής συμβαίνουν κατά το κατακόρυφο άξονα

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τρισδιάστατες ροές - συστήματα: Κατακόρυφα στρωματοποιημένα συστήματα Οι ρύποι δεν είναι πλήρως αναμιγμένοι κατά το κατακόρυφο άξονα Υπάρχουν κατακόρυφες βαθμίδες θραμοκρασίας αλατότητας - πυκνότητας Υπάρχουν οριζόντιες βαθμίδες στις ταχύτητες ροής Υπάρχουν οριζόντιες και κατακόρυφες μεταβολές σε όλη τη περιοχή μελέτης

Μαθηματική Προσομοίωση Παράκτιων Διεργασιών Ι. Μεταφορά και Διάχυση Ρύπου

ΔΙΑΧΥΣΗ ΡΥΠΩΝ ΝΟΜΟΣ FICK 1 ος Νόμος Fick: Ηροήμάζαςενόςρύπου, δηλ. η συνολική μάζα του ρύπου που διέρχεται από μία μοναδιαία επιφάνεια, ανά μονάδα χρόνου, είναι ανάλογη της βαθμίδας συγκέντρωσης του ρύπου κατά τη διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια. C q = D x Όπου q είναι η ροή μάζας (ΜL -2 T -1 ), δηλ. μάζα ανά μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα χρόνου, και D είναι ο συντελεστής μοριακής διάχυσης (L 2 /T) (Molecular Diffusion Coefficient)

Η Βαθμίδα Συγκέντρωσης δημιουργεί Διάχυση

Όσο μεγαλύτερη είναι η βαθμίδα συγκέντρωσης, δηλ. η διαφορά συγκέντρωσης στο χώρο, τόσο μεγαλύτερη είναι και η ροή διάχυσης

Νόμος Fick στις τρεις διαστάσεις (3-D Fickian Diffusion) C C C q = D( + + ) x y z q = D C Όπου q είναι το άνυσμα της ροής μάζας με συνιστώσες (q x, q y, q z ) Συνεπώς, ο 1 ος Νόμος του Fick συνδέειτηροήμάζαςμίαςουσίαςμετη βαθμίδα συγκέντρωσης της ουσίας αυτής.

2 ος Νόμος Fick: Έστω μονοδιάστατη ροή μάζας κατά τη x-διεύθυνση, μέσα από στοιχειώδη όγκο πλευράς Δx. Ροή μάζας στη θέση x: qxt (, ) Ροή μάζας στη θέση x+δx: qxt (, ) qxt (, ) + Δx x Άρα, διαφορά ροής μάζας: q ( ) Δ x x

Εφόσον υπάρχει μεταβολή στη ροή μάζας κατά τη x-διεύθυνση, άρα υπάρχει και χρονική μεταβολή στη συγκέντρωση C του στοιχειώδους όγκου: C t Δx Προκύπτει λοιπόν, ότι η διαφορά ροής μάζας είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της συκέντρωσης στο εσωτερικό του στοιχειώδους όγκου, δηλ.: q x C + = t 0 Εξίσωση Διατήρησης Μάζας Η εξίσωση διατήρησης μάζας συνδέει τη ροή μάζας με τη συγκέντρωση του ρύπου.

Άρα, C q = D x q C + = 0 x t 1 ος Νόμος Fick Εξίσωση Διατήρησης Μάζας C C = ( D ) t x x C t = D 2 C 2 x 2 ος Νόμος Fick

Επίσης, αν διαφορίσω την εξίσωση διατήρησης μάζας: q x C t q x x C x t 2 q 2 x C t x 2 2 q q q 1 q + ( ) = 0 ( ) = 0 2 2 x t D x D t + = 0 + = 0 + = 0 q t = D 2 q 2 x 2 ος Νόμος Fick ΟιεξισώσειςΔιάχυσηςπεριγράφουντημεταφοράμάζαςλόγωδιάχυσης Fick. Υπάρχει μεγάλος αριθμός εφαρμογών των παραπάνω εξισώσεων (π.χ., q η ροή θερμότητας και Τ η θερμοκρασία)

C t = D 2 C 2 x 2 ος Νόμος Fick 1 Διάσταση 2 2 2 C C C C = D ( + + ) 2 2 2 t x y z 2 ος Νόμος Fick 3 Διαστάσεις t C D 2 = C 2 ος Νόμος Fick 3 Διαστάσεις Άρα προκύπτει η βασική εξίσωση διάχυσης μάζας, χωρίς μέση ταχύτητα. Η διάχυση υπάρχει λόγω της ύπαρξης βαθμίδας συγκέντρωσης. Η εξίσωση περιγράφει τη διάχυση μίας μάζας M = C dv που εισάγεται στο νερό στο σημείο (x,y,z) τη χρονική στιγμή t.

Αναλυτική Λύση Εξίσωσης Fick Μονοδιάστατη Περίπτωση C t = D 2 C 2 x Παραβολική Μερική Διαφορική Εξίσωση Η αναλυτική λύση της εξίσωσης: Ο παράγοντας 2 στο παρονομαστή δηλώνει ότι η διάχυση γίνεται και προς τι δύο κατευθύνσεις του x-άξονα

Η κατανομή της συγκέντρωσης ως προς το χρόνο είναι κανονική κατανομή Gauss

Αναλυτική Λύση Εξίσωσης Fick Διδιάστατη Περίπτωση 2 2 C C C = D( + ) 2 2 t x y Θεωρούμε το συντελεστή διάχυσης D να έχει ίσες τιμές και προς τις δύο διευθύνσεις

Αναλυτική Λύση Εξίσωσης Fick Διδιάστατη Περίπτωση 2 2 C C C = D( + ) 2 2 t x y Θεωρούμε το συντελεστή διάχυσης D έχει διαφορετική τιμή ανά διεύθυνση διάχυσης

Αναλυτική Λύση Εξίσωσης Fick Τρισδιάστατη Περίπτωση 2 2 2 C C C C = D( + + ) 2 2 2 t x y z Θεωρούμε το συντελεστή διάχυσης D να έχει ίσες τιμές και προς τις τρεις διευθύνσεις

Αριθμητική Λύση Εξίσωσης Fick Μονοδιάστατη Περίπτωση 1. Αριθμητικό Σχήμα FTCS C t = D 2 C 2 x C t 2 C x C n + 1 i Δt C n i C 2C + C Δx n n n i+ 1 i i 1 2 2 n+ 1 n n n n Ci Ci Ci+ 1 2Ci + Ci 1 = D( ) 2 Δt Δx n+ 1 n DΔt n n n Ci = Ci + ( )( C 2 i+ 1 2 Ci + Ci 1) Δx C = C + d( C 2 C + C ) Όπου d ο αριθμός διάχυσης n+ 1 n n n n i i i+ 1 i i 1

n+ 1 n DΔt n n n Ci = Ci + ( )( C 2 i+ 1 2 Ci + Ci 1) Δx C = C + d( C 2 C + C ) n+ 1 n n n n i i i+ 1 i i 1 Γιαναείναιηαριθμητικήλύσηευσταθήςθαπρέπειναισχύει: d DΔt = 0.5 2 Δx

Υπολογίζω τη μονοδιάστατη διάχυση με τη χρήση του προγράμματος dftcs.m. Ισχύουν: L = 1, D = 0.1 Για Ν = 100 και Δt = 0.0001 έχουμε d = 0.09 <0.5 άρα αριθμητική ευστάθεια Diffusion of a delta spike 40 30 T(x,t) 20 10 0 0.5 0.03 0 0.02 x -0.5 0 0.01 Time

0.5 Temperature contour plot 0.4 3.92e-006 0.3 x 0.2 0.1 0-0.1-0.2 12 34 5 3.92e-006 1 3 2 4 5-0.3-0.4-0.5 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Time

Τρέχουμε το πρόγραμμα dftcs.m Dt = 0.00015; N=61

Οι ρύποι που εισέρχονται στο παράκτιο περιβάλλον διαχέονται (λόγω της παρουσίας της τύρβης) και μεταφέρονται λόγω των υπαρχόντων ρευμάτων (παλιρροιακά, ανεμογενή, γεωστροφικά, βαροκλινικά, υπολειπόμενα) προς διάφορες κατευθύνσεις.

Διάχυση ρύπων Μεταφορά και διάχυση λόγω παλιρροιακών ρευμάτων Επίδραση υπολειπόμενων ρευμάτων στη μεταφορά και διάχυση ρύπων Μεταφορά ρύπων σε γειτονικές παράκτιες περιοχές λόγω ανεμογενούς επίδρασης

Ορυθμόςμεταβολήςτηςσυγκέντρωσηςτουρύπουσεκάθεσημείοτης παράκτιας θάλασσας περιγράφεται από την εξίσωση μεταφοράς διάχυσης (advection diffusion equation). Η τρισδιάστατη εξίσωση μεταφοράς διάχυσης γράφεται: 2 2 2 C C C C C C C C + U + V + W = Kx + K 2 y + K 2 v + w 2 o + P B t x y z x y z z Τοπικός Όρος Όροι μεταφοράς ρύπου Όροι οριζόντιας διάχυσης Ο όρος κατακόρυφης βύθισης και οι όροι παραγωγής κατανάλωσης μάζας έχουν ισχύ μόνο σε μη-συντηρητικούς ρύπους. Σε περίπτωση συντηρητικών ουσιών, όπως η αλατότητα S, οι όροι αυτοί μηδενίζονται. Όρος κατακόρυφης διάχυσης Όρος Κατακόρυφης βύθισης Όροι παραγωγής ή απώλειας μάζας ρύπου λόγω βιογεωχημικών διεργασιών

Μεταφορά Μάζας Ρύπου

Υπάρχουν δύο κύριες διεργασίες με τις οποίες η μάζα ενός ρύπου μετακινείται στο παράκτιο περιβάλλον. Η μεταφορά(advection) και η διάχυση (diffusion). Αν η μεταφορά μάζας υπερτερεί της διάχυσης, τότε ο ρύπος κινείται κατά μήκος της ισοροϊκής καμπύλης. Αν η διάχυση ή η διασπορά υπερτερεί, τότε ο ρύπος κινείται κάθετα προς την ισοροϊκή καμπύλη. Ο λόγος των όρων που εκφράζουν οι δύο αυτές διεργασίες καλείται αριθμός Peclet. Pe = ( UC + VC + WC) C C C ( Kx + Ky + Kv ) x y z

Η εξίσωση μεταφοράς διάχυσης δείχνει ότι η συγκέντρωση σε ένα σημείο της παράκτιας θάλασσας θα μειωθεί, αν η ροή μάζας λόγω μεταφοράς και η ροής μάζας λόγω διάχυσης αποκλίνουν. Αντίθετα, η συγκέντρωση σε ένα σημείο της παράκτιας θάλασσας θα αυξηθεί, αν η ροή μάζας λόγω μεταφοράς και η ροής μάζας λόγω διάχυσης συγκλίνουν.

Μελέτη τυρβώδους διάχυσης στο στόμιο ενός ποταμού

Μεταφορά και διάχυση ρύπου που εκρέει σε ποταμό Διεύθυνση ροής

Εκροή υγρών αποβλήτων από διαχυτήρα εργοστασίου

Συμβολή ροής δύο ποταμών με διαφορετικά χαρακτηριστικά

Ρεύματα Οριζόντιας Μεταφοράς Μάζας Εξισώσεις Κίνησης

Επιτάχυνση Coriolis Φυγόκεντρος Επιτάχυνση Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = g f Ω Χ (Ω Χ R) εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος. Έχει τη μέγιστη τιμή στους Πόλους όπου η φυγόκεντρος επιτάχυνση μηδενίζεται και την ελάχιστη τιμή στον Ισημερινό όπου η φυγόκεντρος επιτάχυνση παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Η διαφορά αυτή ωστόσο είναι μικρότερη του 0,5% της τιμής του g και θεωρείται αμελητέα.

Αναλύοντας τον όρο της επιτάχυνσης Coriolis έχουμε: ο οποίος είναι αμελητέος

Εξίσωση κίνησης x-διεύθυνσης Εξίσωση κίνησης y-διεύθυνσης Εξίσωση κίνησης z-διεύθυνσης

Απλοποίηση Εξισώσεων Κίνησης Γεωστροφικές Εξισώσεις Υδροστατική Εξίσωση

Εξίσωση Συνέχειας

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Για παράκτια περιοχή όπου εφαρμόζουμε σύστημα συντεταγμένων: z y Επιφάνεια η x -h Πυθμένας

Συνολικό Σύστημα Εξισώσεων Μεταφοράς Μάζας U U U U 1 P U U U + U + V + W fv = + ( Ax ) + ( Ay ) + ( Az ) t x y z ρ x x x y y z z V V V V 1 P V V V + U + V + W + fu= + ( Ax ) + ( Ay ) + ( Az ) t x y z ρ y y x y y z z P = ρ gη+ ρ Bdz 0 0 0 z ρ ρ0 B = ρ 0 g U V W + + = 0 x y z B B B B B B B + U + V + W = ( K x ) + ( K y ) + ( K z ) x x y z x x y y z z o o

Οριακές Συνθήκες Συστήματος (z=η) η η η + u + v w= 0 t x y p = P 0 B = gq Kv z αρ0 C p US VS s s ρ0( Av, Av ) = ( τx, τ y) z z = C W W + W W W + W s s 2 2 2 2 ( τx, τ y) ρa d( x x y, y x y )

Οριακές Συνθήκες Συστήματος (z=-h) h h u + v + w= 0 x y K h h B h B B ( + ) + Kv = 0 x x y y z Ub Vb b b ρ0( Av, Av ) = ( τx, τ y) z z τ τ ρ b b 2 2 2 2 ( x, y) = ocb( Ub Ub + Vb, Vb Ub + Vb )