3 Η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Κυριακή, 8 Ιανουαρίου, Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜ (5 µονάδες (α Πρώτος νόµος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση: Τα σώµατα τείνουν να διατηρήσουν την κατάσταση ηρεµίας ή περιστροφικής κίνησης τους µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, όταν η συνιστάµενη ροπή που ασκείται σ αυτά είναι ίση µε µηδέν. ν ω Σ Μ (,5 µον. ω σταθερή ή (β (i Ροπή αδράνειας υλικού σηµείου µάζας m που περιστρέφεται γύρω από άξονα, ορίζουµε το γινόµενο της µάζας του υλικού σηµείου επί το τετράγωνο της απόστασης του, r από τον άξονα. Η ροπή αδράνειας υλικού σηµείου είναι µονόµετρο µέγεθος και δίνεται από τη σχέση, I mr ( µον. (ii Ροπή αδράνειας στερεού σώµατος που περιστρέφεται γύρω από άξονα, ορίζουµε το άθροισµα των γινοµένων των στοιχειωδών µαζών από τα οποία αποτελείται το σώµα, επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας στερεού σώµατος είναι µονόµετρο µέγεθος και δίνεται από τη σχέση, I m i r i ( µον. i (γ Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τους πιο κάτω παράγοντες: Μάζα (Μεγαλύτερη µάζα Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας. Κατανοµή µάζας (Μεγαλύτερη συγκέντρωση µάζας µακρύτερα από τον άξονα περιστροφής Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας. πό τη θέση του άξονα περιστροφής. (,5 µον.
3η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Λύσεις Β. (α Για το σύστηµα πλατφόρµα σφαιρίδιο ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορµής. Lπριν Lµετά ( MR mx ω MR ω mυx MR M R MR M R ( ω ω υ 4 MR MR 8 8 MR ω MυR 8 MυR ω MR ω υ 4ω R (4 µον. ω ω R x υ (β ( Ι Ι ω MR ω κινπριν π σφ ω M R 4 5MR κινπριν ( µον. 8 κινµετά Ιπω mυ ω MR 4ω M 6R ω MR ω 6MR ω 5MR κινµετά ( µον. (γ κινµετά κινπριν 5MR ω 5MR ω 8 45MR ω 8 5MR ω ( µον. ΘΕΜ (5 µονάδες. Οι δυο αστροναύτες και η µπάλα θεωρούνται αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων. Μόλις ο αστροναύτης πετάξει την µπάλα στον αστροναύτη Β, θα κινηθεί, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής, µε αντίθετη ορµή απ αυτή της µπάλας. υτό θα έχει σαν αποτέλεσµα να αρχίσει να αποµακρύνεται από τον Β. Η µπάλα φτάνει στον αστροναύτη Β. Στην προσπάθεια του να πασάρει προς τον, θα κινηθεί µε ορµή που θα έχει αντίθετη κατεύθυνση απ ότι η µπάλα µε αποτέλεσµα τελικά οι δύο αστροναύτες να αποµακρύνονται ο ένας απ τον άλλον. (4 µον. Σε ένα αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων ( F παραµένει σταθερή. Σ εξ η ολική ορµή του συστήµατος Συστ.αρχ Συστ.τελ ( µον. Β. (α Το νήµα αρχίζει να τεντώνει µόλις η µπάλα φτάσει σε ύψος. πό το Θ..Μ.Ε έχουµε: Ε µηχ Ε µηχ mυ mg mυ υ g υ g g υ υ 8 g ( µον. υ Θέση Θέση
3η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Λύσεις (β φού το νήµα τεντώνει ακαριαία δεχόµαστε ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής παρά το γεγονός ότι τα βάρη των σφαιρών είναι εξωτερικές δυνάµεις. (.5 µον. αρχ τελ mυ ( m m υ m 8g mυ υ g (,5 µον. (γ πό τη στιγµή που τεντώνει το νήµα, το σύστηµα των δύο σφαιρών κινείται από τη θέση µε ταχύτητα υ µέχρι τελικά, η σφαίρα, να φτάσει στο µέγιστο ύψος (θέση 3. Ισχύει το Θ..Μ.Ε. µηχ. συστ. µηχ. συστ.3 mg mυ mυ mgh mg( h g g gh g 4 h h (5 µον. Θέση 3 Θέση h ΘΕΜ 3 ( µονάδες (α Οµάδα : εροδιάδροµο, ower, δύο αµαξάκια & Β, χαρτονάκια, ειδικές βάσεις µε λαστιχάκια ή ελάσµατα ή ειδικές βάσεις µε µαγνήτες, αισθητήρες κίνησης τοποθετηµένους σε ορθοστάτη, ζυγό, διασύνδεση µε Η.Υ. και οθόνη. Οµάδα : εροδιάδροµο, ower, δύο αµαξάκια & Β, χαρτονάκια, ειδικές βάσεις µε λαστιχάκια ή ελάσµατα ή ειδικές βάσεις µε µαγνήτες, φωτοδιόδους τοποθετηµένες σε ορθοστάτες, ζυγό, διασύνδεση µε Η.Υ. και οθόνη. (4 µον. µαξάκι Β Σχήµα (Οµάδα µαξάκι (β πό τις γραφικές παραστάσεις του σχήµατος 3 µπορούµε να υπολογίσουµε τα µέτρα των ταχυτήτων των δύο αµαξιών. πριν,kgms m υ πριν,υ υ πριν,55m πριν µετά m υ,3kgms,υ πριν πριν υ πριν m µετά,υ υ µετά,5m,υ µετά µετά (kgms -,6,4,,,8,6,4, -, -,4 µαξάκι Β µαξάκι Σχήµα (Οµάδα,,4,6,8 Σχήµα 3 t (s 3
3η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Λύσεις µετά m υ,4υ,4kgms, 4υ µετά µετά µετά υ µετά,35m (4 µον. (Να αφαιρεθεί,5 µον. αν δεν καθοριστεί η κατεύθυνση των ταχυτήτων µε πρόσηµο ή µε άλλο τρόπο (γ συστ πριν συστ. πριν πριν Β,, kgms. µετά µετά Β µετά,3,4, kgms Ισχύει η αρχή διατήρησης της Ορµής αφού συστ.πριν συστ. µετά κιν. συστ. πριν κιν. συστ. µετά ( m ( m πριν µετά Ελέγχουµε το % σφάλµα: ( m ( m πριν µετά,,4 (,3,4,35J,4,8,5. 3 4. 3 ( µον.,675j κιν,675,35 % σφά λµα..,57% που είναι στα αποδεκτά,35 κιν. πριν όρια. Έτσι µπορούµε να πούµε ότι η κινητική ενέργεια διατηρείται. (4 µον. (δ πό τα αποτελέσµατα µας στο (γ µπορούµε να πούµε ότι η κρούση είναι ελαστική. ( µον. (ε F F µετά µετά πριν πριν,3,,4,7n,65,35,,4,4,7n,65,35, ( µον. F (N,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 F,,4,6,8 t (s F ( µον. 4
ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 3η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Λύσεις ΘΕΜ 4 (5 µονάδες. (α Στροφορµή στερεού σώµατος ως προς άξονα περιστροφής, ονοµάζουµε το άθροισµα των στροφορµών όλων των υλικών σηµείων από τα οποία αποτελείται το σώµα. Η διεύθυνση της στροφορµής είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς των υλικών σηµείων του σώµατος και η φορά της καθορίζεται µε τον κανόνα της δεξιάς παλάµης. L Li miri ω ω miri L Iω ( µον. i i i (β ν η συνισταµένη ροπή των (εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σ ένα σώµα (σ ένα σύστηµα σωµάτων είναι µηδέν, τότε η στροφορµή του παραµένει σταθερή. ν Σ M L αρχ Lτελ Ι αρχωαρχ Ιτελωτελ ( µον. (γ Άλµα κατάδυσης: Όταν ο δύτης πηδά από την εξέδρα, ασκεί δύναµη σ αυτή µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται ροπή ως προς το κέντρο µάζας του και να περιστρέφεται. πό τη στιγµή που εγκαταλείπει την εξέδρα, δεν ασκείται σ αυτόν καµιά εξωτερική ροπή µε αποτέλεσµα η στροφορµή του να διατηρείται σταθερή. Για να αυξήσει τη γωνιακή του ταχύτητα, συµµαζεύει το σώµα του, µε αποτέλεσµα η ροπή αδράνειάς του να ελαττώνεται και να περιστρέφεται πιο γρήγορα. Στο τέλος της βουτιάς τεντώνει τα πόδια του ώστε να κτυπήσει στο νερό µε µικρότερη γωνιακή ταχύτητα (LΙωσταθερό. ( µον. Β. Για το σύστηµα ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορµής πριν και µετά την εκτόξευση. Κ Lαρχ. Lτελ. mυ I ρωρ 3g 3g m m 3g ωρ M 3m 3 3 Το κέντρο µάζας της ράβδου θα ανέλθει κατά h. Ισχύει η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ των θέσεων και. 3g Mηχ Mηχ I ρωρ Mgh M ωρ Mgh gh h 3 6 4 υ 3g φ x h Γ Τότε για τη γωνία φ στο σχήµα ισχύει: h ο συνφ 4 φ 6 πό το τρίγωνο ΚΓ θα έχουµε ηµφ 5 x 3 x x 3 ( µον.
3η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Λύσεις ΘΕΜ 5 (5 µονάδες. Στην τυχαία θέση y το σώµα δέχεται µόνο την δύναµη F Ky από το ελατήριο, αφού δεν υπάρχει βαρύτητα στο διαστηµικό σταθµό. Άρα, Σ F y F Ky δηλαδή στο σώµα ασκείται δύναµη ανάλογη της αποµάκρυνσης µε φορά προς τη θέση ισορροπίας. Η δύναµη αυτή είναι δύναµη επαναφοράς άρα το σώµα εκτελεί Γ..Τ. µε D K (5 µον. Τότε K D K mω π ω. φού T m ω T π Σηµείωση: ν η θετική φορά επιλεγεί προς τα πάνω τότε ΣF y F Ky και η απάντηση βαθµολογείται ως απόλυτα ορθή αφού η κατεύθυνση της συνιστάµενης δύναµης σ αυτή την περίπτωση συµπίπτει µε την θετική φορά δηλαδή είναι προς τη Θ.Ι. ( µον. m K θ -Κy φυσικό µήκος ελατηρίου Θ.Ι. y Τ.Θ. Σ Β. Πάνω στο σφαιρίδιο ασκούνται, η τάση του νήµατος S και το βάρος mg. ναλύουµε την τάση του νήµατος σε δύο συνιστώσες Sηµθ και Sσυνθ (θετική φορά των διανυσµάτων στους δύο άξονες φαίνεται στο σχήµα. Τότε ισχύει, ΣF Sηµθ ΣF x y Sσυνθ mg ma S m( a g συνθ y α x Sηµθ mg θ Sσυνθ m( a g ηµθ m( a g από τις σχέσεις ( και ( ΣF x m( a g εφθ x. Για να συνθ m( a g µπορεί λοιπόν το σώµα να εκτελεί Γ..Τ. θα πρέπει ο συντελεστής να είναι µεγαλύτερος από µηδέν, ώστε Σ F x Dx m( a g > a > g (6 µον. m( a g a g D mω π ω. Τότε η περίοδος θα είναι T π ω α g ΘΕΜ 6 ( µονάδες ( µον.. (α Γραµµική αρµονική ταλάντωση (Γ..Τ. ονοµάζουµε κάθε περιοδική παλινδροµική κίνηση (µεταξύ δύο ακραίων θέσεων που γίνεται σε ευθεία γραµµή κατά την οποία η αποµάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας είναι ηµιτονοειδής (ή συνηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. ( µον. (β Για να εκτελεί ένα σώµα Γ..Τ. πρέπει να ασκείται σ αυτό δύναµη που να έχει µέτρο ανάλογο µε την αποµάκρυνση και φορά προς τη θέση ισορροπίας, να είναι δηλαδή δύναµη επαναφοράς. 6 ΣF -Dy ( µον.
3η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση Λύσεις Β. (α φού το σώµα εκτελεί ταλάντωση θα έχει µέγιστη ταχύτητα του δίνεται από τη σχέση υ ω x ωd Για να την υπολογίσουµε θα πρέπει πρώτα να καθορίσουµε την κυκλική συχνότητα ω. K rad ω 5 M,4 s Τότε υ 5.,,5m (3 µον. m,5kg υ σ 3,m/s Θ.Ι M,4kg d,m ΚN/m (β Η κρούση γίνεται όταν το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας για δεύτερη φορά. Τότε η ταχύτητα του θα είναι υ,5m. πό την αρχή διατήρησης της ορµής θα έχουµε: συστ. αρχ. συστ. τελ. Mυ mυ σ ( M m V V Mυ mυ ( M m σ,4.,5,5.3,, 7 V m Η ταχύτητα αυτή είναι και η µέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης αφού η κρούση γίνεται στη Θ.Ι. (3 µον. (γ Μετά την κρούση τα σώµατα ταλαντώνονται µαζί. Τότε ω (δ K M m ω rad 3 s Για να βρούµε το νέο πλάτος x του συστήµατος των δύο µαζών V εφαρµόζουµε τη σχέση V ωx x x, 6m ω / 3 (3 µον. Η χρονική στιγµή t καθορίζεται από τη στιγµή που το σώµα µάζας M αρχίζει την 3T T κίνηση του. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης t όπου Τ και Τ οι 4 4 περίοδοι της αρχικής και τελικής ταλάντωσης του. M,4 T π π, 4π s Κ M m, T π π, 6π s Κ 3T T 3.,4π,6π Τότε t 4 4 4 4 (ε Το σώµα τη χρονική στιγµή t s ξεκινά µε µηδενική ταχύτητα αφού βρίσκεται στη δεξιά ακραία θέση του. Εκτελεί τα ¾ της πρώτης του ταλάντωσης µε περίοδο Τ και το υπόλοιπο ¼ της δεύτερης ταλάντωσης του µε περίοδο T (5 µον., t,45π s ( µον. υ (m/s,5,5,5 -,5 -,,,3,4,5 t (πxs