ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 011) 1 Από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς του αριθμητικού χωρο-χρόνου εντοπίστε αυτούς που ανήκουν στη γαλιλαϊκή ομάδα και προσδιορίστε τις τιμές των παραμέτρων τους: 1 0 0 1 vo 1 1 o 1 0 1 0 v o o 1 0 0 vo o t 1 0 1 0 vo 1 1 o 1 0 0 1 v o o 1 0 0 vo o t 1 1/ / / vo 1 1 o1 / 1/ / v o o / / 1/ vo o t 1 / / 1/ vo 1 1 o1 1/ / / v o o / 1/ / vo o t 1 / 0 / v o1 1 0 1 0 v o / 0 / v o t 0 0 0 1 t 1 / / 1/ vo 1 1 / 1/ / v o 1/ / / vo t 0 0 0 1 t Στον αριθμητικό χωρο-χρόνο δίνονται τα γεγονότα a (0,1,,) και b (,,1,0) Προσδιορίστε τις παραμέτρους και τους πίνακες των γαλιλαϊκών μετασχηματισμών που μετασχηματίζουν το γεγονός a στο γεγονός b και οι οποίοι στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκτελούν στροφή 45 ο γύρω από τον δεύτερο άξονα του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς Στον αριθμητικό χωρο-χρόνο θεωρούμε τα γεγονότα a (1,1,1, 0) και b (1,0,0,0) Προσδιορίστε τη χωρική τους απόσταση και τη γωνία τους στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ και κατόπιν τη χωρική απόσταση και τη γωνία των αντίστοιχων γεγονότων που προκύπτουν από τον ακόλουθο γαλιλαϊκό μετασχηματισμό: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 t 0 t 4 Μας πληροφορούν ότι ένας γαλιλαϊκός μετασχηματισμός χαρακτηρίζεται από μηδενική χρονική μεταφορά και ότι στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων ορίζει μηδενική χωρική μεταφορά, αδρανειακή κίνηση με ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου στον άξονα του διανύσματος (1,1,1) και χωρική στροφή γύρω από αυτό τον άξονα κατά γωνία π/ Προσδιορίσετε τα αριθμητικά στοιχεία που υπεισέρχονται στον πίνακα αυτού του μετασχηματισμού: 1 1 0 0 0 1 t t 5 Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί δεν επηρεάζουν την καμπυλότητα και τη στρέψη των τροχιών στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Επίσης, ότι η καμπυλότητα και η στρέψη δεν επηρεάζονται από το σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο υπολογίζουμε τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις, ούτε από το μεταχρονισμό του χρονικού άξονα 6 Αποδείξτε ότι κάθε κίνηση μη μηδενιζόμενης ταχύτητας με κατάλληλη αναπαραμέτρηση του χρονικού άξονα ανάγεται σε κίνηση ταχύτητας μοναδιαίου μέτρου 7 Αποδείξτε ότι οι τροχιές μηδενικής στρέψης είναι επίπεδες και ότι οι τροχιές μηδενικής καμπυλότητας είναι ευθύγραμμες Επίσης, ότι οι τροχιές μηδενικής στρέψης και σταθερής μη μηδενικής καμπυλότητας είναι κυκλικές και ότι οι τροχιές σταθερής μη μηδενικής στρέψης και σταθερής μη μηδενικής καμπυλότητας εξελίσσονται ελικοειδώς στο χώρο επάνω σε κυκλική βάση Ποια είναι η γεωμετρική μορφή των τροχιών που η καμπυλότητα και η στρέψη τους μεταβάλλονται, χωρίς να μηδενίζονται, διατηρώντας σταθερό το λόγο τους; 8 Προσδιορίστε τη συνάρτηση () t έτσι ώστε η ακόλουθη κίνηση να είναι επίπεδη: () t cos,sin t t, () t 9 Προσδιορίστε τις τιμές των σταθερών a και b για τις οποίες καθίσταται επίπεδη η κίνηση: () t acos,1 t sin t, bcost ( a 4/5, b /5)
ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ 10 Προσδιορίστε την καμπυλότητα των τροχιών των ακόλουθων κινήσεων: i) () t e t cos,sin t t,0, 0 t, ii) () t cos, t sin t,0, 0 11 Από τις ακόλουθες κινήσεις εντοπίστε εκείνες που οι τροχιές τους είναι ελικοειδείς: () t ch t, sh t, t, () t t t, t, t t, t (), t t, t /, (),,1 t t t t t t 1 Διαπιστώστε ότι η τροχιά της ακόλουθης κίνησης εξελίσσεται σε μια κωνική επιφάνεια: t t t t () e cos,e t sin t,e Επίσης, ότι η τροχιά της ακόλουθης κίνησης εξελίσσεται στην τομή μιας σφαιρικής και μιας κυλινδρικής επιφάνειας: () t 1 cos,sin t t,cos t/ 1 Προσδιορίστε τις δυνάμεις οι οποίες ασκούμενες σε μια μοναδιαία σημειακή μάζα μπορούν να προκαλέσουν τις ακόλουθες κινήσεις: i) () t e t cos,sin t t,0, 0 t, ii) () t cos, t sin t,0, 0 14 Προσδιορίστε τις τροχιές που μπορεί να διαγράψει μια μοναδιαία σημειακή μάζα υπό την επίδραση της δύναμης που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F( ) (,,0) 1) 1 ) 1 F( ) (,,0) F( ) (,,0), F( ) (,,0), ) 1, 4) 1 15 Διαπιστώστε ότι ο παρατηρητής που πετάει την μπάλα και εκείνος που τρέχει κάτω από αυτήν αποδίδουν στην κίνησή της διαφορετικές θέσεις και ταχύτητες αλλά ίδια επιτάχυνση και ίδιο νόμο της δύναμης
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 16 Μια σημειακή μάζα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον ευκλείδειο χώρο Πώς κατάγράφεται η κίνησή της σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση ως προς το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς; 17 Μια σημειακή μάζα εκτελεί ελικοειδή κίνηση που καταγράφεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής: (t) (cos t, sin t, t), t 0 Ένας παρατηρητής είναι τοποθετημένος σε ένα σύστημα αναφοράς του οποίου η αρχή, σε κάθε χρονική στιγμή, ταυτίζεται με την προβολή του υλικού σημείου στο οριζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και οι άξονές του παραμένουν παράλληλοι με τους αντίστοιχους ευκλείδειους άξονες Πώς αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής αυτός την κίνηση του υλικού σημείου και πώς καταγράφεται στο σύστημα αναφοράς του η δύναμη που προκαλεί την κίνηση; Εξετάστε τα ίδια ερωτήματα θεωρώντας ότι η τροχιά εξελίσσεται σε μια κωνική επιφάνεια και καταγράφεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής: t t t t () e cos, t e sin t, e, t 0 18 Εξετάστε αν υπάρχει αρχική θέση και αρχική ταχύτητα έτσι ώστε μια μοναδιαία σημειακή μάζα να διαγράψει κυκλική ελικοειδή τροχιά καμπυλότητας κ=1/5 και στρέψης τ=/5 υπό την επίδραση της δύναμης που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F( ) (,,0) 1 19 Δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα αναφοράς υπολογίζουν την ορμή και τη στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών Τα συμπεράσματά τους διαφέρουν; Τι θα συμβεί αν το σύστημα αποτελείται από μόνο μια σημειακή μάζα; 0 Είναι αλήθεια ότι κάθε σημειακή μάζα που κινείται ευθύγραμμα έχει μηδενική στροφορμή; Είναι αλήθεια ότι μια σημειακή μάζα που κινείται σε καμπυλόγραμμη τροχιά μπορεί να έχει μηδενική στροφορμή σε κάποια χρονική στιγμή ή κάποιο χρονικό διάστημα; 1 Θα μπορούσε η ιδιοστροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών να είναι μηδενική και η στροφορμή του ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου να μην είναι μηδενική; Αν η ιδιοστροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών είναι μηδενική, ποιο θα ήταν το συμπέρασμά σας για την αντίστοιχη ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων; Υπολογίστε την ιδιοστροφορμή ενός ζεύγους σημειακών μαζών που κινούνται ομαλά στην ίδια ευθεία γνωρίζοντας ότι το αδρανειακό τους κέντρο μένει αμετακίνητο Υπολογίστε την ιδιοστροφορμή ενός ζεύγους σημειακών μαζών που κινούνται ομαλά στην ίδια περιφέρεια γνωρίζοντας ότι το αδρανειακό τους κέντρο μένει αμετακίνητο
ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ 5 Υπολογίστε την ιδιοστροφορμή ενός ζεύγους σημειακών μαζών που μοναδιαίας μάζας διαγράφουν ομόκεντρες κυκλικές τροχιές με ομόρροπες ταχύτητες σταθερού μέτρου έτσι ώστε το αδρανειακό τους κέντρο να διαγράφει ομόκεντρο κύκλο Ποια σχέση πληρούν τα μέτρα των ταχυτήτων τους; Αν το υλικό σημείο που διαγράφει την εσωτερική κυκλική τροχιά έχει ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου, προσδιορίστε την κινητική ενέργεια του συστήματός τους και την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κέντρου Επίσης, προσδιορίστε την ιδιοστροφορμή του συστήματός τους και την ολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό του κέντρο Προσδιορίστε την στροφορμή του συστήματός τους ως προς το κέντρο των κυκλικών τροχιών το οποίο μπορείτε να το θεωρήσετε τοποθετημένο στην αρχή του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς Διερευνήστε την περίπτωση αντίρροπης κίνησης 4 Δυο υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και σε κάθε χρονική στιγμή η θέση τους εντοπίζεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς αντίστοιχα ως εξής: () t cos,sin t t, t, ( ) cos( ), sin( ), t t t t Προσδιορίστε την τροχιά του αδρανειακού τους κέντρου, την ιδιοστροφορμή τους και τη συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των δυο υλικών σημείων και σε τι διαφέρει από την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου όταν αυτό θεωρηθεί ως υλικό σημείο στο οποίο συμπυκνώνεται η μάζα του συστήματός τους;
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 5 Τρία υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και οι τροχιές τους καταγράφονται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς με τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης: t t t r() t e cos,e t sin t,e 1 r() t t t t t e cos,e sin,0 t t t t t r() e cos( ),e sin( ),0 Προσδιορίστε την κίνηση του αδρανειακού τους κέντρου, την ιδιοστροφορμή τους και τη συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των τριών υλικών σημείων και ποια είναι η διαφορά της από την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου όταν αυτό θεωρηθεί ως υλικό σημείο στο οποίο συμπυκνώνεται η μάζα του συστήματός τους; 6 Προσδιορίστε τη φυγόκεντρο δύναμη που ασκείται σε μάζα 1000kg τοποθετημένη σε γεωγραφικό πλάτος 60 ο στην επιφάνεια της γης Η φυγόκεντρος δύναμη είναι εντονότερη στον ισημερινό ή σε κάποιον από τους πόλους της γης; 7 Λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση της δύναμης Coriolis προσδιορίστε την τελική απόκλιση στην πτώση μιας πέτρας η οποία αφέθηκε να πέσει σε πηγάδι βάθους 500 μέτρων σε ένα τόπο που βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 60 ο Ποια θα ήταν η απόκλιση αν το πηγάδι βρίσκεται στον ισημερινό ή σε έναν πόλο της γης; 8 Προσδιορίστε τις λύσεις των εξισώσεων που διέπουν την κίνηση του εκκρεμούς του Foucault στο γεωγραφικό πλάτος της Πάτρας Ποιες θα ήταν οι λύσεις αν το εκκρεμές αυτό βρισκόταν στον ισημερινό ή σε έναν πόλο της γης;