Ελλθνικι Δθμοκρατία Σεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ Ενότθτα 8 : Διακριτόσ Μεταςχθματιςμόσ Fourier Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ 1
Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου Σμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ Σ.Ε. Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ Ενότητα 8: Διακριτόσ Μεταςχθματιςμόσ Fourier Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ Κακθγθτισ Άρτα, 2015 2
Άδειεσ Χρήςησ Σο παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χριςθσ, θ άδεια χριςθσ αναφζρεται ρθτώσ. 3
Σκοποί ενότητασ Να ειςάγει τον οριςμό του διακριτοφ μεταςχθματιςμοφ Fourier και του αντίςτροφου Μετατροπι βαςικών ςθμάτων ςε διακριτά με τθ χριςθ του μεταςχθματιςμοφ fourier. Παρουςίαςθ και χριςθ των ιδιοτιτων του μεταςχθματιςμοφ Fourier 4
Περιεχόμενα ενότητασ Οπιζμοί DFT-IDFT Σσέζη ηος DFT με DTFT 1ο παπάδειγμα Ιδιόηηηερ διακπιηού μεηαζσημαηιζμού Fourier Discrete Time Fourier Transform DTFT Ζεςγάπια Μεηαζσημαηιζμών DTFT Απόκπιζη Σςσνόηηηαρ 5
Περιεχόμενα ενότητασ Σςζηήμαηα ζςνδεδεμένα ζε ζειπά Σςζηήμαηα ζςνδεδεμένα παπάλληλα 6
Οριζμοί DFT-IDFT Ο εςθύρ διακπιηόρ μεηαζσημαηιζμόρ Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) οπίζεηαι ωρ: X N N ( ) k n 1 0 x n ( k) W kn N, 0 k N 1 Όπος W N exp j 2 N O ανηίζηποθορ διακπιηόρ μεηαζσημαηιζμόρ Fourier (Inverse Discrete Fourier Transform N 1 IDFT) οπίζεηαι ωρ: 1 kn x( n) N k0 X ( k) N W N 7
Στέζη ηοσ DFT με DTFT Αν ηο ζήμα είναι πεπεπαζμένος σπόνος ζηο διάζηημα [0: N 1 τότε αν τότε N 1 X e jω = x(n) e jωn n=0 ω k = (2 π N) k, k [0: N 1 N 1 j(2 / N ) k j(2 / N ) kn X e x( n) e X ( k) n0 8
1ο παράδειγμα Δίνεηαι ηο ζήμα x( n) ( n) 2 ( n 5) Ο διακπιηόρ μεηαζσημαηιζμού Fourier N 10 ζημείων ηος ζήμαηορ είναι: 9 nk j X ( k) x( n) W, k [0:9] n0 Επομένωρ 9 n0 10 9 n0 W e e 10 2 /10 j/5 X ( k) ( n) 2 ( n 5) W, k [0:9] j/5 5k j 10 nk nk 0 k 5k X ( k) ( n) 2 ( n 5) W 1 W 2 W 10 10 10 1 2 e 1 2 e, k [0:9] k 9
1ο παράδειγμα Χπηζιμοποιώνηαρ ηην ταυτότητα του Euler e j cos( ) jsin( ) k k k j X ( k) 1 2 e 1 2 cos( ) j sin( ) 1 2 cos( ) j sin( ) k j 1 2 1 0 1 2 1, k[0:9] k 10
Ιδιόηηηες διακριηού μεηαζτημαηιζμού Fourier Ιδιόηηηα διακπιηού μεηαζσημαηιζμού Fourier (DFT) Σήμα διακπιηού σπόνος xn ( ) Διακπιηόρ μεηαζσημαηιζμόρ Fourier (DFT) X( k ) Γπαμμικόηηηα c1 x1 ( n) c2 x2 ( n) c1 X1( k) c2 X 2( k) Σςμμεηπία xn ( ) * ππαγμαηικού X ( k) X (( N k)) N ζήμαηορ ππαγμαηικό ζήμα Σςμμεηπία θανηαζηικού ζήμαηορ xn ( ) θανηαζηικό ζήμα X k X N k * ( ) (( )) N Κςκλική nk 0 x(( n n0 )) μεηαηόπιζη N WN X ( k) Κςκλική x(( n)) * αναδίπλωζη N X ( k ) Κςκλική x1( n) # x2( n) X1( k) X 2( k) ζςνέλιξη 11
Discrete Time Fourier Transform - DTFT Ο μεηαζσημαηιζμόρ Fourier διακπιηού σπόνος (DTFT) ενόρ ζήμαηορ x(n) οπίζεηαι ωρ ακολούθωρ: X ( e j ) x( n) e jn Ο μεηαζσημαηιζμόρ Fourier διακπιηού σπόνος ηος ζήμαηορ x(n) ςπάπσει αν ιζσύει η ζσέζη: n n x( n) S 12
Discrete Time Fourier Transform - DTFT Ο μεηαζσημαηιζμόρ Fourier διακπιηού σπόνος είναι πεπιοδικόρ ωρ ππορ ω με πεπίοδο 2π 13
Ζεσγάρια Μεηαζτημαηιζμών DTFT 14
Ιδιόηηηες DTFT 15
Απόκριζη Σστνόηηηας Ο μεηαζσημαηιζμόρ Fourier διακπιηού σπόνος (DTFT) H(e jω ) ηηρ κποςζηικήρ απόκπιζηρ h(n) ονομάζεηαι απόκριζη ζστνόηηηας: H( e j ) n h( n) e jn Ο μεηαζσημαηιζμόρ Fourier διακπιηού σπόνος (DTFT) X(ejω) ηηρ ειζόδος x(n) και ο μεηαζσημαηιζμόρ Fourier διακπιηού σπόνος (DTFT) Y(ejω) ηηρ εξόδος y(n) ηος θίληπος ζςνδέονηαι με ηη ζσέζη: Y(e jω )=H(e jω ) X(e jω ) 16
Σσζηήμαηα ζσνδεδεμένα ζε ζειρά Αν ένα ζύζηημα W(e jω )= H 1 (e jω ) X(e jω ) ζςνδεθεί ζε ζειρά με ένα ζύζηημα Y(e jω )= H 2 (e jω ) W(e jω ) ηόηε ηο ζςνολικό ζύζηημα έσει είζοδο x(n), έξοδο y(n) και απόκπιζη ζςσνόηηηαρ H(e jω )= H 1 (e jω ) H 2 (e jω ) όπος Y(e jω )= H(e jω ) X(e jω ) 17
Σσζηήμαηα ζσνδεδεμένα παράλληλα Αν ένα ζύζηημα W(e jω )= H 1 (e jω ) X(e jω ) ζςνδεθεί παπάλληλα με ένα ζύζηημα V(e jω )= H 2 (e jω ) X(e jω ) πποζθέηονηαρ ηιρ εξόδοςρ ηων θίληπων, δηλαδή: Y(e jω )= W(e jω ) + V(e jω ) ηόηε ηο ζςνολικό ζύζηημα έσει είζοδο x(n), έξοδο y(n) και απόκπιζη ζςσνόηηηαρ όπος Y(e jω )= H(e jω ) X(e jω ) H(e jω )= H 1 (e jω ) + H 2 (e jω ) 18
θμείωμα Αναφοράσ Copyright Σεχνολογικό Ίδρυμα Ηπείρου. Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ. Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ. Ζκδοςθ: 1.0 Άρτα, 2015. Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: http://eclass.teiep.gr/courses/comp102/ Ειςαγωγή, Διακριτόσ Ενότθτα Μεταςχηματιςμόσ 2, Σμιμα Μθχανικών Fourier- Ενότθτα Πλθροφορικισ 8, Σμιμα Σ.Ε., Μθχανικών ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ Πλθροφορικισ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου ςτο ΤΕΙ Ηπείρου 19
θμείωμα Αδειοδότθςθσ Σο παρόν υλικό διατίκεται με τουσ όρουσ τθσ άδειασ χριςθσ Creative Commons Αναφορά Δθμιουργοφ-Μθ Εμπορικι Χριςθ-Όχι Παράγωγα Ζργα 4.0 Διεκνζσ [1] ι μεταγενζςτερθ. Εξαιροφνται τα αυτοτελι ζργα τρίτων π.χ. φωτογραφίεσ, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριζχονται ςε αυτό και τα οποία αναφζρονται μαηί με τουσ όρουσ χριςθσ τουσ ςτο «θμείωμα Χριςθσ Ζργων Σρίτων». Ο δικαιοφχοσ μπορεί να παρζχει ςτον αδειοδόχο ξεχωριςτι άδεια να χρθςιμοποιεί το ζργο για εμπορικι χριςθ, εφόςον αυτό του ηθτθκεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.el 20
Τζλοσ Ενότητασ Επεξεργαςία: Κολοβοφ Ξανθή Άρτα, 2015 21
Διατιρθςθ θμειωμάτων Οποιαδιποτε αναπαραγωγι ι διαςκευι του υλικοφ κα πρζπει να ςυμπεριλαμβάνει: το θμείωμα Αναφοράσ το θμείωμα Αδειοδότθςθσ τθ Διλωςθ Διατιρθςθσ θμειωμάτων το θμείωμα Χριςθσ Ζργων Σρίτων (εφόςον υπάρχει) μαηί με τουσ ςυνοδευόμενουσ υπερςυνδζςμουσ. Διακριτόσ Μεταςχηματιςμόσ Fourier- Ενότθτα 8, Σμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου 22
Σζλοσ Ενότθτασ Διακριτόσ Μεταςχθματιςμόσ Fourier 23