Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω ισότητες, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) (β) (γ) (δ) (ε) 3. Με βάση το πιο κάτω σχήμα: (α) Να γράψετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και να υπολογίσετε το μέτρο τους. 4. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως άθροισμα ή διαφορά των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: 5. Στο διπλανό σχήμα ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι 1 3. 1
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. : Πραγματικοί Αριθμοί 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 5 3 3 3 54 8, 0. Να κάνετε τις πράξεις ( Να δείξετε όλα τα βήματα σας) 48 15 5 1 13 7 4 3. Να μετατρέψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή ( Να δείξετε όλα τα βήματα σας) 5 1, 0 1 3 7 5 1 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3 7 5 6 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 64 0 81 0 8 3 1 4, 3 3 3 4 5 6. Χωράφι σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει πλευρές x,y>0. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο του χωραφιού αυτού. 3 5 7. Να λύσετε την εξίσωση: χ + 4 3 11. 8. Χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής, να αποδείξετε ότι: 4 4 8 yx και 3 y 6, 9 9 1 11 3 0 7 6 3. 9. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( AB AΓ ), το ύψος ΑΔ 4 cm και η πλευρά BΓ 4 cm. Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 4 1 5 cm. Να δώσετε τις απαντήσεις σας με πράξεις, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής.
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 10. Αν x = 5 1 5 + 1 και ψ = 1, χωρίς τη χρήση της υπολογιστικής μηχανής να δείξετε ότι 5 x + ψ x ψ 1 = 1. Εν. 3: Κύκλος 1. Να βρείτε την θέση των δύο κύκλων σε καθεμία από τις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) Κύκλοι (β) Κύκλοι (γ) Κύκλοι,cm και,3cm με απόσταση 5cm,cm και,3cm με απόσταση 8cm,cm και,3cm με απόσταση 1cm. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Κ, R) με διάμετρο ΑΒ. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του Δ, τέμνει την ΑΒ στο σημείο Γ. Αν το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές (ΒΔ=ΒΓ), να αποδείξετε ότι ΒΑ Δ = 30 ο. 4. Δίνεται ο κύκλος (Κ,R) και η διάμετρος του ΑΓ. Αν η ευθεία (ε) είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Δ, να υπολογίσετε τις γωνιές x, ψ και ΑΔ Γ δικαιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Ε Β Α Ο Γ 3 Δ
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο, R) και η γωνία 36. Να υπολογίσετε τις γωνίες, και το τόξο σε μοίρες. 6. Στο πιο κάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου (O, R) και η είναι εφαπτομένη του κύκλου στο. Αν η γωνία ˆ 60 και το τόξο τριγώνων και. 104,να βρείτε τις γωνίες των Εν. 4: Γραμμικά Συστήματα 1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις: [8] (α) Η εξίσωση 3x 0 έχει λύση το x 3. (β) Η εξίσωση 9 x 3 είναι ταυτότητα για 3. (γ) Η εξίσωση x δεν έχει πάντα λύση αν, R (δ) Αν η εξίσωση x 5 έχει μοναδική λύση το x, τότε η τιμή του είναι 1. (ε) Η εξίσωση x 0 έχει μοναδική λύση αν το 0. (ζ) Η εξίσωση 3x 3x δεν έχει λύση. 4
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 (η) Η εξίσωση x για 0 είναι αόριστη. (θ) Η εξίσωση x 1 για 0 έχει λύση την 1 x.. Να βρείτε για ποιες τιμές των α και β η εξίσωση (α 1)x = β 4 είναι αόριστη. 3. Να γράψετε την εξίσωση x3 x στη μορφή x και στη συνέχεια να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παραμέτρου, ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη. 4. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου κ, κ R για την οποία η εξίσωση: (3κ 1) x = 14 είναι αδύνατη. 5. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων λ και μ, λ, μ R έτσι ώστε η εξίσωση 1 3 να έχει άπειρες λύσεις. 6. Να λύσετε και να διερευνήσετε την πιο κάτω εξίσωση για R. 1 x Εν. 5: Τριγωνομετρία 1. Να συμπληρώσετε το πιο κάτω πίνακα: 0 15 Γωνία: θ Τεταρτημόριο Πρόσημο 0 65 0 380 0 135. Στα πιο κάτω σχήματα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ. 5
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 6 Παραβολή: 1. Αφού συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, ακολούθως να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις στον ίδιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. 1 4 1 1 α β γ Μορφή Κορυφή Μεγ. ή ελάχ. Άξονας συμμετρίας Σημείο τομής με τον ψψ Π.Ο. Π.Τ. 6
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 y 1 10 8 6 4-4 -3 - -1 1 3 4 5 6 - x -4-6.... Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 3. Αν 1, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (χωρίς να λυθεί η εξίσωση): α) 1 8 0 δεν έχει ρίζες πραγματικές 9 4 0 β) 1, να υπολογισθούν οι πιο κάτω παραστάσεις 4 4 δ) γ) 1 1 1 1 4. Να βρείτε την τιμή του μ για την οποία η εξίσωση α) ρίζες αντίθετες β) ρίζες αντίστροφες γ) άθροισμα των ριζών ίσο με 3 δ) το άθροισμα των ριζών ίσο με το γινόμενο των ριζών. 3 5 0 έχει: 5. Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση 3 3 0 έχει: α) ρίζες αντίθετες β) μια ρίζα ίση με - γ) ρίζες πραγματικές και ίσες δ) γινόμενο των ριζών ίσο με -3 ε) το άθροισμα των ριζών ίσο με το τριπλάσιο του γινομένου των ριζών 7
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 6. Να κατασκευάσετε εξίσωση β βαθμού που έχουν ρίζες τα ζεύγη των αριθμών: α) 3 και -4 β) 3 και 3 γ) 3 και 4 7. Να βρεθούν αριθμοί που το άθροισμά τους είναι 9 και το γινόμενο τους 5. 8. Να λύσετε τα συστήματα: α) 4 3 5 β) 3 1 8 γ) 13 9. Για τη κάθε μια από τις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις f, 0 να υπολογίσετε: α) το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της β) το πρόσημο του α γ) το πρόσημο του Δ δ) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας ε) το ακρότατο σημείο (κορυφή) και να το χαρακτηρίσετε στ) τις ρίζες της εξίσωσης 0 ζ) το σημείο τομής με τον άξονα των ψψ η) τα σημεία τομής με τον άξονα των χχ θ) τις τιμές των α, β και γ. Α) Β) 10 Για την παράσταση δίνεται ο πιο κάτω πίνακας: 8
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 χ -6 3 Πρόσημο του + - + Να βρείτε: α) το πρόσημο του α β) το πρόσημο της παράστασης όταν το χ παίρνει τις τιμές : 1, 5, 0 11. Για την παράσταση δίνεται ο πιο κάτω πίνακας: χ 1 8 Πρόσημο του - + - Να γράψετε δίπλα από κάθε πρόταση ορθό ή λάθος. α) το πρόσημο του α είναι θετικό... β) το πρόσημο της διακρίνουσας είναι θετικό... γ) f (0) 0... δ) f (1) 0... ε) f (10) 0... 1.. Δίνεται η εξίσωση τιμή του λ. ( ) 0. Να δείξετε ότι έχει ρίζες πραγματικές για κάθε πραγματική Εν. 7: Θεώρημα Θαλή - Ομοιότητα 1. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο σημείο Σ εντός του κύκλου. Να δείξετε ότι ισχύει (ΣΑ) (ΣΒ) = (ΣΓ) (ΣΔ). Δίνεται κύκλος (Κ, ρ) και σημείο Α του κύκλου. Από το Α φέρουμε κάθετη ΑΔ σε διάμετρο ΒΓ του κύκλου. Να αποδείξετε ότι (ΑΓ) = (ΒΓ) (ΔΓ) 9
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 3. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια. Αν ΑΒ=4cm, ΒΓ= cm, ΑΓ = 6cm, ΔΕ= cm η ΔΕ είναι ομόλογη της ΑΒ και η ΕΖ ομόλογη της ΒΓ, να υπολογίσετε τις πλευρές ΕΖ, ΔΖ. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 8 cm, ΑΓ = 10 cm και ΒΓ =1 cm. Δ είναι σημείο της ΑΒ έτσι ώστε AΔ = 5 cm.από το Δ φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΔΕ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου η πλευρά ΑΓ είναι τριπλάσια της ΑΒ. Πάνω στη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας Α παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε (ΔΕ)=(ΑΕ). Να αποδειχτεί ότι ΑΕΒ = ΑΔΓ. 6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Από την κορυφή Α φέρουμε ευθεία που τέμνει τη ΔΓ στο Ζ και την προέκταση της ΒΓ στο Ε. Να δείξετε ότι: α) και β) (ΖΑ)(ΖΓ) = (ΖΔ)(ΖΕ) 7. Σ'ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΑΔ και BE. Αν Η είναι το ορθόκεντρο (σημείο τομής των υψών), να δείξετε ότι: α) (ΗΑ)(ΗΔ) = (ΗΒ)(ΗΕ) και β) (ΓΑ)(ΓΕ) = (ΓΒ)(ΓΔ) 8. Δίνεται ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ και χορδές ΑΓ και ΖΒ. Από το σημείο τομής Ε των χορδών ΑΓ και ΖΒ, φέρνουμε την ΕΔ κάθετη στη διάμετρο ΑΒ. Να δείξετε ότι: (α) ΑΕ. ΑΓ = ΑΔ. ΑΒ (β) Τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΑΒΖ είναι όμοια. (γ) ΑΕ. ΑΓ + ΒΕ. ΒΖ = (ΑΒ) 10
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 8: Στατιστική 1. Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τον αριθμό των υπαλλήλων που έχουν οι βιοτεχνίες σε μια περιοχή της Λευκωσίας. Αριθμός υπαλλήλων Βιοτεχνίες χ i f i 5 6 7 8 3 10 1 Να υπολογίσετε: (ι) τη μέση τιμή και (ιι) την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων.. Την περασμένη βδομάδα οι ψηλότερες θερμοκρασίες που καταμετρήθηκαν στη Λευκωσία ήταν οι ακόλουθες: 8, 7, 8, 30, 9, 9, 3 α) Να βρείτε τη μέση τιμή( x ) των θερμοκρασιών β) Να δείξετε ότι η τυπική απόκλιση των θερμοκρασιών, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων είναι s= 1,51 γ) Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβλητότηταςcv με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. 3. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τους βαθμούς που πήραν 4 μαθητές μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών. Να υπολογίσετε: α) τη μέση τιμή των βαθμών του διαγωνίσματος β) την τυπική απόκλιση. Βαθμός χ i Αριθμός μαθητών f i 8 9 3 10 5 1 7 15 4 11
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 16 19 1 1