ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Αριθμητικά μοντέλα υπόγειων υδροορέων Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής Περικλής Λατινόπουλος ΑΠΘ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αριθμητικά μοντέλα υπόγειων υδροορέων
Το μαθηματικό πρόβλημα Εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς. Διδιάστατα και τριδιάστατα συστήματα. Οριακές συνθήκες προβλήματος ροής. Εξισώσεις γραμμών ροής και δυναμικού. Εξισώσεις συναγωγής διασποράς. Οριακές συνθήκες προβλήματος μεταοράς.
Μαθηματικά μοντέλα 1/ Με τον όρο μαθηματικό μοντέλο υπόγειου υδροορέα ορίζεται μια μημοναδική, απλοποιημένη μαθηματική έκραση ενός υπόγειου υδροορέα, που παρουσιάζει τις ουσιαστικότερες λειτουργίες του συστήματος, ανάλογα με τους στόχους για τους οποίους έχει αναπτυχθεί, και που περιλαμβάνει διάορες παραδοχές, υποθέσεις και περιορισμούς που επιβάλλονται από το ίδιο το σύστημα. Το μοντέλο εκράζει τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ διαόρων μεγεθών του συστήματος αλλά και μεταξύ του συστήματος και του περιβάλλοντός του. Η λύση ενός μαθηματικού μοντέλου μπορεί να είναι είτε συνεχής είτε διακριτή στο χώρο ή και στο χρόνο.
Μαθηματικά μοντέλα / Ανάλογα με την εαρμογή τους τα μαθηματικά μοντέλα κατατάσσονται σε τέσσερις βασικές κατηγορίες : Μοντέλα επεξεργασίας δεδομένων. Μοντέλα καθορισμού των παραμέτρων του προβλήματος. Μοντέλα πρόβλεψης της λειτουργίας του συστήματος. Μοντέλα διαχείρισης. Αξιοπιστία μαθηματικών μοντέλων και αβεβαιότητα Μέθοδοι επίλυσης α αναλυτικές λύσεις, β αριθμητικά σχήματα
Αναλυτικές λύσεις Χαρακτηριστικό των αναλυτικών λύσεων οποιουδήποτε μαθηματικού προβλήματος είναι ότι αποτελούν μια κλειστή έκραση, μια σχέση δηλαδή που συνδέει την άγνωστη μεταβλητή με τις παραμέτρους, σε συνάρτηση κάθε ορά με τις ισχύουσες αρχικές και οριακές συνθήκες. Τα μειονεκτήματα τους είναι : α δεν υπάρχουν λύσεις για τις γενικές μορές των εξισώσεων, β δεν αντιμετωπίζονται πεδία με σύνθετη γεωμετρία ορίων γ είναι πολύ δύσκολο να επιλυθούν σύνθετα προβλήματα, όπως ταυτόχρονη λειτουργία πηγαδιών και μεταορά ρύπων, κυρίως γιατί τα αντίστοιχα πεδία ταχυτήτων είναι τελείως διαορετικά από τα ομοιόμορα που απαιτούνται για την αναλυτική επίλυση της εξίσωσης συναγωγής - διασποράς.
Αριθμητικά σχήματα 1/ Α Στάδιο: Αξιολόγηση του μοντέλου σε ότι αορά τα αριθμητικά σάλματα από την επίλυση του συστήματος των αλγεβρικών εξισώσεων. Η διαδικασία αυτή γίνεται συνήθως συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με αντίστοιχα αποτέλεσμα αναλυτικών λύσεων. Β Στάδιο: Έλεγχος αν πράγματι το μοντέλο προσομοιώνει τα υσικά αινόμενα τα οποία υποτίθεται ότι αναπαράγει. Αυτή η διαδικασία ελέγχου υλοποιείται συγκρίνοντας τα αποτελέσματα του μοντέλου με αντίστοιχες μετρήσεις στο εργαστήριο ή στο πεδίο. Γ Στάδιο: Φάση εαρμογής του μοντέλου, με στόχο την προσομοίωση των υσικών αινομένων ενός πραγματικού συστήματος και ειδικότερα η διερεύνηση ή η πρόγνωση των πιο δυσμενών καταστάσεών του.
Αριθμητικά σχήματα / Οι πιο συνηθισμένες αριθμητικές μέθοδοι είναι οι: α η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών, β η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, γ η μέθοδος των οριακών στοιχείων και δ η μέθοδος των κινούμενων σημείων. Σχήμα 1: Μορές διακριτοποίησης πεδίων. Πηγή: Περικλής Λατινόπουλος, Προστασία και Εξυγίανση των Υπόγειων Νερών Σημειώσεις Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προστασία Περιβάλλοντος και Βιώσιμη Ανάπτυξη», Θεσσαλονίκη 006, σελ. 115.
Η αριθμητική επίλυση διαορικών Φ Ε = ακριβής λύση διαορικής εξίσωσης Φ Δ = ακριβής λύση διακριτοποιημένης με αριθμητική μέθοδο εξίσωσης Φ Α = αριθμητική λύση διακριτοποιημένης εξίσωσης Φ Ε -Φ Δ = σάλμα αποκοπής Φ Δ -Φ Α = σάλμα στρογγύλευσης Φ Ε -Φ Α = συνολικό σάλμα εξισώσεων Κριτήριο σύγκλισης = Φ Ε -Φ Δ < ε 1 Κριτήριο σύγκλισης = Φ Δ -Φ Α < ε
Η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών 1/6 Σχήμα : Τυπική μορή καννάβου πεπερασμένων διαορών. 1
Κεντρική Οπισθοδρομική 0... 3!! σειρά Taylor σε μεταβλητής 3 3 3 d d d d d d d d d d d d d d διαορά διαορά Εμπροσθοδομική διαορά Ανάπτυγμα Η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών /6
Η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών 3/6 d d +Δ + Δ Δ dt dt t Δt Δt t dt dt t t Δt Δt
Η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών 4/6 S t =T Μονοδιάστατα προβλήματα S T 1 Δt λ 1 1 1 1 Δ λ λ = 0 ρητό σχήμα S T 1 Δt Δ κριτήριο ε υστάθειας T S Δt Δ 1 λ = 1 πεπλεγμένο σχήμα S T 1 Δt 1 Δ 1 1 λ = 1 πεπλεγμένο σχήμα Cran - Ncolson S T 1 Δt 1 Δ 1 1 Δ
Η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών 5/6 Διδιάστατα προβλήματα S T 1,j Δt,j λ 1,j Δ 1,j 1,j 1 λ,j Δ,j,j λ 1,j 1 Δy 1,j 1,j 1 1 λ,j 1 Δy,j,j 1 Q T
Η μέθοδος των πεπερασμένων διαορών 6/6 Διδιάστατα προβλήματα r e o ep e 0.5π Δ 0.08Δ Q πt ln0.08δ r o Σχήμα 3: Προσέγγιση τιμών ορτίων κοντά σε πηγάδι άντλησης. 17
Σημείωμα Αναοράς Copyrght. Κωνσταντίνος Κατσιαράκης, Νικόλαος Θεοδοσίου, Περικλής Λατινόπουλος. «Υδραυλική των Υπόγειων Ροών. Ενότητα 5. Αριθμητικά μοντέλα υπόγειων υδροορέων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:http://eclass.auth.gr/courses/ocrs179/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commons Αναορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. ωτογραίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creatvecommons.org/lcenses/by-sa/4.0/
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ιωάννης Αυγολούπης Θεσσαλονίκη, <Εαρινό Εξάμηνο 01-013>
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.