,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος. Β. Για λ=0, i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, καθώς και το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. 7 ii.αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία y k 7, να βρείτε την τιμή του k.δίνεται η παράσταση y y y Α)Να βρείτε τις τιμές των,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=- Γ)Να λύσετε την ανίσωση : 9 5y y 0.Δίνονται οι παραστάσεις και οι αριθμοί και i) Να δείξετε ότι α=5 και β= ii) Να λύσετε τις εξισώσεις Λ(χ)=α iii)να λύσετε την εξίσωση Κ(χ)=0 iv) Να λύσετε την εξίσωση Κ(χ)=Λ(χ) και 9 6 6. και Λ(χ)=-β- 4.Για τον αριθμό ισχύει ότι: 0 0 5, και να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης i) Να δείξετε ότι 0 είναι και λύση της ανίσωσης. ii) Για τις παραπάνω τιμές του να βρείτε τον αριθμό k 0 5 4 iii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 4 4 k k 5. Για τους αριθμούς α και β ισχύει ότι: i) Να δείξετε ότι α=0 και β=. ii)αν και iii) Αν 4 6 9 7 9 να δείξετε ότι Λ=. iv) Να λύσετε την εξίσωση y 4y4 5 y K 4 4, να δείξετε ότι Κ=. 8
6.Δίνεται η συνάρτηση g( ),λ Α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g()=0 έχει πραγματικές ρίζες, για κάθε λ. Β)Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης g()=0 τότε:, i) να εκφράσετε συναρτήσει του λ την παράσταση ii) να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει 4 4 5 4 iii) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f ( ) 5 07. 7.Δίνεται το τριώνυμο f 4 Α)Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου Β)Να λύσετε την ανίσωση 4 ( ) 8.Δίνονται οι παραστάσεις d,4, B= 5 5 και Γ= i) Να αποδείξετε ότι Β= ii)να αποδείξετε ότι 8 iii)να λύσετε την εξίσωση iv)να λύσετε την ανίσωση 9.α)Να λύσετε την εξίσωση 6 Β)Αν κ είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (α), να λύσετε την ανίσωση 0. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β. 5 i) Να αποδείξετε ότι : 0 5 ii)αν ισχύει 0 να αποδείξετε ότι α=-5 και β=5. iii) Να λύσετε τις ανισώσεις 6 0 και a iv)να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του προηγούμενου ερωτήματος. 9
.Έστω η συνάρτηση f ( ),λ Α)Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση f()=0 να έχει μοναδική ρίζα. Β)Για αληθεύει για κάθε. f( ) 0 0, να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση Γ)Αν η εξίσωση f()=0 έχει δυο πραγματικές ρίζες i) να αποδείξετε ότι 0 ii)να λύσετε ως προς λ την ανίσωση: 7 54 4, 4, τότε:.έστω η συνάρτηση f( ) 8 Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να αποδειχθεί ότι f ( ) 4 5 Β) Για ποιες τιμές του χ η βρίσκεται κάτω από τον ; Γ)Να αποδείξετε ότι f C f f 8 f 4 5 7.Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει και το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της ισούται με 9. Α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α και την διαφορά ω Β)Να βρείτε το άθροισμα 6 7 8... 4.,<6 Γ)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, 6, και Β, Διέρχεται από τα σημεία 4 5 8 i)να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α και β. ii)για α=6, β=4 να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία (ε):y=6. 6 4.α)Να βρείτε το ώστε οι αριθμοί κ=+, λ=5χ+, μ=χ+ να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(κ,λ+) και έχει συντελεστή διεύθυνσης 6 Γ)Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τους άξονες και y y. f. 5.Δίνεται η συνάρτηση Α) Να αποδείξετε ότι f, Β)Να λύσετε την εξίσωση f()=0 Γ)Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει f 0 Δ)Να λύσετε την ανίσωση f f 8 0 40
6.Δίνονται οι παραστάσεις Β=5+8++ +55. Α)Να δείξετε ότι Α= Β)Να δείξετε ότι Β=4080 Γ)Να λύσετε την ανίσωση: y A 7 Δ)Να λύσετε την εξίσωση : 5 5 4 5 4 και B 64 A 7.Δίνεται η εξίσωση ου βαθμού ( ) 0. Α) Να δειχτεί ότι δέχεται πάντα δύο ρίζες. Β)Πάνω σε έναν άξονα Ο, θεωρούμε τα σημεία τετμημένες τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης,, με. Για ποια τιμή του μ, οι κύκλοι με διαμέτρους τα, εφάπτονται εξωτερικά; (Να μην βρεθούν οι ρίζες) Γ)Αν S είναι το άθροισμα των εμβαδών αυτών των κύκλων να μελετηθούν οι μεταβολές(μονοτονία-ακρότατα) της 4S y (συναρτήσει του μ) Δ)Για ποια τιμή του μ ισχύει η 0 (Baccalaurreat Pontichery) 8.Δίνεται η συνάρτηση f 5 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Να βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της f, τέμνει τους άξονες και y y. f 9.Δίνεται η συνάρτηση Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. f f 0 5 6 f Γ)Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και 8 f f 0 Β) Να αποδείξετε ότι : 0.Έστω η συνάρτηση f ( ) λ - Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ -. Β)Αν λ=4, τότε i)να λύσετε την ανίσωση f( ). 4
ii)να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και y y. iii) να βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από την ευθεία y=6..δίνεται η συνάρτηση f ( ) a για την οποία ισχύει f()- f(6)=4. Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι α=. Β)Να δείξετε ότι η C δεν τέμνει τον άξονα y y. f Γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g.δίνεται η εξίσωση 4 0 () λ f i) Να αποδείξετε ότι η () έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, κάθε ii)αν το άθροισμα των ριζών είναι τριπλάσιο από το γινόμενο τους, να βρείτε το. iii)για λ=- να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς και..δίνεται η εξίσωση 0 και, οι ρίζες της. Αν ισχύει ότι οι αριθμοί, είναι ετερόσημοι και. i) Να αποδείξετε ότι γ=-4. 05 05 ii) Να βρείτε τον αριθμό iii)να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, a. 4.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a,α, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το Α(α+β,0). i)να δείξετε ότι α=β=. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. iii) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης f()=, να κατασκευάσετε όλες τις εξισώσεις ου βαθμού που έχουν ρίζες τις,. 5.Δίνεται το τριώνυμο f 5 5, λ Α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με : Δ=4(λ-5)(λ-). Β)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. για 4
Γ)Αν, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ είναι οι ρίζες του τριωνύμου να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: 4 Δ)Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε f ( ) f ( ) για κάθε Ε)Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ για κάθε 6.Δίνεται η εξίσωση : 5 0 (),λ i)να αποδείξετε ότι η () έχει δυο άνισες πραγματικές ρίζες κάθε ii)να βρείτε για ποιες τιμές του, 4 ισχύει iii)για λ= να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ= 4. f ( ),λ 7.Δίνεται η συνάρτηση για 8 7 0. i)να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η συνάρτηση f να έχει πεδίο ορισμού όλο το R. f ii)για λ=0, να αποδείξετε ότι 6 5 f iii)για λ=-, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μπορεί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. f f iv) Για λ=-, να λύσετε την ανίσωση f (0),, f 0 δεν 8.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και η εξίσωση f()=0 (). Α) Να αποδείξετε ότι η () έχει δύο άνισες ρίζες,. Β)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις, B= και Γ)Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία Α+By+Γ=0 τέμνει τους άξονες και y y. Δ)Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5 6 0 είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες ρίζες της () να βρείτε τους αριθμούς β,γ. Ε)Να αποδείξετε ότι: f f 0 f 4 5 0 f 9.Δίνεται η συνάρτηση f, Α)Να λύσετε την εξίσωση : f f f 5 4
Β)Να λύσετε την εξίσωση : f Γ)Να λύσετε την ανίσωση: f 4f Δ)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα. Ε)Να αποδείξετε ότι: f f f () f() f() f() 4 0.Έστω Α και Β δυο απλά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει ότι: 4P A 9PB 4P A 6PB. i)να δείξετε ότι P A και PB 0 6 6 9 ii) Αν επιπλέον ισχύει PB A και να βρείτε την 7 8 7 πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β., όπου α04 ο 04 όρος αριθμητικής προόδου με iii)αν 04 δεύτερο όρο α=-998 και διαφορά ω=, να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου..δίνονται οι παραστάσεις: 4,Λ= 7 6 Μ= 6 9 6 6,-<< Α)Να δείξετε ότι :Κ=5, Λ=4, Μ= Β)Θεωρούμε ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν : P A, P B P. Να αποδείξετε ότι : K ) P 5 Α) ) 5 ). Δίνεται η συνάρτηση αριθμοί f 0, f, f f a για την οποία ισχύει ότι οι με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου (αν) i) Να δείξετε ότι α= ii) Αν επιπλέον ο αριθμός f(0) είναι ο 4 ος της γεωμετρικής προόδου (αν), να βρείτε τον πρώτο όρο της α και στη συνέχεια τον πρώτο όρο της που είναι μεγαλύτερος του 5. 44
iii)να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=8. iv)αν είναι οι ρίζες της f()=5, να βρείτε την τιμή της, παράστασης.δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν) με 4 6 και α7 9 όπου i)να δείξετε ότι μ=6 ii)να δείξετε ότι ω=- και α= iii)να βρείτε τον όρο αν για τον οποίο ισχύει αν=ν. 4.Δίνεται η συνάρτηση f 6 a, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο (,5) i)να αποδείξετε ότι α= ii)να αποδείξετε ότι αν, f 4 και στη συνέχεια ότι: 9 6 4 f( ) iii)να αποδείξετε ότι αν, f ( ) 8 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση f( ) 5. Δίνεται ο δειγματικός χώρος 0,,,,4 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και οι συναρτήσεις f ( ) a και g 4 P A, P B, P AB, P( A B) όπου Α και i)να βρείτε τις πιθανότητες Β τα ενδεχόμενα: / f() έχει πεδίο ορισμού το R B / g() τέμνει τον άξονα y'y σε σημείο με θετική τεταγμένη Αν επιπλέον, μ>0, η g διέρχεται από το (0,) και οι αριθμοί μ,α,g() είναι με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου: ii)να δείξετε ότι α=μ= iii)να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. iv)να λύσετε την εξίσωση : g( ) 5 f (0) P v)να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της γεωμετρικής προόδου (αν) με f (0) και λ=-g(-) vi)να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου v / 6.Θεωρούμε μια αριθμητική πρόοδο (αν) και τις ευθείες για τις οποίες ισχύουν: 45
: 5 : 5 y a a a 7 4 y a 5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ Οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες και ε διέρχεται από το σημείο (,) i) Να αποδείξετε ότι α=-5 και ω=. ii)να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες iii) Έστω Α,Α, Α0 τα σημεία της ευθείας ε με τετμημένες α,α, α0 αντίστοιχα. Να βρείτε το άθροισμα των τεταγμένων των παραπάνω σημείων 7.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 και η αριθμητική πρόοδος (αν):=-0,-5,0,5, Α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να βρείτε τον πρώτο όρο και την διαφορά ω της προόδου. Γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : S5 775 Δ)Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί f ( ), f a, f ( a ) είναι διαδοχικοί 4 6 όροι μιας άλλης αριθμητικής προόδου. Ε)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση S500 f ( a4) 0 έχει δυο ρίζες ετερόσημες. f, 0 της 7.Δίνεται η συνάρτηση οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,). Δίνεται επίσης η αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω=f(0), για την οποία ισχύει S5 S50 4 i)να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να δείξετε ότι λ=. ii)να λύσετε την ανίσωση f()>0 iii)να δείξετε ότι ο ος όρος της προόδου είναι α =-6. a, a να απλοποιήσετε τον τύπο της f. iv)αν 6 7 v) Να δείξετε ότι f f 8.Δίνεται η συνάρτηση f Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f Β)Να λύσετε την εξίσωση Γ)Να λύσετε την ανίσωση Δ)Να αποδείξετε ότι: i)f(-)= 0 f 46
f( ) f( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ii) 8 9.Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 () Α)Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση () έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις. Β) Έστω S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης (). Αν ισχύει P-S=, να προσδιορίσετε την τιμή του. Γ)Για την τιμή του που βρήκατε στο β)ερώτημα τότε : i)να υπολογίσετε την παράσταση. ii)να κατασκευάσετε εξίσωση δεύτερου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς και. 40.Δίνεται η συνάρτηση f() Α)Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ, για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το. Β)Αν λ=, τότε: f f 0 i) Να λύσετε την ανίσωση : ii)να αποδείξετε ότι 9 f 0 6a f 0 iii)να λύσετε την εξίσωση Γ)Αν (αν) γεωμετρική πρόοδος με και 6 5 να βρείτε: 65 i)το λόγο της προόδου. ii)αν υπάρχει τιμή της συνάρτησης που να είναι ίση με τον όρο α4. 4.Δίνεται η συνάρτηση : f( ) i)να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. 6 8 ii)να απλοποιήσετε την συνάρτηση h,,4 f 4 iii)αν h να κατασκευάσετε εξίσωση δεύτερου βαθμού με ρίζες 4 7 h και 7 h 47
iv)να βρείτε τον αριθμό 0 0 0 h h h 4 συνέχεια να μετατρέψετε το κλάσμα παρονομαστή. 4.Δίνονται οι συναρτήσεις 4 4 f ( ) και g. f εξίσωση f()=0 έχει διπλή ρίζα τον αριθμό i)να αποδείξετε ότι 5 και μ= 4 8 f f ii)να λύσετε την εξίσωση iii)να δείξετε ότι g ( ) πεδίο ορισμού της. iv)να βρείτε τα κοινά σημεία της 7 8 8 και στη σε ισοδύναμο με ρητό. Αν ισχύει ότι η και στη συνέχεια να βρείτε το C g με την ευθεία y=. a 6 4.Θεωρούμε τη συνάρτηση f, a, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-,). i)να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι α= ή α=- f ii)να δείξετε ότι iii)να λύσετε την εξίσωση f ( ) f iii) Να λύσετε την εξίσωση f. 44.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ. Β)Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης f()=0. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 4. Γ)Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε. Δ)Για λ= να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες αληθεύει η σχέση f 6. 48
45.Δίνεται η συνάρτηση f k k, η γραφική ( ), k παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Μ(α-β,5α), όπου α, β αριθμοί για τους οποίους ισχύει 6 0 0. i)να δείξετε ότι και στη συνέχεια ότι κ=. 5 ii)να λύσετε την εξίσωση f f f 5 iii)να λύσετε την εξίσωση iv)να λύσετε την εξίσωση f ( ) f f 0 4 8 v)να λύσετε την εξίσωση f f vi)να λύσετε την ανίσωση f f 4. vii)να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f τα οποία έχουν τεταγμένη ίση με. viii)να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα. i)να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την φραφική παράσταση της g()=4+7. )Αν η ευθεία h()=c+d είναι παράλληλη στην ευθεία g και διέρχεται από το σημείο (f(0),08), να βρείτε τους αριθμούς c,d. i)να αποδείξετε ότι f f f f () f f 4 46.Έστω δ.χ που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα και Α,Β δύο υποσύνολα του με αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και 5 4 P( A) 4 P( A)) 0 Δίνεται η εξίσωση Α)Να αποδείξετε ότι έχει δύο άνισες ρίζες, με. B)Αν ο αριθμός επαληθεύει την εξίσωση τότε: i)να δείξετε ότι =0 ii)να αποδείξετε ότι ( ) iii)να αποδείξετε ότι ( ) 6 49
47.Δίνεται η εξίσωση : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ 0 Α.Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες άνισες τις παραστάσεις:,,, και στη συνέχεια να υπολογίσετε Β.Για τις διάφορες τιμές του λ,να λύσετε την εξίσωση 9, ως προς χ. Γ. Για την τιμή του λ, για την οποία η εξίσωση του ερωτήματος β ε.ιναι αόριστη, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί, -, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 50