ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ενότητας Κανονική μορφή ελεγξιμότητας. Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας. Ελέγξιμη μορφή. Δείκτες ελεγξιμότητας. Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή. Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης. 4
Σκοποί Ενότητας Μελέτη της κανονικής μορφής ελεγξιμότητας ενός συστήματος. Μελέτη της ελέγξιμης μορφής συστήματος με πολλές εισόδους. Μελέτη της ελέγξιμης πραγμάτωσης κανονικής ρητής συνάρτησης. 5
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας () (Συστήματα μίας εισόδου και μίας εξόδου) Έστω το σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων x t = Ax t + Bu t () y t = Cx t + Du t A R n n, B R n m, C R p n, D R p m 6
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (2) Θεώρημα. Το σύστημα () είναι ελέγξιμο αν και μόνο αν υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας x t = T x t x t = Tx t, τέτοιος ώστε οι πίνακες A = T AT, B = T B, οι οποίοι περιγράφουν το σύστημα με άνυσμα κατάστασης το x t x t = Ax t + Bu t να έχουν τη μορφή A = a a a 2 a n R n n, B = R n (2) 7
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (3) όπου a i R, i =,,2,, n είναι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του A: det si n A = d s = s n + a n s n + + a s + a Ορισμός. Λέμε ότι οι πίνακες της μορφής (2) βρίσκονται στην κανονική μορφή ελεγξιμότητας. 8
Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας () x t x t = Ax t + Bu t Tx t x t = Tx t = T AT = ATx t + Bu t A x t + T B B u t si n A B = = st T T AT T B = = T si n A B T I m 9
Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (2) x t x t = Ax t + Bu t Tx t x t = Tx t = T AT = ATx t + Bu t A x t + T B B u t C = B AB A n B = T B T AT T B T AT n T B = T B T AB T A n B = T B AB A n B = T C
Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (3) x t x t = Ax t + Bu t x t = Tx t Tx t = ATx t + Bu t = T AT x t A + T B B u t C = T C TC = C T = C C, B = Κανονική μορφή ελεγξιμότητας A = a a a 2 B R m
Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (4) AB = A 2 B = A AB = B = a a a 2 a a a 2 = a 2 a 2 = a 2 a + a 2 2 2
Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (5) C = B AB A 2 B = C = a 2 a 2 2 a + a 2 a a 2 a 2 T = C C = B AB A 2 B a a 2 a 2 3
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (4) Απόδειξη. (άλλος τρόπος) (δηλαδή αν το σύστημα () είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας x t = T x t x t = Tx t, τέτοιος ώστε οι πίνακες A = T AT, B = T B, να έχουν τη μορφή (2)) Για απλούστευση του συμβολισμού της απόδειξης, έστω n = 3 έτσι ώστε A R 3 3, B R 3. det si 3 A = d s = s 3 + a 2 s 2 + a s + a Από το θεώρημα Cayley Hamilton έχουμε 4
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (5) A n + a n A n + + a A + a I n = n,n A 3 + a 2 A 2 + a A + a I n = 3,3 A 3 = a 2 A 2 a A a I n A 3 B = a 2 A 2 B a AB a B Έστω ότι επιλέγουμε τον πίνακα T στο μετασχηματισμό ομοιότητας σύμφωνα με την σχέση a a 2 T B AB A 2 B a 2 = PS Από την υπόθεση ισχύει rank B AB A 2 B = 3 και λόγω της μορφής του 5
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (6) S = ranks = 3, άρα rankt = 3 και a a 2 a 2 a a 2 ΑT = Α B AB A 2 B a 2 a a 2 = ΑB A 2 B A 3 B a 2 α = B AB A 2 B a a 2 a a 2 a 2 6
Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (7) = B AB A 2 B Επίσης ΤB = B AB A 2 B = B AB A 2 B a a 2 a 2 = PSA = TA α a 2 a a a 2 A = T AT a a 2 a 2 B = Τ Β = B AB A 2 B = Β 7
Άσκηση Άσκηση. Αποδείξτε το αντίστροφο. Αποδείξτε δηλαδή ότι η κανονική μορφή (2) είναι πάντα ελέγξιμη. 8
Ελέγξιμη μορφή (Πολλές είσοδοι) (controllable companion form) () A = A A 2 A n A 2 A 22 A 2n και Β = A n A n2 A nn Β Β 2 Β n A ii = x x x x x x x, A ij = x x x x x, i j 9
Ελέγξιμη μορφή (Πολλές είσοδοι) (controllable companion form) (2) B i = x x x i 2
Ελέγξιμη μορφή (Πολλές είσοδοι) (controllable companion form) (3) Έστω ότι ο πίνακας Β είναι της μορφής: B = b b 2 b m όπου b, b 2,, b m είναι οι στήλες του πίνακα Β. Αλγόριθμος. α) Θεωρείστε τον πίνακα: L = b Ab A d b b 2 Ab 2 A d 2 b 2 b m Ab m A d m b m έτσι ώστε οι στήλες b i, Ab i A di b i είναι γραμμικά ανεξάρτητες καθώς και γραμμικά ανεξάρτητες των b j, Ab j,, A dj b j για j =,, i ενώ η A d ib i είναι γραμμικά εξαρτημένη των b j, Ab j,, A dj b j για j =,, i. 2
Παράδειγμα () Παράδειγμα. Δίνεται το γραμμικό σύστημα: x t = x t + u t Να βρεθεί ένας πίνακας Τ τέτοιος ώστε αν εφαρμόσω τον μετασχηματισμό: x t = Tz t το καινούργιο σύστημα να είναι στην ελέγξιμη μορφή. 22
Παράδειγμα (2) AB = A 2 B = A 3 B = 2 = = = 2 3 2 2 23
Παράδειγμα (3) C = rankc = 3 Ελέγξιμο 2 3 2 2 α)έχουμε ότι 2 3 b =, Ab =, A 2 b =, A 3 b = 2 Παρατηρούμε ότι τα 3 πρώτα είναι γραμμικά ανεξάρτητα ενώ 24
Παράδειγμα (4) A 3 b = b + A 2 b. Άρα d = 3. Έχουμε επίσης ότι: b 2 =, Ab 2 =, A 2 b 2 =, A 3 b 2 = Άρα Ab 2 = b, A 2 b 2 = Ab και A 3 b 2 = A 2 b. Άρα το μόνο που είναι γραμμικά ανεξάρτητο των b, Ab και A 2 b είναι το b 2. Άρα d 2 = και 2 25
Παράδειγμα (5) 2 L = Σημείωση. Οι δείκτες d, d 2,, d m ονομάζονται δείκτες ελεγξιμότητας (controllability indices) του συστήματος. d = 3 και d 2 =. β)υπολογίζω τον L. Έστω L = q q 2 q n 26
Παράδειγμα (6) L = 2 = γ) Έστω: k σ k = d i και i= q k = η σ k γραμμή του L, k =,, m. Σχηματίζουμε τον πίνακα: 27
Παράδειγμα (7) Έχουμε ότι και Έχουμε ότι: Q = Q Q 2 Q m όπου Q i = q i q i A q i A d i σ = 3, σ 2 = 3 + = 4 q = και q 2 = 28
Παράδειγμα (8) q Α = q Α 2 = Σχηματίζουμε τον πίνακα Qως εξής = = 29
Παράδειγμα (9) Q = q q Α q Α 2 = q 2 δ) Ο πίνακας Τ είναι ο εξής Τ = Q Τ = Q = = 3
Παράδειγμα () A = QAQ = B = QB = = = 3
Δείκτες ελεγξιμότητας (controllability indices) Σημείωση. Οι δείκτες d, d 2,, d m ονομάζονται δείκτες ελεγξιμότητας (controllability indices) του συστήματος. 32
Jordan κανονική μορφή A = J J 2 J k όπου J i = i =,2,.., k. λ i είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. λ i λ i λ i λ i, 33
Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή () A = R n n, B = a a a 2 a n x t = Tx t x t Tx t = T AT = ATx t + Bu t A x t + T B B u t C = T C TC = C T = C C R n 34
Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή (2) A = λ λ 2 λ n λ n TA = AT R n n 35
Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή T, T,2 T,n T 2, T 2,2 T 2,n T n, T n,2 T n,n = (3) λ λ 2 λ n λ n a a a 2 a n T, T,2 T,n T 2, T 2,2 T 2,n T n, T n,2 T n,n 36
Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή (4) λ T, = T 2, λ T 2, = T 3, λ T n, = T n,, λ T n, = a T, a T 2, a n T n, λ 2 T,2 = T 2,2 λ 2 T 2,2 = T 3,2 λ 2 T n,2 = T n,2, λ 2 T n,2 = a T,2 a T 2,2 a n T n,2 37
Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή (5) T 2, = λ Τ, T 3, = λ Τ 2, = λ 2 Τ, T n, = λ Τ n, = λ 2 Τ n 2, = = λ n Τ, λ n Τ, = a T, a λ Τ, a n λ n Τ, T 2,2 = λ 2 Τ,2 T 3,2 = λ 2 Τ 2,2 = λ 2 2 Τ,2 T n,2 = λ 2 Τ n,2 = λ 2 2 Τ n 2,2 = = λ 2 n Τ,2 λ 2 n Τ,2 = a T,2 a λ 2 Τ,2 a n λ 2 n Τ,2,, 38
Από ελέγξιμη μορφή σε διαγώνιο μορφή (6) λ λ 2 λ 3 λ n T = n 2 n 2 n 2 n 2 λ λ 2 λ 3 λ n n λ n λ 2 n λ 3 n λ n όπου λ, λ 2,, λ n είναι οι n διαφορετικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος: a s = s n + a n s n + + a s + a 39
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης () Έστω η κανονική ρητή συνάρτηση c s G s = d s + D = c qs q + c q s q + + c s + c s n + a n s n + D, + + a s + a q n Πρόταση. Η τετράδα πινάκων A = R n n, B = a a a 2 a n C = c c c q R n, D R (3) R n, 4
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης (2) αποτελεί μία ελέγξιμη πραγμάτωση της G s, η οποία είναι παρατηρήσιμη αν και μόνο αν τα πολυώνυμα d(s) και c(s) είναι πρώτα μεταξύ τους (δηλαδή δεν έχουν κοινές ρίζες). Απόδειξη. Θεωρήστε τον χαρακτηριστικό πίνακα του A : s s s si n A = s a a a 2 a n 2 s + a n και έστω ότι S(s) είναι το πολυωνυμικό άνυσμα 4
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης (3) S s = s s 2 s n Λόγω της κανονικής μορφής του πίνακα A στην (3), έχουμε την ταυτότητα si n A S s = d s = si n A B = d s d s = Bd s S s 42
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης (4) Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω επί C, παίρνουμε C si n A B = d s c c c q s s q s q+ s n c s = d s και άρα οι πίνακες στην (3) αποτελούν πραγμάτωση, η οποία είναι ελέγξιμη σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα. 43
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης (5) Προφανώς αν λ i είναι ιδιοτιμή του A, από την ταυτότητα si n A S s = = d s d s για s = λ i έχουμε λ i I n A S λ i = λ i λ i λ i λ i a a a 2 a n 2 λ i + a n λ i λ i 2 λ i n 2 λ i n = 44
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης (6) λ i I n A S λ i λ i λ i = λ i λ i a a a 2 a n 2 λ i + a n = = d λ i λ i λ i 2 λ i n 2 λ i n 45
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής η οποία γράφεται ή και άρα το συνάρτησης (7) λ i I n A S λ i = A S λ i = λ i S λ i u i = S λ i = λ i λ i 2 λ i n 2 λ i n R n είναι το ιδιοάνυσμα του πίνακα A, το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i. 46
Ελέγξιμη πραγμάτωση κανονικής ρητής συνάρτησης (8) H πραγμάτωση (3) είναι παρατηρήσιμη αν και μόνο αν rank λ ii n A = n, λ i sp A = λ, λ 2,, λ n C Ισοδύναμα, η πραγμάτωση (3) είναι παρατηρήσιμη αν και μόνο αν λ i I n A C S λ i = λ ii n A C λ i λ i 2 λ i n 2 λ i n = d(λ i ) c(λ i ) d(s), c(s) δεν έχουν κοινές ρίζες, δηλαδή είναι πρώτα μεταξύ τους. 47
Άσκηση 2 Διατυπώστε και αποδείξτε τα αντίστοιχα με τα παραπάνω για μία κανονική μορφή παρατηρησιμότητας. c c A = a a a 2 a n R n n, B = C = R n, D R c q R n, 48
Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 22, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 97, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 98, Linear Systems, Prentice Hall. 49
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 3. Κανονικές μορφές». Έκδοση:.. Θεσσαλονίκη 24. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs43/ 5
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4./ 5
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 52
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 24-25