Θεωρία Μεθόδου Simplex

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. 2

Βασικές Αρχές Επίλυσης Για την εφαρμογή της μεθόδου Simplex πρέπει το πρόβλημα ΓΠ να βρίσκεται στην πρότυπη μορφή. Υπενθυμίζονται τα χαρακτηριστικά της γενικής (αρχικής) μορφής: Max (ή Min) Ζ = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c r x r a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mr x r = b m x j 0 (j =1, 2,, r)

Κανονική Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΓΠ Η αρχική μορφή ισοδύναμα σε μορφή Πινάκων έχει ως εξής: Max (ή Min) Ζ = c x Α x = b (1xr) x 0 (rx1) με c = c 1 c 2 c 3.. c r και x = x 1 x 2 x 3.. x r T T (mxr) και b = b 1 b 2 b 3.. b m a 11 a 12. a 1r (mx1) και Α = a 21 a 22 a 2r... a m1 a m2 a mr

Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΓΠ Ένα πρόβλημα ΓΠ στην πρότυπη του μορφή ικανοποιεί τις ακόλουθες προυποθέσεις: Ισχύουν οι περιορισμοί μη αρνητικότητας όλων των μεταβλητών è x j 0 για κάθε j. Οι σταθεροί όροι των περιορισμών είναι μη αρνητικοί αριθμοί (b i 0, για κάθε i. Οι περιορισμοί είναι όλοι ισότητες. Κάθε πρόβλημα μπορεί να τεθεί στην πρότυπη του μορφή με απλούς μετασχηματισμούς.

Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΓΠ Το πρότυπο πρόβλημα ΓΠ που αντιστοιχεί στην αρχική μορφή που περιγράφηκε προηγούμενα είναι το ακόλουθο: Max (ή Min) Ζ = c x Α x = b, b 0 (ΙΙ) (Ι) (1xn) x 0 (ΙΙΙ) (nx1) με c = c 1 c 2 c 3.. c n και x = x 1 x 2 x 3.. x n T T (mxn) και b = b 1 b 2 b 3.. b m a 11 a 12. a 1n (mx1) και Α = a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn

Λύσεις του Προβλήματος ΓΠ 1. Όπως ήδη έχει εξηγηθεί κατά τη γραφική επίλυση προβλημάτων ΓΠ, αν υπάρχει μοναδική βέλτιστη λύση αυτή θα βρίσκεται σε ακραίο σημείο της περιοχής των δυνατών λύσεων, δηλαδή σε μια κορυφή της υπερπολυεδρικής επιφάνειας. 2. Το πρόβλημα μπορεί να έχει άπειρες βέλτιστες λύσεις με πεπερασμένη όμως βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. 3. Το πρόβλημα δεν έχει πεπερασμένη λύση (η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης δεν είναι φραγμένη, Ζ è ). 4. Το πρόβλημα δεν έχει καμία λύση άρα είναι αδύνατο. Δεν υπάρχει κοινός τόπος δυνατών λύσεων.

Θεωρία Απλό Πρόβλημα Προμηθευτής τρίτου επιπέδου (third tier supplier) μεγάλης αυτοκινητοβιομηχανίας κατασκευάζει δύο ειδών χειροποίητους λεβιέδες ταχυτήτων (Coupe, Speedster) από αλουμίνιο οι οποίοι ενσωματώνονται στα αυτοκίνητα που παράγει η επιχείρηση. Για την παραγωγή χρησιμοποιούνται εξειδικευμένοι τεχνίτες που χρησιμοποιούν ως πρώτη ύλη το αλουμίνιο. Η επιχείρηση θέλει να προγραμματίσει τους δύο αυτούς πόρους (εργασία τεχνιτών και πρώτη ύλη) με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους της. Σε ημερήσια βάση υπάρχει διαθεσιμότητα 45 ωρών εργασίας και 1,1 κιλών αλουμινίου και η τιμή πώλησης για κάθε λεβιέ τύπου Coupe είναι 30 ενώ για κάθε λεβιέ τύπου Speedster 50. Οι απαιτήσεις σε πόρους για την παραγωγή των δύο προϊόντων δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Απαιτήσεις σε Πόρους Εργασία σε ώρες / τεµάχιο Αλουµίνιο σε γραµ. / τεµάχιο Λεβιές τύπου Coupe 1 40 Λεβιές τύπου Speedster 2 30 Ζητείται να βρεθεί το πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα έσοδα της επιχείρησης.

Μετατροπή σε Πρότυπη Μορφή Αρχική Μορφή ΠΓΠ με περιορισμούς Max Ζ = 30x1 + 50x2 x1 + 2x2 45 4x1 + 3x2 110 και x1, x2 0 Πρότυπη Μορφή ΠΓΠ με περιορισμούς Max Ζ = 30x1 + 50x2 + 0S1 + 0S2 x1 + 2x2 + S1 = 45 4x1 + 3x2 + S2 = 110 και x1, x2, S1,S2 0

Ισοδύναμη Μορφή Πινάκων x1 Max c*x = 30 50 0 0 x2 S1 S1 x1 με περιορισμούς Α*x = b, (b 0) è 1 2 1 0 4 3 0 1 x2 S1 = 45 110 και S 2 x 0 è x1 x2 S1 S2 0 0 0 0

Φυσική Σημασία Μεταβλητών Το πρόβλημα στην Πρότυπη Μορφή του έχει 4 μεταβλητές (2 απόφασης, τις x1 και x2 και 2 απόκλισης, τις S1 και S2) και 2 γραμμικώς ανεξάρτητους περιορισμούς. Άρα το πρόβλημα έχει τουλάχιστον μια λύση. Οι μεταβλητές απόφασης x1 και x2 εκφράζουν τη στάθμη των δραστηριοτήτων. Αναλυτικά: x1 : πλήθος λεβιέδων τύπου Coupe που παράγονται x2 : πλήθος λεβιέδων τύπου speedster που παράγονται Οι μεταβλητές απόκλισης S1 και S2, κατά τα γνωστά, εκφράζουν την ποσότητα των μη-διαθέσιμων πόρων. Αναλυτικά: S1 : πλήθος ωρών εργασίας που περισσεύουν S2 : πλήθος γραμμαρίων αλουμινίου που περισσέυουν

Εύρεση Βασικής Δυνατής Λύσης Θεωρούμε ότι για τις εξισώσεις (ΙΙ) βλ. διαφάνεια 5, ισχύει r(a) = r(a,b)=m, δηλαδή ο βαθμός του Πίνακα Α, είναι ίσος με τον βαθμό του επαυξημένου πίνακα (Α,b). Υπενθυμίζεται πως βαθμός Πίνακα είναι ο αριθµός των ανεξάρτητων γραµµικά στηλών και γραµµών του και συµβολίζεται µε r (A). Αυτό σημαίνει πως: Α) οι πλεονάζουσες εξισώσεις έχουν απαλειφθεί [r(a)=m] και Β) υπάρχει τουλάχιστον μία λύση [r(a) = r(a,b)] Υπενθυμίζεται επίσης πως Βάση (Β) ενός (τυχαίου) συστήματος A*x = b είναι: Κάθε τετραγωνικός m x m Πίνακας, έστω Β = [α1, α2,..., αm], που προκύπτει από m γραμμικώς ανεξάρτητες στήλες του Πίνακα Α. Επομένως ισχύει πως η ορίζουσα της βάσης Β = det(b) 0 και υπάρχει ο B -1.

Εύρεση Βασικής Δυνατής Λύσης Άρα υπάρχουν m βασικά διανύσματα που αντιστοιχούν σε m βασικές μεταβλητές και n-m μη βασικά που αντιστοιχούν σε n-m μη βασικές μεταβλητές B = [a1, a2,..., am] αντιστοιχούν σε XB = [x 1, x 2,..., x m] Βασικά διανύσματα Μη-Βασικά διανύσματα Βασικές μεταβλητές Μη-Βασικές μεταβλητές Α = [a!!!, a!!!,, a! ]! X! = [x!!!!, x!!!!,, x!!]! Άρα: Α x = b (B, A,-. x B x N 0 = b x B = B 1 b B 1 A, x N (ΙV) Κατά συνέπεια, δίνοντας αυθαίρετες τιμές στα στοιχεία του x N μπορούμε να προσδιορίσουμε τα στοιχεία του x B.

Λύσεις Προβλήματος - Ορισμοί x B = B 1 b Βασική λύση που αντιστοιχεί στη βάση Β :, προκύπτει από την (IV) από τον μηδενισμό των μη-βασικών μεταβλητών, δηλ. xn = 0. Βασική δυνατή λύση που αντιστοιχεί στη Βάση Β: Κάθε βασική λύση που ικανοποιεί την (ΙΙΙ), δηλαδή πρέπει xb 0 (αφού xn = 0) Εκφυλισμένη Βασική (δυνατή) Λύση: Κάθε βασική δυνατή λύση στην οποία τουλάχιστον μία βασική μεταβλητή έχει την τιμή μηδέν. Για την εύρεση μιας βασικής δυνατής λύσης επιλέγουμε μια βασική λύση και εξετάζουμε εάν ικανοποιείται η (ΙΙΙ). Οι βασικές λύσεις μπορεί να είναι κατά το μέγιστο: n m n! = m!( n m)! - το πλήθος

Σημαντικά Θεωρήματα 1. Κάθε βασική δυνατή λύση του ΠΓΠ είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου (κορυφή του πολυέδρου) των δυνατών λύσεων και κάθε ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων είναι μια βασική δυνατή λύση του συστήματος των περιορισμών. 2. Αν υπάρχει μια (πεπερασμένη) βέλτιστη δυνατή λύση του ΠΓΠ, τότε η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της σε ένα τουλάχιστον ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων. 3. Υπενθυμίζεται πως για το Σύνολο Δυνατών Λύσεων του ΠΓΠ, έστω F, ισχύουν τα ακόλουθα : - Το F είναι κλειστό και κυρτό. - Το F περικλείεται από μια υπερπολυεδρική επιφάνεια - Το F μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο, είτε μη-πεπερασμένο - Το F μπορεί να είναι και το κενό σύνολο (F= )

Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα Στο παράδειγμα μας ο Πίνακας Α και ο επαυξημένος Πίνακας [Α,b] είναι: 1 2 1 0 Α = 4 3 0 1 και [Α,b] = 1 2 1 0 45 4 3 0 1 110 Με την παραδοχή πως r(a)=r(a, b)= 2. Άρα για να βρούμε τις Βάσεις του συστήματος πρέπει να βρούμε τους T τετραγωνικούς 2x2 Πίνακες που προκύπτουν x 1 από 2 γραμμικώς ανεξάρτητες στήλες του Πίνακα Α. Διανύσματα στήλης που αντιστοιχούν σε κάθε μεταβλητή: 1 2 1 x1 a1 =, x 2 a 2 =,S1 s1 =,S2 s2 4 3 0 Πιθανές βάσεις: 4 = 2 4! 2!2! = 6 -το πλήθος 0 = 1

Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα B B B B B B 1 = [ a1 2] = 4 1 a 1 = [ a1 1] = 4 2 σ 1 = [ a1 2] = 4 2 = [ a2 1] = 3 2 = [ a2 2] = 3 1 = [ σ1 2] = 0 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 2 3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1, με βασικές μεταβλητές x1 και x2 και μη-βασικές μεταβλητές S1 = S2 = 0, με βασικές μεταβλητές x1 και S1 και μη-βασικές μεταβλητές x2 = S2 = 0, με βασικές μεταβλητές x1 και S2 και μη-βασικές μεταβλητές x2 = S1 = 0, με βασικές μεταβλητές x2 και S1 και μη-βασικές μεταβλητές x1 = S2 = 0, με βασικές μεταβλητές x2 και S2 και μη-βασικές μεταβλητές x1 = S1 = 0, με βασικές μεταβλητές S1 και S2 και μη-βασικές μεταβλητές x1 = x2 = 0 Παρατηρούμε ότι και οι 6 είναι Βάσεις διότι για κάθε i=1,2,..,6 ισχύει : B 0, (δηλαδή τα διανύσματα είναι ανά δύο γραμμικώς ανεξάρτητα)

Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα B1 Με βάση την (IV), η Βασική λύση x1 (που αντιστοιχεί στη Β1) είναι: x 1 B 1 T 1 ( x x ) = B b B1 = 1, 1 = 4 = 1 5 2 3 2 3 4 1 45 b = 110 2 1 = 3/ 5 4 / 5 2 / 5 1/ 5 Όμοια και πάλι με βάση την (IV), η Βασική λύση x 2 (που αντιστοιχεί στη Β2) υπολογίζεται, για λόγους επίδειξης, λίγο διαφορετικά πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με τον Πίνακα Β: x B2 1 4 x B2 = ( x, S ) 1 1 x1 45 0 = 1 110 S = ( x = 27,5 S 1 1 T = B 1 2 1 b B 2 x B2 = b x1 + S1 = 45 4x1 = 110 = 17,5). x B1 = 3/ 5 4 / 5 x 1 T 2 / 5 45 17 = 1/ 5 110 14 Επομένως = [ 17 14 0 0 ], Βασική δυνατή λύση και Ζ B1 = 30 x 17 + 50 x 14 = 1210 x 2 T Επομένως = [ 27,5 0 17,5 0 ], Βασική δυνατή λύση και Ζ B2 = 30 x 27,5 = 825

Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα Βασική λύση x 3 (που αντιστοιχεί στη Β3) τρίτος τρόπος υπολογισμού Στη Β3 έχουμε μη-βασικές μεταβλητές τις x 2 = S 1 = 0. Άρα αντικαθιστώντας στους περιορισμούς της πρότυπης μορφής έχουμε: T x 3 1 xb3 = ( x1 = 45, S2 = 4x1 + S2 = 110 Ομοίως βρίσκουμε: x x x T 4 T 5 T 6 x = 45 70). Επομένως = [ 45 0 0-70 ] Βασική μη-δυνατή λύση = [0 36,66-28,33 0] Βασική μη-δυνατή λύση = [0 22,5 0 67,5] Βασική δυνατή λύση με zb5 = 1130 = [0 0 45 110] Βασική δυνατή λύση με zb6 = 0 x 1 T Άρα βέλτιστη δυνατή λύση: = [17 14 0 0] με zb1 = 1210 x 3 T

Άσκηση Γραφική Επαλήθευση Λύστε γραφικά το πρόβλημα και παρατηρήστε τα ακόλουθα: 1. Σε κάθε Βάση αντιστοιχεί μια Βασική Λύση (δυνατή ή μη) η οποία είναι ένα σημείο του επιπέδου. 2. Ειδικότερα, κάθε Βασική Δυνατή Λύση είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων. 3. Η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της στο ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων δηλ. η βέλτιστη δυνατή λύση του ΠΓΠ είναι η βασική δυνατή λύση = [17, 14, 0, 0] x 1 T

Βελτίωση μιας Βασικής Δυνατής Λύσης [β 1,β 2,...,β m ] Έστω Βάση Β = και - η βασική λύση x B = [x β1,x β2,...,x βm ] = B 1 b που της αντιστοιχεί. - το αντίστοιχο διάνυσμα συντελεστών στην αντικειμενική συνάρτηση z, c B = [c β1,c β2,...c βm ] Τότε ισχύουν: Α) Η αντικειμενική συνάρτηση z παίρνει την τιμή z = cbxb Β) Κάθε μη-βασικό διάνυσμα aj γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της Βάσης Β, δηλαδή = By Γ) Το yij εκφράζει την (αλγεβρική) μείωση της τιμής της βασικής μεταβλητής xβi εάν η μη-βασική μεταβλητη xj πάρει την τιμή 1 (αντί για 0 που έχει στη βασική λύση). a j j m ( = β y i= 1 i ij ) y j = B 1 a j

Βελτίωση μιας Βασικής Δυνατής Λύσης Δ) Το διάνυσμα yj εκφράζει την (αλγεβρική) μείωση της τιμής κάθε βασικής μεταβλητής xβi, i=1,2,,m εάν η μη-βασική μεταβλητη xj πάρει την τιμή 1 Ε) Με βάση το (Δ) λοιπόν, η ποσότητα zj = cbyj εκφράζει την (αλγεβρική) μείωση της τιμής z όταν η μη-βασική μεταβλητή xj πάρει την τιμή 1 ΣΤ) Κατά συνέπεια η ποσότητα cj zj = cj - cbyj εκφράζει την καθαρή μεταβολή της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης όταν η μη-βασική μεταβλητή xj πάρει την τιμή 1 και ονομάζεται καθαρό οριακό εισόδημα της μη-βασικής δραστηριότητας j Επιθυμούμε να βρούμε μια νέα βασική δυνατή λύση που να βελτιώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η SIMPLEX εξετάζει μόνο τις βασικές δυνατές λύσεις που προκύπτουν από την υπάρχουσα εάν αντικαταστήσουμε μία και μόνο μια- από τις βασικές μεταβλητές της με μία μη-βασική.

Γενικός Πίνακας Simplex & Αρχικό Ταμπλό!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Βασικές Ποσότητα µεταβλητές (x! ) x!!! x!!! x!!!!"! β!! x!"! y!!!! y!"!! y!"!!!"! β!! x!"! y!"!! y!"!! y!"!!!!!!!!!!!"! β!! x!"! y!"!! y!"!! y!"!!!! Z!!!!!!!!!!!! c! z!!! c! z!!! c! z!!! c!!! z!!!! C n - Z n c j c 1 c j c j+1 c n c B Βασικές Ποσότητα μεταβλητές (x B ) x 1 x j β 1 = x j+1 β m = x j+m c B1 β 1 x B1 a 11 a 1j 1 0 c B2 β 2 x B2 a 21 a 2j 0 0 c Bm β m x Bm a m1 a mj 0 1 z j Z z 1 z j z j +1 z n c j z j c 1 z 1 c j z j c j+1 z j+1 c j+m z j+m Αρχικός Πίνακας Βάσης Β 1 Διάνυσμα b Πίνακας Α

Ενδιάμεσος (κ-στος) Πίνακας Simplex X BK = B k 1 b y j = B k 1 a j B k 1 Z K z = c BK x Bk = c BK B k 1 b c j z j = c j c B 1 BK a k j z j = c BK y j = c BK B 1 k a j

Τελικός και Βέλτιστος Πίνακας Simplex X B* = (B*) 1 b y j = (B*) 1 a j (B*) 1 Z * z* = c B* x B* = c B* (B*) 1 b c j z j = c j c B* (B*) 1 a j z j = c B* y j = c B* (B*) 1 a j

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Υπενθυμίζεται η μαθηματική διατύπωση του αρχικού παραδείγματος των σημειώσεων Simplex (παραγωγή αμφορέων & αγαλματιδίων). Max Z = 40x 1 + 50x 2 + 0 s 1 + 0 s 2 ( Εξ. 0) x 1 + 2 x 2 + s 1 = 40 ( Εξ. 1) Α = 1 2 1 0 4 3 0 1 b = 40 120 T 4x 1 + 3x 2 + s 2 = 120 ( Εξ. 2) x 1, x 2, s 1, s 2 0 x = x 1 x 2 s 1 s 2 T C = 40 50 0 0 Στην επόμενη διαφάνεια παρατίθενται τα ταμπλό Simplex όπως x 6 T προκύπτουν από την πινακοποιημένη επίλυση του προβλήματος.

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων 1 ο Αρχικό Ταμπλό 2 ο Ενδιάμεσο Ταμπλό 3 ο Τελικό / Βέλτιστο Ταμπλό

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων 1 ο Βήμα Αρχικά το σύστημα είναι αδρανές. Αυτό σημαίνει ότι: x 1 = 0 (δεν παράγονται αμφορείς) x 2 = 0 (δεν παράγονται αγαλματίδια) S 1 = 0 (όλες οι ώρες εργασίας παραμένουν αχρησιμοποίητες) S 2 = 0 (όλα τα κιλά πηλού παραμένουν αχρησιμοποίητα) Επομένως η διαδικασία ξεκινά από την βασική δυνατή λύση T x 6 = [0 0 40 120] ή ισοδύναμα στην κορυφή V 0

2 ο Βήμα - H λύση αυτή προφανώς δεν είναι η βέλτιστη (η αντικειμενική συνάρτηση έχει μηδενική τιμή). Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Στο επόμενο (2 ο ) βήμα, θα μετακινηθούμε σε μία γειτονική κορυφή της V0, δηλ είτε στη V1 είτε στην V3. Η επιλογή της κορυφής μπορείνα γίνει με δύο εναλλακτικά κριτήρια, δηλαδή: - Είτε με βάση τη μεγαλύτερη δυνατή συνολική μεταβολή (αύξηση) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (1 ο Κριτήριο). - Είτε με βάση τη μεγαλύτερη δυνατή μεταβολή (αύξηση) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που προκαλεί η μοναδιαία αύξηση κάθε πιθανής μεταβλητής (2 ο Κριτήριο).

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Συγκεκριμένα, στο 2 ο Βήμα θα πρέπει να γίνει μη-βασική μία μόνον από τις S1 ή S2 και στη θέση της να εισέλθει στη νέα Βάση μία μόνον από τις x1 ή x2. i. Εάν γίνει βασική η x1 (δηλ. εάν αποφασιστεί η παραγωγή αμφορέων), τότε βάσει των περιορισμών: Μπορεί να έχει μέγιστη τιμή x1 = 30 (δηλ. να παραχθούν το πολύ 30 αμφορείς) S1 = 10 (περισσεύουν 10 ώρες εργασίας) S2 = 0 (εξαντλείται όλη η ποσότητα πηλού) Άρα, όντως οδηγούμαστε στην κορυφή V1. Μεταβολή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z Αύξηση της x1 κατά μία μονάδα è αύξηση της z κατά 40 Αύξηση της x1 κατά 30 μονάδες è αύξηση της z κατά 1200

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων ii. Εάν γίνει βασική η x2 (δηλ. εάν αποφασιστεί η παραγωγή αγαλματιδίων), τότε βάσει των περιορισμών: Μπορεί να έχει μέγιστη τιμή x2 = 20 (δηλ. να παραχθούν το πολύ 20 αγαλματίδια) S1 = 0 (εξαντλούνται όλες οι ώρες εργασίας) S2 = 60 (περισσεύουν 60 κιλά πηλού) Άρα, όντως οδηγούμαστε στην κορυφή V3. Μεταβολή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z Αύξηση της x2 κατά μία μονάδα è αύξηση της z κατά 50 Αύξηση της x2 κατά 20 μονάδες è αύξηση της z κατά 1000 Επομένως Με βάση το 1 ο Κριτήριο επιλέγεται η κορυφή V1 ενώ Με βάση το 2 ο Κριτήριο επιλέγεται η κορυφή V3

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Έστω ότι η επιλογή μας γίνεται με βάση το 2 ο Κριτήριο, τότε στο 2 ο Βήμα θα μετακινηθούμε στην V3, δηλ στη βασική λύση T x 5 = [0 20 0 60]. Τούτο σημαίνει ότι {x1=0, x2=20, S1=0, S2=60}, δηλ δεν παράγονται αμφορείς, αλλά παράγονται 20 αγαλματίδια. 3 ο Βήμα Σε κάθε βήμα, αρχικά ελέγχουμε εάν η λύση που έχουμε είναι η βέλτιστη. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα βεβαίως, γνωρίζουμε (από τη γραφική επίλυση και τη θεωρία των βασικών λύσεων) ότι η βέλτιστη λύση επιτυγχάνεται στην κορυφή V2, δηλ για x1=24, x2=8. Θα συνεχίσουμε όμως χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πληροφορία.

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Θα πρέπει επομένως να εξετάσουμε εάν συμφέρει η παραγωγή αμφορέων, δηλαδή εάν με την παραγωγή αμφορέων βελτιώνεται (αυξάνει) η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (κέρδος). - Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η στάθμη της μη-βασικής μεταβλητής x1 αυξάνεται κατά μία μονάδα, ενώ η στάθμη της άλλης μη-βασικής μεταβλητής S1 παραμένει μηδέν. Τούτο σημαίνει ότι ενώ στην προηγούμενη βασική δυνατή λύση δεν παραγόταν κανένας αμφορέας, τώρα παράγεται ένα τεμάχιο αμφορέα με την προϋπόθεση όμως ότι εξαντλούνται όλες οι ώρες εργασίας. - Για να εξακολουθούν να ικανοποιούνται οι περιορισμοί, να καταναλίσκονται δηλαδή ποσότητες πόρων όχι μεγαλύτερες από αυτές που διατίθενται, πρέπει να τροποποιηθεί το πρόγραμμα παραγωγής, δηλ να μεταβληθούν «κατάλληλα» (κατά κανόνα να μειωθούν) οι στάθμες των βασικών μεταβλητών.

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Έστω ότι η στάθμη της μη-βασικής μεταβλητής x1 αυξάνεται κατά μία μονάδα, δηλαδή παράγεται ένας αμφορέας, τότε συμβολίζουμε: y21: τη μείωση της στάθμης της βασικής μεταβλητής x2 (τεμάχια αγαλματιδίων) y41: τη μείωση της στάθμης της βασικής μεταβλητής S2 (κιλά πηλού που περισσεύουν) - Βάσει των εξισώσεων των περιορισμών (και δεδομένου ότι S1=0), θα πρέπει να ισχύει το ακόλουθο σύστημα, που θα εκφράζει το γεγονός ότι «η αύξηση της στάθμης της μη-βασικής μεταβλητής x1 θα πρέπει να ισοδυναμεί με τη μείωση της στάθμης των βασικών μεταβλητών, ώστε το ολικό αποτέλεσμα να είναι μηδέν»

ή ισοδύναμα σε μορφή διανυσμάτων Υπενθύμιση: Διανύσματα στήλης που αντιστοιχούν σε κάθε μεταβλητή: Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε y21 = ½ και y41 = 5/2 a 1 = y 21 a 2 + y 41 σ 2 = = = = 1 0 0 1 3 2 4 1 2 2 1 1 2 2 1 1 σ σ S S a x a x Δηλ. για να παραχθεί ένα τεμάχιο αμφορέα θα πρέπει να μειωθεί η παραγωγή αγαλματιδίων κατά ½ τεμάχιο (δηλ από 20 σε 19,5) να μειωθεί το περίσσευμα των κιλών πηλού κατά 5/2 (δηλ από 60 σε 57,7) Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Μεταβολή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αυξηθεί μεν κατά c1=40 (αφού θα παραχθεί ένας αμφορέας), αλλά θα μειωθεί και κατά z1 = c2y21 + c4y41 = 50x1/2 + 0x5/2 = 25 (αφού η παραγωγή των αγαλματιδίων μειώνεται κάτα ½ και το περίσσευμα κιλών πηλού μειώνεται κατά 5/2) Άρα η μεταβολή της τιμής θα είναι: c1-z1 = 40-25 = +15 (Οριακό καθαρό εισόδημα της x1) Αφού με την παραγωγή ενός τεμαχίου αμφορέα αυξάνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κατά 15, συμφέρει η παραγωγή αμφορέων Στην πράξη ελέγχουμε το οριακό καθαρό εισόδημα κάθε μή-βασικής μεταβλητής και επιλέγουμε να μπει στη νέα βάση αυτή που έχει το μεγαλύτερο.

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Ø Μέγιστη δυνατή παραγόμενη ποσότητα αμφορέων Αφού συμφέρει η παραγωγή αμφορέων, θα πρέπει να βρούμε το μέγιστο δυνατό πλήθος αμφορέων που μπορείνα παραχθεί. Αφού με την παραγωγή ενός αμφορέα μειώνεται η παραγωγή αγαλματιδίων κατά y21=1/2 και στην υπάρχουσα λύση παράγονται xb2=20 τεμάχια αγαλματιδίων, δεν μπορούμε να παράξουμε περισσότερους από: xb2/y21=40 αμφορείς Ομοίως, αφού με την παραγωγή ενός αμφορέα μειώνονται τα διαθέσιμα κιλά πηλού κατά y41=5/2 και στην υπάρχουσα λύση περισσεύουν xb4=60 κιλά πηλού, δεν μπορούμε να παράξουμε περισσότερους από: xb4/y41=24 αμφορείς Άρα η μέγιστη δυνατή παραγωγή αμφορέων περιορίζεται από τα διαθέσιμα κιλά πηλού σε 24 τεμάχια.

Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Ø Συνεπώς, στη νέα λύση θα παραχθούν x1=24 τεμάχια αμφορέων, Η παραγωγή αγαλματιδίων θα μειωθεί κατά 24x1/2=12 τεμάχια, δηλ θα μειωθεί σε x2 = 20 12 = 8 τεμάχια αγαλματιδίων, θα αξιοποιούνται πλήρως όλες οι ώρες εργασίας και όλα τα κιλά πηλού Η αντικειμενική συνάρτηση θα έχει τιμή z=1000+24x15=1360 Έτσι, φτάσαμε στην Βέλτιστη Λύση του ΠΓΠ

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.