Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς στο Νηπιαγωγείο

Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς στο Νηπιαγωγείο Ανάλυση και σύνθεση του αριθμού 1

Τι σχέσεις κρύβονται εδώ;

Βλέπεις τη σχέση μέρους όλου;

ανάλυση/σύνθεση του αριθμού (προσθετική) Ανάλυση του αριθμού η κατανόηση ότι μία αριθμητική ποσότητα αποτελείται από δύο άλλες επιμέρους ποσότητες π.χ., το 8 είναι 5 και 3 (8=5+3) (προσθετική) Σύνθεση του αριθμού η κατανόηση ότι δύο επιμέρους αριθμητικές ποσότητες μπορούν αν κατασκευάσουν μία νέα αν ενωθούν π.χ., 3 και 5 κάνει 8 (5+3=8) 4

μέρος-μέρος-όλον / ανάλυση-σύνθεση και ποσότητα Τα μικρά παιδιά ακόμα κι όταν έχουν μάθει να μετρούν μέχρι το 10 δεν έχουν απαραίτητα κατανοήσει ότι οι ποσότητες που μετρούν αποτελούνται από επιμέρους ποσότητες Έτσι, συχνά αμφισβητούν τον ισχυρισμό ότι 5 αντικείμενα και 3 αντικείμενα που αν τα βάλουμε μαζί κάνουν 8 είναι η ίδια ποσότητα όπως 2 και 6 αντικείμενα που αν επίσης τα βάλουμε μαζί φτιάχνουμε άλλο ένα σύνολο από 8 αντικείμενα ίδια με πριν. Με τον καιρό κατακτούν την έννοια του όλου (8) ως αποτελούμενο από διάφορα μικρότερα μέρη (π.χ., 4+4 ή 5+3 ή 2+6) Ανάλυση/σύνθεση αριθμών Η επέκταση των παραπάνω θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της ανάλυσης/σύνθεσης των αριθμών. Κάποια στιγμή τα παιδιά κατανοούν ότι όλους τους αριθμούς μπορούμε να τους συνθέσουμε από άλλους και να τους σπάσουμε σε νέους τελείως διαφορετικούς. π.χ., ότι το 23 αποτελείται από 20 και 3 ή 2 δεκάδες και 2 μονάδες Σε αυτές τις σχέσεις θα οικοδομηθεί και η κατανόηση της δράσης των πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμός, διαίρεση) πάνω στους αριθμούς 5

σχήμα του μέρος-μέρος-όλον είναι η ιδιότητα της προσθετικής ανάλυσης και σύνθεσης του αριθμού κάθε αριθμός (όλον) αποτελείται από μέρη 8=5+3 το μέρος 5 και το μέρος 3 κάνουν το όλο 8 (σύνθεση) το όλον 8 αποτελείται από το μέρος 3 και το άλλος μέρος 5 (ανάλυση) Ίσως το βασικότερο χαρακτηριστικά του αριθμού είναι ότι μπορεί να σπάσει σε κομμάτια χωρίς να αλλάξει το συνολικό του μέγεθος, και να ανασυνταχθεί (Resnick, 1983) αυτό γίνεται φανερό στα λεκτικά προβλήματα, όπου οι μαθητές βλέπουν τη σύνδεση των σχέσεων ποσοτήτων με τις αριθμητικές τους αξίες σε αυτό βασίζονται τα συστήματα μέτρησης: βάση του δέκα, κτλ και δομούνται οι αλγόριθμοι των πράξεων (δανείζομαι δεκάδα, κτλ.) 6

Ανάλυση/σύνθεση αριθμών Ο αριθμός κατά τον Piaget είναι μια σύνθεση δυο ειδών σχέσεων που δημιουργεί το παιδί ανάμεσα στα αντικείμενα. Η πρώτη είναι η διάταξη (βλ. διατακτικότητα του αριθμού) και η δεύτερη ο ιεραρχικός εγκλεισμός (Kazuko-Kamii & De Clark 1985: σελ. 29). Ο ιεραρχικός εγκλεισμός, κατά Piaget, ή προσθετική Αναλύση/σύνθεση του αριθμού, όπως συνηθίζεται να λέγεται Για να καθορίσει το παιδί την ποσότητα της συλλογής των αντικειμένων πρέπει να οικειοποιηθεί τη σχέση του ιεραρχικού εγκλεισμού. (Kazuko-Kamii & De Clark 1985: σελ. 30) 7

ανάλυση/σύνθεση όταν πάρεις έναν αριθμό αντικειμένων από ένα (υπό)σύνολο και το προσθέσεις σε ένα άλλο (υπό)σύνολο, το πλήθος του συνόλου δεν αλλάζει 8

ανάλυση/σύνθεση & αντίστροφες πράξεις η ανάλυση και σύνθεση του αριθμού είναι αντίστροφες πράξεις, κι έτσι: η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις: 2+3=3+2 5-3=2 γιατί 2+3=5 και άρα 5-2=3 Ο πολ/σμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις 3*4=4*3 15:3=5 γιατί 3*5=15 κι άρα 15:5=3 9

μοναδιαία/δυαδική πρόσθεση Σχέση του σχήματος διαδοχής με το σχήμα του μέρος-μέρος-όλον στον τρόπο κατανόησης η πρόσθεση αναπαριστά τη διαδικασία ένωσης δύο ποσοτήτων για τη δημιουργία μιας νέας μεγαλύτερης ποσότητας η παραπάνω είναι η δυαδική πρόσθεση: η πρόσθεση που προϋποθέτει δύο ποσότητες που ενώνονται τα παιδιά όμως μικρών ηλικιών φαίνεται να κατανοούν την πρόσθεση ως μοναδιαία πρόσθεση, δηλαδή διαδοχική πρόσθεση +1, που γίνεται σαν κίνηση στην νοητή ευθεία στη μοναδιαία πρόσθεση μια ποσότητα μεγαλώνει ως αποτέλεσμα της δράσης που συμβαίνει σε αυτή προσθέτοντας διαδοχικά +1, άρα 2+3= βάζουμε 3 φορές +1 στο 2 έτσι η πρόσθεση γίνεται κατανοητή ως μετακίνηση στον επόμενο αριθμό κι όχι ως συνένωση δύο ανεξάρτητων ποσοτήτων. βλ. Vergnaud, 1982; Weaver, 1982; Barrody, 1987,1989 αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι για τους μαθητές είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσουν 1 σε κάποιον αριθμό, από το να προσθέσουν τον αριθμό στο 1 βλ. Groan & Parkman, 1972; Siegler & Shrager, 1984 10

Σημασία στις πράξεις της πρόσθεσης/αφαίρεσης Η ανάπτυξη τέτοιων δεξιοτήτων βοηθά στην κατανόηση των πράξεων και στη δημιουργία προσωπικών στρατηγικών για τις πράξεις π.χ., 7+6= 7+3+3= 10+3=13 ή 7+6 = (5+2)+(5+1)= 10+3=13 τέτοιες στρατηγικές είναι ακόμα πιο σημαντικές όταν οι αριθμοί μεγαλώνουν αρχικές στρατηγικές επεκτείνονται, βελτιώνονται ή εγκαταλείπονται στους μεγαλύτερους αριθμούς

ανάλυση/σύνθεση του αριθμού Ανάλυση και σύνθεση των αριθμών σε αθροίσματα Δίνουμε μεγάλη έμφαση στην ανάλυση και την σύνθεση των αριθμών σε άθροισμα. Έτσι, από την αρχή της μάθηση των αριθμών τους παρουσιάζουμε με τη μορφή του αθροίσματος. Τα αθροίσματα στα οποία δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα είναι τα εξής: Τα διπλά αθροίσματα, δηλαδή της μορφής ν+ν, π.χ. 2+2, 3+3, κτλ. Σε έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι το 40% των νηπίων μπορεί και υπολογίζει τα αθροίσματα 2+2, 3+3 και 5+5 χωρίς να τα έχουν διδαχτεί (Χ. Λεμονίδης 2003α, σελ. 48 50). Αρχικά στην ανάλυση των αριθμών με βάση το 5 και στη συνέχεια το 10. Για παράδειγμα, το 6 παρουσιάζεται ως 5+1, το 7 ως 5+2, το 13 ως 10 και 3, κ.ο.κ. 12

ένα παράδειγμα 18 + 12 = 30 μια συνηθισμένη στρατηγική είναι να πούμε: 18+2=20 και 20+10=30 κι άλλη είναι να πούμε 10+10=20, 8+2=10 και 20+10=30 Βρείτε την ανάλυση και τη σύνθεση παραπάνω: ανάλυση: για να σκεφτώ το 18+2=20 πρέπει να κάνω ανάλυση του 12 σε 10+2 σύνθεση: το 20 είναι 10+10 και το 10 είναι 8+2 13

Στρατηγικές νοερών υπολογιστών Δείτε το άθροισμα 95+7 και σκεφτείτε ποια στρατηγική ακολουθείτε; Δείτε τη διαφορά 23-19 (ή107-13). Ποιες στρατηγικές ακολουθείτε; Θέλετε να υπολογίσετε νοερά το γινόμενο 12x7. Πια στρατηγική ακολουθείτε; Θέλετε να υπολογίσετε νοερά το πηλίκο 82:9. Ποια στρατηγική ακολουθείτε;

Σημασία της ανάλυσης σύνθεσης στην αξία θέσης 4943: «Τέσσερις χιλιάδες εννιακόσια σαράντα τρία» 4000 + 900 + 40 +3 Τι αποκαλύπτει για την αξία θέση των ψηφίων η κατάλληλη προσθετική ανάλυση του αριθμού; Και πόσο βοηθά η φωνολογική ανάλυση; Σκέψου στα αγγλικά Four thousands, nine hundred and forty three

Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών το ορόσημο του 5 και η βάση του 10 16

αρίθμηση στο νηπιαγωγείο Τρεις βασικές σχέσεις που οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν: ακόμα ένα και ακόμα δύο ή ένα λιγότερο και δύο λιγότερα (βλ. διατακτικότητα του αριθμού) ορόσημα του 5 και του 10 σημασία του 10 ως βάση στο δεκαδικό μας σύστημα και του 5 ως το μισό του 10 σχέσης μέρους όλου - ανάλυση/σύνθεση του αριθμού 17

άγκυρες/ορόσημα και ποσότητα Τα παιδιά αναπτύσσουν την κατανόηση ότι το 3 μπορούμε να το σκεφτούμε σε σχέση με το 5 (π.χ., 2 λιγότερο από 5). Παρόμοιο ορόσημο με πολύ μεγάλη σημασία είναι το 10, γιατί έχουμε υιοθετήσει το δεκαδικό σύστημα των αριθμών. Οι σχέση των μικρών αριθμών με το 10, θα βοηθήσει στην κατανόηση των πράξεων και στην αξία θέσης το 4 με το 6 κάνει 10, το 7 με το 3 κάνει 10 το 8 απέχει 2 από το 10, κι άρα 8+6 είναι 10 +4 18+13 κάνει Αναλύση/σύνθεση γιατί 8+3 θα δώσει κι άλλη μία δεκάδα 18

βάση του 10 Οι ικανότητες για απαρίθμηση μαζί με την ανάλυση/σύνθεση των αριθμών και την έννοια της ισότητας μπορούν να βοηθήσουν στην ομαδοποίηση των αριθμών και καταμέτρηση των ομάδων ομαδοποίηση: αρχική εστίαση στο γεγονός ότι κάθε αριθμός είναι μια ομάδα από μονάδες 5=5 μονάδες - ένα 5χρονο= παιδί 5 χρόνων που όταν τον ρωτάμε λέει ότι είναι 5 (κι όχι 5 χρόνια) έτσι μπορούμε να μετρήσουμε το σύνολο των 5χρονων στην τάξη κάπως έτσι είναι και η δεκάδα, που ομαδοποιεί αντικείμενα και μετά μπορούμε να μετρήσουμε δεκάδες 19

βάση του 10 και αξία θέσης αυτό αποτελεί την καρδιά της κατανόησης του δεκαδικού αριθμητικού συστήματος αξίας θέσης: να κατανοούν οι μαθητές ότι μία 10άδα είναι δέκα μονάδες και δέκα μονάδες μπορούν να συγκροτήσουν μία 10άδα. π.χ., το 18 λέγεται δέκα-οκτώ, δηλαδή μια δεκάδα και οκτώ μονάδες, ή δεκαοκτώ μονάδες και αν προσθέσεις 5 θα γίνουν 23 μονάδες δηλαδή θα συμπληρωθεί δεύτερη δεκάδα κι άρα 2 δεκάδες και 3 μονάδες, άρα είκοσι-τρία } https://www.teachingchannel.org/videos/counting-by-ten-lesson 20

Η ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα Η ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα με βάση το πέντε και το δέκα είναι είναι συμβατή με τις διαισθήσεις για τον αριθμό γιατί ακολουθεί τη δομή των δακτύλων στον άνθρωπο αλλά και το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα. Κατάλληλο υλικό για την παρουσίαση των αριθμών με αυτόν τον τρόπο είναι εκτός από τα δάκτυλα, το δίχρωμο αριθμητήριο (αριθμητήριο του οποίου η κάθε γραμμή, η οποία αποτελείται από δέκα χάντρες, οι δύο πεντάδες είναι βαμμένες με διαφορετικά χρώματα). Άλλο τέτοιο υλικό μπορεί να είναι οι βάσεις του πέντε. Δύο διαφορετικές βάσεις με πέντε υποδοχές στις οποίες μπορεί να τοποθετούνται χάντρες, ξυλάκια, ή και κάτι άλλο. Θα πρέπει να υπάρχει η δυνατότητα ώστε οι δύο βάσεις να ενώνονται για να σχηματίζουν μια δεκάδα. από Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής 21

η δραστηριότητα με το γάντι Σενάριο: η γιαγιά θέλει να πλέξει γάντια για τα εγγόνια της που να είναι όλα διαφορετικά. Όμως έχει μόνο δύο χρώματα μαλλιού και σκέφτηκε να κάνει διαφορετικούς συνδυασμούς στα δάχτυλα κάθε γαντιού. Πόσα διαφορετικά γάντια μπορούν να προκύψουν; τα παιδιά ζωγραφίζουν τα γάντια χρησιμοποιώντας δύο χρώματα εμείς ρωτάμε: πόσα δάχτυλα είναι πράσινα; πόσα είναι καφέ; πόσα είναι όλα μαζί; πως αλλιώς θα μπορούσες να κάνεις το γάντι; 22

η δραστηριότητα με το γάντι 2 συζητάμε πόσα παιδιά έχουν γάντι με 1 και 4 ίδια δάχτυλα; πόσα έχουν 2 και 3 ίδια? πόσα διαφορετικά γάντια μπορεί να φτιάξει η γιαγιά; ποια είναι η ομοιότητα ανάμεσα σε 2 πράσινα + 3 καφέ με 2 καφέ + 3 πράσινα; μαθηματικό λεξιλόγιο που θα αναπτυχθεί: περισσότερο, λιγότερο, ίδιο, ίσα, διαφορετικά, μαζί, κάνουν,... 23

δραστηριότητα του πλαισίου 5 οι μαθητές έχουν άδεια πλαίσια με 5 θέσεις και τουβλάκια και πρέπει να τοποθετούν αριθμούς από τουβλάκια συμπληρώνοντας το πλαίσιο. συζητάμε πόσα περισσεύουν και πόσα μένουν για να γεμίσει το κουτάκι μαθηματικό λεξιλόγιο που θα αναπτυχθεί: μένουν, περισσεύουν, κι άλλα, 5 + κάνουν επέκταση στο 10 με δύο πλαίσια και μετά με ένα 10άρι πλαίσιο 24

Τι μαθηματικές σχέσεις κρύβονται στη διπλανή εικόνα και πως μπορούν να αναδειχθούν;

Είσαι στο 7 Πόσα βήματα μέχρι το 10; Πόσα βήματα μέχρι το 5; Πόσα μέχρι.

Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Πρόσθεση και αφαίρεση

πόσα αποτελέσματα πράξεων να γνωρίζει κανείς; Υπάρχουν περίπου 400 συνδυασμοί πράξεων για αριθμούς 0-10 100 για πρόσθεση: από 0+0 μέχρι 9+9 100 για αφαίρεση 100 για πολ/σμό 90 για διαίρεση (δεν γίνεται με το 0) για ένα παιδί που γνωρίζει 8000-16000 λέξεις μέχρι την ηλικία των 6. Υπάρχει τρόπος να μειωθεί ο αριθμός αυτών των γνωστών αποτελεσμάτων; με στρατηγικές υπολογισμού με πράξεις 28

τι είναι πρόσθεση; η πρόσθεση (κι η αφαίρεση) είναι διαδικασίας που αλλάζουν την πληθικότητα ενός συνόλου, άρα και την αριθμητική αξία η πρόσθεση αναπαριστά τη διαδικασία ένωσης δύο ποσοτήτων για τη δημιουργία μιας νέας μεγαλύτερης ποσότητας αφαίρεση η διαδικασία διαχωρισμού μιας μικρότερης ποσότητας από μια μεγαλύτερη, με αποτέλεσμα να προκύψει μια νέα ποσότητα μικρότερη από την αρχική (προσοχή: μιλάμε για αριθμούς/ποσότητες κι άρα για θετικούς αριθμούς) 29

σχήματα/μοντέλα για την πρόσθεση δύο βασικό μοντέλα για τη πρόσθεση μικρών ποσοτήτων σύμφωνα με τη Resnick (1983): το σχήμα διαδοχής (successor schema) το σχήμα του μέρος-μέρος-όλον (part hole schema) 30

το σχήμα διαδοχής (successor schema) βασίζεται στη διατακτικότητα του αριθμού δηλαδή στο γεγονός ότι οι αριθμοί μπορούν να διαταχθούν από το μικρότερο στον μεγαλύτερο σαν θέσεις στην νοητή ευθεία των αριθμών κάθε αριθμός μπορεί να κατασκευαστεί με τη σχέση του ν+1 κάθε αριθμός δημιουργείται από τον προηγούμενο με την πρόσθεση μιας μονάδας έτσι μάλιστα μπορείς να κατασκευάσεις την απειρία των φυσικών αριθμών 31

πρόσθεση/αφαίρεση στο σχήμα διαδοχής η πρόσθεση είναι κίνηση δεξιά στην νοητή (οριζόντια) αριθμογραμμή η αναλογία της απόστασης των αριθμών 5+2= 2 βήματα δεξιά 8-3= 3 θέσεις αριστερά του 8 11-3= 8 γιατί το 8 απέχει 3 θέσεις από το 11 (πρόσθεση ως αντίστροφη πράξη της αφαίρεσης) υπάρχει και η κάθετη αριθμογραμμή όπου οι πράξεις είναι κινήσεις πάνω/κάτω 32

ανάλυση/σύνθεση και πράξεις Αν τα παιδιά γνωρίζουν όλους τους συνδυασμούς των αριθμών μέχρι το 10 μπορούν εύκολα να δουλέψουν με τους αριθμούς μέχρι το 20 (π.χ., 10+4, 11+6, 15 5, 16 3). μετά μπορούν να δουλέψουν με συνδυασμούς αριθμούς που χρειάζονται νέα ομαδοποίηση (π.χ., 13+8, 17 9), Έχοντας δουλέψει κι αυτούς τους συνδυασμούς στους αριθμούς 1-20 εύκολα θα μπορέσουν να τους επεκτείνουν στους αριθμούς 20-100 π.χ., γνωρίζοντας 13+8 κάνει 21 (δηλαδή τι γίνεται όταν συμπληρώνεται δεκάδα) είναι το ίδιοι που θα ισχύσει στους μεγαλύτερους αριθμούς 33+8=41 33

μοναδιαία/δυαδική πρόσθεση η μοναδιαία πρόσθεση δεν μπορεί να υποστηρίξει την αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης, που βασίζεται στη δυνατότητα να αλλάξει η σειρά των δύο ποσοτήτων που ενώνονται η αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης υποστηρίζεται καλύτερα από το μοντέλο της δυαδικής πρόσθεσης είναι πιο δύσκολο με τη μοναδιαία πρόσθεση να γίνεται κατανοητό γιατί 4+2 θα πρέπει να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με το 2+4 34

πόσο νωρίς γίνεται κατανοητή η αντιμεταθετικότα στην πρόσθεση; πειράματα με παιδιά 3 και 4 ετών έδειξαν ότι κατανοούν την αντιμεταθετικότητα στην πρόσθεση, όταν οι ποσότητες που προστίθενται είναι αντικείμενα κι όχι αριθμητικά σύμβολα (βλ. Sophian, Harley, Manos, 1996) 35

το πείραμα της αντιμεταθετικότητας (βλ. Sophian, Harley, Manos, 1996) τα παιδιά έπρεπε να πουν αν δύο χαρακτήρες είχαν τον ίδιο αριθμό από ζωάκια, τα οποία ήταν δύο ειδών (ψάρια και πουλιά) για να μην απαριθμούν τα παιδιά, ένα μέρος του συνόλου ήταν καλυμμένο με ένα κουτί κάθε χαρακτήρας είχε ένα σύνολο και από τα δύο είδη ζώων, ένα μικρότερο (2 ή 3 ψάρια) και ένα πιο μεγάλο (4 ή7 πουλιά) το μεγαλύτερο σύνολο (π.χ., τα 6 πουλιά) πάντα καλύπτονταν γρήγορα με ένα κάλυμμα που είχε διαφορετικό χρώμα ανάλογα το είδος (κόκκινο για τα ψάρια, κίτρινο για τα πουλιά) και έχει μέγεθος ανάλογο του πλήθους που έκρυβε για να δηλώνει κάτι από το μέγεθός του όταν ο ένας χαρακτήρας είχα λίγα ψάρια και πολλά πουλιά, ο άλλος είχε πολλά ψάρια και λίγα πουλιά έτσι ο ένας χαρακτήρας θα μπορούσε να έχει 2 φανερά ψάρια και κάποια πουλιά καλυμμένα με ένα κόκκινο κουτί και ό άλλος κάποια ψάρια καλυμμένα με ένα κίτρινο κουτί ίδιου μεγέθους και 3 φανερά πουλιά στα μισά έργα οι δύο χαρακτήρες είχαν ίσα ζωάκια, τόσο κρυμμένα όσο και φανερά και μόνο το είδος άλλαζε, οπότε η σωστή απάντηση ήταν είναι ίσα (αντιμεταθετική ιδιότητα σε ισχύ), ενώ στα άλλα μισά τα ζωάκια κάθε χαρακτήρα ήταν διαφορετικά σε πλήθος, είτε γιατί υπήρχαν 2 φανερά ζωάκια στον ένα χαρακτήρα ενώ 4 στον άλλο, είτε γιατί υπήρχαν 4 κρυμμένα στον ένα χαρακτήρα και 7 στον άλλο, καλυμμένα με μεγαλύτερο κουτί 36

Οι βασικές πράξεις Η πρόσθεση και η αφαίρεση όπως και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μπορούν να μοντελοποιήσουν διαφορετικές καταστάσεις Στο πιλοτικό Αναλυτικό θα δείτε ως στόχο τον εξής: Τα παιδιά διερευνούν καταστάσεις «βάζω μαζί», «βάζω ακόμα» και «συγκρίνω» για να προσεγγίσουν τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση» Τι είδους καταστάσεις είναι αυτές; Δώστε παραδείγματα Και βάλτε και την κατάσταση «βγάζω» σε αυτές.

πρόσθεση και πραγματικές καταστάσεις Τα παιδιά συχνά φαίνεται να έχουν δυσκολίες να δώσουν τη σωστή απάντηση σε ένα λεκτικό πρόβλημα. παρόλα αυτά θα περιμέναμε το αντίστροφο γιατί η σύνδεση με πραγματικές καταστάσεις και πραγματικά αντικείμενα θα έπρεπε να βοηθάει βλ. εμπλαισιωμένη μάθηση μαθηματικά μέσα κι έξω από το σχολείο - παιδιά/πωλητές στη Βραζιλία (Carahher, 1987) τι συμβαίνει; 38

πίσω στα λεκτικά προβλήματα ίσως τελικά τα λεκτικά προβλήματα δεν πείθουν αρκετά τους μαθητές ότι είναι πραγματικά κι όχι μαθηματικά επίσης, τα λεκτικά προβλήματα δεν είναι και τόσο εύκολα όσο φαίνονται κι έχουν κυμαινόμενη δυσκολία ανάλογα με τη σημασιολογική τους δομή βλ. Cummins, 1991; De Corte, Verscaffel & De Win, 1985, Riley & Greeno, 1988 39

δυσκολίες στα λεκτικά προβλήματα τα πιο εύκολα λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης είναι αυτά στα οποία ο άγνωστος βρίσκεται στο τέλος π.χ., Ο Νίκος είχε 8 σπίρτα και έδωσε τα 3 στον Μάνο, πόσα σπίρτα έχει τώρα ο Νίκος; ενώ τα προβλήματα που ο άγνωστoς βρίσκεται στην αρχή είναι πιο δύσκολα. Στα προβλήματα αυτά αναζητούνται σχέσεις μέρους/όλου π.χ., ο Νίκος είχε κάποια σπίρτα και του έδωσε ο Μάνος 5 σπίρτα και τώρα ο Νίκος έχει 8 σπίρτα. Πόσα σπίρτα είχε ο Νίκος στην αρχή; Πιο εύκολα λοιπόν είναι τα προβλήματα στα οποία η πράξεις για τη λύση ακολουθεί τη σειρά των γεγονότων (βλ. άγνωστος στο τέλος) 40

δυσκολίες στα λεκτικά προβλήματα Ένα ακόμα πείραμα σε 4-5 ετών παιδιά ένα αρκουδάκι μαζεύει μανιτάρια στο δάσος, τα βάζει σε ένα καλάθι και τα βγάζει μια φωτογραφία, κλείνει το καλαθάκι (για να μη βλέπει πόσα έχει μέσα) και παίρνει το δρόμο για το σπίτι, αλλά συναντά ή έναν φίλο που του δίνει λίγα μανιτάρια ακόμα ή ένα τέρας που του παίρνει κάποια. Φτάνοντας σπίτι ανοίγει το καλάθι. Στη συνθήκη άγνωστος στην αρχή, ο ερευνητής του δείχνει πόσα μανιτάρια είχε στο σπίτι και ρωτάει πόσα είχε στο δάσος (στη φωτογραφία) Στη συνθήκη άγνωστος στο τέλος, ο ερευνητής δείχνει την φωτογραφία και ρωτάει πόσα έχει στο τέλος, στο σπίτι σημασία δεν είχε η ακριβής απάντηση όσο το αν κατανοεί τη σχέση μέρους όλου κι άρα αν απαντάει ότι στο τέλος θα έχει περισσότερα απ ότι στην αρχή αν συνάντησε φίλο, κι ότι στο τέλος θα έχει λιγότερα απ ότι στην αρχή, αν συνάντησε τέρας. Τα παιδιά 5 ετών απαντούσαν σωστά ενώ τα 4 ετών απαντούσαν συνήθως περισσότερα, ανεξάρτητα από το αν συνάντησαν φίλο ή τέρας Στη συνθήκη άγνωστος στο τέλος, τα κατάφερναν όλοι καλύτερα Sophian & Vong, 1993 41

Στρατηγικές επίλυσης για απλά προβλήματα αφαίρεσης Υλικές (Material): χρήση φυσικών αντικειμένων Λεκτικές (Verbal): διαδοχικό μέτρημα Υποκατηγορίες counting Ξεκινάει με τον μεγαλύτερο αριθμό Ξεκινάει με τον πρώτο αριθμό Νοητικές (Mental): ανάκληση αριθμητικών αποτελεσμάτων 42

στρατηγικές μέτρησης Μοντέλο Ολικής Μέτρησης όταν θέλουν να προσθέσουν 8+3 ξεκινούν από την αρχή, μετρούν μέχρι το πρώτο (8) και άλλα 3 1,2,3,4,5,6,7,8...,9,10,11 Μοντέλο Μερικής Μέτρησης όταν θέλουν να προσθέσουν 8+3 ξεκινούν από το 8 και μετρούν 3: 9, 10, 11 Μοντέλο Ελάχιστης Μέτρησης όταν θέλουν να προσθέσουν 3+5 ξεκινούν από το 5και μετρούν άλλα 3, κι όχι από το πρώτο (το 3) γιατί είναι πιο οικονομικό 4, 5, 6, 7, 8, οι στρατηγικές αυτές παίρνουν διαφορετικό χρόνο κι έτσι μπορούμε να τις υποθέσουμε μεθοδολογικά 43

στρατηγικές μέτρησης Οι διαφορετικές στρατηγικές μέτρησης μπορούν να υποστηριχθούν από το εργαλείο της απαρίθμησης παράδειγμα, όταν θέλουν να προσθέσουν 8+3: Μοντέλο Ολικής Μέτρησης 1,2,3,4,5,6,7,8...,9,10,11 Μοντέλο Μερικής Μέτρησης ξεκινούν από το 8 και μετρούν 3:...9, 10, 11 Μοντέλο Ελάχιστης Μέτρησης όταν θέλουν να προσθέσουν 3+5 ξεκινούν από το 5 και μετρούν άλλα 3:...6, 7, 8, 44

Στρατηγικές επίλυσης για απλά προβλήματα αφαίρεσης Υλικές (Material): χρήση φυσικών αντικειμένων Λεκτικές (Verbal): διαδοχικό μέτρημα Υποκατηγορίες counting Ξεκινάει από τον μεγαλύτερο αριθμό και κατεβαίνει όσο ο αφαιρετέος. π.χ 8-5: 7, 6, 5, άρα 3 Ξεκινάει με τον μικρότερο και ανεβαίνει μέχρι να βρει τον άλλο αριθμό, π.χ., 6, 7, 8, άρα 3 φυσικά αυτές οι στρατηγικές δύσκολα εφαρμόζονται όταν οι διαφορές είναι μεγάλες και πρέπει να μετρήσεις πολλούς αριθμούς Νοητικές (Mental): ανάκληση αριθμητικών αποτελεσμάτων 45

συμπεράσματα για την πρόσθεση και την αφαίρεση ακόμα και τα νεογέννητα έχουν μια αντίληψη της πρόσθεσης και αφαίρεσης ποσοτήτων ως διαδικασίες που αλλάζουν το πλήθος ενός συνόλου κοντά στα νήπια τα παιδιά κατανοούν τις αντιμεταθετικές ιδιότητες της πρόσθεσης παρόλα αυτά στην προσχολική και πρώιμη σχολική ηλικία μένουν να συμβούν μεγάλες αναπτυξιακές αλλαγές στην κατανόηση των πράξεων τα παιδιά περνούν από μία μοναδιαία αντίληψη της πρόσθεσης σε μια δυαδική που υποστηρίζει την ανάπτυξη της κατανόησης σχέσεων μέρους/όλου, που θα επιτρέψει να λύσουν λεκτικά προβλήματα όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στην αρχή και άλλα προβλήματα που δεν λύνονται αν οι απαραίτητες πράξεις ακολουθούν την αφήγηση του προβλήματος. οι στρατηγικές μέτρησης γίνονται όλο και πιο εκλεπτυσμένες, από ολική σε μερική και ελάχιστη μέτρηση από τις πιο απαιτητικές είναι η κατανόηση της αξίας θέσης των συστημάτων αρίθμηση και οι κάθετες πράξεις με κρατούμενα. 46

µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' παράδειγμα Wynn, 1992

σχέση ανάμεσα στις πράξεις Οι μαθητές χρησιμοποιούν τις σχέσεις ανάμεσα σε πράξεις για να ενισχύσουν την δυνατότητά τους για υπολογισμούς Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι άμεσα συνδεδεμένες ως αντίστροφες πράξεις και αυτή τη σχέση την χρησιμοποιούν οι μαθητές όταν μαθαίνουν αφαίρεση. π.χ., να λύσεις το 9-4 σε βοηθάει αν ξέρεις ότι 5+4=9 Ο πολλαπλασιασμός συχνά διδάσκεται ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση: π.χ., 3*5 = 5+5+5 και η στρατηγική πρόσθεσης όμοιων που εισάγει στο διπλασιασμό: 2+2 κάνει 4, 2*2= 4 κάτι που γενικεύεται εύκολα στους διψήφιους π.χ., 2*10=20 Η διαίρεση μπορεί να ιδωθεί ως επαναλαμβανόμενη αφαίρεση ή σαν ίσος διαμοιρασμός η σχέση της διαίρεσης με το κλάσμα θα βοηθήσει στην κατανόηση των κλασμάτων αργότερα π.χ., ότι το μισό του 4 είναι το 2, δηλαδή 4:2=2 ή 4/2=2 Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι επίσης αντίστροφες πράξεις κι αυτή η σχέση υποστηρίζει την κατανόηση της διαίρεσης 48

ιδιότητες των πράξεων είναι πολύ σημαντικό για την εκπαιδευτικό να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες κάθε πράξης ώστε να επενδύσει χρόνο και ενέργεια σε κάθε μία από αυτές οι μαθητές φυσικά δε χρειάζεται να τις ξέρουν με τα ονόματά τους αλλά ως κατακτημένη γνώση η μάθηση των ιδιοτήτων μπορεί να προκύψει από δραστηριότητες με αντικείμενα, αναπαραστάσεις και σύμβολα, όπως έχουμε αναφέρει και παραπάνω 49

βασικές ιδιότητες πρόσθεσης-αφαίρεσης Οι ιδιότητες της πρόσθεσης: η αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ., 1+2=2+1 η προσεταιριστική ιδιότητα π.χ., (8+9)+2 είναι το ίδιο όπως 8+(9+2) ο ταυτοτικός κανόνας (π.χ., 1+0=1) Οι ιδιότητες της αφαίρεσης: ο ταυτοτικός κανόνας (1 0=1) 50

ισότητα Η ισότητα είναι μια μαθηματική δήλωση ισοδυναμίας των δύο ποσοτήτων. αφού τα παιδιά από πολύ μικρά μπορούν να εκτιμήσουν άμεσα την ποσότητα που είναι μικρότερη από 4, μπορούν κατανοήσουν να σχέσεις ισότητας 2+1=3=1+2 οι μαθητές μπορούν να χτίσουν τις σχέσεις ανάλυσης/σύνθεσης του αριθμού στη βάση της ισότητας στο πλήθος συνόλων αντικειμένων π.χ., 3+4=5+2=6+1=7 51

η μάθηση των πράξεων στον Νηπιαγωγείο τα παιδιά: μπορούν να καταμετρούν μια συλλογή από αντικειμένων αλλά αρχικά δεν μπορούν να αποφανθούν για το αποτέλεσμα της άθροισης δύο συνόλων - δηλαδή δεν μπορούν να πουν το σύνολο του συνόλου που προκύπτει από την ένωση 5 και 2 χωρίς να τα ξαναμετρήσουν δεν μπορούν να υπολογίσουν το αποτέλεσμα συνένωσης δύο συνόλων αν υπάρχουν αντικείμενα που είναι κρυμμένα - π.χ., 4 πουλάκια πετάνε γύρω από το σπίτι και υπάρχουν κι άλλα 2 στη φωλιά (δεν φαίνονται) πόσα είναι όλα τα πουλάκια; συνήθως αρχικά χρησιμοποιούν τα δάχτυλα των χεριών για να δηλώσουν τους αριθμούς των δύο προσθετέων (4 ανοιχτά δάχτυλα στο ένα χέρι και 3 στο άλλο) και μετρώντας τα όλα μαζί από το 1 βγάζουν το αποτέλεσμα της πράξης στη συνέχεια μπορεί να μην ξεκινούν την καταμέτρηση ξεκινώντας από το 1 (μοντέλο μερικής/ελάχιστης μέτρησης) π.χ., ειδικά στην πρόσθεση 5+... γνωρίζουν ότι το ένα χέρι είναι 5 και ξεκινούν από το 5 την μέτρηση και περνούν κατευθείαν στον αριθμό που αναπαρίσταται στο άλλο χέρι 52

η μάθηση των πράξεων στον Νηπιαγωγείο θα πρέπει να προσφέρει τη δυνατότητα ενεργούς συμμετοχής σε δράσεις πρόσθεσης (βάζω μαζί) και αφαίρεσης (απομακρύνω) αντικειμένων από σύνολα παρά τη γνώση του αλγόριθμου και την παπαγαλία των αποτελεσμάτων των πράξεων υποστηρίζεται καλύτερα από προβληματικές καταστάσεις κατά το δυνατόν αυθεντικές και με νόημα, που να προκύπτουν από ρεαλιστικές καταστάσεις και να εμπλέκουν τα παιδιά στην διεξαγωγή πολλών και διαφορετικών πράξεων, που γίνονται με χρήση πολλαπλών στρατηγικών 53

συμβουλές για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των πράξεων Κάποιες γενικές στρατηγικές για τη διδασκαλία των πράξεων. Οι δάσκαλοι καλό θα ήταν: να εκθέτουν σε προβληματικές καταστάσεις που δημιουργούν την ανάγκη αριθμητικών πράξεων - ενθάρρυνση της έκθεσης των διαφορετικών στρατηγικών που εμφανίζονται στην τάξη και συζήτηση πάνω σε αυτές δημιουργία καταστάσεων μέσα από τις οποίες προκύπτουν διάφορα προβλήματα προς λύση από τους μαθητές με χρήση των αριθμητικών πράξεων χρήση χειροπιαστών αντικειμένων, εικονικών και συμβολικών αναπαραστάσεων 54

συμβουλές για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των πράξεων 2 Κάποιες γενικές στρατηγικές για τη διδασκαλία των πράξεων. Οι δάσκαλοι καλό θα ήταν: να ενθαρρύνουν τη δημιουργία νέων προσωπικών στρατηγικών για τη λύση προβλημάτων να χρησιμοποιούν και ανοιχτά προβλήματα όπου να συζητιούνται οι διαφορετικές λύσεις που προτείνονται να ενθαρρύνουν την έκφραση εξηγήσεων από τα ίδια τα παιδιά - αυτό αναπτύσσει το μαθηματικό λεξιλόγιο και κάνει ρητές τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται και δημιουργεί τη συνθήκη να αναπτύξουν τα παιδιά πιο εκλεπτυσμένες στρατηγικές όπως της μερικής και ελάχιστης μέτρησης, χρήση γνωστών αποτελεσμάτων, ομαδοποίηση στη δεκάδα, κοκ να χρησιμοποιούν τα λάθη και τις απαντήσεις των μαθητών για να τους δίνουν στοχευμένη ανατροφοδότηση με στόχο τη διόρθωση των παρανοήσεων. 55

συμβουλές για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των πράξεων 3 να παρέχονται δυνατότητες για χειροπιαστά και εικονικά μοντέλα των πράξεων, π.χ., κυβάκια σε διαφορετικές διαστάσεις και χρώματα ανά δεκάδα, πίνακες με βάση το 5 και το 10, αριθμογραμμή και χάρακα, να παρέχονται κατά το δυνατόν ρεαλιστικές καταστάσεις όπου οι μάθηση και η πρακτική των πράξεων να προκύπτει από την ανάγκη συμμετοχής στο σενάριο π.χ., ένα οικογενειακό γεύμα που πρέπει να χωρίσουμε τα φρούτα, τα κομμάτια γλυκού, τις φέτες ψωμί, κτλ... Χρήση προβλημάτων εμπνευσμένων από την καθημερινή εμπειρία των μαθητών π.χ., σήμερα λείπουν 4 παιδιά, άρα πόσα είναι στην τάξη; 56

Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Δραστηριότητες πρόσθεσης

δραστηριότητες με πρόσθεση Βήματα σε αριθμημένα τετράγωνα σε ευθεία διάταξη, με οδηγίες για πρόσθεση αφαίρεση για καλύτερη κατανόηση της διατακτικότητας του αριθμού Επιτραπέζια Παιχνίδια στην αυλή 58

δραστηριότητες με πρόσθεση παιχνίδια με ζάρια με χαρτιά π.χ., πετάει ένας κι ο άλλος πρέπει να φτιάξει 5, ή 10 ή 8,... χάρτης ανάλυσης/σύνθεσης του 8, του 12,... με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε ανθρώπους σε αυτοκίνητα πόσες διαφορετικές πίτσες μπορεί να φτιάξει μια πιτσαρία με τα ακόλουθα υλικά: μανιτάρια, πιπεριά, ντομάτα κουτιά που έχουν μέσα αντικείμενα, και βάζουμε (ή βγάζουμε) κάποια και ρωτάμε πόσα έμειναν επέκταση: να βρεθούν τρόποι να συμβολίσουν τα παιδιά το περιεχόμενο των κουτιών ώστε να το θυμούνται ή και να συμβολίσουν την πράξη που έκαναν, (βλ. Hughes, Τα παιδιά και η έννοια του αριθμού) 59

Ένα παράδειγμα Η Άννα έχει 4 βόλους. Έχει 2 περισσότερους βόλους από το Γιάννη. Πόσους βόλους έχει ο Γιάννης; Ποιο λάθος θα αναμένατε σε αυτό το πρόβλημα;

Μοντελοποίηση των πράξεων στο Νηπιαγωγείο Γι να μπορούν να μοντελοποιούν τα παιδιά την κατάσταση και μέσω της αναπαράστασης να επιλύουν το πρόβλημα. Δραματοποίηση Υλικά (πούλια,.) Ζωγραφική Ξεκινάμε από τα είδη των προβλημάτων που είναι πιο εύκολα για τα παιδιά, αλλά δεν περιοριζόμαστε σε αυτά Δεν κατηγοριοποιούμε τα προβλήματα με βάση την πράξη αφήνουμε τα παιδιά να δουλέψουν με τη βοήθεια των μοντέλων Δουλεύουμε με μικρούς αριθμούς

Παράδειγμα με δραματοποίηση: Βρες πόσα * έχω στα χέρια μου. Έχω 3* στο ένα χέρι και 2* στο άλλο χέρι. Πόσα * (κυβάκια) έχω όλα μαζί; Έχω 5* και στα δύο χέρια. Στο ένα έχω 3*. Πόσα * (κυβάκια) έχω στο άλλο;

Πρόσθεση & αφαίρεση ως αντίθετες πράξεις

Εγώ έχω 5 κυβάκια. Ο Κώστας έχει επτά. Ποιος έχει περισσότερα; Πόσα περισσότερα;

Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Από το Αναλυτικό Πρόγραμμα

Από το αναλυτικό πρόγραμμα

Από το αναλυτικό πρόγραμμα