математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm, d = 1 cm. Подножје висине те пирамиде је пресек дијагонала ромба. Дужина висине те пирамиде је 6,4 cm. 1) Израчунај дужину основне ивице ромба и површину основе. ) Одреди дужине бочних ивица те пирамиде и нацртај њену мрежу у размери 1:. ) Израчунај апотему (висину бочне стране ромба) и покажи да је површина омотача те пирамиде P = 0 cm. 7.. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде Слика 11 Правилна четворострана пирамида и њена мрежа приказане су на слици 11. Покажи да је: 1) површина њене основе (базе) = ; ) површина њеног омотача M = ; ) површина те пирамиде P = +. 15. 1) Нацртај мрежу правилне четворостране основне ивице cm и бочне ивице cm. ) Израчунај површину те пирамиде. 11
16. Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је: 1) = 6 cm; = 8 cm; ) = 8,5 cm; = 16 cm. 17. Страница квадрата је 10 cm. Да ли тај квадрат може бити основа пирамиде чије су све бочне ивице 7 cm? 18. На слици 1 површина пресека површине четворостане пирамиде је 1 cm, а висина = 4 cm. Израчунај. 1) дужину основне ивице те пирамиде; ) површину те пирамиде. Пример Слика 1 Слика 1 M r N Бочна страна правилне четворостране пирамиде нагнута је према равни основе под углом од 60. Изрази површину те пирамиде у фукцији основне ивице. Посматрај пресек MN (сл. 1). Реч је о углу који заклапа апотема и њена пројекција на равни основе. У овом случају то је угао N. Дакле, како је r =, то је =, па је тражена површина P =. На слици 14 приказана је правилна четворострана пирамида основне ивице и висина. Уочимо неке њене пресеке. 1) Пресек пирамиде и равни одређеног њеном висином и дијагоналним осом пирамиде је троугао кажемо и дијагонални пресек (сл. 14.1). Важи једнакост (на основу Питагорине теореме) = d +` j. Примети да је половина дијагонале основе полупречник описаног круга. ) Пресек пирамиде и равни одређене врхом пирамиде и средиштима ( и ) наспрамних ивица основе (сл. 14.). 1
} математик за VIII разред основне школе Слика 14 Сл. 14.1 } d Сл. 14. Применом Питагорине теореме важи једнакост = +` j. је полупречник уписаног круга основе. ) Сам/а покажи да важи једнакост = -` j (уочи правоугли троугао ). 19. Нацртај мрежу и израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је: 1) = cm, = 4 cm; ) = 6 cm, = 5 cm; ) = 4 cm, = 5 cm; 4) = 10 cm, = 6 cm. 0. Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је: 1) површина основе = 6 cm, а бочна ивица = 5 cm; ) површина омотача правилне четворостране пирамиде 10 cm, а висина бочне стране = 10 cm. 1. Основа четворостране пирамиде је једна страна коцке ивице = 6 cm, а њен врх је: 1) средиште супротне стране коцке; ) теме супротне стране коцке; ) теме супротне стране коцке; 4) средиште бочне ивице коцке. Израчунај површину те пирамиде.. Кров звоника има облик правилне четворостране пирамиде чија је основна ивица = 4,5 m, а висина = 8,5 m. Колико је m дасака потребно да се покрије кров?. Шаторасти кров има облик правилне четворостране пирамиде (основне ивице = 4 m, а висине = 5 m). Колико ће коштати поправка крова лимом, ако се за 1 m тог лима плати 1 600 дин.? На слици 15 приказане су правилна тространа пирамида и њена мрежа. Слика 15 1
Површина њене основе је: = 1. 4 Површина њеног омотача је: M =. Површина те пирамиде је: P = + M, тј. 1 P = +. 4 4. Нацртај мрежу правилне тростране пирамиде чија је основна ивица = 6 cm, а бочна ивица = 5 cm. 5. Израчунај површину основе правилне тростране пирамиде чија је основна ивица = 6 cm. 6. Израчунај: 1) површину омотача; ) површину правилне тростране пирамиде чија је основна ивица = 1 cm, а апотема = 10 cm. 7. Површина основе правилне тростране пирамиде је 6 cm, а бочна ивица је = 10 cm. Израчунај њену површину. 8. Површина омотача правилне тростране пирамиде је 90 cm, а апотема = 15 cm. Израчунај површину те пирамиде. Пример: Бочна ивица правилне тростране пирамиде је 5 cm, а обим основе је 6 cm. 1) И зрачунај површину омотача те пирамиде. ) Колика је висина пирамиде? Слика 16. Слика 16.1 } } 6 Уочимо пресек пирамиде и равни одређене врхом пирамиде и његовом тежишном дужи. 1) Из Δ применом Питагорине теореме је: = +c m. 14
математик за VIII разред основне школе полупречник описаног круга једнакостраничног троугла (сл. 16.1). ) Из Δ је: = +c m. 6 полупречник уписаног круга основе. ) Из Δ је = -` j. а) Покажи да је апотема = 4 cm, а M = 6 cm. б) Како је = -c m то је = 5 -^ = 5-1 = 1. Висина је 1 cm. 9. Основна ивица правилне тростране пирамиде је два пута већа од висине бочне стране. Изрази површину омотача те пирамиде у функцији. Правилна тространа једнакостранична пирамида назива се правилним тетраедром (сл. 17). Покажи да је: 1) Површина правилног тетраедра P = а ) Висина правилног тетраедра = 6 Слика 17 0. Површина правилног тетраедра је P = 100 cm. Израчунај: 1) ; ) ; ). 1. Израчунај висину правилног тетраедра ако је његова површина P = 6,8 cm.. Једна раван полови тетраедар странице = 1 cm (сл. 18). Израчунај површину половине тог тетраедра.. Две подударне једнакоивичне тростране пирамиде, ивице 6 cm залепљене су по својим основама. Израчунај површину тако насталог тела. 4. На слици 19 дата је коцка ивице 6 cm. Израчунај површину пирамиде G. G Слика18 Слика 19 15
На слици је приказана слика и мрежа правилне шестостране пирамиде. Слика 0 Површина њене основе је: = 6 $ =. 4 Површина омотача је: M = 6 $ =. А, њена површина P = + M, тј. P = +. 5. 1) Нацртај мрежу правилне шестостране пирамиде чија је основа ивице = 6 cm, а бочна ивица = 5 cm. ) Израчунај њену апотему. ) Колика је површина те пирамиде? 6. Основна ивица правилне шестостране пирамиде је = cm, а апотема = 5 cm. Конструисати мрежу и израчунати површину те пирамиде. 7. Површина основе правилне шестостране пирамиде је 54 cm, а апотема је два пута дужа од основне ивице. Наћи њену површину. Пример: Израчунај површину омотача правилне шестостране пирамиде ако је: 1) њена висина = 6 cm, а основна ивица = 8 cm; ) њена бочна ивица = 10 cm, а висина = 8 cm. 1) Уочи пресек пирамиде у равни која садржи њену висину и апотему G () (сл. 1). То је троугао G. 16
математик за VIII разред основне школе ' G }G } Слика 1 Слика 1.1 Слика 1. Дуж G је висина једнакостраничног троугла (сл. 1.1), па је G =. Приметимо да је G полупречник уписаног круга шестоугла. Важи = +` j, па је = 1cm, M = 48 1cm. ) Уочимо дијагонални пресек (Δ). Како је = то применом Питагорине теореме важи =. ( полупречник описаног круга шестоугла сл. 1.). Дакле, = - = 6cm, а даље из = +` j је = 8 + 7 = 91, па је површина омотача M = 18 91cm. Апотему смо могли наћи и из формуле = -` j. Овим формулама изражавају се као и код правилне четворостране и правилне тростране пирамиде везе између основне ивице, висине пирамиде, бочне ивице и висине бочне стране (апотеме). Довољно је знати два од четири ова елемента. 8. Израчунај површину правилне шестостране пирамиде ако је: 1) = 5 cm, = 6 cm; ) = 6 cm, = 10 cm; ) = 0 cm, = 16 cm; 4) = 8 cm, = 10 cm; 5) = 1 cm, = 1 cm; 6) = 4 cm, = cm. 9. Дата је правилна шестострана пирамида (сл. ). Израчунај површину троугла ако је основна ивица 4 cm и бочна cm. 17
Слика 7.4. Запремина пирамиде Учили смо раније како се израчунава запремина призме. Пример: Колико литара воде може да стане у суд облика четворостране призме чија је основа квадрат странице 4 dm, а висина тог суда је dm? Запремина призме се рачуна по формули V =. Како је она 48 dm то у дати суд може да стане 48 l воде. 16cm 8cm =10cm =10cm 8cm Слика 8cm На слици приказане су две четворостране пирамиде истих висина = 10 cm. Основа прве је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm и d = 8 cm. Колика је површина те основе. Основа друге је квадрат странице = 8 cm. Приметимо да су површине њихових основа једнаке. 18