6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао, четвороугао) *. Негде су то стране кућа и других грађевинских објеката, пресеци канала и железничких путева, држачи стоних лампи, разни оквири и др. * Четвороугао није чврста фигура као троугао, већ је подложна мењању облика. 100 математика за 6. разред основне школе
Ови геометријски објекти се често користе за различите потребе (можда и више од троуглова), па је корисно да их боље упознамо, проучимо и откријемо нека њихова својства (особине). Познајемо две врсте четвороуглова правоугаонике и квадрате (сл. 2). У овом поглављу ћемо научити нека њихова важна својства. 1) 2) Сл. 2 Урадимо неке познате задатке. 1. Нацртај изломљену отворену линију од: 1) три дужи; 2) четири дужи. 2. Нацртај изломљену затворену линију од: 1) три дужи; 2) четири дужи. 3. На слици 3 приказане су изломљене затворене линије од четири дужи:,, и. 1) 2) U O Y X F E U O S O d δ S c γ S O Q P a Сл. 3 Сл. 4 Крајеви свих дужи ових изломљених линија припадају истој (једној) равни. Затворена изломљена линија дели раван на две области: унутрашњу (U o ) и спољашњу (S o ). Затворена изломљена линија и унутрашња област равни одређена том линијом чине четвороугао. Подела свих четвороуглова може се извршити на више начина. Четвороуглови приказани на слици 3 су: 1) испупчени (конвексни), а 2) издубљени (неконвексни), што ти је познато од раније. Разматрамо само испупчене четвороуглове. 4. Сваки четвороугао има по четири: темена, странице, унутрашња и спољашња угла (сл. 4). Обележимо странице редом: = a, =, = c и = d. Крајеви дужи су темена четвороугла,, и. Унутрашње углове образују по две суседне странице: =, =, = γ и = δ. Спољашњи углови су упоредни унутрашњим угловима. Четвороугао 101
Свака страница четвороугла има две суседне и једну наспрамну страницу. Тако, страници a суседне су странице и d, страници суседне су a и c итд. Такође, темену суседна темена су и, а супротно је теме, темену супротно је теме итд. Дуж чији су крајеви супротна темена четвороугла назива се дијагонала. На слици 4 дијагонале четвороугла су дужи и. 5. Нацртај четвороугао и обележи његова темена, странице и углове. Нацртај бар једну његову дијагоналу. 6. 1) Нацртај четвороугао користећи изломљену затворену линију од четири дужи и нацртај његове дијагонале. 2) Две дате дужи су дијагонале неког четвороугла (сл. 5). Може ли да се нацрта четвороугао тако да дате дужи буду његове дијагонале? Ако је то могуће, обележи основне елементе тог четвороугла. Одговор је потврдан. Могуће је. * 3) Цртајмо четвороугао чија је једна дијагонала дата дуж, а друга дуж је (сл. 5) Даље, нека је тачка S средиште дијагонале, а тачка S припада дужи и између је крајева и ( и граде угао x) (сл. 6). x S x Сл. 5 Сл. 6 4) Нацртај четвороугао као у случају 3) ако је: а) угао x = 90 ; б) тачка S полови обе дијагонале а угао x је произвољан (тачка S је средиште и једне и друге дијагонале). Има још начина за цртање различитих врста четвороуглова! Упознајмо још један начин прављења четвороуглова. Пре тога добро увежбај цртање правих: паралелних, нормалних, оне које нису ни паралелне ни нормалне (и не поклапају се). 5) Цртајмо две праве a и које су паралелне (a ), праве x и y које нису међусобно паралелне тако да праве a и секу праве x и y (сл. 7.1). Четвороугао (сл. 7.1) има један пар паралелних страница. На слици 7.2 четвороугао нема парове паралелних страница, а на слици 7.3 четвороугао има два пара паралелних страница. * Све цртамо и меримо. Не конструишемо! 102 математика за 6. разред основне школе
1) a x y a x y 2) 3) a x y a x y x x y a y Сл. 7 И овај начин је погодан за упознавање различитих врста четвороуглова. 6) Нацртај неке четвороуглове на овај начин. Сав досадашњи материјал за прављење четвороуглова (праве, дужи, углови, њихови односи и др.), познат је од раније. Доста смо научили о троугловима, па то знање искористимо код четвороуглова? Упознајемо нека својства углова четвороугла. 7. Дат је четвороугао (сл. 8). δ γ Сл. 8 1) Измери углове,, γ и δ и израчунај њихов збир. * 2) Конструиши збир свих тих углова. Шта је њихов збир? 3) Исеци модел четвороугла, а затим сложи све његове углове тако да добијеш њихов збир. Ако је добро урађено (уз незнатне грешке), у сва три случаја резултат треба да буде исти. Тврђење 1 Збир унутрашњих углова четвороугла је пун угао (360 ). Докажимо ту тврдњу (теорему)? * Даље нећемо истицати да су то унутрашњи углови, већ ће се то подразумевати. Ако се појаве неки други углови, онда ће то бити посебно наглашено. Такође, за пун угао (и за остале углове) наводимо и њихове мере, што се подразумева. Четвороугао 103
Доказ Уочи четвороугао (сл. 9). δ Сл. 9 γ Четвороугао поделили смо на троуглове и. Дијагонала дели углове и на два дела: и γ, као и и δ. Такође, + γ = и + δ =. Збир свих унутрашњих углова сваког троугла је 180, па је: + + = 180 ( ) и γ + δ + = 180 ( ). Сабирајући све углове четвороугла, добићемо: + + + = 2 180 = 360. Тиме је доказ завршен. 8. Израчунај угао четвороугла ако су позната три угла: 1) 86, 39 и 154 ; 2) 60, 90 и 100 ; 3) 45 27, 105 54 и 68 ; 4) 135, 45, 90. 9. Да ли четвороугао може имати: 1) три оштра угла; 2) сва четири оштра угла; 3) сва четири тупа угла; 4) три права угла? 10.* У четвороуглу је: = 80 ; = =. Одреди меру сваког непознатог угла. 11.* Нацртај четвороугао ако су два супротна угла суплементна, а друга два супротна угла једнака. 12.*Да ли постоји четвороугао чији су сви углови једнаки? 13. Спољашњи углови четвороугла се дефинишу на исти начин као спољашњи углови троугла. Спољашњи угао четвороугла је упоредни угао његовог одговарајућег унутрашњег угла (сл. 10). δ1 δ γ1 γ + 1 = 180 ; + 1 = 180 ; 1 1 γ + γ 1 = 180 ; δ + δ 1 = 180. Сл. 10 Спољашњи углови четвороугла на слици 10 су 1, 1, γ 1 и δ 1. Мерењем, конструкцијом, експериментом, одреди збир свих спољашњих углова четвороугла. 104 математика за 6. разред основне школе
Сви резултати упућују на исти закључак: Тврђење 2 Збир свих спољашњих углова четвороугла је 360. Докажи тачност или нетачност тог тврђења! Тврђење је тачно. 14. Три спољашња угла четвороугла су: 68, 140 и 120. 1) Израчунај преостали спољашњи угао; 2) Израчунај све унутрашње углове. 15.* У унутрашњој области угла од 60 дата је тачка M. Нацртај праве нормалне на кракове датог угла које садрже тачку M. Одреди углове добијеног четвороугла: 1) унутрашње; 2) спољашње. 16.* Уради задатак као претходни, али ако је дати угао 90. Шта се запажа? 17.* Нацртај четвороугао чија су два суседна угла права, а остали су произвољни. 18. Дат је. Права је оса симетрије. Слика тачке је (сл. 11). Тако је добијен четвороугао. ' Сл. 11 1) Нека су углови датог троугла = 40 и = 55. Израчунај све углове четвороугла. 2)* Уочи својства четвороуглова који настају пресликавањем неког троугла у односу на осу симетрије, одређене једном страницом тог троугла. 19. 1) Дат је једнакокраки троугао и основица је оса симетрије. Пресликај тај троугао у односу на ту осу симетрије и размотри добијени четвороугао. Која си његова својства упознао? 2) Уради исти задатак за једнакостранични троугао ако је оса симетрије једна страница. Анализирај тај четвороугао. 3) За једнакокрако-правоугли троугао оса симетрије је хипотенуза, а добијени четвороугао ти је вероватно познат. Разматрај овај случај. * 20. Дата је права и њена тачка S (сл. 12). Нека тачке и припадају правој, тачка S је између њих, и нека је S = S. За тачке и каже се да су симетричне у односу на тачку S, која се зове центар симетрије. * Сви ови четвороуглови (а и други) су нам значајни у даљем раду. Четвороугао 105
1) Нацртај још две тачке праве симетричне у односу на тачку S. 2) Дата је дуж MN (сл. 13). Одреди центар симетрије тачака M и N. Сл. 12 S M N Сл. 13 3) Дате су праве и q и њихов пресек S (сл. 14). Конструиши пар тачака праве централно симетричних у односу на тачку S. Конструиши два пара тачака праве q централно симетричних у односу на тачку S. 21. 1) Кружна линија има центар симетрије (сл. 15). Дуж XY је пречник, па је тачка O центар симетрије тачака X и Y. Заиста, тачке X и Y одређују праву и OX = OY (полупречници). q M X O Сл. 14 S q Сл. 15 Y N Такође, сваке две тачке кружнице M и N, које су крајеви пречника, централно су симетричне у односу на центар кружнице. 2) Многи делови машина, као: точкови, пропелери итд. који се обрћу, имају свој центар симетрије (сл. 16). 3) И наша планета Земља (посматрана као лопта) има центар. Њена привлачна сила има правац и смер према центру. * Земљин Северни и Јужни пол су две централно симетричне тачке ** (глобус сл. 17). Сл. 16 Сл. 17 4)* Нека мерења на терену захтевају да се одреде централно симетричне тачке у односу на неки центар (сл. 18). * Познат је њен полупречник (приближно 6370 km). ** Годишња путања Земље (и путање других планета) око Сунца је крива (елипса) која има центар симетрије. 106 математика за 6. разред основне школе
А E Tачке и E, као и тачке и су централно симетричне у односу на тачку као центар. Геометрима је потребно да закључе, да су и дужи и E једнаке. Решење задатка 7 (Троугао II део) у овој књизи потврђује њихов закључак. Из тог решења се добија и много више, а то је: 1) E; 2) = E и E, што геометрима није потребно. Решење овог задатка помаже при разврставању четвороуглова. Значајно је да се истакну још нека својства централне симетрије. 22.* 1) Ако су две дужи и 1 1 паралелне и једнаке, оне су и централно симетричне. То је супротно од онога што су геометри решавали на терену. Нека је 1 1 и = 1 1 (сл. 19). Сл. 18 1 1 Сл. 19 Треба пронаћи центар симетрије датих дужи и доказати тачност проналаска. Познато је да тачке и 1 одређују само једну праву. Такође, тачке и 1 одређују само једну праву q. Нека је пресек тих правих тачка O (сл. 201)). 1) 2) q 1 1 δ γ q 1 δ γ 1 O O Сл. 20 = 1 1 и 1 1 = γ (наизменични углови) O O 1 1 (УСУ) = δ (наизменични углови) O = O 1 и O = O 1 Закључак: Тачка O, одређена на приказани начин, је центар симетрије датих дужи и 1 1. Четвороугао 107
Подударне и паралелне дужи и 1 1 су централно симетричне. 2) На исти начин се доказује да је 1 1 и 1 = 1 (сл. 202)) Докажи! После овог доказа примећујемо да четвороугао 1 1 има следеће особине (својства): два пара паралелних страница; супротне странице су му подударне; дијагонале се узајамно полове (прва полови другу и друга полови прву). супротни углови су подударни; налегли углови на једној страници (било којој) су суплементни (њихов збир је 180 ). 3) Дат је троугао и центар симетрије S. Одреди централно симетричан троугао датом троуглу у односу на центар S (сл. 21). Централном симетријом, у односу на центар S тачке, и пресликавају се редом у тачке 1, 1 и 1 а дужи, и у подударне дужи 1 1, 1 1 и 1 1 (сл. 21). Централном симетријом троугао се пресликава у подударан троугао 1 1 1 (ССС). * 1 1 Сл. 21 S 1 S=S 1 S=S 1 S=S 1 4) Кружница (круг) је геометријски објекат који има центар симетрије. Она се том централном симетријом пресликава у саму себе. Дуж има један центар симетрије, па је централно симетрична фигура. Права има више центара симетрије. Колико? Унакрсни углови имају центар симетрије (то је заједничко теме). Свака фигура која се централном симетријом пресликава у себе саму је централно симетрична. Троугао није централно симетрична фигура. Касније ћеш сазнати да су правоугаоник, квадрат и неки други четвороуглови централно симетрични, тј. имају центар симетрије. 23. Дат је троугао: 1) правоугли и центар симетрије је средиште хипотенузе; 2) једнакокраки и центар симетрије је средиште основице; 3) једнакостранични и центар симетрије је средиште једне странице; 4) једнакокрако-правоугли и центар симетрије је средиште хипотенузе; Пресликај све ове троуглове датом централном симетријом и уочи различите врсте добијених четвороуглова. * Важи уопште: тврђење: Централно симетричне фигуре F 1 и F 2 су подударне. 108 математика за 6. разред основне школе
24.* Ако фигуру чине: 1) две различите праве које се секу; 2) две различите паралелне праве; 3) две праве које се поклапају. Да ли оне имају центар симетрије? Ако имају, колики је њихов број? 6.2. Подела четвороуглова 25. Упознали сте и цртали различите четвороуглове. Велики број њих имао је различите углове, странице, дијагонале итд. Подела четвороуглова према броју паралелних страница: Немају парове паралелних страница Имају тачно један пар паралелних страница Имају два пара паралелних страница 1) d a 4 c a a 2 a 3 2) d a 1 a 4 c a a 2 a 3 3) a 4 d a 1 a c a 3 a 2 a 1 a 1 a 3 a 2 a 4 a 1 a 3 и a 2 a 4 a 2 a 4 a c и d Четвороуглови a 1 a 3 a и c d Трапези a c и d Паралелограми Сл. 22 Према приказу у табели (сл. 22) праве a 1, a 2, a 3 и a 4 својим пресецима одређују темена, углове и странице четвороуглова. Такође, те праве својим односом паралелно ( ) или није паралелно ( ) одређују број парова паралелних или непаралелних страница појединих четвороуглова. Њихова имена су наведена у табели. Дефинишимо ове четвороуглове: Сваки четвороугао који има тачно један пар паралелних страница назива се трапез. Сваки четвороугао који има два пара паралелних страница назива се паралелограм. 26. 1) Три угла четвороугла су 120, 150 и 60. Израчунај четврти угао. 2) Два угла трапеза су 60 и 135. Израчунај остале углове. 3) Угао паралелограма је 52. Израчунај остале углове. Зашто је у овим задацима број датих елемената различит? Одговор образложи. Решавајући разне задатке сазнали смо нешто о четвороугловима са паралелним страницама и дефинисали их. Сада ћемо их у даљем раду детаљније упознати. Четвороугао 109