Υπολογιστική Γεωμετρία

Υπολογιστική Γεωμετρία 1ο Μέρος(β): Κυρτότητα σε γενική διάσταση Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εαρ. 2016 Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 1/ 61

Περιεχόμενα 1 Πολύεδρα γενικής διάστασης Φημισμένα πολύεδρα Ορισμοί Είδη Πολυέδρων Πολυπλοκότητα Πολυέδρων 2 ΚΠ3καιΚΠd Beneath-Beyond για το ΚΠ3 Beneath-Beyond για το ΚΠd Gift wrapping 3 Εφαρμογή στην Θεωρία παιγνίων Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 2/ 61

Outline 1 Πολύεδρα γενικής διάστασης Φημισμένα πολύεδρα Ορισμοί Είδη Πολυέδρων Πολυπλοκότητα Πολυέδρων 2 ΚΠ3καιΚΠd Beneath-Beyond για το ΚΠ3 Beneath-Beyond για το ΚΠd Gift wrapping 3 Εφαρμογή στην Θεωρία παιγνίων Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 3/ 61

ΑπότονΠλάτωνα... Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 4/ 61

...στοναρχιμήδη Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 5/ 61

Μεταθέσεις Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 6/ 61

Τριγωνοποιήσεις Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 7/ 61

Το πολύεδρο της φουλερενίου (fullerene) ΚΠ3 60 κορυφών, 32 εδρών(κανονικά πεντάγωνα και 20 εξάγωνα). Χάρισε στους ερευνητές που το ανακάλυψαν( 85) το Nobel Χημείας 96. Πόσες είναι οι ακμές; Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 8/ 61

(Υπερ)επίπεδο, ως σημειοσύνολο Ορισμός(Αλγεβρικός) (Υπερ)επίπεδο: Ορίζεται ως το σημειοσύνολο που ικανοποιεί μια γραμμική εξίσωση Παράδειγμα f(x 1,...,x d ) = k 1 x 1 + +k d x d +k 0 = 0, k i R. Ευθεία {(x 1,x 2 ) : 2x 1 x 2 = 3} R 2, επίπεδο {(x 1,x 2,x 3 ) : x 1 +2x 2 x 3 = 1} R 3. υπερεπίπεδο {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) : x 1 +2x 2 x 3 +5x 4 = 1} R 4. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 10/ 61

(Υπερ)επίπεδα Ορισμός Ισοδύναμα, μέσω του κάθετου διανύσματος v στο(υπερ)επίπεδο, και τηςαπόστασης k 0 / v του(υπερ)επιπέδουαπότηναρχήτωναξόνων: f = v (x 1,...,x d )+k 0. Π.χ.Για k 0 = 0το(υπερ)επίπεδοπερνάαπότηναρχήτωναξόνων. Για v = (2, 1), k 0 = 3,παίρνουμε f = 2x 1 x 2 3. Γιαγνωστό f(x 1,...,x d ) = k 1 x 1 + +k d x d +k 0 = 0, ( f το κάθετο διάνυσμα είναι f =,..., f ) = (k 1,...,k d ). x 1 x d Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 11/ 61

Διάσταση Ορισμός(Παραμετρικός) Ισοδύναμα,όλατασημεία R d πουπαράγονταιαπό d 1 ανεξάρτητα διανύσματα. Π.χ.ευθεία (x 1,x 2 ) = t(1,2) (0,3), t R. επίπεδο (x 1,x 2,x 3 ) = t(1,0,1) +s(0,1,2) +(0,0,1), t,s R. Λήμμα Τουπερεπίπεδοσεχώρο R d έχειδιάσταση d 1. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 12/ 61

Ημιχώροι Ορισμός Ημιχώρος: η μία«πλευρά» δεδομένου υπερεπιπέδου: έχει διάσταση d. Π.χ.ημιεπίπεδο {(x 1,x 2 ) : 2x 1 x 2 > 3} R 2,ημιχώρος R 3. Ορίζεται ως το σημειοσύνολο που δίνει θετικό/αρνητικό πρόσημο στο πολυώνυμο του υπερεπιπέδου: {(x 1,...,x d ) : f(x 1,...,x d ) 0}, {>,,<, }. Ισοδύναμα, δίνει θετικό/αρνητικό πρόσημο στο: f (x 1,...,x d )+k 0. Κλειστός ή ανοικτός ημιχώρος περιλαμβάνει ή όχι το υπερεπίπεδο {, }ή {>,<},αντίστοιχα. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 13/ 61

ΚΠ ως τομή ημιχώρων Ορισμός Κυρτό πολύτοπο(polytope) ή πολύεδρο(polyhedron) είναι η Τομή πεπερασμένου πλήθους ημιχώρων. Καθώςμεγαλώνειτοσύνολοτωνημιχώρων,ητομήτουςείτεδεν αλλάζει είτε μικραίνει, και μπορεί να φτάσει στο. Π.χ. Κάθε ΚΠ2 εκφράζεται ως τομή ημιεπιπέδων. Αρκούν τα ημιεπίπεδα των ακμών, μπορεί να υπάρχουν πλεονάζοντα ημιεπίπεδα(δεν αλλάζουν το ΚΠ2). Ορισμός Φραγμένο/μη ανν δεν/εκτείνεται στο άπειρο ανν δεν/περιέχει ημιευθεία. Π.χ.στο R 2,τακυρτάπολύγωναείναιταφραγμένακυρτάπολύεδρα Ορισμός: πολύτοπο = φραγμένο πολύεδρο. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 14/ 61

ΚΠ σημείων Ορισμός Εστωσημεία A 1,...,A n R d.τοκυρτόπερίβλημακπ(a 1,...,A n ) είναι το μικρότερο(ως προς όγκο ή ως σημειοσύνολο) κυρτό πολύεδρο (τομήημιχώρων),πουπεριέχειτα A 1,...,A n. Λήμμα Το Κυρτό Περίβλημα πεπερασμένου πλήθους σημείων είναι μη κενό και φραγμένο. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 15/ 61

ΚΠ μέσω κυρτών συνδυασμών Πόρισμα Οικορυφές P 1,...,P k τουκπdανήκουνστο {A 1,...,A n }. Τα σημεία του ΚΠ είναι κυρτοί συνδυασμοί των κορυφών: λ 1 P 1 + +λ k P k, i λ i = 1,λ i 0. [Καραθεοδωρής]ΚάθεσημείοΚυρτούΠολυέδρουστο R d είναι κυρτός συνδυασμός κάποιων d + 1 κορυφών του. Λήμμα(Άσκηση) Αντο d-πολύεδροέχει O(d)κορυφές,τότεουπολογισμόςτων d +1 κορυφώνπου παράγουν δοσμένοσημείογίνεταισε O(d 4 )μέσω γραμμικής άλγεβρας. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 16/ 61

Υπερεπίπεδο στήριξης Ορισμός Υπερεπίπεδο στήριξης (supporting hyperplane) πολυέδρου P: τέμνει το Pμόνοσεσημείαπουανήκουνσεέναήπερισσότερααπότακρίσιμα (critical) υπερεπίπεδα που ορίζουν το P(όπου το P αλλάζει αν λείπει ένα κρίσιμο υπερεπίπεδο). Ισοδύναμα, το υπερεπίπεδο στήριξης έχει μη-κενή τομή με το κλειστό πολύεδρο,αλλάκενήτομήμετοανοικτόπολύεδρο(δηλ.τηντομήτων ανοικτών ημιχώρων). Παράδειγμα R 2 :κάθεευθείαόπουανήκειμιαακμή/κορυφήενόςκπ2. R 3 :κάθεεπίπεδοόπουανήκειμιαέδρα/ακμή/κορυφήενόςκπ3. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 17/ 61

Οψεις, έδρες, κλπ Ορισμός Οψη (face): τομή πολυέδρου με ένα/περισσότερα επίπεδα στήριξης. Ορισμός(Διάσημες όψεις) Κορυφή (vertex)(διάσταση 0), Ακμή (edge)(διάσταση 1), Εδρα (facet)(διάσταση d 1), Ράχη (ridge)(διάσταση d 2). Το d-διάστατο πολύεδρο θεωρείται όψη διάστασης d. Το θεωρείται όψη διάστασης 1 κάθε πολυέδρου. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 18/ 61

Υπερεπίπεδα στήριξης(ξανά) Υπερεπίπεδα στήριξης όψεων Κάθε έδρα έχει μοναδικό υπερεπίπεδο στήριξης, οι άλλες όψεις άπειρα. Για τη μελέτη των(υπερ)επιπέδων στήριξης, θεωρήστε τις καθέτους τους, π.χ. τις εξωτερικές καθέτους(προς το εξωτερικό του πολυέδρου). Το σύνολο των(υπερ)επιπέδων στήριξης μιας κορυφής είναι όλα τα (υπερ)επιπεδα με καθέτους στον κώνο που ορίζεται από τις καθέτους στις έδρες οι οποίες προσπίπτουν στην κορυφή. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 19/ 61

Σύνολο υπερεπίπεδων στήριξης Κώνος υπερεπίπεδων στήριξης Το σύνολο των(υπερ)επιπέδων στήριξης μιας όψης είναι όλα τα (υπερ)επιπεδα με εξωτερικές καθέτους στον κώνο που ορίζεται από τις εξωτερικές καθέτους στις έδρες οι οποίες προσπίπτουν στην όψη. Γιαμια k-όψη, k 0,τοσύνολοτωνκαθέτωνείναιτοσύνολο κωνικώνσυνδυασμώντων d kκαθέτωνστιςέδρεςοιοποίες προσπίπτουν στην όψη. Παραμετροποίηση συνόλου Για όψη διάστασης k = 0(κορυφή), το σύνολο(υπερ)επιπέδων στήριξης παραμετροποιείται με 1 γωνία στο επίπεδο, 2 γωνίες στον 3-διάστατο χώρο, d 1 παραμέτρους γενικά. Το σύνολο(υπερ)επιπέδων στήριξης μιας k-όψης παραμετροποιείται με d k 1 παραμέτρους. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 20/ 61

Άπλοκα Ορισμός d-άπλοκο(simplex):κυρτόπολύεδροκπ(a 0,...,A d )τ.ώ.τα A i R d είναιαφινικώςανεξάρτηταδηλ.τα A i A 0 γραμμικώςανεξάρτητα. Λήμμα Κάθε άπλοκο έχει d +1 = ( d+1) d έδρες,κάθε dκορυφέςορίζουνέδρα. ) ακμές:κάθεζεύγοςκορυφώνορίζειακμή. ( d+1 2 Κάθε k +1κορυφέςορίζουν k άπλοκο: ( d+1 k+1) όψειςδιάστασης k. Παράδειγμα Ευθύγραμμοτμήμαστο R,τρίγωνοστο R 2,τετράεδροστο R 3. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 22/ 61

Είδη Κυρτών Πολυέδρων Ορισμός Απλό(simple) d-πολύεδρο: σε κάθε κορυφή τέμνονται ακριβώς d έδρες (d υπερεπίπεδα στήριξης). Απλοειδές(simplicial) d-πολύεδρο: έδρα άπλοκο διάστασης d 1. Λήμμα(Άσκηση) Στο επίπεδο, κάθε πολύγωνο είναι απλό και απλοειδές. Το μοναδικό απλό και απλοειδές πολύεδρο σε 3 διαστάσεις είναι το άπλοκο. Κάθε πολύεδρο γίνεται απλοειδές αν τριγωνοποιήσουμε τις έδρες του. Για γενικό d, τριγωνοποίηση σημαίνει υποδιαίρεση σε άπλοκα. Βρείτε πολύεδρο που είναι: απλό αλλά όχι απλοειδές, απλοειδές αλλάόχιαπλο,τίποταεκτωνδύο. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 23/ 61

Τετράεδρο Τετράεδρο(άπλοκο) στον τρισδιάστατο χώρο: απλό κι απλοειδές Περαιτέρω παραδείγματα: Πλατωνικά στερεά. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 24/ 61

Είδη Πολυέδρων Τετραγωνικήπυραμίδα(τουΧέοπος)στο R 3. Διαταράσσω απειροελάχιστα και τυχαία τις κορυφές ώστε να προκύψει τριγωνοποιημένη βάση, άρα απλοειδές. Γενικά: μια τυχαία απειροελάχιστη διαταραχή σε οποιοδήποτε πολύεδρο το μετατρέπει σε απλοειδές. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 25/ 61

Θεώρημα άνω φράγματος (upper bound) Θεώρημα(McMullen) Οποιοδήποτε d πολύεδρο με n κορυφές(ή n έδρες) περιέχει O (n d/2 ) k-διάστατεςόψεις,όπουδιάσταση k = 0,...,d 1. Τοφράγμαείναισφιχτόστα«κυκλικά»πολύεδρα:ΚΠ(A 1,...,A n ),για A i = (i,i 2,...,i d ) R d, i = 1,...,n. Πόρισμα d = 2: O(n)ακμές,κορυφές. d = 3: O(n)έδρες,ακμές,κορυφές. d = 4: O(n 2 )έδρες,ακμές,για nκορυφές. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 27/ 61

Πολυπλοκότητες Λήμμα Για nδοσμένασημείαστοεπίπεδο,κπ2 = Ω(nlogn). Πόρισμα Ουπολογισμόςτουκυρτούπεριβλήματος nσημείωνστο R d έχειχρονική πολυπλοκότηταχείριστηςπερίπτωσηςκπd = Ω(nlogn+n d/2 ). Η αποθήκευση του γράφου πρόσπτωσης ή γειτνίασης έχει χωρική πολυπλοκότητα Ω(n d/2 ). Πόρισμα Τοσυνολικόπλήθοςόψεωνόλωντωνδιαστάσεων,για d = O(1),είναι O ( n d/2 ). Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 28/ 61

Γενικό πλαίσιο 1 ΕχονταςτοΚΠ kσημείων,«εισάγουμε»ένανέοσημείο p: 2 Εντόπισετο pωςπροςτοκπκαιαγνόησέτοανείναιεσωτερικό. 3 Αλλιώς υπολόγισε μια απόδειξη (certificate) πως το p είναι εξωτερικό σημείο. 4 Χρησιμοποίησε την απόδειξη για να ανανεώσεις το ΚΠ(υπολόγισε τομέροςτουκππουδιατηρείταιμαζίμετο p,καιτομέροςπου διαγράφεται) Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 30/ 61

Αυξητικός αλγόριθμος για το ΚΠ3 Είσοδος: nσημείαστο R 3,σεγενικήθέση. Εξοδος: το κυρτό περίβλημά τους(π.χ. ως γράφος γειτνίασης). 1 Διέταξετασημείαλεξικογραφικάκατάφθίνουσα x 1 : p 1,...,p n. 2 Αρχικοποίηση: τρέχον τετράπλευρο 4 δεξιότερων σημείων. 3 Γιατο p k, k = 5,...,n: Εξέτασετιςέδρεςπουπροσπίπτουνστην p k 1 :υπάρχεικόκκινη. Βρες όλες τις κόκκινες έδρες κι όλες τις βυσσινί ακμές. Διέγραψε από τρέχον πολύεδρο κόκκινες έδρες, ακμές, κορυφές. Εισήγαγενέεςέδρες(ακμές)πουορίζονταιαπό: p k καιβυσσινί ακμές(κορυφές). 4 Επέστρεψε το τρέχον πολύεδρο. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 31/ 61

Ορθότητα αλγορίθμου Beneath-Beyond Λήμμα(Κατηγόρημα) Για κάθε έδρα του τρέχοντος πολυέδρου τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: η έδρα είναι είτε γαλάζια είτε κόκκινη, ηέδραδεν/είναιορατήαπότονέοσημείο, τονέοσημείοκείταιστοίδιο/διαφορετικόημιχώροωςπροςτο επίπεδο στήριξης της έδρας, το πρόσημο του κατηγορήματος Προσανατολισμού για τις κορυφές τηςέδραςμετονέοσημείοείναιίδιο/διαφορετικόαπ ό,τιμε οποιοδήποτε σημείο(κορυφή ή εσωτερικό) του τρέχοντος πολυέδρου. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 32/ 61

Κατηγόρημα Λήμμα Οπροσανατολισμόςτων p i = (x i,y i,z i ), i = 0,...,3ανάγεταιστο πρόσημο της ορίζουσας: det 1 x 0 y 0 z 0 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 Μηδενίζεται ανν τα 4 σημεία είναι συνεπίπεδα. Αλλιώς δηλώνει σε ποιονημιχώροπουορίζεταιαπότοεπιπεδοτων p i1,i 2,i 3 βρίσκεταιτο p i0, όπου {i 0,...,i 3 } = {0,...,3}.. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 33/ 61

Πολυπλοκότητα αλγορίθμου Beneath-Beyond Λήμμα Σε κάθε αυξητικό βήμα, το σύνολο βυσσινί ακμών/κορυφών είναι τοπολογικά ισοδύναμο με ένα κυρτό πολύγωνο στο επίπεδο, το πολύγωνο αυτό είναι κυρτό περίβλημα n σημείων, άρα μεγέθους O(n), το σύνολο νέων εδρών/ακμών αντιστοιχεί με τρόπο 1-1 στο σύνολο βυσσινί ακμών/κορυφών. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 34/ 61

Πολυπλοκότητα αυξητικού αλγορίθμου για το ΚΠ3 Αρχική ταξινόμηση = O(n log n). Κόστος εξαρτάται από: συνολικό #κόκκινων εδρών/ακμών, το οποίο φράσσεται από το συνολικό #εδρών/ακμώνπουκατασκευάζονται = O(n 2 ), συνολικό #κόκκινων κορυφών n, #βυσσινί ακμών/κορυφών = O(n) ανά βήμα, #εδρών/ακμών που κατασκευάζονται = O(n) ανά βήμα. Συνολικήπολυπλοκότητα = O(n 2 ). Suboptimal Υπάρχει αλγόριθμος Beneath-Beyond σε O(n log n) αν χρησιμοποιήσουμε εισαγωγή/εντοπισμό σημείων(χωρίς το αρχικό στάδιο ταξινόμησης) ώστε να μην αλλάζουν το ΚΠ όλα τα σημεία. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 35/ 61

Αναπαράσταση με γράφο πρόσπτωσης (incidence) ένας κόμβος ανά όψη, ακμή γράφου ανά πρόσπτωση όψεων: διαστάσεις διαφέρουν 1, σχέση υποσυνόλου/υπερσυνόλου. Παράδειγμα γράφου τετραπλεύρου ABCP: ABCP AB BC AP CP A B C P E Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 36/ 61

Αναπαράσταση με γράφο γειτνίασης (adjacency) Οικονομικότερη αναπαράσταση: έναςκόμβοςανάέδρα(ακμήστο R 2 ), ακμή γράφου εκφράζει γειτνίαση εδρών(ράχη), πίνακας κορυφών, όπου«δείχνουν» οι έδρες (pointers). Π.χ.: Τρίγωνο ABC«αυξάνεται» σε τετράπλευρο ABCP: κόκκινη ακμή CA(κόμβος γράφου), βυσσινί κορυφές A, C(ακμές γράφου): AB BC CA AP CP Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 37/ 61

Γενική διάσταση ΚΠ =ΚΠ(C {p}). Εδρεςτου Cδιαιρούνταισε2κατηγορίες: F =γαλάζια/κόκκινη ανδεν/είναιορατήαπό p p ίδιο/διαφορετικόημιχώροτου υπερεπιπέδουστήριξηςτης Fωςπρος C. Γενική θέση p / υπερεπίπεδο στήριξης, ενώκάθε k-όψη =τομή d kεδρών, k = 0,...,d 1. Οψειςδιάστασης d 2χωρίζονταισε: κόκκινη, ανήκει στην τομή μόνο κόκκινων εδρών, γαλάζια, ανήκει στην τομή μόνο γαλάζιων εδρών, βυσσινί, ανήκει στην τομή κόκκικων και γαλάζιων εδρών. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 39/ 61

Κατηγόρημα Λήμμα Οπροσανατολισμόςτων p i = (p i1,...,p id ), i = 0,...,dανάγεταιστο πρόσημο της ορίζουσας: 1 p 01 p 0d 1 p 11 p 1d det... 1 p d1 p dd Μηδενίζεταιανντα d +1σημείαανήκουνστοίδιουπερεπίπεδο,δηλ. είναι αφινικώς εξαρτημένα. Αλλιώς δηλώνει σε ποιον ημιχώρο που ορίζεταιαπότουπερεπιπεδοτων p i1,...,p id βρίσκεταιτο p i0,όπου {i 0,...,i d } = {0,...,d}. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 40/ 61

Αυξητικό στάδιο ΚΠd Είσοδος: γράφος γειτνίασης του κυρτού περιβλήματος C, νέο σημείο p C,τελευταίακορυφή q C. Εξοδος: γράφος γειτνίασης ΚΠ(C {p}). 1 Βρεςμίακόκκινηέδρατου Cεξετάζοντεςτιςέδρεςπου προσπίπτουν στο q. 2 Υπόλοιπες κόκκινες έδρες: γειτονικές της αρχικής. Συνέχισε αναζήτηση έως ότου βρεθεί γαλάζια έδρα. 3 Χρωμάτισε κόκκινες έδρες/ράχες και βυσσινί ράχες. 4 Ανανέωση: κόκκινες έδρες/ράχες αφαιρούνται. Για κάθε βυσσινί ράχη,πρόσθεσενέαέδρα:ένωσηράχηςμε p.γιακάθε2νέες έδρες, δημιούργησε μία κοινή νέα ράχη. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 41/ 61

Πολυπλοκότητα Beneath-Beyond Αρχικοποίηση: = O(nlogn+d) = O(nlogn). 1η φάση: εύρεση κόκκινης, κόστος ανάλογο με: #εδρώναπόπροηγούμενο = O(n (d 1)/2 )για (d 1)-πολύεδρο για O(n)φάσεις: O(n (d+1)/2 ). 2η φάση: χρωματισμός, κόστος ανάλογο με: #κόκκινων εδρών και #γειτονικών γαλάζιων εδρών. #γειτονικών γαλάζιων εδρών #κόκκινων, #κόκκινωνεδρώνσυνολικά #νέωνεδρών = O(n (d+1)/2 ), #βυσσινί ραχών = #νέων εδρών. 3η φάση: ανανέωση, κόστος ανάλογο #κόκκινων όψεων ανάλογο #όψεων που δημιουργούνται. #βυσσινί όψεων φράσσεται από #όψεων που δημιουργούνται. υπογράφος που σχηματίζεται: ισόμορφος με βυσσινί όψεις Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 42/ 61

Χρονική Πολυπλοκότητα Θεώρημα Δίνονται nσημείαστο R d.ησυνολικήχρονικήπολυπλοκότητατου παραπάνω αυξητικού αλγορίθμου για την κατασκευή του ΚΠd είναι ( O nlogn+n (d+1)/2 ), άρα βέλτιστος μόνο για άρτιες διαστάσεις. Τυχαιοκρατικήτεχνικήαναμενόμενουκόστους O(nlgn+n d/2 ) [Seidel] Πιο περίπλοκη ντετερμινιστική προσέγγιση με πολυπλοκότητα χείριστης περίπτωσης O(nlogn+n d/2 ) [Chazelle].Βέλτιστηχείριστης περίπτωσης σε κάθε διάσταση. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 43/ 61

Πολυπλοκότητα και Υλοποίηση Λήμμα Ο χώρος αποθήκευσης είναι ανάλογος με το μέγεθος του γράφου πρόσπτωσηςήγειτνίασης = O ( n d/2 ). Υλοποίηση Polymake [Joswig] CGAL/triangulate [Boissonnat,Hornus,Devillers] Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 44/ 61

Προσέγγιση περιτύλιξης nσημείασεγενικήθέσηστο R d :καθε dσημείαορίζουν υπερεπίπεδο, κάθε d + 1 σημεία / στο ίδιο υπερεπίπεδο. Αυξητικός αλγόριθμος ως προς τις έδρες: σύνολο γνωστών εδρών συνεκτικό(άρα και σύνολο άγνωστων εδρών συνεκτικό). Δομή δεδομένων ΡΑΧ περιέχει γνωστές ράχες προς εξέταση (γνωρίζουμε μία από τις δύο έδρες). Οιράχεςαποθηκεύονταιως (F {x},x) F : dσημείαορίζουν(γνωστή)έδραπουπεριέχειτηράχη, x =κορυφήέδρας Fπουδενανήκειστηράχη, F {x} :οικορυφέςτηςράχης. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 46/ 61

Συνάρτηση ΑΛΛΗ ΕΔΡΑ Είσοδος:Ράχη Rκαικορυφή c R: R {c}αποτελείέδρατουκπ. Εξοδος: ΕδραΚΠπουπεριέχειτην RκαιδενείναιηR {c}. 1 Εστωυποψήφιοσημείο uαπότασημείαεισόδου,εκτόςτων R {c}.ορίζειυποψήφιαέδρα R {u}. 2 Γιακάθε t R {c,u}: Αν c, t σε διαφορετικούς ημιχώρους ως προς το υπερεπίπεδο της υποψήφιαςέδρας R {u} u t. 3 Επέστρεψεέδρα R {u}. Γενικεύειτοναλγόριθμο Jarvisπουδιατυπώθηκεστο R 2. Πολυπλοκότητα = O(n) κατηγορήματα Προσανατολισμού, άρα O(nd 3 ) = O(n)για d = O(1). Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 47/ 61

Παράδειγμα εύρεσης έδρας R x3 ut c u Αριστερά:ΕκτέλεσησυνάρτησηςΑΛΛΗ ΕΔΡΑ(R,c)στο R 2,όπου ηράχη Rείναικορυφή. Δεξιά:Εύρεση1ηςέδραςτουΚΠστο R 3 (στοκάτωπερίβλημα) Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 48/ 61

Αρχικοποίηση: αναζήτηση υπερεπιπέδου Εστω η εξίσωση του υπερεπιπέδου της πρώτης(άγνωστης) έδρας: k 1 x 1 + +k d 1 x d 1 +k d x d +λ, k 1,...,k d,λ Q. Αναζητούμεέδραμη-παράλληλημεάξονα x d,δηλ.υπερεπίπεδο τέμνειάξονα k d 0,άραγράφεται: x d = k 1 x 1 + +k d 1 x d 1 +λ,k 1,...,k d 1,λ Q. τέτοιαέδραεφόσονόγκος(κπ) > 0στο R d. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 49/ 61

Αρχικοποίηση: περιορισμοί υπερεπιπέδου Γιακάθεδεδομένοσημείο p i = (p i1,...,p id ), i = 1,...,n: k 1 p i,1 + +k d 1 p i,d 1 +λ p i,d. Τα p i μεισότηταανήκουνστηνέδρα,ταυπόλοιπαάνωθεν. ΚΠφραγμένο τέτοιαέδραφράσσεικπαπό«κάτω»,δηλ.ανήκει στο κάτω Περίβλημα. Τομήυπερεπιπέδουμε x d -άξοναόσοτοδυνατόνψηλότερα,δηλ.με λ μέγιστο: ορίζεται μοναδικό υπερεπίπεδο. Άσκηση Εφαρμόστε την αρχικοποίηση αυτή σε δύο διαστάσεις: ποια έδρα (ακμή) υπολογίζεται; Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 50/ 61

Γραμμικός Προγραμματισμός/ ΓΒ Ορισμός Προβλήματος Υπάρχουν dάγνωστεςποσότητες k 1,...,k d 1,λ. Δεδομένα p i,j R: i = 1,...,n,j = 1,...,d,ορίζουν nγραμμικές ανισότητες(περιορισμούς) k 1 p i,1 + +k d 1 p i,d 1 +λ p i,d, i = 1,...,n. Αντικειμενική συνάρτηση f(k 1,...,k d 1,λ) = λ. Ζητείταισημείο (k 1,...,k d 1,λ),πουικανοποιείτους n περιορισμούς και ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 51/ 61

Πολυπλοκότητα ΓΠ Πολυωνυμική πολυπλοκότητα Μέθοδοι εσωτερικού σημείου ή Ελλειψοειδής αλγόριθμος: Ασθενώς πολυωνυμικοί, δηλ. πολυωνυμική πολυπλοκότητα ως προς n, d, bitsize. Μια σταθερή παράμετρος Εδώ υπάρχει σταθερό πλήθος αγνώστων d = O(1). Ο αυξητικός αλγόριθμος [Megiddo 84] κοστίζει O(n), για d = O(1), εκθετικός ως προς d.(βλ. παρακάτω). ΟΔυϊσμόςδίνει: O(d),αν n = O(1). Απλούστερος πιθανοκρατικός = O(d! n) [Seidel 91]. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 52/ 61

Αλγόριθμος περιτύλιξης για το ΚΠd Είσοδος: nσημείαστο R d σεγενικήθέση. Εξοδος: Το κυρτό τους περίβλημα σε κατάλληλη αναπαράσταση. 1 Υπολόγισεκαιτύπωσεμίαπρώτηέδρα FτουΚΠ. 2 ΑρχικοποίησεδομήΡΑΧμεράχες (F {x},x), x F. 3 ΟσοήδομήΡΑΧέχειστοιχεία,έστω (R,c) ΡΑΧ. Υπολόγισε και τύπωσε F ΑΛΛΗ ΕΔΡΑ(R, c). Γιακάθεκορυφή x F: α. Αν σημείο y:ράχη (F {x},y) ΡΑΧ,διέγραψέτηναπόΡΑΧ β. Αλλιώς,εισήγαγε (F {x},x)στηδομήραχ. [Chand-Kapur] Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 53/ 61

Πολυπλοκότητα περιτύλιξης για το ΚΠd Βήμα1: Γραμμικός Προγραμματισμός n περιορισμών σε d = O(1) διαστάσεις, έχει πολυπλοκότητα O(n) [Meggido]. Βήμα2: Αρχικοποίηση ΡΑΧ = O(d). Βήμα3: Αναζήτηση,προσθήκηράχηςστηΡΑΧ = O(logn d/2 ) = O(d logn) ΚόστοςκάθεβήματοςγιαΑΛΛΗ ΕΔΡΑ = O(nd 3 ). Γενική θέση(απλοειδές πολύεδρο): Υπάρχουν O(d) σημεία x F κόστος=o(d 2 logn). Συνολικόςχρόνος=O(nHd 3 ) = O(nH), H = #εδρώνκπ,δηλ. ευαίσθητος εξόδου. Χωρικήπολυπλοκότητα=O(dn d/2 ),αναιρείευαισθησίαεξόδου. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 54/ 61

Μέθοδος Αντίστροφης αναζήτησης Πρόβλημα: απαρίθμηση κόμβων γράφου τον οποίον ανακαλύπτουμε καθώς τον απαριθμούμε(με μικρή κατανάλωση μνήμης). Ιδέα 0: Ορίζουμε μια ολική διάταξη στους κόμβους. Ιδέα 1: Ορίζουμε επικαλύπτον δένδρο στους κόμβους και το διασχίζουμε κατά βάθος (depth first) χρησιμοποιώντας τη διάταξη. Ολικό ελάχιστο = ρίζα δένδρου = έναρξη αναζήτησης. Για κάθε κόμβο(με τιμή λ), μπορεί να υπολογιστεί ο μοναδικός γονέας(έχειτιμή < λ),καθώςόσοιαπότουςγείτονεςέχουντιμή > λάραείναιπαιδιά(καιφυσικάαυτόμεελάχιστητιμήαπότα μη-εξερευνημένα παιδιά). Χρόνος διάσχισης: γραμμικός. Αρκεί να γνωρίζω τον κόμβο όπου βρίσκομαι και ποιον επισκέφτηκα τελευταίο(τοπική πληροφορία) Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 55/ 61

Αντίστροφη αναζήτηση κορυφών Simplex Ο αλγόριθμος Simplex [Dantzig] επιλύει το πρόβλημα ΓΠ ξεκινώντας από οποιαδήποτε κορυφή του εφικτού πολυέδρου και μετακινούμενος σε μοναδικά ορισμένη γειτονική κορυφή με βελτιωμένη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης. Σε γενική θέση η τιμή αυτή ορίζει ολική διάταξη κορυφών. Ο Simplex ορίζει επικαλύπτον δένδρο στις κορυφές του εφικτού πολυέδρου, όπου όλα τα μονοπάτια καταλήγουν στη(μοναδική) βέλτιστη κορυφή και δεν τέμνονται. Η μοναδική βέλτιστη κορυφή είναι η καταβόθρα του Simplex δηλ. ρίζα του επικαλύπτοντος δένδρου. Αντίστροφη αναζήτηση: ακολουθεί αντίστροφα βέλη(αντιστρέφει αναζήτηση κατά Simplex), σε αναζήτηση κατά βάθος, επιλέγοντας γείτονα με ελάχιστο κριτήριο από τους μη-εξερευνημένους. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 56/ 61

Αντίστροφη αναζήτηση εδρών Αλγόριθμος περιτύλιξης [Avis-Fukuda 92] Ορίζουμεμιαολικήδιάταξηστιςέδρες(π.χ.ωςπροςτομή λμετον άξονα x d ή,καλύτερα,μεμιαγενικήευθεία). Οι έδρες θεωρούνται κόμβοι γράφου, όπου ορίζεται κατευθυνόμενος άκυκλος γράφος με ρίζα το ολικό ελάχιστο(έναρξη αναζήτησης). Ψπολογίζεται με τροποποίηση της παραπάνω αρχικοποίησης. Γιακάθεκόμβομετιμή λ 0 έναήπερισσότεραεξερχόμεναβέλη οδηγούνσταπαιδιά(λ > λ 0 ),καιυπάρχειμοναδικόςγονιός (λ < λ 0 ),οοποίοςορίζειεισερχόμενοβέλος. Τα παιδιά και ο γονιός είναι γειτονικές έδρες, αλλά μπορεί να υπάρχει γειτονική που δεν είναι ούτε παιδί ούτε γονιός. Ογονιόςέχειτιμή min L {λ < λ 0 }όπου Lτοσύνολοτωνγειτονικών εδρώνκιέχουμεταυτίσειτηνέννοιατουκόμβουκαιτηςτιμήςτου, Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 57/ 61

Πολυπλοκότητα Αντίστροφης αναζήτησης Περιτύλιξη πολυέδρου [Avis-Fukuda 92] Η διάσχιση αποθηκεύει μόνο την τρέχουσα έδρα και την τιμή της τελευταίας εκτυπωμένης έδρας. Αρα συνολική χωρική πολυπλοκότητα = O(d). Ο χρόνος εκτέλεσης πολλαπλασιάζεται με O(1). Υλοποίηση lrs: lexicographic reverse search [Avis] Άσκηση Παράδειγμα αναζήτησης γράφου. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 58/ 61

Ισορροπίες Nash Εστω 2 παίκτες και συμμετρικό παίγνιο με n στρατηγικές ανά παίκτη, δηλ.οn nπίνακαςαπόδοσης Aείναικοινόςκαιγιατουςδύο. Το διάνυσμα πιθανοτήτων z που ορίζει μια μικτή στρατηγική έχει άθροισμα συντεταγμένων = 1. Οι ισορροπίες Nash αντιστοιχούν σε κορυφές του πολυέδρου που ορίζεται ως τομή των ημιχώρων: z 0, Az 1, z R n, όπου έχουμε κανονικοποιήσει τη συνολική απόδοση σε 1. Κάθεκορυφήαντιστοιχείσεμικτήστρατηγικήεκτόςαπότην z = 0. Γιαπαίγνιασεγενικήθέσητοπολύεδροείναιαπλό.Σεμηγενικήθέση, μια απειροελάχιστη διαταραχή το κάνει απλό(όπως στον αλγόριθμο Simplex). Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 59/ 61

Θεωρία παιγνίων: αλγόριθμος Εστωκορυφή zπουαντιστοιχείσεισορροπία Nash:τοδιάνυσμα z/ z 1 είναι διάνυσμα πιθανοτήτων. Η αντίστοιχη συνολική απόδοση θα είναι 1/ z 1. Θεώρημα Ο αλγόριθμος Lemke-Howson ξεκινά στο z = 0 και«βελτιώνοντας» (pivoting) την εκάστοτε στρατηγική καταλήγει σε ισορροπία Nash. Πολυπλοκότητα εκθετική στην χειρότερη περίπτωση, ικανοποιητική στην πράξη. Παρατήρησε αντιστοιχία με τον αλγόριθμο Simplex. Λήμμα Κάθεκορυφή zέχειετικέταπολυσύνολο eμε nστοιχείατ.ώ. i e z i = 0ήA i z = 0(ήαμφότερα).Οκανόναςβελτίωσηςείναι να επιδιώκουμε μετατροπή του πολυσυνόλου σε σύνολο. Μια ισορροπία Nashαντιστοιχείσε«πλήρη»ετικέτα {1,...,n}. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 60/ 61

Θεωρία παιγνίων: παράδειγμα Παράδειγμα Μελετήστε το παίγνιο με A = 0 3 0 0 0 3 2 2 2 καιδείξτεπωςτοπολύεδροέχει8κορυφέςκαι6έδρες.ποιαειναιη ισορροπία Nash και πώς εντοπίζεται ξεκινώντας από το 0; Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ. 2016 61/ 61