ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός Εἰ ἄρα ὁ δίκαιος ἀργύριον δεινὸς φυλάττειν, καὶ κλέπτειν δεινός.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός Εἰ ἄρα ὁ δίκαιος ἀργύριον δεινὸς φυλάττειν, καὶ κλέπτειν δεινός.

2 2 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 1. Να αποδειχθεί ότι a + βi γ + δi R a γ β δ = Να υπολογιστεί το άθροισμα k ((2ν 2) + (2ν 1)i). ν=1 3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, αν z i z + i I. 4. Αν z 1, z 2 C και z 2 = z 1 z 2 να δειχθεί ότι z 1 + z 2 = z 1 + z 2 + z 2 + z 1 + z 2 z Αν z 10 = 3 z 2, τότε z 1 = 3 6. Δίνονται οι μιγαδικοί z 1, z 2, z 3, με τις ιδιότητες z 1 = z 2 = z 3 και z 1 + z 2 + z 3 = 0. Να δειχθεί ότι τα διανύσματα θέσης των αριθμών αυτών, ανά δύο σχηματίζουν γωνία 2π Δίνονται οι μιγαδικοί z 1, z 2, z 3, με τις ιδιότητες z 1 = z 2 = z 3 και z 1 + z 2 + z 3 = 0. Να δειχθεί ότι καθένα από τα διανύσματα θέσης των αριθμών αυτών διχοτομεί τη μη κυρτή γωνία των άλλων δύο. 8. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z 1, z 2, z 3 ικανοποιούν τη σχέση z 1 + z 2 + z 3 = 0 και καθένα από τα διανύσματα θέσης των αριθμών αυτών διχοτομεί τη μη κυρτή γωνία των δύο άλλων, τότε ισχύει z 1 = z 2 = z Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z 1, z 2, z 3 ισχύουν οι σχέσεις z 1 = z 2 = z 3 και z 1 + z 2 + z 3 = 0 τότε z 1 z 2 = z 2 z 3 = z 3 z 1 = z Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z + 1 = z 2i 11. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει η σχέση z + z + 3 z z Αν z 1 z 2 + z 3 z 4 = 0 να δείξετε ότι οι εικόνες των z 1, z 2, z 3, z 4 είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 13. Να αποδειχθεί ότι z 1 z 2 2 (1 + z 1 2 )(1 + z 2 2 ), όπου z 1, z 2 C.

3 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΚΑΡΡΑΣ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων z του μιγαδικού επιπέδου, (των εικόνων του μιγαδικού z στο Κερτεσιανό επίπεδο), των οποίων ο λόγος των αποστάσεών του από τους z 1 = 3 και z 2 = 3 ισούται με Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των z = x + iy με x, y R, αν ισχύει η σχέση xz + yz > Αν z + 1 i 3, να δείξετε ότι 2 z 3 + 2i Δίνεται η συνάρτηση f(z) = z iz, z C. α: Να λύσετε την εξίσωση f(z) = 2 i. β: Αν f( z ) = 2, να βρείτε το z. γ: Αν z = 1 να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w = f(z) είναι κύκλος που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 18. Δίνεται η εξίσωση zz + 4Re [(1 2i)z] + 4 = 0. α: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει άπειρες μιγαδικές λύσεις. β: Να αποδείξετε ότι το μέτρο της διαφοράς δύο οποιωνδήποτε ριζών της εξίσωσης δεν είναι μεγαλύτερο από 8. γ: Αν t 1, t 2 είναι οι τιμές των ριζών z 1, z 2 για τις οποίες η παράσταση z 1 z 2 γένεται μέγιστη, να δείξετε ότι για κάθε ν N ισχύει t 1 + t 2 2ν + 10(t 1 t 2 ) ν = 2 4ν+1 5 ν 19. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z 1, z 2, με εικόνες αντίστοιχα τα σημεία M 1, M 2. Αν O είναι η αρχή των αξόνων και οι αριθμοί z 1, z 2 ικανοποιούν τις συνθήκες i : z 1 = 1 ii : (z 1 1) (z ) 0 iii : 1 z 2 = z 2 1 z να αποδείξετε ότι η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία M 1 και M 2 διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1, 0). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι άξονες διχοτομούν εσωτερικά και ε- ξωτερικά τη γωνία M 1 OM 2 του τριγώνου M 1 OM Να αποδείξετε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση az +βz +γ = 0 με a, β, γ C να παριστάνει ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο είναι η a = β και γ R ή a = β και γ I.

4 4 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 21. Να προσδιορίσετε τον z C ώστε (3 i)z + 9z i = Να προσδιοριστεί ο z ώστε iz + z + 2 = Αν Rez 1 Rez 2 + Imz 1 Imz 2 = 0 και Rez 1 Rez 2 Imz 1 Imz 2 0, να αποδείξετε ότι z 1 z 2 I. 24. Αν z = ρ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w = iz + z. 25. Αν z 1, z 2 C να δείξετε ότι Re z 1 z 2 = z 1 z 2 + z 1 z 2 2z 2 z 2 Im z 1 = z 1 z 2 z 1 z 2. z 2 2z 2 z 2 i και 26. Για τις ρίζες z 1, z 2 της εξίσωσης z 2 + 4z + 8 = 0 να δείξετε ότι ισχύει η σχέση z z 2 + 4i I. z 1 z 2 + 8i 27. Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z 1 και z 2 βρίσκονται επί κύκλου με ( ) 2 z1 + z 2 κέντρο την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι R. z 1 z Να αποδείξετε ότι ο κύκλος z z 0 = a, a > 0 γράφεται και στη μορφή zz 2Re(zz 0 ) a 2 + z 0 2 = Δίνεται η συνάρτηση f : C C με τις ακόλουθες ιδιότητες: α: Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει f(z 1 + z 2 ) = f(z 1 ) + f(z 2 ) β: Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει f(z 1 z 2 ) = f(z 1 )f(z 2 ) γ: Για κάθε πραγματικό αριθμό a ισχύει f(a) = a. Να αποδείξετε ότι f(z) = z ή f(z) = z. 30. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ως εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, 3, 6 + 3i, 3 + 3i αντίστοιχα. Αφού εξετάσετε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(z) = z + z 3 + z 3 3i + z 6 3i, z C. 31. Να βρεθεί μια ικανή και αναγκαία συνθήκη μεταξύ των πραγματικών συντελεστών του πολυωνύμου f(z) = z 3 +az 2 +β, ώστε η εξίσωση f(z) = 0 να δέχεται ως ρίζα τον w = ρ + ρi με ρ R.

5 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΚΑΡΡΑΣ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει z 1 z 3 και z + z = Δίνονται οι αριθμοί z 1, z 2 C. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z C για τους οποίους ισχύει (z z 1 )(z z 1 ) + (z z 2 )(z z 2 ) = 4. Ποιό είναι το ελάχιστο της παράστασης z z 2 ; 34. Αν z i = 3 ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή της παράστασης y = z 2 i ; Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος; 35. Δίνονται οι μιγαδικοί z 1, z 2. Αν z 3 = z 1 + z 2 και z 4 είναι μια λύση του συστήματος 1 { 2 z z1 = r,όπου 2r z z 3 = r 2 = z 1 z 2, r 1 R +, r 1 < z 1 z 2, 2 να δείξετε ότι οι πραγματικοί αριθμοί z 6 z 2, z 4 z 2 και z 5 z 2 είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, όπου z 5, z 6 είναι οι μιγαδικοί για τους οποίους z z 1 = r 1 και η παράσταση y = z z 2 λαμβάνει αντίστοιχα μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 36. Αν για τους z 1, z 2 C ισχύει z 1 z 2 0 και z z 1 + z z 2 = (z 1 + z 2 ) 2002 z 1+z 2, να δείξετε ότι: α: z 1 + z 2 = z 1 = z 2 ή z 1 z 2 R β: Αν τα σημεία Ο, A(z 1 ), B(z 2 ) δεν κείνται επί ευθείας, τότε τα AB και OΓ, όπου Γ(z 1 + z 2 ), είναι κάθετα μεταξύ τους. 37. Αφού υπολογίσετε τις τιμές των (1 + i) 4 και 12 5i να προσδιορίσετε τις τιμές του ν N, ν 2 για τις οποίες ισχύει (12 5i) ν 2 (1 + i) 4 = 13 ν Αν z C με z ±1 και (1 zν )(1 + z) να δείξετε ότι (1 + z) ν (1 z) ( ) 1 f(z) = f, z 0. z Επίσης, με την επιπλέον υπόθεση ότι z = 1 να δείξετε ότι f(z) = f(z). 39. Για z C, z 1 ορίζουμε f(z) = w = 2 iz 1 z.

6 6 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ α: Να βρεθούν οι k N ώστε [f(2)] k R. β: Να γραφεί ο z ως συνάρτηση του w. γ: Αν Μ είναι η εικόνα του z και Κ η εικόνα του w, να δείξετε ότι KA OM =, όπου Α, Β είναι σταθερά σημεία του μιγαδικού BK επιπέδου. δ: Αν το Μ κινείται επί του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα τη μονάδα, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ. 40. Δίνονται οι αριθμοί a C και λ R. Να προσδιοριστούν οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει az + az = 2λ. 41. Τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφή το Β και μπορούν να θεωρηθούν στο μιγαδικό επίπεδο ως εικόνες των μιγαδικών αριθμών z 1, z 2 και z 3 αντίστοιχα. Να δείξετε ότι z z z 2 3 = 2z 2 (z 1 + z 3 ). 42. Οι εικόνες των μιγαδικών z 1, z 2, z 3 είναι κορυφές τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο. Να αποδείξετε πως ικανή και αναγκαία συνθήκη ( για να αποτελεί η εικόνα του z 4 ορθόκεντρο του τριγώνου, είναι η Re = ) z4 z 1 ( ) ( ) z 2 z 3 z4 z 2 z4 z 3 Re = Re = 0. z 3 z 1 z 1 z Να αποδείξετε ότι για κάθε z C R και για κάθε ν N, οι εικόνες ( των μιγαδικών w = 1 + z ) 2ν ( ) 2ν z και u = z z 1 ορίζουν ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 44. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 και z 2 επαληθεύουν τις σχέσεις α: z 1 = 1 β: (z 1 1)(z ) 0 1 γ: = 1 z 1 + z1 2 z 2 i Να δείξετε ότι οι εικόνες M 1 και M 2 των z 1 και z 2 αντίστοιχα, ορίζουν ευθεία που διέρχεται από το σημείο I(1, 0). ii Να δείξετε ότι οι άξονες αποτελούν την εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο της M 1 OM 2, με Ο την αρχή των αξόνων.

7 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΚΑΡΡΑΣ Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z 1 και z 2 ισχύει η σχέση z z 2 2 = z 1 + z 2 2 να δείξετε ότι ισχύει και η z 1 + z 2 = z 1 z Αν z 1 = z 2 = 1 να δείξετε ότι ο αριθμός z = z 1 + z z 1 z 2 είναι πραγματικός. 47. Να δείξετε ότι οι εικόνες των z 1, z 2, z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, όταν και μόνον όταν z z z 2 3 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z Αν οι μιγαδικοί z i, i {1, 2, 3,..., ν} ικανοποιούν την z 1 i z 1 + i + z 2 i z 2 + i z ν i z ν + i < 1 θα ικανοποιούν και την (z 1 + z z ν ) i (z 1 + z z ν ) + i < Να βρεθεί τι παριστάνει γεωμετρικά το σύνολο { } A = z C, z 5 : z 5 z + 5 = Να βρεθεί τι παριστάνει γεωμετρικά η τομή των συνόλων { } A = z C, z 1 : z 1 z + 1 > 2 B = { z C, z 2 : } z 2 z + 2 < Δίνεται ο z I, του οποίου το μέτρο είναι μικρότερο της μονάδας. Να δείξετε ότι οι εικόνες Α, Β, Γ, των z 1 = 1 z, z 2 = 1 z 2 και z 3 = 1 z 3 αντίστοιχα, σχηματίζουν τρίγωνο. 52. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα επίπεδο τετράπλευρο, να δείξετε ότι A BΓ + AB Γ AΓ + B

8 8 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 53. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα z = λ + (λ 2 + 1)i, λ R. α: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z. β: Να βρεθούν οι εικόνες Α, Β των z για τους οποίους τα διανύσματα OA και OB σχηματίζουν αντίστοιχα τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη δυνατή γωνία με τον άξονα xx. 54. Αν z = λ + (λ 1)i και w = (λ 3) λi, λ R να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του z w. 55. Αν z λ = e λ i, λ R να βρεθεί η γραμμή που διαγράφει η εικόνα του z. 56. Να βρεθεί ο μιγαδικός z με το μεγαλύτερο δυνατό μέτρο, αν ισχύει 2 z 2 = (1 i)z + (1 + i)z. 57. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει η z + i = z 1 + 2i να βρεθούν: α: Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. β: Την ελάχιστη τιμή του z. γ: Τον μιγαδικό αριθμό z που έχει το μικρότερο μέτρο. 58. Να δειχθεί ότι z 1 + z 2 = z z 2 2 z 1 z 2 I 59. Να δείξετε ότι οι εξισώσεις z a = z b και 2Re[(b a)z] = b 2 a 2 είναι ισοδύναμες. 60. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται η εικόνα του z, όταν z 3 + z + 3 = Αν z 1, z 2, z 3 μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους z 1 = z 2 = z 3 = 1 και 1 z 1 + z 2 + z 3 = 1 να δείξετε ότι = 1 z 1 z 2 z Αν z 1, z 2, z 3 μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους z 1 = z 2 = z 3 = 1, z 1 z 2 z 3 = 1 και z 1 + z 2 + z 3 = 1 να δείξετε ότι z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 = Αν z = x + iy και z 2 = z 2 να δείξετε ότι για κάθε ν N ισχύει x 2ν+1 + (y x) 2ν+1 = Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί w, z για τους οποίους ισχύει z 1 = 3 και (w 3)z = w. Να δείξετε ότι w = z