ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητέ αναγνώστη Σκοπός των σημειώσεων που ακολουθούν δεν είναι σε καμία περίπτωση να υποκαταστήσουν το σχολικό βιβλίο.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητέ αναγνώστη Σκοπός των σημειώσεων που ακολουθούν δεν είναι σε καμία περίπτωση να υποκαταστήσουν το σχολικό βιβλίο Άλλωστε έχουν γραφεί με δεδομένο ότι έχει πρώτα μελετηθεί αυτό Ο στόχος τους είναι να δώσουν για μεν τους μαθητές να επιλύσουν περισσότερες ασκήσεις για την περαιτέρω κατανόηση της ύλης, και να τους εντάξουν στο ύφος των ασκήσεων που θα τους ζητηθούν στις προαγωγικές εξετάσεις Επίσης είναι μια ευκαιρία ώστε να απαλλαγούν από σκόρπιες σημειώσεις και φυλλάδια που δίνονται από τους διδάσκοντες κατά την διάρκεια της χρονιάς και να είναι όλα αυτά συγκεντρωμένα σε ένα Για δε το σχολείο είναι μια ευκαιρία ώστε να μειώσει το κόστος των φωτοτυπιών στις δύσκολες εποχές που περνάμε Τέλος θα πρέπει να τονίσουμε την εξαιρετική συνεργασία μεταξύ των μαθηματικών του ου Λυκείου ώστε να μπορέσουμε να φτάσουμε στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Μηδενικό λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν Μέτρο ή μήκος του διανύσματος λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Ένα διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο όταν έχει μήκος Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος λέγεται η ευθεία πάνω στην οπία βρίσκεται το διάνυσμα Δύο διανύσματα λέγονται συγγραμικά ή παράλληλα όταν βρίσκονται στον ίδιο φορέα ή σε παράλληλους φορείς Δύο διανύσματα λέγονται ομόρροπα όταν είναι στον ίδιο φορέα ή σε παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους Όταν τα διανύσματα δεν είναι ομόρροπα και είναι συγγραμικά λέγονται αντίρροπα Δύο διανύσματα λέγονται ίσα όταν είναι συγγραμικά, ομόρροπα και έχουν το ίδιο μήκος Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα όταν είναι αντόρροπα και έχουν ίσα μέτρα Γωνία θ δύο διανυσμάτων λέγεται η κυρτή γωνία των ημιευθειών που ορίζουν τα δύο διανύσματα όταν έχουν κοινή αρχή Η γωνία αυτή θα είναι μεταξύ 0 θ 80 Παραδείγματα Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ Αν Δ και Ε είναι σημεία που ορίζονται από τις σχέσεις ΓΔ ΒΑ και ΒΕ ΑΓ, να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ Λύση Αρκεί να δείξουμε ότι ΕΔ ΓΔ Πράγματι: Επειδή ΒΕ ΑΓ, είναι ΒΑ ΕΓ Όμως ΓΔ ΒΑ, οπότε ΕΓ ΓΔ Άρα λοιπόν Γ είναι μέσο του ΔΕ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε και Ζ που ορίζονται από τις σχέσεις ΔΕ ΑΓ και ΔΖ ΒΓ Να αποδείξετε ότι: ΖΕ ΑΒ Λύση Πρώτα θα δείξουμε ότι ΔΓ ΖΕ Πράγματι: Επειδή ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο ΑΔ ΒΓ Επειδή ΔΕ ΑΓ, είναι ΑΔ ΓΕ Επομένως ΒΓ ΓΕ () Όμως από τα δεδομένα ΔΖ ΒΓ, () οπότε από () και () προκύπτει ΓΕ ΔΖ Άρα λοιπόν ΔΓ ΖΕ () Από το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προκύπτει ΑΒ ΔΓ (4) Οπότε από τις σχέσεις () και (4) προκύπτει ότι ΖΕ ΑΒ Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Αν α β, τότε α β Σωστό Λάθος

Το μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ είναι μη αρνητικός αριθμός Σωστό Λάθος Παράλληλα ή συγγραμμικά είναι τα διανύσματα που έχουν ίδια διεύθυνση Σωστό Λάθος 4 Τα αντίθετα διανύσματα είναι αντίρροπα Σωστό Λάθος 5 Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα Σωστό Λάθος 6 Τα ομόρροπα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα Σωστό Λάθος 7 Ορθογώνια είναι δύο μη μηδενικά διαστήματα α και β, αν η γωνία που σχηματίζουν είναι 90 ο Σωστό Λάθος 8 Δύο διανύσματα με ίσα μέτρα είναι ομόρροπα Σωστό Λάθος 9 Για κάθε διάνυσμα ισχύει αα Σωστό Λάθος 0 Αν α β και β γ, τότε α γ Σωστό Λάθος Ισχύει α α Σωστό Λάθος Αν α β και β γ, τότε α γ Σωστό Λάθος Αν ΑΒ ΑΓ, τότε τα σημεία Β και Γ συμπίπτουν Σωστό Λάθος 4 Αν ΑΒ 0, τότε τα σημεία Α και Β συμπίπτουν Σωστό Λάθος

5 Για τα μη μηδενικά διανύσματα α,β ισχύει α,β α, β Σωστό Λάθος 6 Για τα μη μηδενικά διανύσματα α,β ισχύει ο α,β 80 α,β Σωστό Λάθος 7 Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ Να σημειώσετε το Σωστό ή το Λάθος στις παρακάτω ισότητες i) ΑΒ ΓΔ Σωστό Λάθος ii) ΑΔ ΒΓ Σωστό Λάθος iii) ΑΓ ΒΔ Σωστό Λάθος iv) ΑΒ ΓΔ Σωστό Λάθος v) ΑΓ ΔΒ Σωστό Λάθος vi) ΒΑ,ΒΔ π 4 Σωστό Λάθος 8 Θεωρούμε το Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις προεκτάσεις των πλευρών του ΑΒ, ΓΔ τα τμήματα ΒΕ=ΔΖ i) ΒΕ ΔΖ ii) ΔΖ ΑΕ iii) ΑΔ ΒΓ iv) ΔΓ ΒΑ v) ΑΒ ΓΔ vi) ΕΑ ΓΖ Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος 9 Δίνεται το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι Σωστός και ποιος Λάθος i) ΑΖ ΓΔ Σωστό Λάθος ii) ΕΖ ΔΑ Σωστό Λάθος π iii) ΑΖ,ΒΑ iv) ΚΑ ΚΔ Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος v) ΕΖ,ΔΑ ομόρροπα Σωστό Λάθος 4

0 Δίνετε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, και η διάμεσος ΑΜ i) ii) π ΑΒ, ΑΜ ΑΒ,ΓΑ π π iii) ΑΒ,ΓΒ iv) ΑΒ ΒΓ v) ΑΓ ΒΓ Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Αν ΑΒ ΓΔ, τότε από τις παρακάτω ισότητες σωστή είναι: Α: ΑΓ ΒΔ Β: ΑΔ ΓΒ Γ: ΑΓ ΔΒ Δ: ΑΔ ΒΔ Ε: Καμία από τις παραπάνω Δίνεται ο κύκλος (Ο,ρ) και οι ακτίνες του ΟΑ, ΟΒ Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστός: Α: ΑΟ ΒΟ Β: ΑΟ ΒΟ Γ: ΑΟ ΒΟ Δ: ΑΟ ΒΟ Ε: Κανένας από τους παραπάνω Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ Από τους παρακάτω ισχυρισμούς ποιος είναι ο σωστός π π Α: ΒΑ,ΓΒ Β: ΒΑ,ΓΒ 4π 5π Γ: ΒΑ,ΓΒ Δ: ΒΑ,ΓΒ Ε: Κανένας από τους παραπάνω ισχυρισμούς Ασκήσεις Δίνονται δύο διανύσματα AB ΑΔ και ΒΓ και ΔΓ για τα οποία ισχύει AB = ΔΓ Να δείξετε ότι τα διανύσματα είναι ίσα Δίνονται ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ να βρείτε τις γωνίες των διανυσμάτων : i ) ΑΒ,ΒΓ ii) ΑΒ,ΓΒ iii) ΑΒ, ΑΓ iv) ΒΑ,ΓΑ Σε κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ με Ο το σημείο τομής των διαγωνίων να εξετάσετε πιο από τα παρακάτω ζευγάρια διανυσμάτων είναι ίσα i ) AB ΔΕ ii) AB ΒΓ iii) BΓ ΕΖ iv) AB ΟΓ v) AΟ ΒΟ 5

Πρόσθεση Διανυσμάτων Παραδείγματα Να αποδείξετε ότι: αβγ α β γ Λύση Για τα διανύσματα α β, γ ισχύει α β γ αβ γ αβγ αβ γ Για τα διανύσματα α, β ισχύει αβ α β () Με πρόσθεση κατά μέλη () και () αβγ αβ αβγ α β γ αβ α β γ () Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Κ, Λ ισχύει η σχέση: ΑΒ ΓΑ ΚΒ ΓΛ, να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ ταυτίζονται Λύση Αρκεί να δείξουμε ότι ΚΛ 0 Πράγματι: ΑΒ ΓΑ ΚΒ ΓΛ ΑΒ ΓΑ ΚΒ ΓΛ 0 ΑΒ ΓΑ ΒΚ ΛΓ 0 ΑΒ ΒΚ ΛΓ ΓΑ 0 ΑΚ ΛΑ 0 ΛΑ ΑΚ 0 ΚΛ 0 Άρα τα Κ, Λ ταυτίζονται Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ α, ΒΓ β, ΓΔ γ και ΔΑ δ Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν α γ 0 και β δ 0 Λύση Έστω ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τότε ΑΒ ΔΓ ΑΒ ΓΔ α γ α γ 0 ΒΓ ΑΔ ΒΓ ΔΑ β δ β δ 0 Αντίστροφα: Εστω για το τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν οι σχέσεις αγ0 και βδ0, τότε αγ0 ΑΒ ΓΔ 0 ΑΒ ΓΔ ΑΒ ΔΓ ΑΒ ΓΔ βδ0 ΒΓ ΔΑ 0 ΒΓ ΔΑ ΒΓ ΑΔ ΒΓ ΑΔ Αρα ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 4 Να αποδείξετε ότι α β αβ α β Πότε ισχύουν οι ισότητες; Λύση Γνωρίζω ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει α β αβ α β, αρα θα ισχύει και για τα διανύσματα α, β α β α β α β, δηλαδή Επειδή τα αντίθετα διανύσματα έχουν ισα μέτρα και από τον ορισμό της αφαίρεσης προκύπτει ότι α β α β έχουμε α β αβ α β αβ α β α β α β ισχύει όταν α, β ομόρροπα δηλαδή α, β Η ισότητα αντίρροπα α β αβ α β α β ισχύει όταν α, β αντίρροπα δηλαδή α, β Η ισότητα ομόρροπα 6

Φυσικά α β αβ α β όταν α 0 η β 0 5 Αν είναι α, β και αβ να δείξετε ότι τα α, β είναι ομόρροπα Λύση Γνωρίζω ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει α β α β, () Επιπλέον α β αβ αβ α β () Από τις () και () προκύπτει αβ α β αβ 6 Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει : ΑΒ ΒΓ 6 ΑΓ Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Λύση Έχουμε ΑΒ 6 ΑΓ ΑΒ ΑΓ και ΒΓ 6 ΑΓ ΒΓ ΑΓ Άρα ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ Επομένως Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Σωστό Λάθος Αν ΑΒ ΒΓ ΓΔ 0, τότε ΑΔ 0 Σωστό Λάθος Αν ΑΒ ΒΑ, τότε ΑΒ 0 Σωστό Λάθος 4 Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ ΟΒ είναι ίσα Σωστό Λάθος 5 Αν το α β είναι συγγραμμικό του α, τότε το α β είναι συγγραμμικό του β Σωστό Λάθος 6 Αν για τα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ, Δ ισχύει ΑΒ ΑΔ ΑΓ, τότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Σωστό Λάθος 7 Αν ΑΒ ΓΒ, τότε τα σημεία Α και Γ συμπίπτουν Σωστό Λάθος α α β β 8 Αν τα α και β είναι μη συγγραμμικά, τότε Σωστό Λάθος 7

9 Αν τα α και β είναι μη συγγραμμικά, τότε α β βα και α β β α Σωστό Λάθος 0 Αν τα α, β είναι συγγραμμικά με το γ, τότε το διάνυσμα α β είναι συγγραμμικό του γ Σωστό Λάθος Αν για τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ, Δ του επιπέδου ισχύει η ισότητα ΑΒ ΑΓ ΓΑ ΓΔ τοτε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Σωστό Λάθος Αν αβ α β, τότε τα α και β είναι πάντα συγγραμμικά Σωστό Λάθος Για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει: α β α β Σωστό Λάθος 4 Για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει: α β αβ Σωστό Λάθος 5 Για ομόρροπα διανύσματα α και β ισχύει: α β αβ Σωστό Λάθος 6 Αν αβ α β, τότε ένα τουλάχιστον από τα α και β είναι 0 Σωστό Λάθος 7 Αν α β α β, τότε ένα τουλάχιστον από τα α και β είναι 0 Σωστό Λάθος 8 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και ΓΕ//ΒΔ Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες i) ΑΓ ΒΔ ΑΔ ΒΓ ii) ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΑΒ ΓΕ iii) ΑΔ ΕΓ ΒΑ iv) ΑΓ ΒΔ ΓΒ ΔΒ ΓΕ ΒΓ Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος 8

9 Να σχεδιάσετε δύο διανύσματα α και β με κοινή αρχή, τέτοια ώστε α β Στην συνέχεια να σχηματίσετε το παραλληλόγραμμο που ορίζουν τα α, β και να σημειώσετε τα α β, α β Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί και ποιοι λάθος; i) Το σχήμα που προκύπτει είναι ρόμβος Σωστό Λάθος ii) Ισχύει αβαβ Σωστό Λάθος iii) Ισχύει αβ αβ Σωστό Λάθος iv) Ισχύει αβαβ v) Ισχύει αβ, αβ Eρωτήσεις αντιστοίχισης Σωστό Λάθος ορθογώνια Σωστό Λάθος Σε κάθε σχήμα που βρίσκεται στη στήλη (Α) αντιστοιχεί μια σωστή τιμή του διανύσματος x που βρίσκεται στη στήλη (Β) Να αντιστοιχίστε τους αριθμούς της στήλης (Α) με τα γράμματα της στήλης (Β) Στήλη Α Στήλη Β Α: αβγ Β: αβγ Γ: ( αβγ ) Δ: αβγ Ε: βγα Ζ: βγα 9

Ασκήσεις Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Να βρείτε τα αθροίσματα i) ΑΒ ΑΔ ii) ΔΑ ΓΔ iii) ΑΒ ΓΔ iv) ΓΒ ΓΔ ΑΓ Αν ισχύει ότι ΓΔ ΒΕΓΑ ΔΕ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται 4 Αν ισχύει ότι ΑΔΖΓ ΒΕΒΔ ΖΕ να δείξετε ότι το Β είναι μέσο του ΑΓ 5 Αν ισχύει η σχέση ΑΕΗΓ ΔΖΒΗ ΕΖ να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παρ/μο 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν ισχύει ΑΜΓΜ ΑΒΜΒ ΑΓ να βρείτε το σημείο Μ 7 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, ενώ Μ είναι τυχαίο σημείο της ΑΔ Να αποδειχθεί ότι: ΜΚ ΑΛ ΜΓ 8 Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ κέντρου Ο Να βρεθούν τα διανύσματα: i ) ΓΒ ΖΑ ii) ΟΓ (ΕΟ ΔΕ) iii) ΔΟ ΑΒ iv) ΔΖ ΓΒ ΔΒ 9 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Μ της πλευράς ΓΔ Βρείτε τα διανύσματα: i ) ΔΜ ΑΜ ii) ΔΑ ΒΜ iii) ΒΜ ΜΔ ΓΒ ΑΒ 0 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Προεκτείνουμε τις ΒΓ και ΔΑ και παίρνουμε τμήματα ΓΖ ΑΕ Να αποδείξετε ότι: i ) ΒΖ ΔΕ 0 ii) ΑΔ ΓΒ ΓΔ ΑΒ iii) ΒE ZΜ Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το μέσον Ο της διαγωνίου του ΒΔ Να δειχτεί ότι ΟΑ ΟΓ ΔΑ ΓΒ Αν ισχύει ΑΓ ΒΔ ΓΖ ΔΑ ΕΒ 0 να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ να είναι όλα μεταξύ τους διακεκριμένα Αν ισχύει η σχέση ΑΒ ΓΑ ΚΒ ΓΛ, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ και Λ ταυτίζονται 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου του τριγώνου, τέτοιο ώστε ΑΒ ΑΓ ΑΜ 0 5 Αν για τα διανύσματα α,β ισχύει α, β και α β, να αποδείξετε ότι α β 4 4 6 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Βρείτε σημείο Μ του επιπέδου του, τέτοιο ώστε να ισχύει ΑΓ ΔΒ ΑΒ ΜΒ 7 Έστω τα σημεία Ο, Α, Β του επιπέδου Αν OA 6 και OΒ 4, να αποδείξετε ότι: ΑΒ 0 8 Αν για τα ομόρροπα διανύσματα α,β ισχύει α κ 5, β 5κ 8 και αβ κ, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ 0

Πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα Γινόμενο ενός αριθμού λ 0 με ένα διάνυσμα α 0 ονομάζουμε ένα διάνυσμα τέτοιο ώστε i ) Να είναι ομόρροπο του α αν λ>0 ii ) Να είναι αντίρροπο του α αν λ<0 iii ) Και στις δύο περιπτώσεις το μέτρο του νέου διανύσματος είναι λ α Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων λέγεται κάθε διάνυσμα της μορφής v καλβ OA OB Έστω ένα διάνυσμα Μ μέσο του τμήματος ΑΒ τότε ισχύει OM Παρατηρήσεις Αν α //βα λβ Έτσι αν θέλουμε να δείξουμε ότι σημεία είναι συνευθειακά τότε θα πρέπει ΑΒ λ ΑΓ ή με οποιανδήποτε συνδυασμό των γραμμάτων Αν AM λ ΜΒ i ) Αν λ>0 τότε το Μ εσωτερικό του ΑΒ ii ) Αν λ<0 τότε το Μ εξωτερικό του ΑΒ Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου Μ από μια διανυσματική ισότητα αρκεί να βρούμε το AM συναρτήσει γνωστών διανυσμάτων Αν θέλουμε να δείξουμε ότι ένα διάνυσμα είναι σταθερό αρκεί να βρούμε μια σχέση ώστε να έχουμε απαλοιφή του μεταβλητού άκρου Παραδείγματα Έστω τα διανύσματα ΟΑ α β, ΟΒ αβ, ΟΓ α 5β Να δείξετε ότι Α, Β, Γ συνευθειακά Λύση Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει πραγματικός κ 0 τέτοιο ώστε ΑΒ καγ, Πράγματι Αν α,β συγγραμμικά υπάρχει πραγματικός λ 0 τέτοιο ώστε α λβ, ΟΑ α βλβ, ΟΒ αβλ β, ΟΓ α 5β λ 5β ΑΒ ΟΒ ΟΑ λ λ β λ4β ΑΓ ΟΓ ΟΑ λ 5λ β λ 4β ΑΒ Άρα κ Αν α,β μη συγγραμμικά τότε: ΑΒ καγ ΟΒ ΟΑ κ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΑ κογ κοα αβ αβ κ α 5β κ αβ αβαβ κα 5κβ κα κβ 0 κ 0 α κα 4β 8κβ 0κα48κβ0 κ 4 8κ 0 Α Αν τα διανύσματα α,β δεν είναι συγγραμμικά, δείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για τα διανύσματα uα β και v α 4β

B Αν τα διανύσματα α,β δεν είναι συγγραμμικά, να βρεθεί ο λ R ώστε τα διανύσματα u αλβ και vαλβ να είναι παράλληλα Λύση Α τα u,v δεν είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν κu λv0κ λ0, κ,λ κu λv0κα βλα4β0κλακ 4λβ0 κ λ0 λ κ κ0 Επειδή α,β δεν είναι συγγραμμικά κ 4λ 0 κ 0 λ 0 Β Τα u v, υπαρχει πραγματικός κ 0 τέτοιο ώστε u κv αλβκα λ β αλβκα κλ β 0 κ 0 κ κ κ κακλκλβ0 κλ κ λ 0 λ λ 0 λ 0 λ Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των ΔΓ, ΒΓ αντίστοιχα Αν ΑΒ α, ΒΓ β, να γραφούν ως γραμμικός συνδυασμός των α,β τα διανύσματα ΑΚ, ΒΚ [Κ σημείο τομής των ΑΝ και ΒΜ] Λύση Το Κ δεν είναι γνωστό σημείο των στοιχείων του παραλληλογράμμου Επιλέγουμε ένα τρίγωνο του σχήματος που έχει πλευρές ΑΚ, ΒΚ Πχ το τρίγωνο ΑΚΒ Γράφω το ΑΚ συναρτήσει του γνωστού ΑΝ χρησιμοποιώντας έναν άγνωστο Πχ τον λ Δηλαδή ΑΚ λαν Γράφω το ΑΚ σαν γραμμικό συνδιασμό των α,β : λ ΑΚ λαν λαβ ΒΝ λα β λα β Ομοίως για το ΒΚ μ :: ΒΚ μβμ μβγ ΓΜμβ αμβ α Στο τρίγωνο ΑΚΒ ισχύει ΑΚ ΚΒ ΑΒ Γράφω τα διανύσματα της σχέσης ως γραμμικό συνδυασμό των α,β : λ μ ΑΚ ΚΒ ΑΒ ΑΚ ΒΚ ΑΒ λα βμβ αα λ μ λ μ Χωρίζω τα α,β : βμβαλα α μβ λ α λ μ Επειδή τα α,β δεν είναι παράλληλα ισχύει: μ λ 0

λ 4 μ 0 λ λ μ 5 Λύνω το σύστημα: 4 Άρα ΑΚ α β και μ μλ λ 0 5 5 μ 5 ΒΚ α β 5 5 Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Έστω Α, Β δύο διαφορετικά σημεία και Μ είναι σημείο τέτοιο ώστε ΑΜ λ ΑΒ, λ i ) Αν λ=, τότε το Μ συμπίπτει με το Α Σωστό Λάθος ii ) Αν λ=, τότε το Μ συμπίπτει με το Β Σωστό Λάθος iii ) Αν λ, τότε το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα Α, Β και πιο κοντά στο Α Σωστό Λάθος Έστω Α, Β δύο διαφορετικά σημεία και Μ είναι σημείο τέτοιο ώστε ΑΜ λ ΜΒ, λ i ) Αν λ=0, τότε το Μ συμπίπτει με το Β Σωστό Λάθος ii ) Αν λ=, τότε το Μ συμπίπτει με το Β Σωστό Λάθος iii ) Αν λ, τότε το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα Α, Β και πιο κοντά στο Α Σωστό Λάθος iv ) Αν λ=, τότε το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα Α, Β και πιο κοντά στο Α Σωστό Λάθος v ) Αν λ, τότε το Α είναι μέσον του ΜΒ Σωστό Λάθος vi ) Αν λ=, τότε το Α είναι σημείο της ημιευθείας ΑΒ Σωστό Λάθος vii ) Αν λ=, τότε το Μ συμπίπτει με το Β Σωστό Λάθος

Ισχύει ΑΒ ΒΓ 5ΑΓ Σωστό Λάθος 4 Το διάνυσμα λα, λ με λ<0 είναι συγγραμμικό του α Σωστό Λάθος 5 Αν α λ β τότε α β Σωστό Λάθος 6 Για το διάνυσμα α και τον λ αρνητικό πραγματικό αριθμό ισχύει: λα λ α Σωστό Λάθος 7 Αν α μη μηδενικό διάνυσμα τότε το α έχει μέτρο α Σωστό Λάθος 8 Αν α β, τότε η γωνία των α και β είναι ίση με μηδέν Σωστό Λάθος 9 Αν α 5β, τότε η γωνία των α και β είναι 80 ο Σωστό Λάθος 0 Αν ΑΓ 5ΑΒ τότε ΓΑ 5ΒΑ Σωστό Λάθος Αν (ΑΒ)=(ΒΓ), τότε ΑΒ ΒΓ Σωστό Λάθος Το διάνυσμα β είναι γραμμικός συνδιασμός των α, β Σωστό Λάθος Αν λαμβ0 και α, β μη συγγραμμικά, τότε λ=μ=0 Σωστό Λάθος 4 Οι συνιστώσες του γ λαμβ είναι τα α και β, όπου α, β μη συγγραμμικά διανύσματα Σωστό Λάθος 5 Αν τα διανύσματα α 0 και β 0 είναι συγγραμμικά και ισχύει λ αμβ0, τότε λ=μ=0 Σωστό Λάθος 4

Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Αν ισχύει ΚΒ ΚΑ 0 και το Β διαφορετικό του Α, τότε ποιο από τα παρακάτω σχήματα είναι σωστό: Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της ΑΒ Αν ΑΔ α και ΔΓ β, τότε: i ) Το διάνυσμα ΔΜ ισούται με: Α: α β Β: β α β β Γ: α Δ: α Ε: α β ii ) Το διάνυσμα ΜΓ ισούται με: Α: α β Β: α β Γ: α β Δ: α β Ε: α β iii ) Με α β ισούται το διάνυσμα: Α: ΑΒ Β: ΒΔ Γ: ΔΒ Δ: ΓΑ Ε: ΑΓ iv ) Με α β ισούται το διάνυσμα: Α: ΑΓ Β: ΓΑ Γ: ΒΑ Δ: ΔΒ Ε: ΒΔ Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα α, β τέτοια ώστε α β Τότε: i ) Το x αβ είναι διάνυσμα συγγραμμικό της διχοτόμου της γωνίας: Α : α, β Β: α,β, Γ : α,β Δ : α,i, Ε : α, χ χ ii ) Το y αβ είναι διάνυσμα συγγραμμικό της διχοτόμου της γωνίας: Α : α, β Β: α, β, Γ : α,β Δ : β,i, Ε : β, χ χ 5

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Αν α λβ,λ και β 0, να αντιστοιχίσετε κάθε σχέση της στήλης Α με τις τιμές του πραγματικού λ της στήλης Β α 0 α β α β 4 α β Στήλη Α Στήλη Β α) λ= β) λ= γ) λ=0 δ) λ< ή λ> ε) <λ< στ) λ= ή λ= Στήλη Α 4 Στήλη Β Έστω Α, Β δύο διαφορετικά σημεία και Μ είναι σημείο τέτοιο ώστε ΑΜ κ ΑΒ, κ ΑΜ κ ΑΒ, κ Να αντιστοιχίσετε την σχετική θέση του Μ, ως προς τα Α, Β, που περιγράφεται στην στήλη Α με την τιμή του πραγματικού κ της στήλης Β Στήλη Α Το Μ συμπίπτει με το Α Το Μ μέσον του ΑΒ Το Μ εσωτερικό του ΑΒ και πλησίον του Α 4 Το Μ εσωτερικό του ΑΒ και πλησίον του Β 5 Το Μ συμπίπτει με το Β 6 Το Α εσωτερικό του ΜΒ 7 Το Β εσωτερικό του ΑΜ Στήλη Β α) 0 κ β) κ= γ) κ> δ) κ=0 ε) κ<0 στ) κ ζ) κ Στήλη Α 4 5 6 7 Στήλη Β 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνεται, στο παρακάτω σχήμα, ΑΒ α ΒΓ β ΓΔ α και ΔΕ β i ) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΓ και ΓΕ ως συνάρτηση των α και β ii ) Επίσης να αποδείξετε ότι τα Α,Γ,Ε είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB αβ και ΑΓ 5α β Αν Δ είναι ένα σημείο ώστε ΑΔ α 5β να δείξετε ότι ΒΔ=ΒΓ και ότι τα Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ της ΑΓ ώστε AE ΓΖ ΑΓ Αν AB α, ΒΓ β 4 να εκφράσετε τα ΔΕ,ΔΖ συναρτήσει των α,β και να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο 4 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ α, AΓ α β και ΒΔ β α είναι τραπέζιο 5 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Μ Να αποδείξετε ότι MA MB MΓ ΜΔ4ΜΟ όπου Ο το κέντρο του παραλληλογράμμου 6 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα εσωτερικό του σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΑΔ ΔΒ Αν τα 5 διανύσματα θέσης των Α και Β είναι OA α και OB β, να δείξετε ότι ΑΔ (βα) και 7 5α β OΔ 7 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσος ΑΜ και σημείο Δ στην πλευρά ΑΓ ώστε: ΓΔ ΔΑ Οι ΒΔ, ΑΜ τέμνονται στο Ε Να αποδείξετε ότι το Ε είναι μέσον της ΑΜ και BE EΔ 8 * Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Αν Ε είναι σημείο της ΑΒ ώστε AE AB και σημείο Σ το σημείο τομής των ΑΓ, ΔΕ, να δείξετε ότι ΑΓ 4ΑΣ 9 Αν για τα σημεία Α, Β, Γ και Ο ισχύει η σχέση 9OA 7OB ΟΓ 0, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 0 Δίνονται τα διανύσματα: OA α β, OB α β και OΓ α 5β Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά Αν ΑΛ ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜΒΚ να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β και Γ για τα οποία ισχύει : OA 7α 5β 4γ, ΟΒ α 7β 4γ και ΟΓ α βγ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 7

Αν Α, Β, Γ τρία διαφορετικά σημεία μιας ευθείας του επιπέδου Να αποδειχθεί ότι για κάθε σημείο Μ του επιπέδου το διάνυσμα u ΜΑ ΜΒ ΜΓ είναι σταθερό 4 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ ώστε ΡΓ ΡΒ Να αποδείξετε ότι ΡΑ ΡΒ ΡΔ ΒΑ 5 Αν (μ )ΡΑ ΡΒ (μ 5)ΡΓ να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος του ΑΜ και σημείο Δ στην πλευρά ΑΓ ώστε ΓΔ=ΔΑ Οι ΒΔ και ΑΜ τέμνονται στο Ε Να αποδείξετε ότι το Ε είναι μέσο της ΑΜ και ΒΕ=ΕΔ 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι αριθμοί α,β,γ ώστε α+β+γ=0 Να αποδείξετε ότι για τυχαίο σημείο Μ του χώρου το διάνυσμα v αma βμβ γμγ είναι σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο από του σημείου Μ 8 Να βρεθεί σημείο Μ του επιπέδου τριγώνου για το οποίο ισχύει ΜΑ ΜΒ ΜΓ 0 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ xαβ yαγ με x y Να αποδείξετε ότι το Δ είναι σημείο της ευθείας ΒΓ 0 Δίνονται τα σημεία Α,Β, Γ και Ο ένα σημείο αναφοράς Να δειχθεί ότι η σχέση: ΟΒ λοα ( λ)ογ, λ είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά Έστω α, β γ μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου OA α β γ ΟΜ α βγ και ΟΒ α 4βγ να αποδειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του ΑΒ Έστω α, β γ β α γ τρία διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου ώστε α β γ και να 5 αποδειχθεί ότι α β και β γ Έστω τα διανύσματα α, β που δεν είναι παράλληλα Να δείξτε ότι τα α + β και α β δεν είναι παράλληλα 4 Αν για τα διανύσματα α,β,γ είναι αβγ0, να δειχθεί ότι τα μη συγγραμμικά διανύσματα xα βγ, y4α 5β γ και z α β 8γ σχηματίζουν τρίγωνο 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ να προσδιοριστεί σημείο Ρ ώστε PA PB PΓ 0 6 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να προσδιορίσετε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΓ ΒΜ ΒΔ ΓΔ 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ για το οποίο ισχύει ΑΜ λαβ μαγ και ΒΜ λαγ μβα Να αποδείξετε ότι i) λ μ ιι) Το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ 8 Τα διανύσματα α, β α γ γ α β, να δειχθεί β γ είναι μη συγγραμικά ανά δύο Αν και ότι : βα γ 9 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Βρείτε σημείο Μ του επιπέδου του, τέτοιο ώστε να ισχύει ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ 0 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο Κ του επιπέδου του, τέτοιο ώστε να ισχύει KΑ KΒ KΓ 0, το οποίο και να προσδιορίστε 8

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να προσδιοριστεί σημείο Ρ του επιπέδου τέτοιο ώστε να ισχύει: AΡ ΒΡ ΓΡ Έστω α και β δύο μη μηδενικά, μη συγγραμμικά διανύσματα i ) Αν xα yβ 0, να δείξετε ότι xy 0 ii ) Αν xα yβ xα yβ, να δείξετε ότι x x και y y iii ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x τα διανύσματα u (x)αβ και v (x)α β είναι συγγραμμικά Έστω τα μη συγγραμμικά διανύσματα α και β του επιπέδου Να αποδείξετε ότι το τυχαίο διάνυσμα x του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β, δηλαδή αποδείξτε ότι υπάρχουν μοναδικοί πραγματικοί αριθμοί κ και λ για τους οποίους ισχύει: x κα λβ 4 Έστω α και β δύο μη μηδενικά, μη συγγραμμικά διανύσματα Να δείξετε ότι και τα διανύσματα α β και α β δεν είναι συγγραμμικά 5 Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ τέτοια ώστε α, β 5 και γ 4 Να αποδειχθεί ότι: i ) αβ 7 και ii) αβγ 0 6 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB α και AΔ β Στη διαγώνιο ΑΓ παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΑΕ ΑΓ Στην πλευρά ΒΓ παίρνουμε σημείο Ζ ώστε ΒΖ ΒΓ και στην προέκταση της 4 πλευράς ΔΓ σημείο Θ ώστεγθ ΔΓ 5 i ) Να γράψετε τα διανύσματα AΕ, AΖ και AΘ ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β ii ) Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ και ΕΘ, ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β iii ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Ζ και Ρ είναι συνευθειακά 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB α και AΓ β Παίρνουμε το μέσο Μ της πλευράς ΑΒ και στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΑΔ ΑΓ Τα τμήματα ΒΔ και ΓΜ τέμνονται στο σημείο Ζ 4 i ) Να γράψετε τα διανύσματα ΒΔ και ΓΜ ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β 4 ii ) Να δείξετε ότι ΑΖ α β 5 5 8 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ, Ε στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ετσι ώστε AΔ AB και AΕ AΓ Οι ευθείες ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ζ i ) Να αποδείξετε ότι AΖ AB ΑΓ 5 5 ii ) Παίρνουμε το σημείο H ώστεβη ΒΓ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Ζ, H είναι συνευθειακά 9

Συντεταγμένες στο επίπεδο Κάθε διάνυσμα α γράφετε κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή α χι ψ j Τα χ,ψ λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α Αν α =(χ, ψ ) και β (χ ψ ) τότε αβ χ χ, ψ ψ λα λ χ, λψ λαμβ =(λχ +μχ, λψ +μψ ) Αν Α(χ, ψ ) και Β(χ ψ ), τότε το AB χ χ, ψ ψ Αν α χ,ψ τότε α = Αν α β det(α,β) 0 χ ψ ή αν α χ χ, ψ ψ τότε α = Ορίζουμε ως συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος α (χ,ψ) (χ χ ) (ψ ψ ) ψ το πηλίκο λ, χ 0 χ Συμπερασματικά αν δυο διανύσματα είναι παράλληλα τότε θα ισχύει : α β α λβdet(α,β) 0 λ λ Σημειώνεται ότι από τις τρεις σχέσεις προτιμότερο είναι να χρησιμοποιούμε αυτήν με την ορίζουσα Παραδείγματα Τα σημεία Μ(κ,), Α(,), Β(,) είναι συνευθειακά Να βρεθεί ο κ Λύση: Επειδή Μ, Α, Β συνευθειακά ΜΑ ΑΒ ΜΑ κ, κ,, ΑΒ 4, κ detμα, ΑΒ0 0κ 40κ 4 α, δ, Λύση: ακγλδκ, λ, κ,κ λ,λ κλ,κλ, Δίνεται το διάνυσμα Να αναλύσετε το α ως προς τις διευθύνσεις των γ, κλ κλ κλ 5κ 5 κ κλ κλ λ κ λ Άρα α γδ [ θα μπορούσαμε και να το παρατηρήσουμε όμως δεν συμβαίνει πάντα] Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α(,), Β(6,4) και Γ(5,5) Λύση: Έστω Κα,β το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΚΑ ΚΒ ΚΑ ΚΒ α β 6 α 4 β ΚΑ ΚΓ ΚΑ ΚΓ α β 5 α 5 β 44α α β β 6 α α 6 8β β 44α α β β 5 0α α 5 0β β και 0

4α α β 8β 466 8α 6β 47 4α 0α β 0β 455 4 6α 8β 45 9 9 9 α α α 4α 8β 4 4α 9 4 4 4 4α β 80 6β 47 8α 9 46 7 6β 47 8 8β β 4 4 56 9 7 Άρα Κ, 4 56 4 Να αποδειχθεί ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούντα και αντιστρόφως: αν οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου διχοτομούνται τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο Λύση: Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο Τοποθετούμε το παραλληλόγραμμο σε σύστημα αξόνων έτσι ώστε η κορυφή Α να συμπίπτει με το Ο και η πλευρά ΑΒ να είναι πάνω στον χ χ (Σχήμα ) Τότε Α(0,0), Β(α,0) και Δ(β,γ) Επειδή ΑΓ ΑΔ ΔΓ ΑΓ α β,γ δηλ Γ(α+β,γ) έχουμε Αν Μ, Ν τα μέσα των ΑΓ, ΔΒ αντίστοιχα τότε Μ α β, γ και Ν α β γ, Άρα Μ ταυτίζεται με το Ν Δηλαδή οι διαγώνιοι διχοτομούνται Αντίστροφα: Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και οι διαγώνιοί του διχοτομούνται στο Μ (Σχήμα ) Τότε: Μ μέσον του ΑΓ άρα Μ γ,0 Ν μέσον του ΔΒ άρα Ν α δ, β ε Οπότε γ=α+δ και β+ε=0 γ δ=α και β= ε AΔ α,β ΒΓ γ δ, ε α,β ΑΔ Άρα ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και Ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος Τα διανύσματα, και, είναι αντίθετα Σωστό Λάθος α x,y και ΟΑ α (Ο αρχή του συστήματος Οχy), τότε το σημείο Α έχει συντεταγμένες Αν x,y Σωστό Λάθος

Είναι i i 0 j Σωστό Λάθος 4 Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οχy το διάνυσμα ΟΑ λ i λ j, λ R βρίσκεται στην διχοτόμο της γωνίας χοy Σωστό Λάθος 5 Δύο διανύσματα με ίσους συντελεστές διευθύνσεως είναι ομόρροπα Σωστό Λάθος 6 Αν δύο διανύσματα έχουν ίσες συντεταγμένες δεν είναι απαραιτήτως ίσα Σωστό Λάθος 7 Αν α, 5 και β 6,0 τότε α β Σωστό Λάθος 8 Το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι ομόρροπο με το α i j είναι το διάνυσμα u i j 0 Σωστό Λάθος 9 Αν x i y j 0, τότε χ y 0 Σωστό Λάθος 0 Αν x i y j 0, τότε x y 0 Σωστό Λάθος Είναι detα,α 0 Σωστό Λάθος Είναι deti, j Σωστό Λάθος Αν η τεταγμένη του α 0 είναι ίση με α, τότε η γωνία που σχηματίζει το α με τον άξονα χ χ είναι π 6 Σωστό Λάθος

4 Αν λ, τότε α 4, α 4 Σωστό Λάθος 5 Αν Α(,) και Β(0,7), τότε ΑΒ 8i 6j Σωστό Λάθος Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών α λ λ 4,λ είναι μηδενικό όταν: Το διάνυσμα Α: λ= Β: λ= Γ: λ= 4 Δ: λ=0 Ε: για κανένα πραγματικό λ Αν τα διανύσματα α λ,ν και β, είναι ίσα, τότε για τα λ,ν ισχύει η: Α: λ= και ν= Β: λ= και ν=4 Γ: λ= και ν= 4 Δ: λ= και ν=0 Ε: λ=0 και ν=4 α ημθ,συνθ είναι το μηδενικό όταν: Το διάνυσμα Α: θ=κπ Β: θ=κπ+ π 4 Γ: θ=κπ+ π Δ: θ=κπ α 4 Είναι ημθ,συνθ Ε: καμιά τιμή του θ, θ και κ Z Το α είναι παράλληλο στον άξονα χ χ όταν: Α: θ=κπ Β: θ=κπ+ π 4 Γ: θ=κπ+ π Δ: θ=κπ+π Ε: θ=κπ π 5 Το διάνυσμα α ημθ,συνθ, είναι παράλληλο στο β συνθ,ημθ όταν: Α: θ=0 Β: θ= π 4 Γ: θ= π Δ: θ=π Ε: θ= π α,λ β 4, λ 6 Τα διανύσματα και είναι παράλληλα όταν: Α: λ= Β: λ=0 Γ: λ= Δ: λ=4 Ε: λ= 4 7 Δίνονται τα διανύσματα α,4 και β, Η σχέση α κβ 0 ισχύει όταν: Α: κ Β: κ Γ: κ= Δ: κ= 8 Το διάνυσμα α 5, Ε: κανένα κ R έχει αρχή το σημείο (,4) Πέρας του είναι το σημείο Α: (,) Β: (,) Γ: (, ) Δ: (, ) Ε: (7,)

9 Δίνεται το διάνυσμα α i 4j και κα 0, κ R Για τον κ ισχύει: Α: κ Β: κ Γ: <κ< Δ: κ > Ε: κανένα από τα προηγούμενα 0 Δίνονται τα διανύσματα α λλ λ λ λ 4 5, τιμές του λ κάνουν τα α και β συγγραμμικά: και β 0,6, λ R Πόσες Α: Β: Γ: Δ: 4 Ε: 5 Το διάνυσμα ασυνθi ημθ j με θ R είναι παράλληλο στην πρώτη διχοτόμο των αξόνων, όταν θ ισούται με: Α: θ=κπ Β: θ=κπ π Γ: θ κπ 4 Δ: θ=κπ π Ε: θ=(κ+)π, κ Z 4 Το μέσον Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι ΟΜ i j Τα διανύσματα των άκρων μπορεί να είναι α ΟΑ και β ΟΒ Α: α 4i 8j και β 4i j Β: α 4i και β i 4j Γ: α 6i j και β i 5j Δ: α i j και β i j Ε: α 6i j και β 4i j Οι συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Α(,) ως προς το Β(,0) είναι: Α: (5,) Β: (, ) Γ: (,5) Δ: (, ) Ε: κανένα από τα προηγούμενα ΑΒ α,4 και Α(,4), τότε το Β είναι το σημείο: 4 Αν Α: (0,0) Β: (,4) Γ: (0,8) Δ: (,8) Ε: κανένα από τα προηγούμενα 5 Στο καρτεσιανό επίπεδο Οχy ένα μη μηδενικό διάνυσμα v σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα χ χ Οι συντεταγμένες του v θα είναι: Α: νημθ, νσυνθ Β: συνθ,ημθ Γ: νσυνθ, νημθ συνθ ημθ Δ:, ν ν Ε: κανένα από τα προηγούμενα 6 Τα αντίθετα διανύσματα έχουν: Α: αντίθετους συντελεστές διεύθυνσης Β: ίσους συντελεστές διεύθυνσης Γ: αντίστροφους συντελεστές διεύθυνσης Δ: συντελεστές διεύθυνσης με γινόμενο Ε: κανένα από τα προηγούμενα 4

Ερωτήσεις Αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α με τον συντελεστή του στην στήλη Β Στήλη Α [Διάνυσμα ] Στήλη Β [ Συντελεστής διεύθυνσης ] i j Α: i Β: Γ: 0 j Δ: 4 Ε: Δεν ορίζεται 4 i j Ζ: Η: Στήλη Α 4 Στήλη Β Με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α με τον γραμμικό συνδυασμό του της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β ΑΒ Α: i j ΓΔ Β: i j ΔΖ Γ: ij 4 ΕΖ Δ: i 5 ΚΛ Ε: i 6 ΗΘ Στ: 4ij 7 ΙΖ Ζ: ij 8 ΜΑ Η: ij Θ: i j Στήλη Α 4 5 6 7 8 Στήλη Β Ερωτήσεις Συμπλήρωσης Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Διάνυσμα Μέτρο διανύσματος ΓωνίαΟχ,α α, β, γ, δ, η, 5

Ασκήσεις Δίνονται τα διανύσματα α (x,) β ( ψ 4ψ 5,χ ) Να βρείτε για ποιες τιμές των χ και ψ είναι i) α β ii) α β χ χ iii) α β 0i 9j Έστω ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Οxy και τα διανύσματα α x, και β 8, x Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε τα διανύσματα να είναι αντίρρο πα Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(,), Γ(4, 5) και Δ(6,) Να εκφράσετε το διάνυσμα AB ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΟΓ και ΟΔ 4 Δίνεται το διάνυσμα α (,4) Να βρείτε i ) Το μέτρο του α, ii) Τα διανύσματα που είναι παράλληλα με το α και έχουν διπλάσιο μέτρο 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, ) Β(,6) και Γ(4, 4) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου x λ λ x 008 0, λ Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε το μέσο του ΑΒ να είναι το σημείο Μ(,) 7 Να γράψετε το διάνυσμα v (4,) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α (,) και β (,) 8 Δίνονται τα σημεία Α( 6,) Β(,) Γ( 0, ) i ) Να εξετάσετε αν τα σημεία είναι συνευθειακά ii ) Να βρεθεί σημείο Μ στον χ χ ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ορθογώνιο 6 Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης iii ) Να υπολογίσετε το ΑΒ ΑΓ και τα ΑΒ ΑΓ τι παρατηρείτε; 9 Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(5,) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι K(,7) να βρεθούν οι άλλες κορυφές του 0 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(,), Β( 5, ) και Γ(, ) i ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των μέσων Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα ii ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού Δ, της κορυφής Γ ως προς το Μ iii ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού Ε, της κορυφής Β ως προς το Ν iv ) Να αποδείξετε ότι το Α είναι το μέσο του τμήματος ΔΕ Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με άκρα Α(,) και Β(,5) διαιρείται σε ίσα μέρη Ζητούνται οι συντεταγμένες των σημείων διαίρεσης Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα x x, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τα σημεία Β, 4 να είναι ελάχιστο Α, και Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα yy, ώστε η διαφορά των αποστάσεών του από τα σημεία Α, και Β, 5 να είναι μέγιστη 4 Δίνονται τα σημεία Α,, Β, και α 4 Μα, i ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Μ είναι συνευθειακά ii ) Να βρείτε την τιμή του α ώστε ΒΜ ΑΒ iii ) Να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος ΟΜ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 4 5 5 6

Εσωτερικό Γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζουμε τον πραγματικό αριθμό αβ α β συν(α,β) Αν α (χ,ψ ) και β (χ,ψ ) τότε αβ χχ ψψ Αν α β τότε αβ0 α (βγ) αβαγ Στο εσωτερικό γινόμενο δεν ισχύει η προσ/κη ιδιότητα : α (βγ) (αβ) γ Αν τα διανύσματα δεν είναι παρ/λα προς τον ψ ψ τότε α β λ α λ β Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζουν δύο μη μηδενικά διανύσματα τότε συνθ α β α β Ισχύει ότι α v απροβ αv Παραδείγματα Να δειχθεί ότι: αβ α β α β Λύση: αβ αβ αβ αβ α αβ β α αβ β 4αβ0 αβ 0 α β Δίνονται τα διανύσματα α,β με α μέτρο του διανύσματος ν α β και β, τα οποία σχηματίζουν γωνία π Να βρεθεί το Λύση: π Έχουμε αβ α β συν, οπότε ν α β α β 9 α α β4 β 9 4 6 Άρα ν 6 6 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ ύψος Να δειχθεί ότι: ΑΔ ΓΔ ΔΒ ΑΒ ΑΔ ΔΒ Λύση: οπότε ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΔΒ ΑΔ ΔΓ ΑΓ ΑΔ ΔΓ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΔ ΔΓ ΔΒΑΔ ΔΒ ΔΓ Όμως ΑΒ ΑΓ και ΑΔ ΒΓ Άρα λοιπόν ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΔ ΔΓ ΔΒΑΔ ΔΒΔΓ 0 ΑΔ ΔΒΔΓ ΑΔ ΓΔ ΔΒ 7

4 Έστω α, 7 και β,7 Να αναλύσετε το διάνυσμα β σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α και η άλλη κάθετη στο α Λύση: αβ 774947 Έστω ν,ν οι συνιστώσες του β με ν α και ν α ν α ν λα λ, 7 λ 7λ, λ Προφανώς ν προβ β 47 50 α β α προβ β α ν 47 λ 49λ 47 50λ λ α 47 47 47 9 ν α, 7, 50 50 50 50 Οπότε και 5 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα ώστε ΒΖ=ΓΕ Να δείξετε ότι ΑΕ ΑΖ Λύση: Θεωρούμε το σύστημα Δχy, με μοναδιαίο διάνυσμα το ΔΓ, οπότε θα έχουμε: Δ(0,0), Γ(,0), Α(0,), Β(,) α 47 9 47 ν βν,7,, 50 50 50 50 Αν ΒΖ=ΓΕ=κ, τότε ΑΖ=ΑΒ ΒΖ= κ Άρα Ε(,κ), Ζ( κ,) Είναι ΑΕ ΔΕ ΔΑ,κ0,,κ, ΔΖ κ, Οπότε ΑΕΔΖ,κ κ,κκκκ0 Άρα ΑΕ ΑΖ 6 α) Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει: αβ α β β) Χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α 6x 8y, αν x y 6 γ) Με την βοήθεια του (α) ερωτήματος αποδείξτε ότι: 6ημχ 8συνχ 0 Λύση: α) Ισχύει συν α,β α β συν α,β α β α β α β β) Έστω α 6, 8και β x,y Τότε α 6 8 00 0, β x y 6 6 και Α αβ6x 8y Οπότε σύμφωνα με το (α): αβ α β Α0 6 Α 60 60 Α 60 γ) Έστω α 6, 8και γ ημx,συνy Τότε α 6 8 00 0, γ ημx συνy και αβ6ημx8συνy Οπότε σύμφωνα με το (α): αβ α β 6ημx8συνy 0 6ημx8συνy 0 8

Ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος Αν αβ0, τότε η γωνία (α,β) είναι οξεία Σωστό Λάθος αβγ παριστάνει διάνυσμα Το Σωστό Λάθος αβ γ παριστάνει διάνυσμα Το Σωστό Λάθος λα β, λ παριστάνει διάνυσμα 4 Το Σωστό Λάθος α βγ αβ γ 5 Πάντα ισχύει: Σωστό Λάθος 6 Αν αβαγ τότε είναι β γ Σωστό Λάθος 7 Αν τα διανύσματα α, β είναι συγγραμμικά τότε αβ α β Σωστό Λάθος 8 Αν αβ0 τότε α 0 ή β 0 Σωστό Λάθος π 9 Αν αβ0 τότε είναι πάντα (α,β) Σωστό Λάθος 0 Αν α =(, 5) και β =( 6,0) τότε α β Σωστό Λάθος Αν α, β, δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου ώστε α β τότε ισχύει: προβ β 0 α Σωστό Λάθος Αν α, β, δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου ώστε α β τότε ισχύει: προβ β β α Σωστό Λάθος 9

Το εσωτερικό γινόμενο δύο μοναδιαίων διανυσμάτων ισούται με το συνημίτονο της γωνίας τους Σωστό Λάθος π 4 Ισχύει: i,i j 4 Σωστό Λάθος 5 Αν α =(, ) και β =(, ) δύο διανύσματα του επιπέδου τότε α προβ β 4 α Σωστό Λάθος 6 Αν ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ τότε ισχύει: προβαβ προβ ΑΓ ΒΓ ΒΓ Σωστό Λάθος 7 Αν το διάνυσμα α σχηματίζει με τον χ χ γωνία π 6 και το διάνυσμα β σχηματίζει με τον χ χ γωνία 5π τότε α β 0 Σωστό Λάθος αβ0det α,β 8 Αν detα,β είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α και β, τότε ισχύει Σωστό Λάθος Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Αν uvuw και u 0, τότε Α: v w Δ: uvw Β: v w Γ: uvw ή v w Ε: uvw Στο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 4 cm Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Α: ΑΒΓΒ 0 Β: ΑΟΑΒ 8 Γ: ΑΒ ΓΔ 6 Δ: ΑΒ ΑΓ 6 Ε: ΟΒ ΒΑ 8 Σύμφωνα με το σχήμα, αβ ισούται με: Α: α β Β: α β Δ: α β Ε: α β Γ: α β 0

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος με γωνία Α = 60 και πλευρά 6 cm Αν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του, να αντιστοιχίσετε τα εσωτερικά γινόμενα της στήλης Α του πίνακα (Ι) με τις αντίστοιχες τιμές της στήλης Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) Πίνακας (Ι) Στήλη Α ΟΑ ΟΒ ΑΒ ΑΔ ΑΒΓΔ 4 ΑΔ ΓΔ Στήλη Β Α 8 Β 6 Γ 0 Δ 6 Ε 8 Ζ 8 Πίνακας (ΙΙ) 4 Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και έχει γωνία Β = 60 Αν η υποτείνουσά του ΒΓ είναι 8 cm Να αντιστοιχίσετε τα εσωτερικά γινόμενα της στήλης Α του πίνακα (Ι) με τις αντίστοιχες τιμές της στήλης Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β Πίνακας (ΙΙ) ΑΒΓΑ ΒΑ ΒΓ ΒΑ ΓΒ Α 6 Β 6 Γ 6 Δ 0 Ε 6 Ερωτήσεις διάταξης Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Αν είναι: ΑΒ α, ΒΓ β, ΓΑ γ και α β γ, να διατάξετε από το αβ βγ γα μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς:,, α β β γ γ α

Ασκήσεις Δίνεται διάνυσμα α που έχει το ίδιο μήκος με το β (4, ) και έχει την διεύθυνση του γ(, ) Δίνονται τα διανύσματα α, β π με (α,β), α και β να βρεθούν : 6 i ) αβ ii) α β iii) α β iv) α β v) α β4α 5β π π Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος α β γ αν (α,β), (β,γ), τα διανύσματα α, γ δεν 4 4 είναι παράλληλα, α, β και γ 4 Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων α (,4) και β (, ) 5 Αν α, β και (α,β) 45 ο, να βρεθεί η γωνία (β α,α) 6 Να βρείτε τις τιμές του x ώστε τα διανύσματα α (x,x ) και β (5 x, 5) να είναι κάθετα 7 Αν αβγ 0 με α, β και γ να βρεθεί η παράσταση αββγ 8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(5,), Β(,) και Γ(7,6) Να βρείτε την γωνία Α του τριγώνου π 9 Αν α, β, (α,β) και δ α β να υπολογίσετε την γωνία (β,δ) 0 Να αναλύσετε το διάνυσμα δ (,5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο v (, ) Να γράψετε το διάνυσμα δ (8,) ως άθροισμα δύο καθέτων διανυσμάτων από τις οποίες το ένα να είναι παράλληλο με το β (, ) Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α και β με β α Αν α (α β) να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α και β είναι Αν αβ0 π x xα β γ να λύσετε την εξίσωση : 4 Για τα διανύσματα α και β π είναι α, β και (α,β) Να υπολογίσετε i ) το αβ ii) Να βρεθεί ο πραγματικός λ έτσι ώστε ( αλβ) (α 4β) 5 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά α= Αν ΑΔ είναι το ύψος του, να υπολογιστούν τα εσωτερικά γινόμενα : i ) ΑΒ ΑΓ ii) ΑΒΒΔ iii) ΑΒΓΑ iv) ΑΓ ΔΒ 6 Αν για τα διανύσματα α και β του επιπέδου ισχύουν α β και η γωνία μεταξύ τους είναι 60 0 να βρεθεί i ) Το u αν u α β ii) Το συν(α,u) και συν(u,β) (u,β) όπου u α β

π 7 Αν α 5, β και (α,β), να βρεθεί η γωνία (α β,α β) π 8 Αν (α,β), αβαβ και α β 7 να υπολογιστούν τα α και β 9 Αν για κάθε λ πραγματικό είναι αλβ λαβ και α, να δείξετε ότι : i ) α β ii) β iii) Να βρεθεί το α 4β 0 Δίνονται τα διανύσματα α (0,) και β (,4) Υπολογίστε: i ) την προβολή του α πάνω στο β και την προβολή του β πάνω στο α ii ) Τις γωνίες των διανυσμάτων α β και α β με τον άξονα χ χ Αν για τα διανύσματα α και β υπάρχουν κ, λ πραγματικοί ώστε να ισχύει λα κβκα λβ για κάθε κ και λ να αποδείξετε ότι i ) α β ii) Να βρεθεί το β στην περίπτωση που είναι α Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α και β με ( (α,β) π Να βρείτε διάνυσμα χ τέτοιο ώστε β και βα χ Αν για τα διανύσματα α και β ισχύουν β α και α β α δείξτε ότι τα δύο διανύσματα είναι αντίρροπα 4 Αν για τα διανύσματα α, β, γ είναι α β γ και αββγγα να δείξετε ότι δύο από αυτά είναι αντίθετα 5 Αν προβ α β και β 4 6 Αν α, β 8, (α,β) 60 προβ β = α να βρείτε την γωνία (α,β) α ο και προβ (χ αβ) 5 α να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός χ α 7 Αν αβ α Να λυθεί η εξίσωση προβ (χ αβ) (χ) α α 8 Αν α και αβ 9 9 Αν α χ i ) Να δείξτε ότι προβ χ α α α ii ) να βρείτε το χ ως γραμμικό συνδυασμό των α προβ α β, α 6 β, β 4 και και β αν (α χ) χ προβ χ4 β βγ γ να βρείτε την γωνία 0 Αν α β det(a,β) δύο διανύσματα να αποδείξετε ότι: ημθ α β α (α,γ)

Γεωμετρικοί Τόποι Παραδείγματα Δίνονται δύο σταθερά σημεία Ο και Α στο επίπεδο, έτσι ώστε ΟΑ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΟΜ ΟΜ ΟΑ 7 Λύση: Έστω Μ σημείο του γεωμετρικού τόπου ΟΜΟΜ ΟΑ7 ΟΜ ΟΑ ΟΜ 7 ΟΜ ΟΑ ΟΜ ΟΑ 7 ΟΑ ΟΜ ΟΑ 7 ΟΑ ΑΜ 7 ΑΜ 4 Άρα το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στον κύκλο (Α,4) Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β του επιπέδου με ΑΒ Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΑΜ ΑΒ Λύση: Έστω Μ σημείο του γεωμετρικού τόπου Επειδή Ν προβολή του Μ στην ΑΒ, ΑΝ ΑΒ ΑΜΑΒ Οπότε ΑΝΑΒ ΑΝ ΑΒ ΑΝ Δηλαδή το ΑΜ έχει σταθερή προβολή ΑΝ πάνω στη ΑΒ Άρα το Μ βρίσκεται σε κάθετο πάνω στην ΑΒ σε σημείο της που απέχει από το Α απόσταση Αν Δ είναι το μέσον της ΒΓ ενός τριγώνου ΒΓ, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΑΜ ΑΔ ΑΜΑΒΑΓ Λύση: Έστω Μ σημείο του γεωμετρικού τόπου Τότε έχουμε: ΑΜ ΑΔ ΑΜ ΑΒΑΓ ΑΜ ΑΒ ΑΓ ΑΜΑΒΑΓ ΑΜ ΑΒ ΑΜΑΓ ΑΜ ΑΒΑΓ 0 ΑΜ ΑΜΑΒ ΑΓ ΑΜΑΒ 0 ΑΜΑΒ ΑΜΑΓ 0 ΒΜΓΜ 0 0 ΒΜ ΓΜ ΒΜΓ 90 Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος διαμέτρου ΒΓ 4

ΤΕΧΝΙΚΗ : ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΝΑΦΟΡΑΣ και ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΘΕΣΗΣ Επιλέγουμε ένα σημείο αναφοράς (συνήθως ένα ακραίο σημείο) πχ Ο και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις: ΑΒ ΟΒ ΟΑ ΟΑ ΟΒ Αν Μ μέσον του ΑΒ τότε ΟΜ και μετατρέπουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το Ο ΜΕΘΟΔΟΣ Α: Ταύτιση σημείων Για να αποδείξουμε ότι δύο σημεία Α, Β ταυτίζονται αρκεί να από δείξουμε ότι το διάνυσμα ΑΒ είναι μηδενικό διάνυσμα Δηλ ΑΒ 0 Α Να αποδειχθεί ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και αντιστρόφως: αν οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου διχοτομούνται τότε το τετράπλευρο είναι αραλληλόγραμμο Α Αν ισχύει η σχέση ΟΚ 7ΚΑ 4ΚΒ ΟΒ, να δείξετε ότι τα Α, Β ταυτίζονται Α Δίνετε τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του και το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων διχοτομούνται (έχουν κοινό μέσο) Α 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΑΒ ΑΓ ΑΡ, όπoυ Ρ σημείο του επιπέδου του Να αποδείξετε ότι το σημείο Ρ ταυτίζεται με το μέσον του ΒΓ ΜΕΘΟΔΟΣ Β: Απόδειξη σχέσεων Για να από δείξουμε μία σχέση, φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και χρησιμοποιούμε σημείο αναφοράς στη συνέχεια ενεργούμε όπως στις αλγεβρικές ταυτότητες Αντικαθιστούμε τα αθροίσματα διανυσμάτων με κοινή αρχή, με το διπλάσιο της διαμέσου Αντικαθιστούμε τις διαφορές διανυσμάτων με κοινή αρχή Β Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ ισχύει: ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΒΔ Β Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι: ΑΓ ΒΔ ΚΛ Β Δίνετε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ τέτοιο ώστε ΡΓ ΡΒ Να αποδειχθεί ότι: ΡΑ ΡΒ ΡΔ ΑΒ 0 Β 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ του επιπέδου του Να δείξετε ότι το διάνυσμα u ΜΑ ΜΒ ΜΓ είναι ανεξάρτητο από την θέση του Μ[σταθερό] ΜΕΘΟΔΟΣ Γ: Προσδιορισμός σημείου Χρησιμοποιούμε σημείο αναφοράς ένα σταθερό σημείο στο επίπεδό τους και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια ισότητα που το πρώτο μέλος έχει ένα διάνυσμα με πέρας το ζητούμενο σημείο και δεύτερο μέλος σταθερά διανύσματα Γ Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να προσδιορίσετε σημείο Μ τέτοιο ώστε να είναι : ΑΓ ΒΜ ΒΔ ΓΔ Γ Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να βρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε: ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ 0 Γ Να βρεθεί σημείο Ρ στο επίπεδο του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε: ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ 5

Γ 4 Να βρεθεί σημείο Ρ στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο ώστε: ΑΡ ΒΡ ΓΡ Γ 5 Να βρεθεί σημείο Ρ στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο ώστε: ΑΡ 5ΒΡ ΡΓ 0 Γ 6 Να βρεθεί σημείο Ρ στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο ώστε: ΡΑ ΡΒ ΡΓ 0 ΜΕΘΟΔΟΣ Δ: Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα τα συγγραμμικά διανύσματα α, β είναι ομόρροπα αν ακβ και κ θετικός πραγματικός αριθμός αντίρροπα αν ακβ και κ αρνητικός πραγματικός αριθμός τα α, β είναι ομόρροπα αν αβ α β (προφανώς είναι συγγραμμικά) τα α, β είναι αντίρροπα αν α β αβ (προφανώς είναι συγγραμμικά) Δ Εάν ΑΛ ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΚΛ και ΜΛ είναι αντίρροπα β γ Δ Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει α βγ0 και α,, να αποδειχθεί ότι: i ) το α είναι ομόρροπο με το β ii ) το β είναι αντίρροπο του γ Δ Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει: ΑΒ ΒΓ 6 ΑΓ Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ΜΕΘΟΔΟΣ Ε: Ερμηνεία της διανυσματικής ισότητας Η ισότητα ΑΓ ΓΒ μας λέει ότι τα σημεία Α, Γ, Β είναι συνευθειακά κα ότι το Γ είναι μέσο του ΑΒ Η ισότητα ΑΒ ΔΓ μας λέει ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Ε Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ Ορίζουμε τα σημεία Δ και Ε από τις σχέσεις: ΓΔ ΑΒ 0 και ΓΕ ΒΑ 0 Να δείξετε ότι το Γ μέσον του ΔΕ Ε Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και επί των πλευρών του τα σημεία Μ, Ν, Ρ, Σ τέτοια ώστε ΑΜ ΑΒ, ΓΡ ΓΔ, ΒΝ ΒΓ και ΔΣ ΑΔ Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΡΣ είναι παραλληλόγραμμο Ε Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) στο οποίο (ΔΓ)=(ΑΒ) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΔΒ, ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i ) ΚΛ ΔΓ ΒΑ ii) το ΑΚΛΒ είναι παραλληλόγραμμο Ε 4 Έστω Α, Β, Γ, Δ σημεία ενός επιπέδου και Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα i ) Να εκφράσετε το διάνυσμα ΜΝ συναρτήσει των ΑΓ και ΒΔ ii ) Αν Ρ είναι σημείο για το οποίο ισχύει ΑΡ ΜΝ, να αποδείξετε ότι ΒΡ ΒΓ ΒΔ iii ) Να αποδείξετε ότι το ΒΓΡΔ είναι παραλληλόγραμμο Ε 5 Να αποδειχθεί ότι τα μέσα πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου 6

ΜΕΘΟΔΟΣ Ζ: Συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει μια από τις σχέσεις: ΑΒ κ ΒΓ ή ΑΓ κ ΒΓ ή ΑΓ κ ΑΒ Αν έχουμε μία διανυσματική σχέση τότε παίρνουμε ένα σημείο αναφοράς πχ Ο και καταλήγουμε σε μια σχέση: κοαλοβμογ 0 με κ+λ+μ=0 Κατόπιν αντικαθιστούμε το κ= λ μ και καταλήγουμε σε μία από τις παραπάνω μορφές Αρκεί να ισχύει μία από τις σχέσεις: ΑΒ ή ΒΓ ή ΒΓ ή ΑΓ ή ΑΓ ή ΑΒ Ζ Να αποδειχθεί ότι τρια σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά όταν: i ) ΑΒ ΒΓ 4 ΓΑ 0 ii) 5 ΟΑ ΟΒ ΟΓ 0 iii) ΟΑ ΟΒ ΟΓ 0 και ΟΑ 4 ΟΒ ΟΓ Ζ Αν ισχύει η ισότητα 9ΚΑ ΚΒ 7ΚΓ 0 να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 4 Ζ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ, ώστε να ισχύειv ΑΔ ΑΒ, ΑΖ ΑΤ και ΓΕ ΒΓ 5 i ) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των ΑΒ και ΑΓ ii ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά Ζ 4 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Παίρνουμε ΑΕ ΑΒ και ΑΖ κ ΑΓ Να βρεθεί η τιμή του κ, 5 ώστε τα σημεία Δ, Ε και Ζ να είναι συνευθειακά Ζ 5 Οι διαγώνιοι ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΔ//ΒΓ) τέμνονται στο Ο, ώστε ΟΑ κ ΟΓ και ΟΔ κ ΟΒ Αν Μ, Ν τα μέσα των ΒΓ και ΑΔ, να δείξετε ότι Μ, Ο, Ν συνευθειακά 7

ΤΕΧΝΙΚΗ : ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν α, β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα, τότε κάθε διάνυσμα του επιπέδου του μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των α και β Αν α, β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα με κ αλβ0 κ λ0 ΜΕΘΟΔΟΣ Η: Υπολογισμός γωνιών και λόγων σε επίπεδα σχήματα Όταν έχουμε να αποδείξουμε σχέσεις ή λόγους σε επίπεδα σχήματα επιλέγουμε σαν α, β δύο πλευρές από μία κορυφή τους και προσπαθούμε να υπολογίσουμε τα δεδομένα συναρτήσει των α και β Να μη ξεχνάμε: Ο ΑΒ,ΓΑ 80 ΑΒ, ΑΓ και ΒΑ,ΓΑ ΑΒ, ΑΓ ) Εφαρμογές Η Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη του: i Να υπολογίσετε τις γωνίες : ΑΒ, ΑΓ, ΑΒ,ΒΓ, ΑΒ, ΑΔ, ΑΔ,ΒΓ, ΕΔ,ΒΑ, ΑΔ,ΒΑ ii Αν ΑΒ α, ΑΓ β να γραφούν σαν συνδυασμός των α, β τα διανύσματα: ΒΓ, ΑΔ, ΓΖ, ΖΕ Η Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των ΔΓ, ΒΓ αντίστοιχα Αν ΑΒ α, ΒΓ β, να γραφούν ως γραμμικός συνδυασμός των α, β τα διανύσματα ΑΚ, ΒΚ [Κ σημείο τομής των ΑΝ και ΒΜ] Η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Ο Α 60 Αν Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΔΓ, ΓΒ αντίστοιχα τότε: i Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΔ,ΔΓ, ΑΔ,ΓΒ, ΒΓ,ΓΔ ii Αν ΑΒ α, ΒΓ β, να γραφούν ως γραμμικός συνδυασμός των α, β τα διανύσματα ΑΓ, ΔΒ, ΚΓ, ΚΒ, ΑΜ, ΑΝ, ΜΝ, ΚΝ, ΜΚ [Κ σημείο τομής των ΑΝ και ΒΜ] Η 4 Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ) με μια γωνία ίση με 60 ο Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΔ και ΒΓ οι οποίες τέμνονται στο Ο Αν ΑΒ α, ΑΔ β και α β, να γράψετε συναρτήσει των α και β τα ΒΓ, ΓΔ, ΟΔ, ΟΓ ΜΕΘΟΔΟΣ Θ: Αναλυτική μέθοδος απόδειξης Η αναλυτική μέθοδος είναι γρήγορη και αποτελεσματική σε αποδείξεις γεωμετρικών προβλημάτων Βασίζεται στο γεγονός ότι : τοποθετούμε το σχήμα μας στο σύστημα αναφοράς Οχy εκφράζουμε τα διάφορα στοιχεία του σχήματος με την βοήθεια των συντεταγμένων η επιλογή του σημείου αναφοράς γίνεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να έχουμε όσο το δυνατόν περισσότερα σημεία με τεταγμένες ή τετμημένες μηδέν A Δ α Μ Κ B Ν Γ β 8

Για το ορθογώνιο τρίγωνο, ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τετράγωνο οι άξονες συμπίπτουν με τις δύο κάθετες πλευρές Για το ισοσκελές ή ισόπλευρο τρίγωνο ή ισοσκελές τραπέζιο, ο άξονας χ χ συμπίπτει με την βάση και ο y y με την μεσοκάθετο της βάσης Για το τυχαίο τρίγωνο ο άξονας χ χ συμπίπτει με την βάση και y y με την μεσοκάθετο ή την κάθετη στην αριστερή κορυφή Για το παραλληλόγραμμο και τυχαίο τετράπλευρο Πολλές φορές θεωρούμε ότι μια πλευρά έχει μήκος Έπειτα εκφράζουμε τα διανυσματικά δεδομένα και τις σχέσεις με την βοήθεια των συντεταγμένων και το πρόβλημα γίνεται πιο «αλγεβρικό» 9

Εφαρμογές Θ Να αποδειχθεί ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και αντιστρόφως: αν οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου διχοτομούνται τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο Θ Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες Θ Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας Θ 4 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Στην πλευρά ΑΔ θεωρούμε σημείο Μ ώστε ΑΜ ΑΔ και 5 στην διαγώνιο ΑΓ σημείο Ν ώστε ΑΝ ΑΓ : 6 I) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Β είναι συνευθειακά II) Να βρείτε τον λόγο στον οποίο χωρίζει το σημείο Ν το τμήμα ΜΒ Θ 5 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ, Ν τέτοια ώστε να είναι: ΔΜ ΑΔ και ΒΝ ΑΒ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Γ και Ν είναι συνευθειακά ΜΕΘΟΔΟΣ Ι: Υπολογισμός εσωτερικού γινομένου μέτρων γωνιών Για τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου ή της γωνίας δύο διανυσμάτων χρειάζεται να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους ή τα μέτρα τους και την γωνία τους Αν δεν γνωρίζουμε τα τις συντεταγμένες τους ή τα μέτρα τους και την γωνία τους τότε προσπαθούμε να τα γράψουμε σαν γραμμικό συνδυασμό δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους ή τα μέτρα τους και την γωνία τους Εφαρμογές Ι Δίνονται τα διανύσματα α, β με α και β, τα οποία σχηματίζουν γωνία π Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος vα β Ι Δίνονται τα διανύσματα α, β τέτοια ώστε: α β των διανυσμάτων v α 4β, v α β και π (α,β) Να βρείτε την γωνία ΜΕΘΟΔΟΣ Μ: Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες Όταν μας ζητούν να αναλύσουμε ένα διάνυσμα v σε δύο συνιστώσες, μία στην διεύθυνση του α και η άλλη κάθετη στην διεύθυνση του α, βρίσκουμε την προβολή του v στην διεύθυνση του α, α v v α και από την αφαίρεση διανυσμάτων βρίσκουμε την κάθετη συνιστώσα v vv α Όταν μας ζητούν να αναλύσουμε το διάνυσμα v σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις, τις διευθύνσεις γνωστών διανυσμάτων α, β στην ουσία μας λένε να γράψουμε το v σαν γραμμικό συνδυασμό των α, β πχ αν v καλβ, τότε v κα και v λ β Εφαρμογές Να αναλύσετε το διάνυσμα β σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α Μ Δίνονται τα διανύσματα α, 4 και β 5,0 40

Μ Να αναλυθεί το διάνυσμα α 9,4 κατά τις διευθύνσεις των διανυσμάτων β, γ, Μ Έστω τα διανύσματα α,, β,4 Να αναλυθεί το διάνυσμα α σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μία είναι παράλληλη στο α β και η άλλη κάθετη στο β α 4, Να αναλυθεί το α σε δύο συνιστώσες v,v τέτοιες ώστε: v 5, v 6 και οι συντεταγμένες τους να είναι ακέραιοι αριθμοί Μ 4 Έστω ΜΕΘΟΔΟΣ Π: Γεωμετρικοί τόποι Όταν μας ζητούν τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που πληρούν μια σχέση, τότε ξεκινάμε από την σχέση που μας δίνεται και προσπαθούμε να καταλήξουμε: Σε μια ισότητα δύο μέτρων διανυσμάτων, όπου το ένα άκρο των διανυσμάτων είναι το Μ, πχ ΜΑ ΜΒ, οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ Σε μια σχέση μέτρων διανυσμάτων, όπου το ένα άκρο του ενός διανύσματος είναι το Μ ενώ τα άλλα διανύσματα έχουν σταθερά άκρα, πχ ΜΑ ΓΒ ΑΒ, τότε είναι κύκλος κέντρου Α και ακτίνα Ρ ΓΒ ΑΒ Σε ένα εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, που είναι ίσο με το μηδέν, όπου το ένα άκρο και των δύο διανυσμάτων να είναι το Μ, πχ ΜΑ ΜΒ 0, οπότε είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ Σε ένα διάνυσμα με ένα άκρο το Μ, που να εκφράζεται σαν γραμμικός συνδυασμός ενός άλλου σταθερού διανύσματος ή δύο άλλων σταθερών διανυσμάτων, με μια παράμετρο λ, οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα Σε ένα εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, όπου το ένα άκρο ενός διανύσματος είναι το Μ ενώ το άλλο έχει σταθερά άκρα, οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα Εφαρμογές Π Αν Α, Β, Γ, Δ σταθερά σημεία ενός επιπέδου, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ και Π Π Π 4 Π 5 Π 6 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία είναι: ΑΜΑΒ ΑΜΑΓ 0 Αν Δ είναι το μέσον της ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία είναι: ΑΜ ΑΔ ΑΜΑΒΑΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του ΜΑ ΜΒ ΜΓ 0 τριγώνου, για τα οποία είναι: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με (ΒΓ)=8 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών Α του τριγώνων για τα οποία είναι: ΑΒΑΓ 0 Θεωρούμε στο επίπεδο δύο σταθερά σημεία Α και Β με (ΑΒ)=4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου έτσι ώστε: ΜΑ ΜΒ 5 4