ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА 000 Крагујевац Сестре Јањић бр. Тел. (0) -87; -990; -000 Факс: (0) -9 Web: www.fink.rs За издавача: Публикацију приредила: Техничка обрада: Декан, др Мирослав Живковић, ред. проф. Продекан за наставу, др Данијела Милорадовић, доцент Др Данијела Милорадовић, доцент Штампа: Тираж:

ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ АЛГЕБРА Природни, цели, рационални, ирационални и комплексни бројеви. Основни закон аритметике и основне рачунске операције са бројевима (сабирање, множење, дељење, степеновање и кореновање). Размера и пропорција, пропорционалност величина; примене (прост и сложен рачун, рачун поделе и мешања). Полиноми и операције са њима. Дељивост полинома. Растављање полинома на чиниоце. Важније неједнакости. Операције са рационалним алгебарским изразима. Линеарне операције са једном и више непознатих. Еквивалентност и решавање линеарних једначина са једном непознатом. Линеарна функција и њен график. Системи линеарних једначина, еквиваленција система, решавање. Примена линеарних система и једначина на решавање различитих проблема. Линеарне једначине са једном непознатом и њихово решавање. Неједначина облика: ( + b) (c + d) 0 Графичка интерпретација система линеарних неједначина са две непознате. Квадратна једначина са једном непознатом и њено решавање. Природа решења квадратне једначине (дискриминанта). Вијетове формуле. Растављање квадратног тринома на линеарне чиниоце, примена. Квадратна функција и њено испитивање (нуле, знак, ток, екстремна вредност, график). Квадратне неједначине облика + b + c 0 Простије ирационалне једначине. Системи од једне квадратне и једне линеарне једначине са две непознате (с графичком интерпретацијом и применама). Експоненцијална функција и њено испитивање (појам, график, особине). Једноставније експоненцијалне једначине. Логаритамска функција и њено испитивање (појам, график, особине). Основна правила логаритмовања. Антилогаритмовање. Примена логаритма за решавање разних задатака. Једноставније логаритамске једначине. Математичка индукција. Аритметички и геометријски низови (закон формирања, општи члан, збир првих n чланова низа). Примене. Елементи комбинаторике (варијације, комбинације, пермутације). ГЕОМЕТРИЈА Тачка, права и раван; односи припадања и распореда. Међусобни положај две праве, две равни, праве и равни. Угао између праве и равни. Подударност фигура, подударност троуглова, изометријска трансформација. Транслација, ротација, симетрија (осна, централна, раванска).

Примена изометријских трансформација у доказним и конструктивним задацима о троуглу, четвороуглу, многоуглу и кругу. Размера дужи, пропорционалност дужи; Талесова теорема. Хомотетија и сличност. Сличност троуглова; примена сличности код правоуглог троугла; Питагорина теорема. Примена сличности у решавању конструктивних и других задатака. Полиедар; правилан полиедар. Призма и пирамида, равни пресеци призме и пирамиде. Површина полиедра. Запремина полиедра (квадра, призме, пирамиде и зарубљене пирамиде). Цилиндрична, конусна и обртна површ. Прав ваљак, права купа, зарубљена права купа и њихове површине и запремине. Сфера; сфера и раван. Површина сфере, сферне калоте и појаса. Запремина сфере. ТРИГОНОМЕТРИЈА Тригонометријске функције оштрог угла; основне тригонометријске идентичности. Таблице вредности тригонометријских функција. Уопштење појма угла (мерење угла, радијан). Тригонометријске функције ма ког угла; вредности тригонометријских функција ма ког угла (свођење на први квадрант), периодичност. Графици основних тригонометријских функција (y = sin, y = cos, y = tg и y = ctg ) и y = sin (b + c) и y = cos (b + c). Адиционе теореме. Трансформације тригонометријских израза (тригонометријске функције двоструких углова и полууглова, трансформације збира и разлике тригонометријских функција у производ и обрнуто. Тригонометријске једначине и најједноставније неједначине. Синусна и косинусна теорема; решавање троугла. Примена тригонометрије у геометрији и физици. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ Вектор, јединични вектор, сабирање и одузимање вектора, множење вектора скаларом, линеарна комбинација вектора, координате вектора. Разне примене вектора у геометрији. Растојање две тачке. Подела дужи у датој размери. Површина троугла. Права, разни облици једначине праве, угао између две праве, растојање тачке од праве. Криве другог реда (кружница, елипса, хипербола и парабола); једначине, међусобни односи праве и кривих линија другог реда, услов додира, тангента. Заједничке особине кривих другог реда.

ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ У тeксту су дти здци кojи су били н пријемним испитим почев од 99. гoдине. Jун, 99.. Задатак Нeк су и кoрeни jeднчинe + p + p = 0 ( p 0). Нe рeшвjући jeднчину, изрчунти + +.. Задатак Рeшити систeм jeднчин y (+y) = 0 + y =. Задатак Ктeтe првoуглoг трoугл су и b. Нћи дужину симeтрлe првoг угл.. Задатак Oснoв првe призмe je првoугли трoугo с хипoтeнузoм c и oштрим углoм oд 0 о. Крoз хипoтeнузу дoњe oснoвe и тeмe првoг угл гoрњe oснoвe пoствљeн je рвн кoj с рвни oснoвe грди угo oд o. Изрчунти зпрeмину трoстрнe пирмидe кojу рвн oдсeц oд призмe.. Задатак Дoкзти д je: tgα + tgα + tgα + 8 tg8α+ tgα = ctgα. Задатак Oдрeдити jeднчину гeoмeтриjскoг мeст срeдин тeтив прбoлe y =, кoje зклпjу с oсoм O угo oд o. Сeптeмбр, 99.. Задатак Aкo су и рeшeњ квдртнe jeднчинe к + (к - ) (к - ) = 0, oдрeдити рeлн прмeтр к ткo д je + <.. Задатак Рeшити jeднчину: + = + +.. Задатак У jeднкoкрки трпeз уписн je кружниц. Тчк дoдир дeли крк трпeз н дужи чиje дужинe су p и q. Изрчунти пoвршину трпeз.. Задатак Oснoвнe ивицe првилнe трoстрнe зрубљeнe пирмидe су и b. Бoчн стрн нгнут je прeм вeћoj oснoви пoд углoм oд 0 o. Изрчунти зпрeмину зрубљeнe пирмидe.. Задатак Рeшити jeднчину: sin sin 0. Задатак Нћи jeднчину кружницe кoj прoлзи крoз тчку A(-, -) и дoдируje oсу у тчки B (, 0).

Јун, 99.. Задатак а) Изрчунти: : 0 б) Рeшити нejeднчину: 0. Задатак Решити једначину: log ( + - ) = +. Задатак На полукружници пречника АB = R узета је тачка M чија је ортогонална пројекција на AB тачка N. Одредити AN = X тако да буде R AN MN. Задатак Од полукруга полупречника r сачињен је омотач купе. Наћи запремину купе.. Задатак Решити једначину: sin cos =. Задатак Дате су праве p : y = 0 и p : + y 9 = 0. а) Израчунати површину троугла који одређује праве p и p и y - оса. б) Написати једначину праве p која пролази кроз пресек правих p и p и нормална је на правој p. Јун, 99.. Задатак Израчунати вредности израза 0, : 7 9 / / / b b : b / / b. Задатак а) Решити једначину: log ( + ) > - log б) Четири броја чине геометријски низ. Њихови логаритми узети за основу чине аритметички низ чија је разлика, а збир. Одредити та четири броја.. Задатак У троуглу АBC је α-β = γ а) Доказати да је угао α туп б) Иза А у односу на дата је тачка Е, таква да је ЕC =АC. Доказати да је права CА симетрала угла ECB.. Задатак Ромб АBCD странице а ротира прво око странице АB, а затим око дијагонале АC. Нека су V и V запремине тако добијених тела. Израчунати оштар угао ромба ако је V : V = 9 : /.

. Задатак За које вредности параметра а права y = + сече круг + y 0 + y + 9 = 0 Јул, 99.. Задатак Израчунати вредност израза а) : 9 ;. Задатак 7 б) Решити неједначину. Задатак log log.. Израчунати површину трапеза ако је већа основица а = 0 cm, углови на њој 0 и, а висина h = cm.. Задатак Полупречници основа праве зарубљене купе и њена изводница односе се као : :, а висина је једнака cm. Одредити површину омотача.. Задатак Решити једначину :. Задатак sin cos. Написати једначину тетиве круга y y 0 која пролази кроз тачку М (-, ) и коју ова тачка полови. Септембар, 99.. Задатак Одредити p и q тако да су корени једначине: p q 0 једнаки p и q.. Задатак Решити једначину:.. Задатак Тетива одсеца лук од 90 и кружни одсечак површине ( - ) cm. Израчунати дужину тетиве.

. Задатак Израчунати висину правилног тетраедра у функцији запремине V.. Задатак Израчунати sin, ако је tg 7tg 0, а угао задовољава услов:.. Задатак У једначини + py - = 0 одредити параметар p, тако да одсечак праве између координатних оса износи. Јул, 99.. Задатак Израчунати. Задатак 0 :. 8 Решити једначину. Задатак log. Страница АB паралелограма ABCD два пута је већа од странице BC. Ако је тачка М средиште странице AB, доказати да је CM DM.. Задатак У правилну четворострану пирамиду основне ивице и бочне ивице уписана је коцка, тако да темена горње основе припадају бочним ивицама пирамиде. Израчунати ивицу коцке.. Задатак а) Израчунати sin као функцију од sin. б) Решити једначину sin - sin = 0.. Задатак Тачка А(, -) је теме квадрата чија једна страница лежи на правој - y - 7 = 0. Написати једначине страница AB и AD квадрата и израчунати његову површину. Септембар, 99.. Задатак У зависности од реалног параметра k одредити природу решења квадратне једначине k k. 0. Задатак Решити једначину log log 7.

. Задатак Израчунати висину једнакокраког трапеза чије су дијагонале нормалне а површина износи cm.. Задатак Дужина изводнице праве купе једнака је l и она образује са равни основе угао од 0. Наћи запремину купе.. Задатак Решити једначину sin cos sin. Задатак. Одредити једначине тангената параболе y = 9 у пресечним тачкама са правом - y - = 0. Јул, 997.. Задатак а) Доказати једначину б) Без примене рачунских помагала доказати неједнакост log 7 log. Задатак 7 Решити неједначину: 0. Задатак Израчунати унутрашњи угао и површину правилног многоугла, чији је број дијагонала, а полупречник описаног круга R= cm.. Задатак Основа пирамиде је једнакокраки трапез чије су основице дужине и см, а дужина крака је 7 см. Висина пирамиде садржи пресек дијагонала основе, а дужа бочна ивица је нагнута према равни основе под углом од 0. Израчунати запремину пирамиде.. Задатак Решити једначину:. Задатак sin cos Написати једначину кружнице која додирује у-осу у тачки А (0,) и додирује кружницу y y 09 0

Јул, 998.. Задатак а) Израчунати б) Прва три члана геометријске прогресије су,,. Израчунати четврти члан.. Задатак Израчунати х, ако је log log b b. Задатак, (b>, b, ) Центар O кружнице полупречника 8см лежи на хипотенузи АB правоуглог тругла АBC чије катете додирују ту кружницу. Ако је ОА = 0см, израчунати површину троугла.. Задатак Површина правилне тростране пирамиде је 8 см. Ако је дужина висине пирамиде једнака двострукој дужини основне ивице, израчунати дужину основне ивице.. Задатак Ако је. Задатак cos t израчунати sin cos Дате су тачке А (0,-0) и B (0,0) и елипса y. Одредити тачку C (х 0,у 0 ) елипсе за коју АBC има најмању површину. Септембар, 998.. Задатак Израчунати вредност израза y y y y : y y. Задатак y y Дате су функције y log i y log Одредити пресечну тачку њихових графика.. Задатак Страница ромба је 9 cm, збир дијагонала d d. Задатак cm. Израчунати површину ромба. Бочне ивице пирамиде имају дужину cm. Основа пирамиде је правоугли троугао, чије се катете односе као :, а дужина хипотенузе је 8 cm. Израчунати запремину пирамиде.

. Задатак Ако је израчунати. Задатак sin cos sin cos Одредити једначину кружнице са центром у тачки С (,-), која на правој y 8 0 одсеца тетиву дужине. Јул, 000.. Задатак Ако су и решења квадратне једначине m m 0 одредити реалан параметар m тако да је. Задатак Решити једначину log log.. Задатак Наћи површину троугла и његов угао ако су његове странице =, b =, c =.. Задатак Одредити све углове R за које је sin cos sin. Задатак Полупречници основа и бочне ивице праве зарубљене купе налазе се у односу 7. Ако је њена запремина једнака 8 cm. Задатак, наћи површину купе. Наћи тачку која је симетрична са тачком М (, ) у односу на праву y + = 0 Септембар, 00.. Задатак Решити једначину n n n n (n N) 7

. Задатак Решити једначину 7. Задатак Решити једначину 0 cos sin sin cos. Задатак Дијагонале једнакокраког трапеза су узајамно нормалне. Израчунати његову површину ако је крак c cm, а однос основица :.. Задатак Дата је површина зарубљене пирамиде чија је већа основа квадрат странице а = cm, висина H = cm, а бочна ивица пирамиде од које је она настала s cm. Израчунати њену запремину.. Задатак Тачка C (, -) је центар кружнице која на правој y +8 = 0 одсеца тетиву дужине. Наћи једначину ове кружнице. Јул, 00.. Задатак У зависности од реалног параметра к одредити природу решенја квадратне једначине: ( k ) ( k ) 0.. Задатак Решити једначину: log log 7.. Задатак Решити једначину: sin sin 0.. Задатак Израчунати површину трапеза ако је већа основица =0 cm, углови на њој 0 и а висина h= cm.. Задатак Од полукруга полупречника начињен је омотач праве купе. Наћи запремину такве купе.. Задатак Написати једначину кружнице која додирује у осу у тачки А(0,) и додирује кужницу: y y 09 0. 8

Септембар, 00.. Задатак Дата је квадратна једначина: +(m-)-m-=0 За које је вредности реалног параметра m збир квадрата корена дате једначине најмањи?. Задатак Решити неједначину: у скупу реалних бројева.. Задатак Решити једначину:. Задатак log log ( cos sin Углови троугла ABC су α= и β=0 а његов обим износи * ( ). Наћи странице и површину тог троугла.. Задатак Наћи запремину правилне четворостране пирамиде, ако је позната њена бочна ивица и угао који она заклапа са основом пирамиде.. Задатак Наћи једначину кружнице која пролази кроз координатни почетак и чији центар лежи на правој y= на растојању од координатног почетка. ) Јул, 00.. Задатак Наћи све вредности реалног параметра m за које двострука неједнакост: важи за свако реално х?. Задатак Решити једначину:. Задатак Доказати идентитет: ( m ) 0 9 7 * 8 0 sin sin ( ) sin ( ). 8 8 9

. Задатак Ако су А` и C` тачке у којима круг одређен теменима А, В и С паралелограма ABCD сече праве AD и CD, доказати да је испуњено A`B*A`D=A`C*A`C`.. Задатак Бочне ивице пирамиде имају дужину cm. Основа пирамиде је правоугли троугао, чије се катете односе као :, а дужина хипотенузе је 8 cm. Израчунати запремину пирамиде.. Задатак Дата је права (р): Наћи једначину скупа тачака В симетричних тачкама А са координатама (,d), (dєr ) у односу на праву (р). Септембар, 00.. Задатак У зависности од реалног параметра p, одредити природу решења квадратне једначине:. Задатак (p-) +(p-)+=0. ) Ако је log p, log q log r, израчунати log. b bc c б) Ако је log, log b, израчунати log 00.. Задатак Одредити сва решења једначине:. Задатак tn sin tn Израчунати површину трапеза ако је већа основица =0 cm, углови на њој 0 и, а висина h=cm.. Задатак Над једнакостраничним троуглом странице а подигнуте су права призма и пирамида исте висине. Колика је та висина, ако су омотачи оба тела једнаких површина?. Задатак Одредити једначину кружнице која има полупречник r=, садржи тачку М(8,7), а на апсцисној оси одсеца тетиву дужине. Јул, 00.. Задатак а) Дата је квадратна једначина: ( p ) 0 где је р реалан параметар. За које је вредности, параметра р разлика корена дате једначине једнака? 0

б) Наћи скуп реалних бројева који задовољавају двоструку неједначину:. Задатак Решити једначину: log log 8 log 0.. Задатак а) Показати како се могу наћи вредности: sin,cos, tg, па помоћу нађених вредности наћи: б) Нека је tg=. Израчунати sin i cos.. Задатак sin,cos, tg. Из тачке S ван кружнице повучене су тангента и сечица. Тангента додирује кружницу у тачки M, а сечица је сече у тачкама A и B. Дуж SM је за а већа од дужи AB, а за од дужи BS. Израчунати дужину дужи SM.. Задатак Кроз основу ивицу правилне четворостране пирамиде, чија је површина омотача 00 cm, постављена је раван која је од супротне бочне стране одсеца троугао површине cm. Израчунати површину омотача пирамиде која је датом равни одсечена од дате пирамиде?. Задатак Израчунати растојање жижа хиперболе: Септембар, 00. y. Задатак Дата је квадратна једначина: m m 0. Одредити за које вредности реалног параметра m је збир квадрата корена дате једначине минималан.. Задатак Решити једначину: * 8 0.. Задатак Решити тригонометријску једначину: sin cos.. Задатак Паралелограм ABCD има страницу AB=cm, површину P=cm и угао α=0. Израчунати његов обим.. Задатак Наћи полупречник описане сфере око правилног тетраедра чија је основна ивица једнака.

. Задатак Наћи ортогоналну пројекцију тачке M(,) на правој -y+=0. Јул, 00.. Задатак а) Упростити израз: 8. б) У зависности од реалног параметра m, одредити приороду решења квадратне једначине: ( m ) ( m ) 0.. Задатак Решити једначину: log log 8 0.. Задатак а) Решити неједначину: tg tg tg. б) Решити једначину:. Задатак sin cos 0. У оштроуглом троуглу дате су две странице =cm, b=cm и полупречник описане кружнице R=8.cm. Израчунати дужину: а) треће странице с тог троугла, б) полупречника уписане кружнице тог троугла, в) висине која одговара страници с.. Задатак Осни пресек праве купе полупречника основе r је једнакостранични троугао. На ком растојању d од врха треба поставити раван паралелну основи купе, која полови њену запремину?. Задатак Написати једначину круга који додирује обе координатне осе и пролази кроз тачку Р(-,) Септембар, 00.. Задатак Решити неједначину:. Задатак Решити једначину:. 7 *.

. Задатак Наћи сва решења тригонометријске једначине:. Задатак tg ctg Нормала спуштена из једног темена правоугаоника на дијагоналу правоугаоника дели ту дијагоналу у односу :. Ако је дужина мање странице једнака cm, наћи дужину веће странице тог правоугаоника.. Задатак Бочне ивице тростране пирамиде су узајамно нормалне, а површине бочних страна једнаке су cm,, cm и cm. Одредити дужине свих ивица пирамиде,као и запремину те пирамиде.. Задатак Написати једначину кружнице чији је центар тачка S(,), а која додирује кружницу y y..

Тест из МАТЕМАТИКЕ 9. јун 00. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Задаци вреде по 0 поена. Потребно је заокружити један тачан одговор. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене.. Израз, 0, идентички је једнак изразу: (а) 9 ; (б) ; (в) ; (г) 7 ; (д).. Број решења неједначине cos 0 у интервалу, (а) 0; (б) ; (в) ; (г) ; (д) већи од. је:. Скуп решења неједначине је: (а) 0,, ; (б), 0, ; (в) 0, 0. (г), ; (д),,, ;. У правоуглом троуглу висина h cmдели хипотенузу на одсечке чије се дужине разликују за cm. Површина тог троугла је (у cm ): (а) ; (б) ; (в) ; (г) 7; (д) 9.. Једнакостраничан троугао странице cmротира прво око једне странице, а затим око висине која одговара тој страници. Однос површина ова два добијена тела је: (а) :; (б) 8:; (в) : ; (г) : ; (д) :.. Растојање координата почетка O правоуглог координатног система Oy од праве задате једначином y је: (а) 0 0 ; (б) ; (в) ; (г) ; (д).

Решења:. Израз, 0, идентички је једнак изразу: (а) 9 ; (б) ; (в) ; (г) 7 ; (д).. Број решења неједначине cos 0 у интервалу, (а) 0; (б) ; (в) ; (г) ; (д) већи од. је:. Скуп решења неједначине је: (а) 0,, ; (б), 0, ; (в) 0, 0. (г), ; (д),,, ;. У правоуглом троуглу висина h cmдели хипотенузу на одсечке чије се дужине разликују за cm. Површина тог троугла је (у cm ): (а) ; (б) ; (в) ; (г) 7; (д) 9.. Једнакостраничан троугао странице cmротира прво око једне странице, а затим око висине која одговара тој страници. Однос површина ова два добијена тела је: (а) :; (б) 8:; (в) : ; (г) : ; (д) :.. Растојање координата почетка O правоуглог координатног система Oy од праве задате једначином y је: (а) 0 0 ; (б) ; (в) ; (г) ; (д).

Решење Пријемни испит - јун, 00.. 0, 9 9, (а) је тачно решење.. 0 cos cos Z k k k,, v, имамо решења, тачан одговор је под (в).. 0 0

7,, 0, решење је под (д).. ) ( b ) ( b 9 ) ( 9 9 0 8 0,,,. c h c P cm P. b +. 0 0 0 / / /

8. M P M B P : : : P P, па је тачан одговор под (г).

. y B. A O P ABO 0 AB, AB 9 9 0 0 d d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d, тачан одговор је под (д). 9

Тест из МАТЕМАТИКЕ 8. септембар 00. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Задаци вреде по 0 поена. Потребно је заокружити један тачан одговор. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене.. Израз, 0, идентички је једнак изразу: (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (д). 8. Збир свих решења једначине 0 је: (а) 0; (б) ; (в) -; (г) ; (д).. Решења неједначине 7 0 припадају интервалу: (а), ; (б), ; (в), ; (г), ; (д),.. Круг је уписан у једнакостраничан троугао, а затим је квадрат уписан у тај круг. Однос површина троугла и квадрата једнак је: (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (д). 8. У аритметичком низу збир прва четири члана је за 8 мањи од двоструког збира прва три члана тог низа. Ако је четврти члан низа једнак 9, његов пети члан је: (а) ; (б) 0; (в) ; (г) ; (д) 9.. Растојање координата почетка O правоуглог координатног система Oy од праве задате једначином y је: (а) 0 0 ; (б) ; (в) ; (г) ; (д). 0

Решења:. Израз, 0, идентички је једнак изразу: (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (д). 8. Збир свих решења једначине 0 је: (а) 0; (б) ; (в) -; (г) ; (д).. Решења неједначине 7 0 припадају интервалу: (а), ; (б), ; (в), ; (г), ; (д),.. Круг је уписан у једнакостраничан троугао, а затим је квадрат уписан у тај круг. Однос површина троугла и квадрата једнак је: (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (д). 8. У аритметичком низу збир прва четири члана је за 8 мањи од двоструког збира прва три члана тог низа. Ако је четврти члан низа једнак 9, његов пети члан је: (а) ; (б) 0; (в) ; (г) ; (д) 9.. Растојање координата почетка O правоуглог координатног система Oy од праве задате једначином y је: (а) 0 0 ; (б) ; (в) ; (г) ; (д).

Решење Пријемни испит септембар, 00. 9. 7 (а). 0 смена: t 0 t / t t t t 0 0 / : 0 t,, t, t,, 0 0 0, решење је (б).. 7 0 / : 7 0 sgn sgn sgn,, тачан одговор је под (б).

. P површина троугла O P површина круга K P површина квадрата r P O r P r d, 9 P d K K K K : : : : P P K P K P, тачан одговор је под (а).. 8 9 8 9 d 8 8 8 d d d 9 9 d d d d 0 d, тачно решење је под (г). r.

. l : y ; O 0,0 l : y 0 I начин: d O, l 0 0 0 0 0 0 II начин: A. h c O B - OB, AB 9 0 OA, P OBOA AB h c, hc do, l 0 h c 0 h c h c 0 0 0 0 d O, l, па је тачан одговор под (д).

Тест из МАТЕМАТИКЕ 9. јун 0. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Потребно је детаљно образложити решење задатака и за сваки задатак заокружити тачан одговор. Заокруживање тачног одговора доноси 0 поена по задатку. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене. У случају заокруживања више од једног одговора добија се - поен.. Вредност израза b b b 9b b b : 9b А) -; Б) 0; В) ; Г) ; Д). за и b износи:. Површина трапеза ABCD чије су основице AB 8cm и CD cm, а углови на основици AB су и износи: А) cm ; Б) cm ; В) ( -)cm ; Г) ( )cm ; Д) cm.. Број негативних целобројних решења неједначине 0 А) 0; Б) ; В) ; Г) ; Д) већи од. је:. У интервалу ( 0, ) једначина cos sin има укупно решења: А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) већи од.. Једначина праве која пролази кроз тачку A(,)и нормална је на праву y 0 гласи: А) y 0 ; Б) y 0; В) y 0 ; Г) y 0; Д) y 0.. Када се омотач купе развије у равни добије се четвртина круга полупречника cm. Запремина те купе је: А) cm ; Б) cm ; В) cm ; Г) 0 cm ; Д) 7 00 cm.

Решења:. Вредност израза b b b 9b b b : 9b А) -; Б) 0; В) ; Г) ; Д). за и b износи:. Површина трапеза ABCD чије су основице AB 8cm и CD cm, а углови на основици AB су и износи: А) cm ; Б) cm ; В) ( -)cm ; Г) ( )cm ; Д) cm.. Број негативних целобројних решења неједначине 0 А) 0; Б) ; В) ; Г) ; Д) већи од. је:. У интервалу ( 0, ) једначина cos sin има укупно решења: А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) већи од.. Једначина праве која пролази кроз тачку A(,)и нормална је на праву y 0 гласи: А) y 0 ; Б) y 0; В) y 0 ; Г) y 0; Д) y 0.. Када се омотач купе развије у равни добије се четвртина круга полупречника cm. Запремина те купе је: А) cm ; Б) cm ; В) cm ; Г) 0 cm ; Д) 7 00 cm.

7 Решење Пријемни испит - јун 0.. 9 : 9 b b b b b b b I b b b b b b b b b b b b 9 9 b b b b, 0 b, 9b, b. За и b, добијамо I. Решење: Д).. Троугао AED је једнакокраки, па је AE=ED=h. Троугао CFB је половина једнакостраничног троугла одакле закључујемо да је CF=h, CB=CF=h и h CB FB. Како је 8 AB, то је h h 8, тј. h, па је h. Површина трапеза је 8 h b P. Решење: Г) cm.. 0 0 0 0 0 7 0 0, A E F B D C h h h h h 0

- - + + sgn 0 + + sgn + + sgn 0 [, ) [, ) 0, Z Решење: В). {, }. Користећи тригонометријски индентитет cos sin, имамо да је cos sin sin sin sin sin. 0 Уводимо смену sin t, t [, ]. Добијамо квадратну једначину t t 0 чија су решења t и t. Пошто t не припада интервалу [, ], добијамо k или t, k, t Z. За k и t, имамо интервала ( 0, ). и sin. Дакле, 7 да су једина решења из Решење: Б).. Како је y, тј. y, коефицијент правца тражене праве је k. Дакле, y n. Како А(,) припада правој, њене координате задовољавају једначину праве, па је n, тј. y 0 n. / y 0 је једначина тражене праве. Решење: Д). 8

R S. Површина омотача купе једнака је четвртини површине круга полупречника R, тј. M R 0. Према обрасцу за површину омотача купе M rs, добијамо 0 0 r, тј. r. H S r 7 H S H 7 r Запремина купе је B H r H V. Решење: А) cm. 9

Тест из МАТЕМАТИКЕ 7. септембар 0. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Потребно је детаљно образложити решење задатака и за сваки задатак заокружити тачан одговор. Заокруживање тачног одговора доноси 0 поена по задатку. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене.. Вредност израза А) износи: ; Б) ; В) ; Г) ; Д) -.. Површина једнакокраког троугла чији је крак cm а угао при врху 0 износи: А) cm ; Б) cm ; В) cm ; Г) cm ; Д) cm.. Број целобројних решења неједначине 0 0 је: А) ; Б) ; В) ; Г) 0; Д) 9.. Збир свих решења једначине А) -; Б) 0; В) ; Г) ; Д) ништа од понуђеног. је:. Једначина праве која пролази кроз тачку A(-,)и нормална је на праву y 0 гласи: А) y 7 0 ; Б) y 7 0 ; В) y 7 0 ; Г) y 7 0 ; Д) y 7 0.. Прав ваљак, чија је висина H 0 cm, пресечен је са равни која је паралелна његовој оси, на растојању cm од осе. Та раван одсеца од основа кружне исечке чији су лукови пресека износи: 0. Површина А) 0 cm ; Б) 0 cm ; В) 0 cm ; Г) 0 cm ; Д) 7 00 cm. 0

Решења:. Вредност израза А) износи: ; Б) ; В) ; Г) ; Д) -.. Површина једнакокраког троугла чији је крак cm а угао при врху 0 износи: А) cm ; Б) cm ; В) cm ; Г) cm ; Д) cm.. Број целобројних решења неједначине 0 0 је: А) ; Б) ; В) ; Г) 0; Д) 9.. Збир свих решења једначине А) -; Б) 0; В) ; Г) ; Д) ништа од понуђеног. је:. Једначина праве која пролази кроз тачку A(-,)и нормална је на праву y 0 гласи: А) y 7 0 ; Б) y 7 0 ; В) y 7 0 ; Г) y 7 0 ; Д) y 7 0.. Прав ваљак, чија је висина H 0 cm, пресечен је са равни која је паралелна његовој оси, на растојању cm од осе. Та раван одсеца од основа кружне исечке чији су лукови пресека износи: 0. Површина А) 0 cm ; Б) 0 cm ; В) 0 cm ; Г) 0 cm ; Д) 7 00 cm.

Решење Пријемни испит - септембар, 0.. 7 9 9 7 Решење: Б).. B A AC PC. P 0 AC AP AB AP C 0 0 A P. 0 C AB PC P P cm Решење: Д) cm.. 0 0 0 0 0 0 0 0,,,..., 9 Укупно их има 9. Решење: Д) 9. 0,0

. смена t, t t t / 0 t t 9, t, 8 t, 8 t Збир решења је 0. Решење: Б) 0.., A 0 y y y K, K K n y n, / 7 7 y n 0 7 y Решење: В) 0 7 y.

. О 0 B A 0 0 B О A AB AB 8 8 8 0 P AB H 0 Решење: А) 0 cm.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ. јул 0. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Потребно је детаљно образложити решење задатака и за сваки задатак заокружити тачан одговор. Заокруживање тачног одговора доноси 0 поена по задатку. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене. У случају заокруживања више од једног одговора добија се - поен. Употреба калкулатора није дозвољена!. Ако је A и B 0,00, 0,: 0,0 0,0:0,, тада вредност израза A B износи: 0, 7 А) -8,899; Б) -0,899; В) 0,899; Г) -89,9; Д) 89,9.. Број целобројних решења неједначине А) ; Б) ; В) ; Г) 8; Д) већи од 8. је:. Нека је sin и cos где су, из интервала, А) ; Б) 7 ; В) ; Г) ; Д) 0. 0. Тада је sin једнако:. Осни пресек праве купе полупречника основе cm је једнакостраничан троугао. Растојање од основе купе на које треба поставити раван паралелну основи купе која полови њену запремину износи: А) cm ; Б) cm ; В) cm ; Г) cm ; Д) cm.. Ортогонална пројекција тачке M(,) на правој y 0 је: А), ; Б), ; В), 9 7 ; Г), ; Д),. 9. Површина трапеза ABCD чија је мања основица b 7 cm, висина h cm, а углови на већој основици и износи: А) cm ; Б) 0 cm ; В) 0 cm ; Г) 0 cm ; Д) 0 cm.

РЕШЕЊА:. Ако је A и B 0,00, 0,: 0,0 0,0:0,, тада вредност израза A B износи: 0, 7 А) -8,899; Б) -0,899; В) 0,899; Г) -89,9; Д) 89,9.. Број целобројних решења неједначине А) ; Б) ; В) ; Г) 8; Д) већи од 8. је:. Нека је sin и cos где су, из интервала, А) ; Б) 7 ; В) ; Г) ; Д) 0. 0. Тада је sin једнако:. Осни пресек праве купе полупречника основе cm је једнакостраничан троугао. Растојање од основе купе на које треба поставити раван паралелну основи купе која полови њену запремину износи: А) cm ; Б) cm ; В) cm ; Г) cm ; Д) cm.. Ортогонална пројекција тачке M(,) на правој y 0 је: А), ; Б), ; В), 9 7 ; Г), ; Д),. 9. Површина трапеза ABCD чија је мања основица b 7 cm, висина h cm, а углови на већој основици и износи: А) cm ; Б) 0 cm ; В) 0 cm ; Г) 0 cm ; Д) 0 cm.

Решење Пријемни испит - јун, 0.. Како је A 0 7 00 7 7 9, и B 0,000 0, 0,00 9,899, то је 9,899 9 9,899 0, 899 A B 9.. Ако је 0, тада је дата неједначина еквивалентна са неједначином Даље је 0, тј. 0. Из знака квадратног тринома закључујемо да,., тј.. - + - Ако је 0, тада имамо Дакле, добијамо 0, тј. или 0. + - + - Добијамо да, Како је 0, у овом случају, добијамо,0 Решење полазне неједначине је,0,. Решења: -,,.. sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin 7

8 cos sin sin cos sin sin 0.. r r H r H Пошто је V запремина мале купе, V запремина велике купе добијамо: r r r r r r H r H r V V r r како је r H, тражено растојање је cm H H d. 0 : y y p Пошто је коефицијент правца дате праве k, то је коефицијент правца праве l ортогоналне на p једнак. Пошто тачка М припада правој n y l :, то је n. Дакле, : y l, тј. 0 y. Тражена тачка М' се налази у пресеку праве p и l, па из решења система: r r r H r l M p M

y 0 / y 0 / 77 9 9 y y, добијамо M ',. 9. b=7 h h 0 / b h h b h h 7 0 b 7 P h 0 P 0 0 cm h h h 9

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ-тест из МАТЕМАТИКЕ 07. септембар 0. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Потребно је детаљно образложити решење задатака и за сваки задатак заокружити тачан одговор. Заокруживање тачног одговора доноси 0 поена по задатку. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене. У случају заокруживања више од једног одговора добија се - поен.. Вредност израза : 0,09: 0,: 0,* 0,0,,88 0, 7 износи: А),; Б) 9 ; В) 98,8; Г) ; Д) ништа од понуђеног. 8. Збир свих решења једначине 0 је: А) -; Б) 0; В) ; Г) ; Д) ништа од понуђеног.. Број решења једначине sin cos 0 у интервалу, А) 0; Б) ; В) ; Г) ; Д) већи од. 0 је:. Запремина квадра је 080cm, површина је ивица квадра износе: 99cm, а обим основе 8 cm. Дужине основних А) cm, cm ; Б) cm, 8cm ; В) cm, cm ; Г) 0 cm, 9cm ; Д) cm, 7cm.. Једначина праве у равни која садржи координатни почетак и тачку (-,) је: А) y ; Б) y ; В). y ; Г) y ; Д) y. Збир катета правоуглог троугла, чија је хипотенуза дужине cm, а полупречник уписаног круга cm износи: А) cm ; Б) 7 cm ; В) 9 cm ; Г) 0 cm; Д) cm. 0

РЕШЕЊА:. Вредност израза : 0,09: 0,: 0,* 0,0,,88 0, 7 износи: А),; Б) 9 ; В) 98,8; Г) ; Д) ништа од понуђеног. 8. Збир свих решења једначине 0 је: А) -; Б) 0; В) ; Г) ; Д) ништа од понуђеног.. Број решења једначине sin cos 0 у интервалу, А) 0; Б) ; В) ; Г) ; Д) већи од. 0 је:. Запремина квадра је 080cm, површина је ивица квадра износе: 99cm, а обим основе 8 cm. Дужине основних А) cm, cm ; Б) cm, 8cm ; В) cm, cm ; Г) 0 cm, 9cm ; Д) cm, 7cm.. Једначина праве у равни која садржи координатни почетак и тачку (-,) је: А) y ; Б) y ; В). y ; Г) y ; Д) y. Збир катета правоуглог троугла, чија је хипотенуза дужине cm, а полупречник уписаног круга cm износи: А) cm ; Б) 7 cm ; В) 9 cm ; Г) 0 cm; Д) cm.

Решење Пријемни испит - септембар 0.. : 0,09: 0,: = 0,09: 00 : = 8 0, +0,0,,88 +0,7 +0,0,+0,7 9 00 :0 0 = = = 9 00 : 00 8 = 9 00 : 0 0,7 8 8 =. Ако је 0, дата једначина постаје + = 0 и њена решења су и -. Због услова 0, једино решење је =. Ако је < 0, дата једначина је + = 0 чија су решења и -. Због услова да је < 0, једино решење је = у овом случају. Решења полазне једначине су и - и њихов збир је 0. sin + cos + = 0 cos + cos + = 0 sin + cos = cos + cos + = 0 смена: cos = t, t јер је cos t + t + = 0 t = t = t t = cos = = π + kπ, k Z У интервалу 0,π дата једначина има једно решење = π.. V = bc = 080 P = b + c + bc = 99 O = + b = 8 bc = 080 b + c + bc = 98 + b = 9 b + c + b = 98 + b = 9 b + 9c = 98 bc = 080 080 + 9c = 98 c b = 080 c 9c 98c + 080 = 0

c = 0 или c = 08 08.За c = 0, b = 08 и + b = 9, па је b = и 9 9 + 08 = 0 тј. = =. Када је =, тада је b = и ако је = следи b =. Основне ивице квадрата су и cm. Ако је c = 08, тада је b = 90 и + b = 9, па је 9 9 + 90 = 0. Међутим дискриминанта ове квадратне једначине је негативна и једначина нема решењеа у скупу реалних бројева. Реална решења су и cm.. Једначина праве гласи y = k + n. Пошто јој припада координатни почетак, тада је 0 = k 0 + n, тј. n = 0. Како тачка (-,) такође припада правој, имамо = k + 0, тј. k =. Дакле, k = и n = 0, па је тражена једначина праве y =.. B G E C F O A Из подударности троуглова OFA и OAG имамо да је AG =, а из подударности троуглова OGB и OBE, имамо да је GB = b. Како је AB = cm то је AG + GB = AB, тј. + b =, односно + b = 7cm.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ-тест из МАТЕМАТИКЕ. јул 0. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Потребно је детаљно образложити решење задатака и за сваки задатак заокружити тачан одговор. Заокруживање тачног одговора доноси 0 поена по задатку. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене. У случају заокруживања више од једног одговора добија се - поен. Употреба калкулатора није дозвољена!. Ако је =0,0, b=-, и c=,07 тада вредност израза b c ( ) : b c b c b c (( ) ) износи: А) 0,; Б) -0,; В) 0,0; Г) -0,0; Д).. У скупу реалних бројева неједначина има решења: ; Б),0, ; В), Г), ; Д) А) (, ) 0,.. Вредност израза А) o sin0 cos0 је: Б) ; В) Г) ; Д). o. Основа праве призме је правоугли троугао површине 9 cm, са углом од 0 о. Површина највеће бочне стране је 8 cm. Запремина ове призме износи: А) cm Б) cm ; В) cm Г) cm ; Д) 8 cm.. Ако је 0 0 једнак: B(, y ) симетрична тачки А (-,) у односу на праву y, онда је збир 0 y0 А) Б) ; В) - Г) -; Д) 0. p y 0, p y 0, p y 0,. Само једна од правих: p y 0 је права: и p y 0 није ни тангента ни сечица круга y. То А) р Б) р ; В) р Г) р ; Д) р.

РЕШЕЊА:. Ако је =0,0, b=-, и c=,07 тада вредност израза b c ( ) : b c b c b c (( ) ) износи: А) 0,; Б) -0,; В) 0,0; Г) -0,0; Д).. У скупу реалних бројева неједначина има решења: ; Б),0, ; В), Г), ; Д) А) (, ) 0,.. Вредност израза А) o sin0 cos0 је: Б) ; В) Г) ; Д). o. Основа праве призме је правоугли троугао површине 9 cm, са углом од 0 о. Површина највеће бочне стране је 8 cm. Запремина ове призме износи: А) cm Б) cm ; В) cm Г) cm ; Д) 8 cm.. Ако је 0 0 једнак: B(, y ) симетрична тачки А (-,) у односу на праву y, онда је збир 0 y0 А) Б) ; В) - Г) -; Д) 0. p y 0, p y 0, p y 0,. Само једна од правих: p y 0 је права: и p y 0 није ни тангента ни сечица круга y. То А) р Б) р ; В) р Г) р ; Д) р.

Решење Пријемни испит - јул 0.. А) 0, b c b c b c b c b c : b c b c b c b c b c b c 0,0 0,0,0,07 0,00 0,. Б),0,, 0, 0 0 0 0 Анализирањем знака функције y ненегативна када је,0, : и знака функције y закључујемо да је функција - - - - - - - - - - - + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - + + + 0 sgn() sgn(-) sgn (-)

. Б) o o cos0 sin0 o o cos0 sin0 o o o o sin0 cos0 sin0 cos0 o o sin0 cos0 o 0 0 0 o o sin 0 cos0 cos 0 sin0 sin 0 0 0 0 sin 0 sin 0. А) cm. C B A 0 o H A. C B H C. b c A c B Са слике видимо да је b csin0 o и ccos0 o o o c sin 0 cos 0 c P ABC. Пошто је 8 одакле је c cm. P. Како је 9 cm Слика ABC, добијамо да је b P ABC, то је c 9 cm, 8 Знамо да је PAA ' BB' 8 cm ch, па је одатле 8 cm H cm cm. cm Одатле добијамо V BH P H 9 cm ABC, тј. V cm.. Д) 0 Нека је р дата права y, тј. тачке А и В. Нека је q: y k n. y. Означимо са q праву која је нормална на р и садржи 7

A. S q Тада је k, па је па је Пошто A q добијамо: k. n Тачка S је тачка пресека правих р и q: p : y q : y y, одакле се добија Дакле, S (,). Тачка S је и средиште дужи АВ, па важи: 0 y и Одатле добијамо В(,-). Дакле, 0 y0 0. p B(,y ) 0 0 0 n. Дакле:. y.. Д) р Задатак може да се реши испитивањем пресечних тачака сваке праве и круга или графичким путем. Видимо да круг y p : y p : y p : y p : y p : y има центар А(,) и пролази кроз координатни почетак: 8

p p p A p - - p Са слике се види: р - сечица, р - тангента, р - сечица, р - сечица и р - нема заједничких тачака са кружницом, k. 9

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ-тест из МАТЕМАТИКЕ. септембар 0. године Време за рад је 80 минута. Тест има задатака. Потребно је детаљно образложити решење задатака и за сваки задатак заокружити тачан одговор. Заокруживање тачног одговора, уз обавезно детаљно образложење решења задатка, доноси 0 поена по задатку. Погрешан одговор не доноси ни позитивне ни негативне поене. У случају заокруживања више од једног одговора добија се - поен. Употреба калкулатора није дозвољена!. Вредност израза А) 0 ; Б),, 7 : 9 0 ; В) износи: 0 Г) 0 ; Д) 0.. У скупу реалних бројева, неједначина има решења: А), ; Б),, ; В), Г), ; Д),.. Број решења једначине cos sin 0 0, је: на интервалу А) 0; Б) ; В) ; Г) ; Д).. Основица једнакокраког троугла износи cm. Тежишне дужи које су повучене на краке секу се под правим углом. Површина тог троугла износи: А), cm ; Б), cm ; В), cm ; Г), cm ; Д) cm.. Да би права y k додиривала параболу y, параметар k мора имати вредност: А) 0; Б) ; В) - ; Г) 0 или ; Д) 0 или -.. У коцку ивице А) cm уписана је лопта. Однос запремине коцке и запремине лопте једнак је: ; Б) ; В) ; Г) ; Д). 0

РЕШЕЊА:. Вредност израза А) 0 ; Б),, 7 : 9 0 ; В) износи: 0 Г) 0 ; Д) 0.. У скупу реалних бројева, неједначина има решења: А), ; Б),, ; В), Г), ; Д),.. Број решења једначине cos sin 0 на интервалу 0, је: А) 0; Б) ; В) ; Г) ; Д).. Основица једнакокракок троугла износи cm. Тежишне дужи које су повучене на краке секу се под правим углом. Површина тог троугла износи: А), cm ; Б), cm ; В), cm ; Г), cm ; Д) cm.. Да би права y k додиривала параболу y, параметар k мора имати вредност: А) 0; Б) ; В) - ; Г) 0 или ; Д) 0 или -.. У коцку ивице А) cm уписана је лопта. Однос запремине коцке и запремине лопте једнак је: ; Б) ; В) ; Г) ; Д).

Решење Пријемни испит - септембар 0.. Решење: В) 0 7 9,, 7 9 7 9 : 9 8 99 8 8 0 0 8. Решење: Д), 0 0 / 0 0 0

+ + + + + + + + + + + + + + sgn( +) + + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + + + + + + - sgn(-) sgn(+) -, + sgn (-)(+). Решење: В) cos sin 0 sin sin 0 sin sin 0 sin sin 0 sin sin 0 Дакле, у интервалу 0, постоје решења. sin 0 sin 0 nemoguce. Решење: Б), cm A M. B M C

BC cm BMM MBM o o BM MM MM cm MM AM AM cm BC AM P ABC cm cm, cm. Решење: Д) 0 или y k k y k 0 k k / ( јединствено решење) k k k 0 k. Решење: Б) r r V V K V V L r K L